2014학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 전공 A 7번, 2016학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 전공 A 5번

2014학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 전공 A 7번, 2016학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 전공 A 5번

2014학년도 1차 2교시 전공 A 7번 문제:

반복적분 $\displaystyle\int_{0}^{1}{\int_{\sqrt{y}}^{1}{7y^{2}\sin(x^{7})dx}dy}$의 값을 구하시오.

풀이: $\displaystyle g(y)=\int_{\sqrt{y}}^{1}{\sin(x^{7})dx}$라고 하자. 그러면 $g(1)=0$, $\displaystyle g'(y)=-\frac{1}{2\sqrt{y}}\sin(y^{\frac{7}{2}})$이므로 부분적분법을 이용하면 $$\begin{align*}\int_{0}^{1}{\int_{\sqrt{y}}^{1}{7y^{2}\sin(x^{7})dx}dy}&=\int_{0}^{1}{7y^{2}g(y)dy}=\int_{0}^{1}{\left(\frac{7}{3}y^{3}\right)'g(y)dy}\\&=\left[\frac{7}{3}y^{3}g(y)\right]_{0}^{1}+\frac{7}{6}\int_{0}^{1}{y^{\frac{5}{2}}\sin(y^{\frac{7}{2}})dy}\\&=\frac{7}{6}\int_{0}^{1}{y^{\frac{5}{2}}\sin(y^{\frac{7}{2}})dy}=\left[-\frac{1}{3}\cos(y^{\frac{7}{2}})\right]_{0}^{1}\,\left(\because\,\frac{d}{dy}\cos(y^{\frac{7}{2}})=-\frac{7}{2}y^{\frac{5}{2}}\sin(y^{\frac{7}{2}})\right)\\&=\frac{1-\cos1}{3}\end{align*}$$ 이다.  

2016학년도 1차 2교시 전공 A 5번 문제:

좌표평면에서 영역 $D$가 $$D=\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^{2}\,|\,0\leq x\leq2,\,0\leq y\leq9\}$$ 일 때, 함수 $f:\,D\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 다음과 같이 정의하자. $$f(x,\,y)=\begin{cases}y,\,&y\geq\sin\sqrt{x}\\ \sin\sqrt{x},\,&y<\sin\sqrt{x}\end{cases}$$ 두 반복적분의 합 $$\int_{0}^{2}{\int_{0}^{9}{f(x,\,y)}dx}+\int_{0}^{2}{\int_{0}^{\sin\sqrt{x}}{(y-\sin\sqrt{x})dy}dx}$$ 의 값을 구하시오.

풀이: 다음의 그림을 참고하면

$$\begin{align*}\int_{0}^{9}{f(x,\,y)dy}&=\int_{0}^{\sin\sqrt{x}}{\sin\sqrt{x}dy}+\int_{\sin\sqrt{x}}^{9}{ydy}\\&=\sin^{2}\sqrt{x}+\left[\frac{1}{2}y^{2}\right]_{\sin\sqrt{x}}^{9}\\&=\frac{1}{2}\sin^{2}\sqrt{x}+\frac{81}{2}\end{align*}$$ 이므로 $$\int_{0}^{2}{\int_{0}^{9}{f(x,\,y)dy}dx}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}{\sin^{2}\sqrt{x}dx}+81$$ 이고 $$\begin{align*}\int_{0}^{2}{\int_{0}^{\sin\sqrt{x}}{(y-\sin\sqrt{x})dy}dx}&=\int_{0}^{2}{\left[\frac{1}{2}y^{2}-(\sin\sqrt{x})y\right]_{0}^{\sin\sqrt{x}}dx}\\&=-\frac{1}{2}\int_{0}^{2}{\sin^{2}\sqrt{x}dx}\end{align*}$$ 이므로 따라서 $$\int_{0}^{2}{\int_{0}^{9}{f(x,\,y)dy}dx}+\int_{0}^{2}{\int_{0}^{\sin\sqrt{x}}{(y-\sin\sqrt{x})}dx}=81$$ 이다.