2009학년도 중등교사 임용시험 1차 2교시 28번, 2015학년도 중등교사 임용시험 1차 2교시 전공 A 2번

2009학년도 중등교사 임용시험 1차 2교시 28번, 2015학년도 중등교사 임용시험 1차 2교시 전공 A 2번

2009학년도 1차 2교시 28번 문제:

좌표평면에서 원 \(x^{2}+y^{2}=4\) 위를 반시계방향으로 한 바퀴 도는 곡선을 C라 할 때, 다음 선적분의 값은?$$\int_{C}{(3+yx^{2})dx+(2-xy^{2})dy}$$풀이: 원 \(x^{2}+y^{2}=4\)와 그 내부를 포함하는 영역을 \(D\)라고 하자. 그러면 그린정리에 의해$$\begin{align*}\int_{C}{(3+yx^{2})dx+(2-xy^{2})dy}&=\iint_{D}{\left\{\frac{\partial}{\partial x}(2-xy^{2})-\frac{\partial}{\partial y}(3+yx^{2})\right\}dxdy}\\&=-\iint_{D}{(x^{2}+y^{2})dxdy}\end{align*}$$이다.$$x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta\,(0\leq r\leq2,\,0\leq\theta\leq2\pi)$$로 변수변환하면 야코비안이$$|J|=\det\begin{pmatrix}\displaystyle\frac{\partial x}{\partial r}&\displaystyle\frac{\partial y}{\partial r}\\ \displaystyle\frac{\partial x}{\partial\theta}&\displaystyle\frac{\partial y}{\partial\theta}\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\ -r\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}=r\cos^{2}\theta+r\sin^{2}\theta=r$$이므로$$\begin{align*}-\iint_{D}{(x^{2}+y^{2})dxdy}&=-\int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{2}{r^{2}\cdot rdr}d\theta}=-2\pi\int_{0}^{r}{r^{3}dr}\\&=-2\pi\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2}=-8\pi\end{align*}$$이고 따라서 \(\displaystyle\int_{C}{(3+yx^{2})dx+(2-xy^{2})dy}=-8\pi\)이다.

2015학년도 1차 2교시 전공 A 2번 문제:

다음 그림과 같이 반시계 방향의 단순닫힌곡선(simple closed curve) \(C:\,x^{2}+y^{2}=4\)가 주어졌을 때, \(\displaystyle\int_{C}{(e^{\sin x}-4x^{2}y)dx+(e^{\cos y}+4xy^{2})dy}\)의 값을 구하시오.

풀이: 원 \(x^{2}+y^{2}=4\)와 그 내부를 포함하는 영역을 \(D\)라고 하자. 그러면 그린정리에 의해$$\begin{align*}\int_{C}{(e^{\sin x}-4x^{2}y)dx+(e^{\cos y}+4xy^{2})dy}&=\iint_{D}{\left\{\frac{\partial}{\partial x}(e^{\cos y}+4xy^{2})-\frac{\partial}{\partial y}(e^{\sin x}-4x^{2}y)\right\}dxdy}\\&=4\iint_{D}{(x^{2}+y^{2})dxdy}\end{align*}$$이다.$$x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta\,(0\leq r\leq2,\,0\leq\theta\leq2\pi)$$로 변수변환하면 야코비안이$$|J|=\det\begin{pmatrix}\displaystyle\frac{\partial x}{\partial r}&\displaystyle\frac{\partial y}{\partial r}\\ \displaystyle\frac{\partial x}{\partial\theta}&\displaystyle\frac{\partial y}{\partial\theta}\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-r\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}=r\cos^{2}\theta+r\sin^{2}\theta=r$$이므로$$\begin{align*}4\iint_{D}{(x^{2}+y^{2})dxdy}&=\int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{2}{4r^{3}dr}d\theta}=2\pi\int_{0}^{2}{4r^{3}dr}=16\cdot2\pi=32\pi\end{align*}$$이고 따라서 \(\displaystyle\int_{C}{(e^{\sin x}-4x^{2}y)dx+(e^{\cos y}+4xy^{2})dy}=32\pi\)이다.