2013학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 21번, 22번

2013학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 21번

21. 모든 항이 양수인 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)이 수렴할 때, 수렴하는 급수만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

<보기> ㄱ. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1}a_{n}}\) ㄴ. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\sqrt{a_{n}^{2}+1}}\) ㄷ. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{(e^{a_{n}}-1)}\)

풀이:

ㄱ: \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1}a_{n}}\)은 교대급수이고 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)이 수렴하므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=0\)이고 따라서 수렴한다.

ㄴ: \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sqrt{a_{n}^{2}+1}}=1\neq0\)이므로 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\sqrt{a_{n}^{2}+1}}\)은 발산한다.

ㄷ: 이 문제에서 가장 어려운(?) 선택지일 것이다. 양수 \(x\)에 대해서 부등식 \(e^{x}-1>x\)가 성립하기 때문에 어떻게 해야 할지 난감할 것이다. 그러나 평균값의 정리를 이용한다면 쉽게 해결할 수 있다. 함수 \(f(x)=e^{x}\)에 대해서 \(x>0\)일 때 \(0<c<x\)가 존재해서$$e^{c}=f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{e^{x}-1}{x}$$이고$$e^{x}-1=kx\,(k=e^{c}>0)$$이다. \(a_{n}>0\)이므로 위의 등식에 \(x=a_{n}\)을 대입하면 \(e^{a_{n}}-1=ka_{n}\)이고$$\sum_{n=1}^{\infty}{(e^{a_{n}}-1)}=k\sum_{n-1}^{\infty}{a_{n}}$$이므로 따라서 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{(e^{a_{n}}-1)}\)은 수렴한다.

옳은 것은 ㄱ, ㄷ뿐이다.   

22. 수렴하는 이상적분(특이적분, improper integral)만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

<보기> ㄱ. \(\displaystyle\int_{1}^{\infty}{\frac{x+1}{x\sqrt{x^{4}+1}}dx}\) ㄴ. \(\displaystyle\int_{2}^{\infty}{\frac{1}{\ln x}dx}\) ㄷ. \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{\cos x+\sqrt{1-\sin x}}dx}\)

풀이:

ㄱ: \(\displaystyle\frac{x+1}{x\sqrt{x^{4}+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^{4}+1}}+\frac{1}{x\sqrt{x^{4}+1}}\)이고 \(x^{4}<x^{4}+1\)이므로$$x^{2}=\sqrt{x^{4}}<\sqrt{x^{4}+1},\,x^{3}<x\sqrt{x^{4}+1}$$이고$$\frac{1}{\sqrt{x^{4}+1}}<\frac{1}{x^{2}},\,\frac{1}{x\sqrt{x^{4}+1}}<\frac{1}{x^{3}}$$이다. 그러면$$\int_{1}^{\infty}{\frac{x+1}{x\sqrt{x^{4}+1}}dx}<\int_{1}^{\infty}{\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right)dx}=\left[-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^{2}}\right]_{1}^{\infty}=\frac{3}{2}$$이므로 따라서\(\displaystyle\int_{1}^{\infty}{\frac{x+1}{x\sqrt{x^{4}+1}}dx}\)은 수렴한다.

ㄴ: \(x>1\)에 대하여 부등식 \(x-1<\ln x\)가 성립한다. 그러면 \(x>1\)에 대하여$$\frac{1}{x-1}<\frac{1}{\ln x}$$이고$$\int_{2}^{\infty}{\frac{1}{x-1}dx}=\left[\ln|x-1|\right]_{2}^{\infty}=\infty$$이므로 \(\displaystyle\int_{2}^{\infty}{\frac{1}{\ln x}dx}\)는 발산한다.

ㄷ: \(\displaystyle0\leq x\leq\frac{\pi}{2}\)에서 \(0\leq\cos x\leq1\), \(0\leq\sin x\leq1\)이고 \(\sin^{2}x\leq\sin x\)이므로$$1-\sin x\leq1-\sin^{2}x=\cos^{2}x$$이고$$\sqrt{1-\sin x}\leq\sqrt{1-\sin^{2}x}=\sqrt{\cos^{2}x}=\cos x$$이다. 그러면 \(\displaystyle0\leq x\leq\frac{\pi}{2}\)에서$$\frac{1}{2}\sec x=\frac{1}{2\cos x}\leq\frac{1}{\cos x+\sqrt{1-\sin x}}$$이고$$\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sec xdx}=\frac{1}{2}\left[\ln|\sec x+\tan x|\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\infty$$이므로 따라서 \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{\cos x+\sqrt{1-\sin x}}dx}\)는 발산한다.

옳은 것은 ㄱ뿐이다.