2013학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 21번, 22번

2013학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 21번

21. 모든 항이 양수인 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}$이 수렴할 때, 수렴하는 급수만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

<보기> ㄱ. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1}a_{n}}$ ㄴ. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\sqrt{a_{n}^{2}+1}}$ ㄷ. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{(e^{a_{n}}-1)}$

풀이:

ㄱ: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1}a_{n}}$은 교대급수이고 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}$이 수렴하므로 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=0$이고 따라서 수렴한다.

ㄴ: $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sqrt{a_{n}^{2}+1}}=1\neq0$이므로 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\sqrt{a_{n}^{2}+1}}$은 발산한다.

ㄷ: 이 문제에서 가장 어려운(?) 선택지일 것이다. 양수 $x$에 대해서 부등식 $e^{x}-1>x$가 성립하기 때문에 어떻게 해야 할지 난감할 것이다. 그러나 평균값의 정리를 이용한다면 쉽게 해결할 수 있다. 함수 $f(x)=e^{x}$에 대해서 $x>0$일 때 $0<c<x$가 존재해서 $$e^{c}=f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{e^{x}-1}{x}$$ 이고 $$e^{x}-1=kx\,(k=e^{c}>0)$$ 이다. $a_{n}>0$이므로 위의 등식에 $x=a_{n}$을 대입하면 $e^{a_{n}}-1=ka_{n}$이고 $$\sum_{n=1}^{\infty}{(e^{a_{n}}-1)}=k\sum_{n-1}^{\infty}{a_{n}}$$ 이므로 따라서 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{(e^{a_{n}}-1)}$은 수렴한다.

옳은 것은 ㄱ, ㄷ뿐이다.   

22. 수렴하는 이상적분(특이적분, improper integral)만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

<보기> ㄱ. $\displaystyle\int_{1}^{\infty}{\frac{x+1}{x\sqrt{x^{4}+1}}dx}$ ㄴ. $\displaystyle\int_{2}^{\infty}{\frac{1}{\ln x}dx}$ ㄷ. $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{\cos x+\sqrt{1-\sin x}}dx}$

풀이:

ㄱ: $\displaystyle\frac{x+1}{x\sqrt{x^{4}+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^{4}+1}}+\frac{1}{x\sqrt{x^{4}+1}}$이고 $x^{4}<x^{4}+1$이므로 $$x^{2}=\sqrt{x^{4}}<\sqrt{x^{4}+1},\,x^{3}<x\sqrt{x^{4}+1}$$ 이고 $$\frac{1}{\sqrt{x^{4}+1}}<\frac{1}{x^{2}},\,\frac{1}{x\sqrt{x^{4}+1}}<\frac{1}{x^{3}}$$ 이다. 그러면 $$\int_{1}^{\infty}{\frac{x+1}{x\sqrt{x^{4}+1}}dx}<\int_{1}^{\infty}{\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right)dx}=\left[-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^{2}}\right]_{1}^{\infty}=\frac{3}{2}$$ 이므로 따라서$\displaystyle\int_{1}^{\infty}{\frac{x+1}{x\sqrt{x^{4}+1}}dx}$은 수렴한다.

ㄴ: $x>1$에 대하여 부등식 $x-1<\ln x$가 성립한다. 그러면 $x>1$에 대하여 $$\frac{1}{x-1}<\frac{1}{\ln x}$$ 이고 $$\int_{2}^{\infty}{\frac{1}{x-1}dx}=\left[\ln|x-1|\right]_{2}^{\infty}=\infty$$ 이므로 $\displaystyle\int_{2}^{\infty}{\frac{1}{\ln x}dx}$는 발산한다.

ㄷ: $\displaystyle0\leq x\leq\frac{\pi}{2}$에서 $0\leq\cos x\leq1$, $0\leq\sin x\leq1$이고 $\sin^{2}x\leq\sin x$이므로 $$1-\sin x\leq1-\sin^{2}x=\cos^{2}x$$ 이고 $$\sqrt{1-\sin x}\leq\sqrt{1-\sin^{2}x}=\sqrt{\cos^{2}x}=\cos x$$ 이다. 그러면 $\displaystyle0\leq x\leq\frac{\pi}{2}$에서 $$\frac{1}{2}\sec x=\frac{1}{2\cos x}\leq\frac{1}{\cos x+\sqrt{1-\sin x}}$$ 이고 $$\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sec xdx}=\frac{1}{2}\left[\ln|\sec x+\tan x|\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\infty$$ 이므로 따라서 $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{\cos x+\sqrt{1-\sin x}}dx}$는 발산한다.

옳은 것은 ㄱ뿐이다.