2018학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 3교시 전공 B 4번 문제풀이

2018학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 3교시 전공 B 4번 문제풀이

4. 정함수(entire function) $f(x)$가 모든 복소수 $z$에 대하여 부등식 $$|f(z)|\leq|e^{z}-1|$$ 을 만족시킨다. $f(1)=1$일 때, $f'(0)$의 값을 풀이과정과 함께 쓰시오. [4점]

※다음 정리는 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

<정 리> 양수 $r$에 대하여 영역 $\{z\in\mathbb{C}\,|\,0<|z-a|<r\}$에서 함수 $g(z)$가 해석적이고 유계이면 $\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,a}{g(z)}$가 존재하고 함수 $$h(z)=\begin{cases}g(z),\,&(0<|z-a|<r)\\ \displaystyle\lim_{w\,\rightarrow\,a}{g(w)},\,&(z=a)\end{cases}$$ 는 $z=a$에서 해석적이다.

풀이: 문제의 부등식에 $z=0$을 대입하면 $|e^{0}-1|=|1-1|=0$이므로 $$|f(0)|\leq0$$ 이고 따라서 $f(0)=0$이다. $$g(z)=\frac{f(z)}{e^{z}-1}\,(z\neq0)$$ 이라 하자. $f(z)$가 정함수이고 $e^{z}-1$도 정함수이므로 $g(z)$는 $z=0$을 제외한 복소평면 전체에서 정함수이다. 이때 문제의 부등식으로부터 $$|g(z)|=\left|\frac{f(z)}{e^{z}-1}\right|\leq1$$ 이므로 $g(z)$는 $z=0$을 제외한 복소평면 전체에서 유계이고 따라서 문제의 정리에 의해 $\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,0}{g(z)}$가 존재하고 함수 $$h(z)=\begin{cases}g(z),\,&(z\neq0)\\ \displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,0}{g(z)},\,&(z=0)\end{cases}$$ 는 $z=0$에서 해석적이고 따라서 $h(z)$는 정함수이다. $z\neq0$일 때 $$|h(z)|=\left|\frac{f(z)}{e^{z}-1}\right|\leq1$$ 이고 $h(0)$이 존재하므로 $h(z)$는 복소평면 전체에서 유계이고 리우빌의 정리에 의해 $h(z)$는 상수함수이다. 그러면 상수 $c$에 대하여 $z\neq0$일 때 $$\frac{f(z)}{e^{z}-1}=c$$ 이고 $$f(z)=c(e^{z}-1)\,(z\neq0)$$ 이다. 또한 $\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,0}{f(z)}=0=f(0)$이고 $f(1)=1$이므로 $$c(e^{1}-1)=c(e-1)=1$$ 이고 $\displaystyle c=\frac{1}{e-1}$, 따라서 모든 복소수 $z$에 대하여 $$f(z)=\frac{e^{z}-1}{e-1}$$ 이다. 그러면 $$f'(z)=\frac{e^{z}}{e-1}$$ 이고 $\displaystyle f'(0)=\frac{1}{e-1}$이다.