2018학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 3교시 전공 B 4번 문제풀이

2018학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 3교시 전공 B 4번 문제풀이

4. 정함수(entire function) \(f(x)\)가 모든 복소수 \(z\)에 대하여 부등식$$|f(z)|\leq|e^{z}-1|$$을 만족시킨다. \(f(1)=1\)일 때, \(f'(0)\)의 값을 풀이과정과 함께 쓰시오. [4점]

※다음 정리는 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

<정 리> 양수 \(r\)에 대하여 영역 \(\{z\in\mathbb{C}\,|\,0<|z-a|<r\}\)에서 함수 \(g(z)\)가 해석적이고 유계이면 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,a}{g(z)}\)가 존재하고 함수$$h(z)=\begin{cases}g(z),\,&(0<|z-a|<r)\\ \displaystyle\lim_{w\,\rightarrow\,a}{g(w)},\,&(z=a)\end{cases}$$는 \(z=a\)에서 해석적이다.

풀이: 문제의 부등식에 \(z=0\)을 대입하면 \(|e^{0}-1|=|1-1|=0\)이므로$$|f(0)|\leq0$$이고 따라서 \(f(0)=0\)이다.$$g(z)=\frac{f(z)}{e^{z}-1}\,(z\neq0)$$이라 하자. \(f(z)\)가 정함수이고 \(e^{z}-1\)도 정함수이므로 \(g(z)\)는 \(z=0\)을 제외한 복소평면 전체에서 정함수이다. 이때 문제의 부등식으로부터$$|g(z)|=\left|\frac{f(z)}{e^{z}-1}\right|\leq1$$이므로 \(g(z)\)는 \(z=0\)을 제외한 복소평면 전체에서 유계이고 따라서 문제의 정리에 의해 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,0}{g(z)}\)가 존재하고 함수$$h(z)=\begin{cases}g(z),\,&(z\neq0)\\ \displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,0}{g(z)},\,&(z=0)\end{cases}$$는 \(z=0\)에서 해석적이고 따라서 \(h(z)\)는 정함수이다. \(z\neq0\)일 때$$|h(z)|=\left|\frac{f(z)}{e^{z}-1}\right|\leq1$$이고 \(h(0)\)이 존재하므로 \(h(z)\)는 복소평면 전체에서 유계이고 리우빌의 정리에 의해 \(h(z)\)는 상수함수이다. 그러면 상수 \(c\)에 대하여 \(z\neq0\)일 때$$\frac{f(z)}{e^{z}-1}=c$$이고$$f(z)=c(e^{z}-1)\,(z\neq0)$$이다. 또한 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,0}{f(z)}=0=f(0)\)이고 \(f(1)=1\)이므로$$c(e^{1}-1)=c(e-1)=1$$이고 \(\displaystyle c=\frac{1}{e-1}\), 따라서 모든 복소수 \(z\)에 대하여$$f(z)=\frac{e^{z}-1}{e-1}$$이다. 그러면$$f'(z)=\frac{e^{z}}{e-1}$$이고 \(\displaystyle f'(0)=\frac{1}{e-1}\)이다.