2015학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 전공 A 서술형 3번 문제풀이

2015학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 전공 A 서술형 3번 문제풀이

3. 복소평면 \(\mathbb{C}\)에서 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 \(R\)인 반원을 \(C_{R}=\{Re^{it}\in\mathbb{C}\,|\,0\leq t\leq \pi\}\)라고 할 때, \(a>0\)과 \(b>0\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{C_{R}}{\frac{ze^{ibx}}{z^{2}+a^{2}}dz}}=0\)임을 보이고 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{xe^{ibx}}{x^{2}+a^{2}}dx}\)의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [5점]

풀이: 방정식 \(z^{2}+a^{2}=0\)의 해는 \(z=\pm ai\)이므로 \(z=\pi ai\)는 \(\displaystyle\frac{ze^{ibz}}{z^{2}+a^{2}}\)의 특이점이다. 이때 \(a>0\)이므로 \(z=ai\)는 영역 \(C_{R}\cup[-R,\,R]\)내부의 점이고 \(\displaystyle\text{Res}_{z=ai}{\frac{ze^{ibz}}{z^{2}+a^{2}}}=\frac{aie^{ibai}}{ai+ai}=\frac{1}{2}e^{-ab}\)이므로$$\int_{C_{R}}{\frac{ze^{ibz}}{z^{2}+a^{2}}dz}+\int_{-R}^{R}{\frac{xe^{ibx}}{x^{2}+a^{2}}dx}=2\pi i\left(\frac{1}{2}e^{-ab}\right)=\pi e^{-ab}i$$이다.

\(0<a<R\)이므로 삼각부등식에 의해 \(R^{2}-a^{2}=||z|^{2}-a^{2}|\leq|z^{2}+a^{2}|\)이므로 \(\displaystyle\frac{1}{|z^{2}+a^{2}|}\leq\frac{1}{R^{2}-a^{2}}\)이고 \(z=Re^{it}=R\cos t+iR\sin t\,(0\leq t\leq\pi)\)이므로 \(\displaystyle\left|\frac{ze^{ibz}}{z^{2}+a^{2}}\right|\leq\frac{Re^{-Rb\sin t}}{R^{2}-a^{2}}\)이고$$\left|\int_{C_{R}}{\frac{ze^{ibz}}{z^{2}+a^{2}}dz}\right|\leq\frac{R}{R^{2}-a^{2}}\int_{0}^{\pi}{e^{-Rb\sin t}dt}$$이다. 이때 조르단의 부등식에 의해$$\int_{0}^{\pi}{e^{-Rb\sin t}dt}<\frac{\pi}{Rb}$$이므로$$\left|\int_{C_{R}}{\frac{ze^{-ibz}}{z^{2}+a^{2}}dz}\right|<\frac{\pi}{b(R^{2}-a^{2})}$$이고 \(\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\pi}{b(R^{2}-a^{2})}}=0\)이므로 \(\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{C_{R}}{\frac{ze^{ibx}}{z^{2}+a^{2}}dz}}=0\)이다. 따라서 식$$\int_{C_{R}}{\frac{ze^{ibz}}{z^{2}+a^{2}}dz}+\int_{-R}^{R}{\frac{xe^{ibx}}{x^{2}+a^{2}}dx}=2\pi i\left(\frac{1}{2}e^{-ab}\right)=\pi e^{-ab}i$$에 극한 \(R\,\rightarrow\,\infty\)를 취하면 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{xe^{ibx}}{x^{2}+a^{2}}dx}=\pi e^{-ab}i\)를 얻는다.