2015학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 전공 A 서술형 3번 문제풀이

2015학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 전공 A 서술형 3번 문제풀이

3. 복소평면 $\mathbb{C}$에서 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $R$인 반원을 $C_{R}=\{Re^{it}\in\mathbb{C}\,|\,0\leq t\leq \pi\}$라고 할 때, $a>0$과 $b>0$에 대하여 $\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{C_{R}}{\frac{ze^{ibx}}{z^{2}+a^{2}}dz}}=0$임을 보이고 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{xe^{ibx}}{x^{2}+a^{2}}dx}$의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [5점]

풀이: 방정식 $z^{2}+a^{2}=0$의 해는 $z=\pm ai$이므로 $z=\pi ai$는 $\displaystyle\frac{ze^{ibz}}{z^{2}+a^{2}}$의 특이점이다. 이때 $a>0$이므로 $z=ai$는 영역 $C_{R}\cup[-R,\,R]$내부의 점이고 $\displaystyle\text{Res}_{z=ai}{\frac{ze^{ibz}}{z^{2}+a^{2}}}=\frac{aie^{ibai}}{ai+ai}=\frac{1}{2}e^{-ab}$이므로 $$\int_{C_{R}}{\frac{ze^{ibz}}{z^{2}+a^{2}}dz}+\int_{-R}^{R}{\frac{xe^{ibx}}{x^{2}+a^{2}}dx}=2\pi i\left(\frac{1}{2}e^{-ab}\right)=\pi e^{-ab}i$$ 이다.

$0<a<R$이므로 삼각부등식에 의해 $R^{2}-a^{2}=||z|^{2}-a^{2}|\leq|z^{2}+a^{2}|$이므로 $\displaystyle\frac{1}{|z^{2}+a^{2}|}\leq\frac{1}{R^{2}-a^{2}}$이고 $z=Re^{it}=R\cos t+iR\sin t\,(0\leq t\leq\pi)$이므로 $\displaystyle\left|\frac{ze^{ibz}}{z^{2}+a^{2}}\right|\leq\frac{Re^{-Rb\sin t}}{R^{2}-a^{2}}$이고 $$\left|\int_{C_{R}}{\frac{ze^{ibz}}{z^{2}+a^{2}}dz}\right|\leq\frac{R}{R^{2}-a^{2}}\int_{0}^{\pi}{e^{-Rb\sin t}dt}$$ 이다. 이때 조르단의 부등식에 의해 $$\int_{0}^{\pi}{e^{-Rb\sin t}dt}<\frac{\pi}{Rb}$$ 이므로 $$\left|\int_{C_{R}}{\frac{ze^{-ibz}}{z^{2}+a^{2}}dz}\right|<\frac{\pi}{b(R^{2}-a^{2})}$$ 이고 $\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\pi}{b(R^{2}-a^{2})}}=0$이므로 $\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{C_{R}}{\frac{ze^{ibx}}{z^{2}+a^{2}}dz}}=0$이다. 따라서 식 $$\int_{C_{R}}{\frac{ze^{ibz}}{z^{2}+a^{2}}dz}+\int_{-R}^{R}{\frac{xe^{ibx}}{x^{2}+a^{2}}dx}=2\pi i\left(\frac{1}{2}e^{-ab}\right)=\pi e^{-ab}i$$ 에 극한 $R\,\rightarrow\,\infty$를 취하면 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{xe^{ibx}}{x^{2}+a^{2}}dx}=\pi e^{-ab}i$를 얻는다.