2013학년도 중등교사 임용시험 수학 2차 2교시 4번 문제풀이

2013학년도 중등교사 임용시험 수학 2차 2교시 4번 문제풀이

(※LaTeX로 작성해서 스마트폰에서는 식이 제대로 보이지 않습니다)

 이 문제는 복소해석학과 해석학 문제이다. 먼저 복소해석학으로 $K(a,\,b)$를 구하고 나서 해석학에서의 함수열과 리만적분의 성질을 이용하여 함수열의 극한함수의 적분을 구하는 문제이다.

문제:

두 양수 $a,\,b$에 대하여 $$K(a,\,b)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{1}{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t}dt}$$ 를 구하시오. 그리고 실수 $x$에 대하여 $$s_{n}(x)=\sum_{m=1}^{n}{K(m,\,2m)|x|\cos(mx)},\,s(x)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{s_{n}(x)}$$ 라 할 때, $$\int_{-\pi}^{\pi}{s(x)dx}$$ 를 구하시오. [20점]

※아래 제시된 성질들은 필요하면 증명없이 사용할 수 있다.

성 질 (가) 복소평면에서 두 양수 $a,\,b$에 대하여 $C:\,z(t)=a\cos t+ib\sin t\,(0\leq t\leq 2\pi)$일 때,        $$\int_{C}{\frac{1}{z}dz}=2\pi i$$      이다. (나) $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{4}}}=\frac{\pi^{4}}{90}$$ (다) 자연수 $m$에 대하여 $$\int_{0}^{\pi}{x\cos(mx)dx}=\frac{(-1)^{m}-1}{m^{2}}$$      이다. (라) 구간 $I$와 함수열 $\{f_{n}\}$이 있다. 모든 자연수 $n$과 $x\in I$에 대하여 $|f_{n}(x)|\leq M_{n}$이고 급수 $$\sum_{n=1}^{\infty}{M_{n}}$$       이 수렴하면 함수급수 $$\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}$$       은 $I$에서 평등수렴(균등수렴, uniformly convergence)한다. (마) 닫힌구간 $[a,\,b]$에서 적분 가능한 함수열 $\{f_{n}\}$이 $f$로 평등수렴하면 $f$도 적분가능하고 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{f_{n}(x)dx}}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$       이다.

먼저 $K(a,\,b)$의 값부터 구하자. 그 전에 성질 (가)에 있는 곡선 $C$의 범위가 $0\leq t\leq 2\pi$로 되어있다. 곡선 $C$를 나타내는 식이 $z(t)=a\cos t+ib\sin t$이기 때문에 곡선 $C$의 매개변수 $t$의 범위를 $-\pi\leq t\leq\pi$로 바꾸어도 문제는 없고 따라서 성질 (가)는 곡선 $C$의 매개변수 $t$ 범위가 $-\pi\leq t\leq\pi$일 때에도 성립한다. $\frac{1}{z(t)}$의 분모를 실수화 하면 $$\frac{1}{z(t)}=\frac{\overline{z(t)}}{z(t)\overline{z(t)}}=\frac{a\cos t-ib\sin t}{(a\cos t+ib\sin t)(a\cos t-ib\sin t)}=\frac{a\cos t-ib\sin t}{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t}$$ 이다. 또한

$$z'(t)=\frac{dz(t)}{dt}=-a\sin t+ib\cos t$$ 이므로 $$\frac{1}{z(t)}\frac{dz(t)}{dt}=\frac{a\cos t-ib\sin t}{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t}(-a\sin t+ib\cos t)=\frac{(-a^{2}+b^{2})\sin t\cos t}{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t}+\frac{ab}{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t}i$$ 이다. 그러면 성질 (가)에 의해

$$\int_{C}{\frac{1}{z}dz}=\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{1}{z(t)}z'(t)dt}=(-a^{2}+b^{2})\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{\sin t\cos t}{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t}dt}+iab\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{1}{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t}dt}\\=iab\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{1}{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t}dt}=2\pi i$$ 이고 따라서 $$K(a,\,b)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{1}{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t}dt}=\frac{1}{ab}$$ 이다. 이렇게 해서 $K(a,\,b)$를 구했다. 그 다음으로 $s_{n}(x)$를 구해야 한다. $K(a,\,b)=\frac{1}{ab}$이므로 $K(m,\,2m)=\frac{1}{2m^{2}}$이고 $$s_{n}(x)=\sum_{m=1}^{n}{K(m,\,2m)|x|\cos(mx)}=\sum_{m=1}^{n}{\frac{|x|\cos(mx)}{2m^{2}}}$$ 이다. 이때 $x\in[-\pi,\,\pi]$에 대하여 $|x|\leq\pi,\,|\cos(mx)|\leq1$이므로 $$\left\lvert\frac{x\cos(mx)}{2m^{2}}\right\rvert\leq\frac{\pi}{2m^{2}}$$ 이고 급수 $$\frac{\pi}{2}\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{1}{m^{2}}}$$ 는 수렴하는 급수이므로 따라서 성질 (라)에 의해 함수열 $s_{n}(x)$는 구간 $[-\pi,\,\pi]$에서 $s(x)$로 균등수렴(평등수렴)한다. 또한 $s_{n}(x)$는 $[-\pi,\,\pi]$에서 적분가능하므로 성질 (마)에 의해 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{-\pi}^{\pi}{s_{n}(x)dx}}=\int_{-\pi}^{\pi}{s(x)dx}$$ 이 성립한다. 그러면 $s_{n}(x)$를 $x=-\pi$에서 $x=\pi$까지 정적분하고 이 적분값에 극한 $n\,\rightarrow\,\infty$을 취하기만 하면 끝난다. 

$$\int_{-\pi}^{\pi}{s_{n}(x)dx}=\sum_{m=1}^{n}{\frac{1}{2m^{2}}\int_{-\pi}^{\pi}{|x|\cos(mx)dx}}$$ 이고 이때$|x|\cos(mx)$는 우함수이므로 성질 (다)에 의해 $$\int_{-\pi}^{\pi}{|x|\cos(mx)dx}=2\int_{0}^{\pi}{x\cos(mx)dx}=2\frac{(-1)^{m}-1}{m^{2}}$$ 이고 따라서 $$\int_{-\pi}^{\pi}{s_{n}(x)dx}=\sum_{m=1}^{n}{\frac{(-1)^{m}-1}{m^{4}}}$$ 이다. 이 적분값에 극한 $n\,\rightarrow\,\infty$을 취하면 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{-\pi}^{\pi}{s_{n}(x)dx}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{m=1}^{n}{\frac{(-1)^{m}-1}{m^{4}}}}=\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{m}-1}{m^{4}}}$$ 이다. 여기서 $m$이 홀수일 때, $(-1)^{m}-1=-1-1=-2$이고, 짝수일 때, $(-1)^{m}-1=1-1=0$이므로 급수 $$\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{m}-1}{m^{4}}}$$ 는 수열 $\{\frac{1}{m^{4}}\}$의 홀수 항들만의 합에 $(-2)$를 곱한 값이다. 그렇다면 먼저 수열 $\{\frac{1}{m^{4}}\}$의 짝수 항들만의 합을 구하고 급수 $$\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{1}{m^{4}}}$$ 를 짝수 항들만의 합과 빼서 남은 홀수 항들만의 합에 $-2$를 곱하면 끝이다.

성질 (나)에 의해 짝수항들만의 합은 $$\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{1}{(2m)^{4}}}=\frac{1}{2^{4}}\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{1}{m^{4}}}=\frac{1}{16}\times\frac{\pi^{4}}{90}$$ 이고 따라서 홀수항들만의 합은

$$\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{1}{m^{4}}}-\frac{1}{16}\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{1}{m^{4}}}=\frac{15}{16}\times\frac{\pi^{4}}{90}=\frac{\pi^{4}}{96}$$ 이다. 이제 답이 구해졌다! 따라서

$$\int_{-\pi}^{\pi}{s(x)dx}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{-\pi}^{\pi}{s_{n}(x)dx}}=\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{m}-1}{m^{4}}}=(-2)\frac{\pi^{4}}{96}=-\frac{\pi^{4}}{48}$$ 이다.

참고

1. 성질 (라)는 바이어슈트라스 M-판정법(Weirestrass M-test)이다.

2. 성질 (마)는 적분이 리만적분일 때 구간 $[a,\,b]$에서 함수열 $\{f_{n}\}$이 $f$로 균등수렴(평등수렴)하는 경우에 한해서 아래의 등식이 성립함을 보여주는 정리이다.

    $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{f_{n}(x)dx}}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$