2013학년도 중등교사 임용시험 수학 2차 2교시 4번 문제풀이

2013학년도 중등교사 임용시험 수학 2차 2교시 4번 문제풀이

(※LaTeX로 작성해서 스마트폰에서는 식이 제대로 보이지 않습니다)

 이 문제는 복소해석학과 해석학 문제이다. 먼저 복소해석학으로 \(K(a,\,b)\)를 구하고 나서 해석학에서의 함수열과 리만적분의 성질을 이용하여 함수열의 극한함수의 적분을 구하는 문제이다.

문제:

두 양수 \(a,\,b\)에 대하여 $$K(a,\,b)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{1}{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t}dt}$$를 구하시오. 그리고 실수 \(x\)에 대하여 $$s_{n}(x)=\sum_{m=1}^{n}{K(m,\,2m)|x|\cos(mx)},\,s(x)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{s_{n}(x)}$$라 할 때, $$\int_{-\pi}^{\pi}{s(x)dx}$$를 구하시오. [20점]

※아래 제시된 성질들은 필요하면 증명없이 사용할 수 있다.

성 질 (가) 복소평면에서 두 양수 \(a,\,b\)에 대하여 \(C:\,z(t)=a\cos t+ib\sin t\,(0\leq t\leq 2\pi)\)일 때,        $$\int_{C}{\frac{1}{z}dz}=2\pi i$$      이다. (나) $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{4}}}=\frac{\pi^{4}}{90}$$ (다) 자연수 \(m\)에 대하여 $$\int_{0}^{\pi}{x\cos(mx)dx}=\frac{(-1)^{m}-1}{m^{2}}$$      이다. (라) 구간 \(I\)와 함수열 \(\{f_{n}\}\)이 있다. 모든 자연수 \(n\)과 \(x\in I\)에 대하여 \(|f_{n}(x)|\leq M_{n}\)이고 급수$$\sum_{n=1}^{\infty}{M_{n}}$$       이 수렴하면 함수급수 $$\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}$$       은 \(I\)에서 평등수렴(균등수렴, uniformly convergence)한다. (마) 닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 적분 가능한 함수열 \(\{f_{n}\}\)이 \(f\)로 평등수렴하면 \(f\)도 적분가능하고$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{f_{n}(x)dx}}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$       이다.

먼저 \(K(a,\,b)\)의 값부터 구하자. 그 전에 성질 (가)에 있는 곡선 \(C\)의 범위가 \(0\leq t\leq 2\pi\)로 되어있다. 곡선 \(C\)를 나타내는 식이 \(z(t)=a\cos t+ib\sin t\)이기 때문에 곡선 \(C\)의 매개변수 \(t\)의 범위를 \(-\pi\leq t\leq\pi\)로 바꾸어도 문제는 없고 따라서 성질 (가)는 곡선 \(C\)의 매개변수 \(t\) 범위가 \(-\pi\leq t\leq\pi\)일 때에도 성립한다. \(\frac{1}{z(t)}\)의 분모를 실수화 하면$$\frac{1}{z(t)}=\frac{\overline{z(t)}}{z(t)\overline{z(t)}}=\frac{a\cos t-ib\sin t}{(a\cos t+ib\sin t)(a\cos t-ib\sin t)}=\frac{a\cos t-ib\sin t}{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t}$$이다. 또한

$$z'(t)=\frac{dz(t)}{dt}=-a\sin t+ib\cos t$$이므로$$\frac{1}{z(t)}\frac{dz(t)}{dt}=\frac{a\cos t-ib\sin t}{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t}(-a\sin t+ib\cos t)=\frac{(-a^{2}+b^{2})\sin t\cos t}{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t}+\frac{ab}{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t}i$$이다. 그러면 성질 (가)에 의해

$$\int_{C}{\frac{1}{z}dz}=\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{1}{z(t)}z'(t)dt}=(-a^{2}+b^{2})\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{\sin t\cos t}{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t}dt}+iab\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{1}{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t}dt}\\=iab\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{1}{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t}dt}=2\pi i$$이고 따라서$$K(a,\,b)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{1}{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\sin^{2}t}dt}=\frac{1}{ab}$$이다. 이렇게 해서 \(K(a,\,b)\)를 구했다. 그 다음으로 \(s_{n}(x)\)를 구해야 한다. \(K(a,\,b)=\frac{1}{ab}\)이므로 \(K(m,\,2m)=\frac{1}{2m^{2}}\)이고$$s_{n}(x)=\sum_{m=1}^{n}{K(m,\,2m)|x|\cos(mx)}=\sum_{m=1}^{n}{\frac{|x|\cos(mx)}{2m^{2}}}$$이다. 이때 \(x\in[-\pi,\,\pi]\)에 대하여 \(|x|\leq\pi,\,|\cos(mx)|\leq1\)이므로 $$\left\lvert\frac{x\cos(mx)}{2m^{2}}\right\rvert\leq\frac{\pi}{2m^{2}}$$이고 급수$$\frac{\pi}{2}\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{1}{m^{2}}}$$는 수렴하는 급수이므로 따라서 성질 (라)에 의해 함수열 \(s_{n}(x)\)는 구간 \([-\pi,\,\pi]\)에서 \(s(x)\)로 균등수렴(평등수렴)한다. 또한 \(s_{n}(x)\)는 \([-\pi,\,\pi]\)에서 적분가능하므로 성질 (마)에 의해$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{-\pi}^{\pi}{s_{n}(x)dx}}=\int_{-\pi}^{\pi}{s(x)dx}$$이 성립한다. 그러면 \(s_{n}(x)\)를 \(x=-\pi\)에서 \(x=\pi\)까지 정적분하고 이 적분값에 극한 \(n\,\rightarrow\,\infty\)을 취하기만 하면 끝난다. 

$$\int_{-\pi}^{\pi}{s_{n}(x)dx}=\sum_{m=1}^{n}{\frac{1}{2m^{2}}\int_{-\pi}^{\pi}{|x|\cos(mx)dx}}$$이고 이때\(|x|\cos(mx)\)는 우함수이므로 성질 (다)에 의해$$\int_{-\pi}^{\pi}{|x|\cos(mx)dx}=2\int_{0}^{\pi}{x\cos(mx)dx}=2\frac{(-1)^{m}-1}{m^{2}}$$이고 따라서$$\int_{-\pi}^{\pi}{s_{n}(x)dx}=\sum_{m=1}^{n}{\frac{(-1)^{m}-1}{m^{4}}}$$이다. 이 적분값에 극한 \(n\,\rightarrow\,\infty\)을 취하면$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{-\pi}^{\pi}{s_{n}(x)dx}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{m=1}^{n}{\frac{(-1)^{m}-1}{m^{4}}}}=\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{m}-1}{m^{4}}}$$이다. 여기서 \(m\)이 홀수일 때, \((-1)^{m}-1=-1-1=-2\)이고, 짝수일 때, \((-1)^{m}-1=1-1=0\)이므로 급수$$\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{m}-1}{m^{4}}}$$는 수열 \(\{\frac{1}{m^{4}}\}\)의 홀수 항들만의 합에 \((-2)\)를 곱한 값이다. 그렇다면 먼저 수열 \(\{\frac{1}{m^{4}}\}\)의 짝수 항들만의 합을 구하고 급수$$\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{1}{m^{4}}}$$를 짝수 항들만의 합과 빼서 남은 홀수 항들만의 합에 \(-2\)를 곱하면 끝이다.

성질 (나)에 의해 짝수항들만의 합은$$\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{1}{(2m)^{4}}}=\frac{1}{2^{4}}\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{1}{m^{4}}}=\frac{1}{16}\times\frac{\pi^{4}}{90}$$이고 따라서 홀수항들만의 합은

$$\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{1}{m^{4}}}-\frac{1}{16}\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{1}{m^{4}}}=\frac{15}{16}\times\frac{\pi^{4}}{90}=\frac{\pi^{4}}{96}$$이다. 이제 답이 구해졌다! 따라서

$$\int_{-\pi}^{\pi}{s(x)dx}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{-\pi}^{\pi}{s_{n}(x)dx}}=\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{m}-1}{m^{4}}}=(-2)\frac{\pi^{4}}{96}=-\frac{\pi^{4}}{48}$$이다.

참고

1. 성질 (라)는 바이어슈트라스 M-판정법(Weirestrass M-test)이다.

2. 성질 (마)는 적분이 리만적분일 때 구간 \([a,\,b]\)에서 함수열 \(\{f_{n}\}\)이 \(f\)로 균등수렴(평등수렴)하는 경우에 한해서 아래의 등식이 성립함을 보여주는 정리이다.

   $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{f_{n}(x)dx}}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$