2014학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 전공 A 서술형 4번 문제풀이

2014학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 전공 A 서술형 4번 문제풀이

4. 연속함수 \(f:\,[0,\,1]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)에 대해 집합 \(\{f(x)\,|\,x\in[0,\,1]\}\)의 상한(최소상계, supremum, least upper bound) \(M\)이 존재한다. <정리 1>을 증명 없이 이용하여 \(f(x^{*})=M\)을 만족하는 \(x^{*}\in[0,\,1]\)이 존재함을 증명하시오. [4점]

<정리 1> 유계인 실수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다.

풀이:  함수 \(f\)는 구간 \([0,\,1]\)에서 연속이므로 최대-최소 정리로부터 최댓값과 최솟값을 갖는데 집합 \(\{f(x)\,|\,x\in[0,\,1]\}\)의 상한이 존재하고 그 상한이 \(M\)이므로 \(M\)은 함수 \(f\)의 최댓값이다.

구간 \([0,\,1]\)상의 임의의 수열 \(\{x_{n}\}\)에 대하여 \(f\)가 연속함수이므로 \(\{f(x_{n})\}\)은 유계이고 따라서 정리1에 의해 \(M\)으로 수렴하는 부분수열 \(\{f(x_{n_{k}})\}\)을 갖는다. 그러면 \(x_{n_{k}}\)가 \(f(x^{*})=M\)인 \(M\)으로 수렴함을 보이면 된다.

\(\{x_{n_{k}}\}\)가 \(x^{*}\)로 수렴하지 않는다고 하자. 그러면 \(\{f(x_{n_{k}}\})\)는 \(M\)으로 수렴하지 않게 되고 이는 모순이다. 따라서 \(\{x_{n_{k}}\}\)는 \(x^{*}\)로 수렴한다.

*모자란 답안이니 조금 더 보완해야 할 방법을 댓글로 달아 주세요.