2018학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 전공 A 11번 문제풀이

2018학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 전공 A 11번 문제풀이

11. \(f(0)=f'(0)=0\)인 함수 \(f:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)에 대하여 함수 \(g\)를$$g(x)=\begin{cases}\displaystyle f(x)\cos\left(\frac{1}{x^{2}}\right),\,&(x\neq0)\\0,\,&(x=0)\end{cases}$$이라 하자. 함수 \(g\)가 \(x=0\)에서 미분가능함을 보이고, \(g'(0)\)의 값을 구하시오. [4점]

풀이: \(f(0)=f'(0)=0\)이므로 함수 \(f\)는 \(x=0\)에서 연속이며 미분가능하다. 그러므로$$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{f(x)}=f(0)=0$$이고$$f'(0)=\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x)}{x}}=0$$이다.$$\left|f(x)\cos\left(\frac{1}{x^{2}}\right)\right|\leq|f(x)|$$이고$$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{|f(x)|}=0$$이므로$$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{g(x)}=\lim_{x\,\rightarrow\,0}{f(x)\cos\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}=0$$이고$$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{g(x)}=0=g(0)$$이므로 \(g\)는 \(x=0\)에서 연속이다. 이제 \(g\)가 \(x=0\)에서 미분가능함을 보이자. \(x\neq0\)일 때$$\frac{g(x)-g(0)}{x}=\frac{g(x)}{x}=\frac{f(x)}{x}\cos\left(\frac{1}{x^{2}}\right)$$이고$$\left|\frac{f(x)}{x}\cos\left(\frac{1}{x^{2}}\right)\right|\leq\left|\frac{f(x)}{x}\right|,\,\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x)}{x}}=0$$이므로 $$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{g(x)}{x}}=0$$이고 이는 \(g\)가 \(x=0\)에서 미분가능하고 \(g'(0)=0\)임을 뜻한다.