2018학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 전공 A 11번 문제풀이

2018학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 전공 A 11번 문제풀이

11. $f(0)=f'(0)=0$인 함수 $f:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$에 대하여 함수 $g$를 $$g(x)=\begin{cases}\displaystyle f(x)\cos\left(\frac{1}{x^{2}}\right),\,&(x\neq0)\\0,\,&(x=0)\end{cases}$$ 이라 하자. 함수 $g$가 $x=0$에서 미분가능함을 보이고, $g'(0)$의 값을 구하시오. [4점]

풀이: $f(0)=f'(0)=0$이므로 함수 $f$는 $x=0$에서 연속이며 미분가능하다. 그러므로 $$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{f(x)}=f(0)=0$$ 이고 $$f'(0)=\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x)}{x}}=0$$ 이다. $$\left|f(x)\cos\left(\frac{1}{x^{2}}\right)\right|\leq|f(x)|$$ 이고 $$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{|f(x)|}=0$$ 이므로 $$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{g(x)}=\lim_{x\,\rightarrow\,0}{f(x)\cos\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}=0$$ 이고 $$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{g(x)}=0=g(0)$$ 이므로 $g$는 $x=0$에서 연속이다. 이제 $g$가 $x=0$에서 미분가능함을 보이자. $x\neq0$일 때 $$\frac{g(x)-g(0)}{x}=\frac{g(x)}{x}=\frac{f(x)}{x}\cos\left(\frac{1}{x^{2}}\right)$$ 이고 $$\left|\frac{f(x)}{x}\cos\left(\frac{1}{x^{2}}\right)\right|\leq\left|\frac{f(x)}{x}\right|,\,\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x)}{x}}=0$$ 이므로 $$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{g(x)}{x}}=0$$ 이고 이는 $g$가 $x=0$에서 미분가능하고 $g'(0)=0$임을 뜻한다.