2012학년도 중등교사 임용시험 수학 2차 1교시 2번 문제풀이

2012학년도 중등교사 임용시험 수학 2차 1교시 2번 문제풀이

2. 아래의 명제는 함수의 극소, 곡선의 볼록, 급수의 수렴에 대한 성질을 나타낸다. 테일러(Taylor)정리를 이용하여 명제 (I), (II), (III)이 참임을 각각 증명하시오. [20점]

실수 전체의 집합을 $\mathbb{R}$라 하고 $(a,\,b)$를 $\mathbb{R}$의 열린 구간이라 하자. (I) 함수 $f:\,(a,\,b)\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 $a,\,b$에서 $C^{4}$급 함수이고 $c\in(a,\,b)$에 대하여 $f'(c)=f''(c)=f^{(3)}(c)=0,\,f^{(4)}(c)>0$이면, $f$는 $x=c$에서 극솟값(local minimum)을 갖는다. (II) 함수 $f:\,(a,\,b)\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 $(a,\,b)$에서 2계도함수를 갖고 모든 $x\in(a,\,b)$에 대하여 $f''(x)\geq0$이면, $f$는 $(a,\,b)$에서 볼록함수(convex function)이다. (III) 함수 $f:\,(a,\,b)\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 $(a,\,b)$에서 $C^{\infty}$급 함수이고 $c\in(a,\,b)$라 하자. 임의의 자연수 $k$에 대하여 모든 $t\in(a,\,b)$에서 $\left|f^{(k)}(t)\right|\leq2^{k}$이면, 임의의 $x\in(a,\,b)$에 대하여 다음 식이 성립한다. $$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^{k}}$$

※아래의 정리는 증명 없이 사용한다.

테일러 정리 함수 $f:\,(a,\,b)\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 $(a,\,b)$에서 $(n+1)$계도함수 $f^{(n+1)}$을 가질 때, $c\in(a,\,b)$에 대하여 $p_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^{k}}$이라 하자. 그러면 임의의 $x\in(a,\,b)$에 대하여 다음 식을 만족하는 점 $t_{x}$가 $x$와 $c$ 사이에 존재한다. $$f(x)=p_{n}(x)+\frac{f^{(n+1)}(t_{x})}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}$$  참고 ○ 함수 $f:\,(a,\,b)\,\rightarrow\,\mathbb{R}$이 자연수 $n$에 대하여 $(a,\,b)$에서 $C^{n}$급 함수라는 것은 $(a,\,b)$에서 $n$계도함수 $f^{(n)}$이 존재하고 $f^{(n)}$이 연속임을 뜻한다. ○ 함수 $f:\,(a,\,b)\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 $0\leq t\leq1$을 만족하는 임의의 실수 $t$와 $(a,\,b)$의 두 점 $x_{1},\,x_{2}$에 대하여 다음을 만족하면 $f$를 $(a,\,b)$에서 볼록함수라 한다. $$f((1-t)x_{1}+tx_{2})\leq(1-t)f(x_{1})+tf(x_{2})$$ ○ 함수 $f:\,(a,\,b)\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 $(a,\,b)$가 $C^{\infty}$급 함수라는 것은 모든 자연수 $n$에 대하여 $(a,\,b)$에서 $n$계도함수 $f^{(n)}$이 존재하고 $f^{(n)}$이 연속임을 뜻한다.

풀이:

(I) 함수 $f:\,(a,\,b)\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 $a,\,b$에서 $C^{4}$급 함수이고 $c\in(a,\,b)$에 대하여 $f'(c)=f''(c)=f^{(3)}(c)=0,\,f^{(4)}(c)>0$이므로 테일러 정리에 의해 모든 $x\in(a,\,b)$에 대하여 $t_{x}$가 $x$와 $c$사이에 존재하여 $$f(x)=p_{3}(x)+\frac{f^{(4)}(t_{x})}{4!}(x-c)^{4}=f(c)+\frac{f^{(4)}(t_{x})}{4!}(x-c)^{4}$$ 이다. 그러면 $$f'(x)=\frac{f^{(4)}(t_{x})}{3!}(x-c)^{3},\,f''(x)=\frac{f^{(4)}(t_{x})}{2!}(x-c)^{2},\,f^{(3)}(x)=f^{(4)}(t_{x})(x-c),\,f^{(4)}(x)=f^{(4)}(t_{x})$$ 이다. $f^{(4)}(x)$는 상수함수이고 $f^{(4)}(c)>0$이므로 $f^{(4)}(t_{x})=f^{(4)}(c)>0$이다. 이 사실로부터 $$f(x)=f(c)+\frac{f^{(4)}(c)}{4!}(x-c)^{4}$$ 이고 $x<c$에서 $f'(x)<0$, $x>c$에서 $f'(x)>0$이므로 따라서 함수 $f$는 $x=c$에서 극소이다.

(2) 함수 $f:\,(a,\,b)\,\rightarrow\,\mathbb{R}$이 이계도함수를 가지므로 테일러 정리에 의해 모든 $x\in(a,\,b)$에 대하여 $t_{x}$가 $x$와 $c$사이에 존재하여 $$f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+\frac{f''(t_{x})}{2}(x-c)^{2}$$ 이다. 모든 $x\in(a,\,b)$에 대하여 $f''(x)\geq0$이므로 $$\frac{f''(t_{x})}{2}(x-c)^{2}=f(x)-f(c)-f'(c)(x-c)\geq0$$ 이고 따라서 $f(x)\geq f(c)+f'(c)(x-c)$이다.

$x_{1},\,x_{2}\in(a,\,b),\,0\leq t\leq 1$이라 하고 $x=x_{1},\,c=(1-t)x_{1}+tx_{2}$라 하자. 그러면 $$f(x_{1})\geq f(c)+f'(c)(x_{1}-c)=f(c)+f'(c)t(x_{1}-x_{2})\,\,(a)$$ 이다. $x=x_{2},\,c=(1-t)x_{1}+tx_{2}$라 하면 $$f(x_{2})\geq f(c)+f'(c)(x_{2}-c)=f(c)+f'(c)(1-t)(x_{2}-x_{1})\,\,(b)$$ 이다. 부등식 $(a)$의 각 변에 $(1-t)\geq0$을 곱하고 $(b)$의 각 변에 $t\geq 0$을 곱하면 $$(1-t)f(x_{1})\geq(1-t)f(c)+f'(c)t(1-t)(x_{1}-x_{2})\\tf(x_{2})\geq tf(c)+f'(c)t(1-t)(x_{2}-x_{1})$$ 이므로 이 두 부등식의 각 변을 서로 더하면 부등식 $$(1-t)f(x_{1})+tf(x_{2})\geq f((1-t)x_{1}+tx_{2})$$ 를 얻고 따라서 함수 $f$는 볼록함수이다.

(3) 테일러 정리로부터 $$\left|f(x)-\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(c)}{k!}}(x-c)^{k}\right|=|f(x)-p_{n}(x)|=\frac{|f^{(n+1)}(t_{x})|}{(n+1)!}|x-c|^{n+1}$$ 이다. 가정으로부터 모든 자연수 $n$과 $c\in(a,\,b)$에 대하여 $|f^{(n+1)}(c)|\leq 2^{n+1}$이므로 $$|f(x)-p_{n}(x)|\leq\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}|x-c|^{n+1}\leq\frac{\{2(b-a)\}^{n+1}}{(n+1)!}$$ 이다. 이때 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{(2(b-a))^{n+1}}{(n+1)!}}=0$$ 이므로 따라서 $$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{f^{(k)}(c)}{k!}}(x-c)^{k}$$ 이다.