2010학년도 중등교사 임용시험 수학 2차 2교시 3번 문제풀이

2010학년도 중등교사 임용시험 수학 2차 2교시 3번 문제풀이

※본인은 수학과 학부생이나 교직을 전공하지 않은 관계로 전공에 대한 풀이만 올렸습니다.

3. 다음은 실수 $e$에 관한 세 교사의 대화이다. 물음에 답하시오. [30점]

김 교사: 실수 $e$가 무리수임을 무한급수를 이용해 보일 수 있습니다. $\displaystyle\small\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}$으로 정의되는 수 $e$가 무리수임을 증명하려면 먼저 $\displaystyle\small\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}$이 수렴함을 보여야 합니다. 한편 무한급수 $\displaystyle\small\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$이 수렴하고 그 합이 $e$와 같음을 보일 수 있습니다. 이 사실에 귀류법을 적용하면 (1) $e$가 무리수임을 증명할 수 있습니다. 정 교사: 실수 $e$와 관련된 내용 중, 표준정규분포의 확률밀도함수에 대한 특이적분(improper integral) (2)$\displaystyle\small\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}dx}=1$을 이중적분(double integral)의 성질을 사용하여 증명할 수 있습니다. -중략-

3-1. 김 교사와 정 교사가 제시한 방법에 따라 (1)과 (2)를 각각 증명하시오. [20점]

풀이:

(김 교사의 방법): $\displaystyle s_{n}=\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}}$이라고 하자. $$0<e-s_{n}=\sum_{k=n+1}^{\infty}{\frac{1}{k!}}=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots<\frac{1}{(n+1)!}\left\lbrace1+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\cdots\right\rbrace=\frac{1}{n!n}$$ 이므로 $$0<e-s_{n}<\frac{1}{n!n}$$ 이다. $e$를 유리수라고 하자. 그러면 $e=\frac{q}{p}(p,\,q\in\mathbb{N})$이고 $$0<p!(e-s_{p})<\frac{1}{p}$$ 이며 또한 $$p!e=q(p-1)!,\,p!s_{n}=\sum_{k=0}^{p}{k!}$$ 이므로 $p!(e-s_{p})$는 정수이다. 그러나 $p\geq1$이므로 $0$과 $\frac{1}{p}$사이에는 정수가 존재할수가 없기 때문에 모순이다. 따라서 $e$는 무리수이다.

(정 교사의 방법): $$I=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}}dx}$$ 라고 하자. 그러면 $$I=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}}dx}=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-y^{2}}dy}$$ 이고 $$I^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-(x^{2}+y^{2})}dx}dy}$$ 이다.

$x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta\,(r>0,\,0\leq\theta\leq2\pi)$라 하면 $$I^{2}=\int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{\infty}{re^{-r^{2}}dr}d\theta}=\pi$$ 이므로 $$\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}}dx}=\sqrt{\pi}$$ 이다. $x=\frac{1}{\sqrt{2}}t$로 놓고 치환적분을 하면 $$\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt}=\sqrt{\pi}$$ 이므로 따라서 $$\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx}=1$$ 이다.