2010학년도 중등교사 임용시험 수학 2차 2교시 3번 문제풀이

2010학년도 중등교사 임용시험 수학 2차 2교시 3번 문제풀이

※본인은 수학과 학부생이나 교직을 전공하지 않은 관계로 전공에 대한 풀이만 올렸습니다.

3. 다음은 실수 \(e\)에 관한 세 교사의 대화이다. 물음에 답하시오. [30점]

김 교사: 실수 \(e\)가 무리수임을 무한급수를 이용해 보일 수 있습니다. \(\displaystyle\small\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\)으로 정의되는 수 \(e\)가 무리수임을 증명하려면 먼저 \(\displaystyle\small\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\)이 수렴함을 보여야 합니다. 한편 무한급수 \(\displaystyle\small\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}\)이 수렴하고 그 합이 \(e\)와 같음을 보일 수 있습니다. 이 사실에 귀류법을 적용하면 (1) \(e\)가 무리수임을 증명할 수 있습니다. 정 교사: 실수 \(e\)와 관련된 내용 중, 표준정규분포의 확률밀도함수에 대한 특이적분(improper integral) (2)\(\displaystyle\small\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}dx}=1\)을 이중적분(double integral)의 성질을 사용하여 증명할 수 있습니다. -중략-

3-1. 김 교사와 정 교사가 제시한 방법에 따라 (1)과 (2)를 각각 증명하시오. [20점]

풀이:

(김 교사의 방법): \(\displaystyle s_{n}=\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}}\)이라고 하자.$$0<e-s_{n}=\sum_{k=n+1}^{\infty}{\frac{1}{k!}}=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots<\frac{1}{(n+1)!}\left\lbrace1+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\cdots\right\rbrace=\frac{1}{n!n}$$이므로$$0<e-s_{n}<\frac{1}{n!n}$$이다. \(e\)를 유리수라고 하자. 그러면 \(e=\frac{q}{p}(p,\,q\in\mathbb{N})\)이고$$0<p!(e-s_{p})<\frac{1}{p}$$이며 또한$$p!e=q(p-1)!,\,p!s_{n}=\sum_{k=0}^{p}{k!}$$이므로 \(p!(e-s_{p})\)는 정수이다. 그러나 \(p\geq1\)이므로 \(0\)과 \(\frac{1}{p}\)사이에는 정수가 존재할수가 없기 때문에 모순이다. 따라서 \(e\)는 무리수이다.

(정 교사의 방법):$$I=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}}dx}$$라고 하자. 그러면$$I=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}}dx}=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-y^{2}}dy}$$이고$$I^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-(x^{2}+y^{2})}dx}dy}$$이다.

\(x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta\,(r>0,\,0\leq\theta\leq2\pi)\)라 하면$$I^{2}=\int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{\infty}{re^{-r^{2}}dr}d\theta}=\pi$$이므로 $$\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}}dx}=\sqrt{\pi}$$이다. \(x=\frac{1}{\sqrt{2}}t\)로 놓고 치환적분을 하면$$\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt}=\sqrt{\pi}$$이므로 따라서$$\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx}=1$$이다.