2011학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 23번, 2012학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 23번

2011학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 23번, 2012학년도 중등교사 임용시험 수학 1차 2교시 23번

2011학년도 1차 2교시 23번 문제:

함수 $f:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 $$f(x)=\int_{1+2x}^{1-2x}{(1-t^{3}\sqrt{1+3t^{2}})dt}$$ 로 정의할 때 $f'(0)$의 값은?(단, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합이다.)

풀이: $g(t)=1-t^{3}\sqrt{1+3t^{2}}$라고 하면 $g(t)$는 연속함수이므로 그 부정적분을 $G(t)$라고 하면 $G'(t)=g(t)=1-t^{3}\sqrt{1+3t^{2}}$이고 $$f(x)=G(1-2x)-G(1+2x)$$ 이다. 그러면 $$\begin{align*}f'(x)&=-2G'(1-2x)-2G'(1+2x)\\&=-2g(1-2x)-2g(1+2x)\end{align*}$$ 이고 따라서 $$\begin{align*} f'(0)&=-2g(1)-2g(1)=-4g(1)\\&=-4\cdot(-1)=4\end{align*}$$ 이다.

2012학년도 1차 2교시 23번 문제:

양의 실수 $t$에 대하여 함수 $f$를 $$f(t)=\int_{0}^{\sqrt{t}}{\int_{y}^{\sqrt{t}}{\frac{1}{2+\sin(x^{2})}dx}dy}$$ 로 정의할 때, $\displaystyle f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$의 값은?

풀이: $\displaystyle g(x)=\frac{1}{2+\sin(x^{2})}$라고 하면 $g(x)$는 연속함수이므로 그 부정적분을 $G(x)$라고 하면 $\displaystyle G'(x)=g(x)=\frac{1}{2+\sin(x^{2})}$이고 $$\int_{y}^{\sqrt{t}}{g(x)dx}=G(\sqrt{t})-G(y)$$ 이므로 $$\begin{align*} f(t)&=\int_{0}^{\sqrt{t}}{\{G(\sqrt{t})-G(y)\}dy}\\&=\sqrt{t}G(\sqrt{t})-\int_{0}^{\sqrt{t}}{G(y)dy}\end{align*}$$ 이다. 그러면 $$\begin{align*}f'(t)&=\frac{1}{2\sqrt{t}}G(\sqrt{t})+\frac{1}{2}g(\sqrt{t})-\frac{1}{2\sqrt{t}}G(\sqrt{t})\\&=\frac{1}{2}g(\sqrt{t})=\frac{1}{4+2\sin t}\end{align*}$$ 이고 따라서 $\displaystyle f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{4+2}=\frac{1}{6}$이다.