[반도체] 16. BJT 하이브리드-파이 모델, 주파수 제한, 대신호 스위칭

[반도체] 16. BJT 하이브리드-파이 모델, 주파수 제한, 대신호 스위칭

BJT는 시간변화 또는 정현파 신호를 증폭하는 회로에 사용한다. 다음의 그림에서 왼쪽은 소신호 단자 전압과 전류를 갖는 공통 이미터 구조의 npn형 BJT이고, 오른쪽은 npn형 BJT의 단면도를 나타낸다. C, B, E단자는 BJT의 외부 연결 단자이고, 반면 C', B', E'점은 이상화한 컬렉터, 베이스, 이미터 영역이다.

다양한 단자들을 개별적으로 고려해서 BJT의 등가회로를 만들 수 있다.

위의 왼쪽 그림은 외부 입력 베이스 단자와 외부 이미터 사이의 등가회로이고 저항 \(r_{b}\)는 외부 베이스 단자 B와 내부 베이스 단자 B'사이의 베이스 내부에 있는 직렬저항이다. B'-E'접합은 순방향 바이어스가 되어서 \(C_{\pi}\)는 접합 확산 커패시터이고, \(r_{\pi}\)는 접합 확산 저항이다. 여기서 \(C_{\pi}\)는 \(\displaystyle C_{d}=\frac{I_{p0}\tau_{p0}+I_{n0}\tau_{n0}}{2V_{t}}\)와 같고, \(r_{\pi}\)는 \(\displaystyle r_{d}=\frac{V_{t}}{I_{D_{Q}}}\)와 같다. \(r_{ex}\)는 외부 이미터 단자와 내부 이미터 영역 사이의 직렬 저항으로 값이 매우 작아 보통 \(1\sim2\Omega\)의 값을 갖는다.

위의 가운데 그림은 컬렉터 단자에서 본 등가회로이다. 저항 \(r_{c}\)는 외부와 내부 컬렉터 단자를 연결하는 직렬 저항이고, 커패시터 \(C_{s}\)는 역방향으로 인가한 컬렉터와 기판 접합의 접합 커패시터, 종속전류원 \(g_{m}V_{b'e'}\)은 내부 B-E전압(B'-E'전압)으로 제어하는 트랜지스터 내부의 컬렉터 전류이다. 저항 \(r_{0}\)는 출력 컨덕턴스 \(g_{0}\)의 역수이고, 얼리효과로 인해 나타나는 것이다.

위의 오른쪽 그림은 역방향으로 인가한 B'-C'접합의 등가회로이다. \(C_{\mu}\)는 역방향으로 인가한 접합 커패시터이고, \(r_{\mu}\)는 역방향으로 인가한 확산저항으로 보통 \(\text{M}\Omega\)단위여서 무시할 수 있다. \(C_{\mu}\)는 보통 \(C_{\pi}\)보다 매우 작으나 밀러효과(Miller effect) 및 밀러 커패시터를 유도하는 출력 조정 효과 때문에 무시할 수 없다. 밀러 커패시터는 BJT의 이득을 포함하는 \(C_{\mu}\)와 출력 조정 효과에 기인한 B'와 E'사이에서 등가 커패시턴스이며 출력 C'와 E'단자 사이에서 \(C_{\mu}\)를 반영하나 출력특성의 효과는 보통 무시할 수 있다.

위의 세 등가회로들을 합쳐서 다음의 그림처럼 완전한 하이브리드-파이 등가회로로 나타낼 수 있다.

컴퓨터 시뮬레이션은 많은 소자 때문에 완전한 모델을 요구하지만 BJT의 주파수 효과를 이해하기 위해 약간의 간략화가 가능하다. 다음의 간략화된 하이브리드-파이 회로는 \(C_{\mu},\,C_{s},\,r_{\mu},\,C_{je},\,r_{0}\)와 직렬 저항성분들을 무시한 것이다(정상적으로 \(C_{\mu}\)는 무시할 수 없다).

매우 낮은 주파수(저주파)에서 \(C_{\pi}\)를 무시할 수 있기 때문에 \(V_{be}=I_{b}r_{\pi}\), \(I_{c}=g_{m}V_{be}=g_{m}r_{\pi}I_{b}\)이고 저주파수, 소신호 공통 이미터 전류이득 \(h_{fe0}\)는 \(\displaystyle h_{fe0}=\frac{I_{c}}{I_{b}}=g_{m}r_{\pi}\)이다.

\(C_{\pi}\)를 고려하면(고주파) \(\displaystyle V_{be}=I_{b}\left(\frac{r_{\pi}}{1+j\omega r_{\pi}C_{\pi}}\right)\)이므로 \(\displaystyle I_{c}=g_{m}V_{be}=I_{b}\left(\frac{h_{fe0}}{1+j\omega r_{\pi}C_{\pi}}\right)\)이고 소신호 전류이득은 \(\displaystyle A_{i}=\frac{I_{c}}{I_{b}}=\frac{h_{fe0}}{1+j\omega r_{\pi}C_{\pi}}\), 전류이득의 크기는$$|A_{i}|=\left|\frac{I_{c}}{I_{b}}\right|=\frac{h_{fe0}}{\sqrt{1+(\omega r_{\pi}C_{\pi})^{2}}}=\frac{h_{fe0}}{\sqrt{1+(2\pi fr_{\pi}C_{\pi})^{2}}}$$이다. 전류이득의 크기는 \(\displaystyle f=\frac{1}{2\pi r_{\pi}C_{\pi}}\)에서 최대 크기의 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)배로 떨어진다.

주파수 제한

BJT는 주행시간 소자이다. 전체 이미터에서 컬렉터에 이르는 시정수 또는 지연시간은 \(\tau_{ec}=\tau_{e}+\tau_{b}+\tau_{d}+\tau_{c}\)이고 

\(\tau_{ec}\): 이미터에서 컬렉터에 이르는 시간지연

\(\tau_{e}\): 이미터-베이스 접합 커패시터의 충전시간

\(\tau_{b}\): 베이스 주행시간

\(\tau_{d}\): 컬렉터 공핍 영역의 주행시간

\(\tau_{c}\): 컬렉터 커패시턴스의 주행시간

이다. 순방향으로 인가한 B-E접합의 등가회로에서 직렬 저항성분을 무시하면 이미터-베이스 접합 커패시터의 충전시간은 \(\tau_{e}=r_{e}'(C_{je}+C_{p})\)이고 여기서 \(r_{e}'\)은 이미터 접합 또는 확산저항으로 \(I_{E}-V_{BE}\)곡선 기울기의 역수로서 나타나고 \(\displaystyle r_{e}'=\frac{kT}{eI_{E}}\)(\(I_{E}\)는 직류 이미터 전류), 커패시터 \(C_{p}\)에는 베이스와 이미터 사이에 존재하는 어떤 기생 커패시터를 포함한다.  

\(\tau_{b}\)는 베이스 주행시간, 즉 소수 캐리어가 중성 베이스 영역을 확산하는데 필요한 시간이다. npn형 BJT에 대해 베이스에서 전자 전류밀도는 \(J_{n}=-en_{B}(x)v(x)\)이고 여기서 \(v(x)\)는 평균속도로 \(\displaystyle v(x)=\frac{dx}{dt}\) 또는 \(\displaystyle dt=\frac{dx}{v(x)}\)이다. 따라서 주행시간은 \(\displaystyle \tau_{b}=\int_{0}^{x_{B}}{dt}=\int_{0}^{x_{B}}{\frac{1}{v(x)}dx}=-\int_{0}^{x_{B}}{\frac{en_{B}(x)}{J_{n}}dx}\)이고 베이스에서 전자농도는 근사적으로 선형이고 근사식 \(\sinh x\approx x\)를 이용하여 \(\displaystyle n_{B}(x)\simeq n_{B0}e^{\frac{eV_{BE}}{kT}}\left(1-\frac{x}{x_{B}}\right)\)로 나타낼 수 있으며 전자 전류밀도는 \(\displaystyle J_{n}=eD_{n}\frac{dn_{B}(x)}{dx}\)이다. 그러면 \(\displaystyle \tau_{b}=\frac{x_{B}^{2}}{2D_{n}}\)이다.

\(\tau_{d}\)는 컬렉터 공핍영역의 주행시간이다. npn형 BJT에서 전자들은 자기 자신의 포화속도로 B-C공간전하 영역을 지나간다고 가정했을 때 \(\displaystyle\tau_{d}=\frac{x_{dc}}{v_{s}}\)를 얻고 여기서 \(x_{dc}\)는 B-C공간전하폭, \(v_{s}\)는 전자포화 속도이다.

\(\tau_{c}\)는 컬렉터 커패시턴스의 충전시간으로 \(\tau_{c}=r_{c}(C_{\mu}+C_{s})\)이다. 여기서 \(C_{\mu}\)는 B-C접합 커패시터, \(C_{s}\)는 컬렉터-기판 사이의 커패시터이다. 얇은 에피텍셜 BJT에서의 직렬저항은 매우 작기 때문에 \(\tau_{c}\)를 무시할 수 있다.

공통 베이스 전류이득은 \(\displaystyle\alpha=\frac{\alpha_{0}}{1+j\frac{f}{f_{\alpha}}}\)이고 여기서 \(\alpha_{0}\)은 저주파수 공통 베이스 전류이득, \(f_{\alpha}\)는 알파 차단 주파수(alpha cutoff frequency)로 \(\displaystyle f_{\alpha}=\frac{1}{2\pi\tau_{ec}}\)이고 이때 공통 베이스 전류이득은 최댓값의 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)배 이다. 

\(\displaystyle\beta=\frac{\alpha}{1-\alpha}\)이므로 주파수 \(f\)가 \(f_{\alpha}\)와 같은 크기일 때 \(\displaystyle|\beta|=\left|\frac{\alpha}{1-\alpha}\right|\approx\frac{f_{\alpha}}{f}\)이고 이때 \(\alpha_{0}\approx1\)이라고 가정했다. 신호 주파수가 알파 차단 주파수와 같을 때 공통 이미터 전류이득의 크기는 1이다. 차단 주파수(cutoff frequency)를 \(f_{T}\)로 나타내며 \(\displaystyle f_{T}=\frac{1}{2\pi\tau_{ec}}\)로 정의한다. 그러면 \(\displaystyle\beta=\frac{\beta_{0}}{1+j\frac{f}{f_{\beta}}}\)로 나타낼 수 있고 \(f_{\beta}\)는 베타 차단 주파수(beta cutoff frequency)라고 하며 전류이득 \(\beta\)의 크기가 최댓값의 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)배가 되게 하는 주파수이다. 이 두 결과를 결합하면$$\beta=\frac{\alpha}{1-\alpha}=\frac{\frac{\alpha_{0}}{1+j\frac{f}{f_{T}}}}{1-\frac{\alpha_{0}}{1+j\frac{f}{f_{T}}}}=\frac{\alpha_{0}}{1-\alpha_{0}+j\frac{f}{f_{T}}}$$이고 \(\displaystyle\beta=\frac{\alpha_{0}}{(1-\alpha_{0})\left\{1+j\frac{f}{(1-\alpha_{0})f_{T}}\right\}}\approx\frac{\beta_{0}}{1+j\frac{\beta_{0}f}{f_{T}}}\)이며 여기서 \(\displaystyle\beta_{0}=\frac{\alpha_{0}}{1-\alpha_{0}}\approx\frac{1}{1-\alpha_{0}}\)이다.

베타 차단 주파수는 \(\displaystyle f_{\beta}\simeq\frac{f_{T}}{\beta_{0}}\)의 관계가 있고 다음 그림은 주파수 함수로서 공통 이미터 전류이득에 대한 보드 플롯을 나타내며 베타와 차단 주파수의 비교값을 보여준다(주파수가 로그 눈금으로 되어있다).

대신호 스위칭

위의 왼쪽 그림은 npn형 BJT의 스위칭을 위해 사용된 회로로 차단상태에서 포화상태로 스위칭 되었다가 다시 포화상태에서 차단상태로 역스위칭 되었다고 하자. 

차단상태에서 포화상태로 스위칭할 때 차단상태 \(V_{BE}\approx V_{BB}<0\)에서 B-E접합은 역방향으로 바이어스를 인가한다고 가정하자. \(t=0\)에서 위의 가운데 그림처럼 \(V_{BB}\)가 \(V_{BB0}\)으로 바뀌고, \(V_{BB0}\)가 궁극적으로 포화상태로 트랜지스터를 구동하는 충분한 양의 전압이라고 가정하자. \(0\leq t\leq t_{1}\)에 대해 베이스 전류는 B-E접합이 역방향 바이어스에서부터 약간 순방향 바이어스가 되도록 전하를 공급한다. 이때 컬렉터 전류는 컬렉터 전류의 최종값의 0에서 10%까지 증가한다. 

\(t_{1}\leq t\leq t_{2}\)일 때 베이스 전류는 거의 차단상태에서부터 거의 포화상태까지 B-E접합 전압을 증가시키는 전하를 공급한다. 이때 부가적인 캐리어가 베이스로 주입되어 베이스 내부의 소수 캐리어인 전자농도의 기울기가 증가해서 컬렉터 전류가 증가한다. 이 기간 동안 컬렉터 전류가 최종값의 10%에서 90%까지 증가하는 동안의 이 시간주기를 상승시간이라고 한다.

\(t>t_{2}\)일 때 베이스 구동은 계속 베이스 전류를 공급하고, BJT를 포화로 구동시키고 소자 내부의 최종 소수 캐리어 분포를 이루게 한다.

포화상태에서 차단상태까지 BJT의 스위칭은 이미터, 베이스, 컬렉터 영역에서 저장된 포화 소수 캐리어 모두를 제거하는 것을 의미한다.

(위의 오른쪽 그림은 BJT 스위칭 동안의 컬렉터 전류-시간 그래프이다)

참고자료:

Introduction to Semiconductor Devices, Neamen, McGraw-Hill

Semiconductor Physics and Devices 4th edition, Neamen, McGraw-Hill