[반도체] 14. BJT(2)

[반도체] 14. BJT(2)

다음은 BJT 분석에 사용되는 기호들이다.

표기	정의
npn, pnp형 BJT 전체에 대해
$N_{E},\,N_{B},\,N_{C}$  $x_{E},\,x_{B},\,x_{C}$  $D_{E},\,D_{B},\,D_{C}$  $L_{E},\,L_{B},\,L_{C}$  $\tau_{E0},\,\tau_{B0},\,\tau_{C0}$	이미터, 베이스, 컬렉터에서의 도핑농도  중성 이미터, 베이스, 컬렉터 영역의 폭  이미터, 베이스, 컬렉터에서의 소수 캐리어 확산 계수  이미터, 베이스, 컬렉터에서의 소수 캐리어 확산 길이  이미터, 베이스, 컬렉터에서의 소수 캐리어 수명
이미터에 대해
$p_{E0},\,n_{B0},\,p_{C0}$  $p_{E}(x'),\,n_{B}(x),\,p_{C}(x'')$  $\delta p_{E}(x'),\,\delta n_{B}(x),\,\delta p_{C}(x'')$	이미터, 베이스, 컬렉터에서의 열적 평형상태의 전자, 정공의 소수 캐리어 농도  이미터, 베이스, 컬렉터에서의 전자, 정공, 소수 캐리어의 전체 농도  이미터, 베이스, 컬렉터에서의 전자, 정공의 포화 소수 캐리어 농도
pnp형 BJT에 대해
$n_{E0},\,p_{B0},\,n_{C0}$  $n_{E}(x'),\,p_{B}(x),\,n_{C}(x'')$  $\delta n_{E}(x'),\,\delta p_{B}(x),\,\delta n_{C}(x'')$	이미터, 베이스, 컬렉터에서의 열적 평형상태의 전자, 정공의 소수 캐리어 농도  이미터, 베이스, 컬렉터에서의 전자의 정공의 소수 캐리어 전체의 농도  이미터, 베이스, 컬렉터에서의 전자, 정공의 포화 소수 캐리어 농도

다음 그림은 소수 캐리어 분포를 계산하기 위한 npn형 BJT의 기하학적 구조이고 맨 밑은 순방향 활성 모드로 동작하는 npn형 BJT에서의 소수 캐리어 농도를 나타낸 것이다.

베이스 영역에서 포화 소수 캐리어의 전자농도는 $\displaystyle \delta n_{B}(x)=\frac{n_{B0}\left\{(e^{\frac{eV_{BE}}{kT}}-1)\sinh\left(\frac{x_{B}-x}{L_{B}}\right)-\left(\sinh\frac{x}{L_{B}}\right)\right\}}{\sinh\frac{x_{B}}{L_{B}}}$

이미터 영역에서 포화 소수 캐리어의 정공농도는 $\displaystyle \delta p_{E}(x')=\frac{p_{E0}\left(e^{\frac{eV_{BE}}{kT}}-1\right)\sinh\left(\frac{x_{E}-x'}{L_{E}}\right)}{\sinh\frac{x_{E}}{L_{E}}}$

컬렉터 영역에서 포화 소수 캐리어의 정공농도는 $\displaystyle \delta p_{C}(x'')=-p_{C0}e^{-\frac{x''}{L_{C}}}$이다.  

BJT동작의 기본원리는 B-E전압에 의한 컬렉터 전류의 제어이다. 컬렉터 전류는 이미터에서 B-E접합을 지나 베이스에 도달한 후 컬렉터에 도달하는 다수 캐리어 개수의 함수이다. 공통 베이스 전류이득(common-base current gain)은 이미터 전류에 대한 컬렉터 전류의 비 $\displaystyle\beta_{0}=\frac{I_{C}}{I_{B}}$로 정의한다. 다음의 그림은 npn형 BJT에서의 다양한 입자 유속 성분을 나타낸 것이다.

위의 그림에서 다음과 같이 정의된다.

$J_{nE}^{-}$: 이미터에서 베이스로 들어가는 전자 유속. 전자들이 베이스로 확산하면서 일부는 다수 캐리어인 정공과 재결합한다.

$J_{RB}^{+}$: 베이스에서 재결합에 의해 사라진 다수 캐리어를 대체하는 정공 유속

$J_{nC}^{-}$: 컬렉터에 도달하는 전자 유속

$J_{pE}^{+}$: 베이스의 다수 캐리어 정공, 이미터로 거꾸로 들어가고 순방향 바이어스 때문에 일부 전자와 정공들은 이미터에서 재결합한다.

$J_{R}^{-}$: 이미터에서의 재결합으로 인한 전자유속

$J_{G}^{+}$: 전자, 정공의 생성은 역방향으로 인가한 B-C접합에서 일어나고, 이 생성으로 인해 만들어진 정공유속

$J_{pC0}^{-}$: B-C접합에서 이상적인 역방향 포화전류

다음 그림은 npn형 BJT에서 대응하는 전기적 전류밀도의 성분들을 나타낸 것이고 순방향 활성모드에 대한 소수 캐리어 분포이다.

npn형 BJT의 전류는 소수 캐리어의 확산전류이고, 전류밀도들은 다음과 같이 정의한다.

$J_{nE}$: 베이스 내부 $x=0$에서 소수 캐리어 전자의 확산에 기인한 것

$J_{nC}$: 베이스 내부 $x=x_{B}$에서 소수 캐리어 전자의 확산에 기인한 것

$J_{RB}$: $J_{nE}$와 $J_{nC}$사이의 차이로 베이스에서 다수 캐리어인 정공과 포화 소수 캐리어인 전자의 재결합에 기인한다 

       $J_{RB}$전류는 재결합에 의해 소실된 정공을 대체하기 위한 베이스 내부의 정공의 흐름이다 

$J_{pE}$: 이미터 내부 $x'=0$에서 소수 캐리어 정공의 확산에 기인한 것

$J_{R}$: 순방향으로 인가한 B-C접합에서 캐리어의 재결합에 기인한 것

$J_{pc0}$: 컬렉터 $x''=0$에서 소수 캐리어 정공의 확산에 기인한 것

$J_{G}$: 역방향으로 인가한 B-C접합에서 캐리어의 생성에 기인한 것

전류 $J_{RB}$, $J_{pE}$, $J_{R}$은 단지 B-E접합의 전류이고 컬렉터 전류에는 기여하지 않는다. 전류 $J_{pc0}$와 $J_{G}$는 단지 B-C접합의 전류이다. 이들 전류성분들은 BJT의 동작, 전류이득에 영향을 주지 않는다. 

공통-베이스 직류전류이득은 $\displaystyle\alpha_{0}=\frac{I_{C}}{I_{E}}$로 정의한다. 

컬렉터와 이미터의 활성 단면적이 동일하다고 가정하면, 이 때의 전류밀도에 의한 전류이득은 $\displaystyle\alpha_{0}=\frac{J_{C}}{J_{E}}=\frac{J_{nC}+J_{G}+J_{pc0}}{J_{nE}+J_{R}+J_{pE}}$로 나타낼 수 있다. 소신호 또는 정현파, 공통-베이스 전류이득은 $\displaystyle\alpha=\frac{\partial J_{C}}{\partial J_{E}}=\frac{J_{nC}}{J_{nE}+J_{R}+J_{pE}}$로 정의한다. 이 식을 $$\alpha=\left(\frac{J_{nE}}{J_{nE}+J_{pE}}\right)\left(\frac{J_{nC}}{J_{nE}}\right)\left(\frac{J_{nE}+J_{pE}}{J_{nE}+J_{R}+J_{pE}}\right)=\gamma\alpha_{T}\delta$$ 로 나타낼 수 있는데 여기서   

$\displaystyle\gamma=\frac{J_{nE}}{J_{nE}+J_{pE}}$는 이미터 주입 효율인자(emitter injection efficiency factor)로 이미터에서 소수 캐리어 정공 확산전류를 설명한다. $J_{pE}$는 컬렉터 전류의 부분이 아니기 때문에 트랜지스터의 동작에 영향을 주지 않는다. $\alpha=1$인 경우가 이상적이다.

$\displaystyle\alpha_{T}=\frac{J_{nC}}{J_{nE}}$는 베이스 전송 인자(base transport factor)로 베이스에서 포화 소수 캐리어 전자의 재결합을 설명한다. 이상적인 경우는 베이스에서 재결합이 일어나지 않는 것이다.

$\displaystyle\delta=\frac{J_{nE}+J_{pE}}{J_{nE}+J_{R}+J_{pE}}$는 재결합 인자(recombination factor)로 순방향으로 인가한 B-E접합을 설명한다. 전류 $J_{R}$은 이미터 전류에 영향을 주지만 컬렉터 전류에는 영향을 주지 않는다. $$\begin{align*}J_{pE}&=-eD_{E}\frac{d\{\delta p_{E}(x')\}}{dx'}_{x=0}=\frac{eD_{E}p_{E0}}{L_{E}}\{e^{\frac{eV_{BE}}{kT}}-1\}\frac{1}{\tanh\frac{x_{E}}{L_{E}}}\\J_{nE}&=-eD_{B}\frac{d\{\delta n_{B}(x)\}}{dx}_{x=0}=\frac{eD_{B}n_{B0}}{L_{B}}\left\{\frac{1}{\sinh\frac{x_{B}}{L_{B}}}+\frac{e^{\frac{eV_{BE}}{kT}}-1}{\tanh\frac{x_{B}}{L_{B}}}\right\}\end{align*}$$ 이고 양의 $J_{pE}$, $J_{nE}$값들은 전류가 이 그림의 방향과 같다는 것을 의미한다. B-E접합이 $\displaystyle V_{BE}\gg\frac{kT}{e}$가 되도록 순방향 바이어스를 충분히 인가하면 $$e^{\frac{eV_{BE}}{kT}}\gg1,\,\frac{e^{\frac{eV_{BE}}{kT}}}{\tanh\frac{x_{B}}{L_{B}}}\gg\frac{1}{\sinh\frac{x_{B}}{L_{B}}}$$ 이고 이때의 이미터 주입 효율은 $$\gamma=\frac{J_{nE}}{J_{nE}+J_{pE}}=\frac{1}{1+\frac{J_{pE}}{J_{nE}}}=\frac{1}{1+\frac{p_{E0}D_{E}L_{B}}{n_{B0}D_{B}L_{E}}\frac{\tanh\frac{x_{B}}{L_{B}}}{\tanh\frac{x_{E}}{L_{E}}}}$$ 이다. 만약 이 식에서 $p_{E0}$, $n_{B0}$를 제외한 나머지가 모두 상수라고 하면 $\displaystyle p_{E0}=\frac{n_{i}^{2}}{N_{E}}\ll \frac{n_{i}^{2}}{N_{B}}=n_{B0}$이어야 하고 여기서 $N_{E}$, $N_{B}$는 각각 이미터, 베이스의 불순물 도핑농도이다. 그러면 $N_{E}\gg N_{B}$이어야 하고 1에 가까운 $\gamma$값을 갖기 위해서는 이미터 도핑이 베이스 도핑보다 더 많아야 한다. 이것은 p형 베이스의 정공보다 n형 이미터로 더 많은 전자들이 B-E공간전하 영역으로 진입함을 뜻하고 $x_{B}\ll L_{B}$, $x_{E}\ll L_{E}$이면 근사 $\sinh x\approx x$를 이용하여 $\displaystyle\gamma\approx\frac{1}{1+\frac{N_{B}D_{E}x_{B}}{N_{E}D_{B}x_{E}}}$로 나타낼 수 있다. $$\begin{align*}J_{nC}&=-eD_{B}\frac{d\{\delta n_{B}(x)\}}{dx}_{x=x_{B}}=\frac{eD_{B}n_{B0}}{L_{B}}\left\{\frac{e^{\frac{eV_{BE}}{kT}}-1}{\sinh\frac{x_{B}}{L_{B}}}+\frac{1}{\tanh\frac{x_{B}}{L_{B}}}\right\}\\J_{nE}&=-eD_{B}\frac{d\{\delta n_{B}(x)\}}{dx}_{x=0}=\frac{eD_{B}n_{B0}}{L_{B}}\left\{\frac{1}{\sinh\frac{x_{B}}{L_{B}}}+\frac{e^{\frac{eV_{BE}}{kT}}-1}{\tanh\frac{x_{B}}{L_{B}}}\right\}\end{align*}$$ 이고 B-E접합이 $\displaystyle V_{BE}\gg\frac{kT}{e}$가 되도록 순방향 바이어스를 충분히 크게 인가하면 $e^{\frac{eV_{BE}}{kT}}\gg1$이고 이때 $$\alpha_{T}=\frac{J_{nC}}{J_{nE}}\approx\frac{e^{\frac{eV_{BE}}{kT}}+\cosh\frac{x_{B}}{L_{B}}}{1+e^{\frac{eV_{BE}}{kT}}\cosh\frac{x_{B}}{L_{B}}}$$ 이다. $\alpha_{T}$가 1에 가깝도록 하게 하려면 중성 베이스폭 $x_{B}$는 베이스에서 소수 캐리어 확산길이 $L_{B}$보다 훨씬 더 작아야 한다($x_{B}\ll L_{B}$). $x_{B}\ll L_{B}$이면 $\displaystyle\cosh\frac{x_{B}}{L_{B}}>1$이고 $e^{\frac{eV_{BE}}{kT}}\gg1$이면 $\displaystyle\alpha_{T}\approx\frac{1}{\cosh\frac{x_{B}}{L_{B}}}$이다. $x_{B}\ll L_{B}$일 경우 테일러 전개로부터 $$\alpha_{T}\approx\frac{1}{\cosh\frac{x_{B}}{L_{B}}}\approx\frac{1}{1+\frac{1}{2}\left(\frac{x_{B}}{L_{B}}\right)^{2}}\approx1-\frac{1}{2}\left(\frac{x_{B}}{L_{B}}\right)^{2}$$ 이므로 $x_{B}\ll L_{B}$이면 $\alpha_{T}$는 1에 가까워진다.

재결합 인자는 $J_{pE}\ll J_{nE}$라고 가정하면 $\displaystyle\delta=\frac{J_{nE}+J_{pE}}{J_{nE}+J_{R}+J_{pE}}\approx\frac{J_{nE}}{J_{nE}+J_{R}}=\frac{1}{1+\frac{J_{R}}{J_{nE}}}$이다. 순방향으로 인가한 pn접합에서 재결합에 기인한 재결합 전류밀도는 $\displaystyle J_{R}=\frac{ex_{BE}n_{i}}{2\tau_{0}}e^{\frac{eV_{BE}}{2kT}}=J_{r0}e^{\frac{eV_{BE}}{2kT}}$이고 여기서 $x_{BE}$는 B-E 공간 전하폭이다. 또한 $J_{nE}\approx J_{s0}e^{\frac{eV_{BE}}{kT}}$이고 $\displaystyle J_{s0}=\frac{eD_{B}n_{B0}}{L_{B}\tanh\frac{x_{B}}{L_{B}}}$이므로 $\displaystyle\delta=\frac{1}{1+\frac{J_{r0}}{J_{s0}}e^{-\frac{eV_{BE}}{2kT}}}$이고 $V_{BE}$가 커질수록 $\delta$는 1에 가까워진다.          

공통 베이스 전류이득은 $\displaystyle\alpha_{0}=\frac{I_{C}}{I_{E}}$이고 공통 이미터 전류이득은 $\displaystyle\beta_{0}=\frac{I_{C}}{I_{B}}$이다. $I_{E}=I_{B}+I_{C}$이므로 $\displaystyle\frac{I_{E}}{I_{C}}=\frac{I_{B}}{I_{C}}+1$이고 $\displaystyle\frac{1}{\alpha_{0}}=\frac{1}{\beta_{0}}+1$이며 실제 직류와 소신호 조건 둘 다 맞기 때문에 첨자를 없애고 $$\beta=\frac{\alpha}{1-\alpha},\,\alpha=\frac{\beta}{1+\beta}$$ 로 나타낼 수 있다.

이미터 주입 효율 $\displaystyle\gamma\approx\frac{1}{1+\frac{N_{B}D_{E}x_{B}}{N_{E}D_{B}x_{E}}}\,(x_{B}\ll L_{B},\,x_{E}\ll L_{E})$   베이스 전송 인자 $\displaystyle\alpha_{T}\approx\frac{1}{1+\frac{1}{2}\left(\frac{x_{B}}{L_{B}}\right)^{2}}\,(x_{B}\ll L_{B})$   재결합 인자 $\displaystyle\delta=\frac{1}{1+\frac{J_{r0}}{J_{s0}}e^{-\frac{eV_{BE}}{2kT}}}$   공통 베이스 전류이득 $\displaystyle\alpha=\gamma\alpha_{T}\delta\approx\frac{1}{1+\frac{N_{B}D_{E}x_{B}}{N_{E}D_{B}x_{E}}+\frac{1}{2}\left(\frac{x_{B}}{L_{B}}\right)^{2}+\frac{J_{r0}}{J_{s0}}e^{-\frac{eV_{BE}}{2kT}}}$   공통 이미터 전류이득 $\displaystyle\beta=\frac{\alpha}{1-\alpha}\approx\frac{1}{\frac{N_{B}D_{E}x_{B}}{N_{E}D_{B}x_{E}}+\frac{1}{2}\left(\frac{x_{B}}{L_{B}}\right)^{2}+\frac{J_{r0}}{J_{s0}}e^{-\frac{eV_{BE}}{2kT}}}$

참고자료:

Introduction to Semiconductor Devices, Neamen, McGraw-Hill

Semiconductor Physics and Devices 4th edition, Neamen, McGraw-Hill