[반도체] 6. pn접합 다이오드

[반도체] 6. pn접합 다이오드

 

 위의 왼쪽 그림은 열평형상태(제로 바이어스)에 있는 pn접합, 중간 그림은 역 바이어스 상태의 pn접합, 오른쪽 그림은 순 바이어스 상태의 pn접합을 나타낸 것이다. 왼쪽 그림에서 전자, 정공에 의한 전위장벽은 전자, 정공(캐리어)의 흐름을 차단해서 전류가 흐르지 않고, 중간 그림에서 n영역의 페르미 에너지는 p영역보다 낮고 전위장벽에 의해 캐리어의 흐름이 차단되기 때문에 전류가 흐르지 않으며, 오른쪽 그림에서 p영역의 페르미 준위가 n영역보다 더 낮기 때문에 전위장벽이 줄어들어 캐리어가 흐르게 되어 전류가 흐른다. 

pn접합의 이상적인 전류-전압 관계는 다음의 4가지 가정으로부터 유도된다.

1. 계단형 공핍층 근사를 적용한다. 공간전하 영역은 계단형 경계이고 공핍영역 바깥에서의 반도체는 중성이다.

2. 맥스웰-볼츠만 근사법을 적용한다.

3. 낮은 주입 개념을 적용한다

4a. 전체 전류는 일정하다.

4b. 각각의 전자, 정공 전류는 pn구조에 걸쳐서 연속이다.

4c. 각각의 전자, 정공 전류는 공핍영역에 걸쳐서 일정하다. 

항목	의미
\(N_{a}\) \(N_{d}\) \(n_{n0}=N_{d}\) \(p_{p0}=N_{a}\) \(n_{p0}=n_{i}^{2}/N_{a}\) \(p_{n0}=n_{i}^{2}/N_{d}\) \(n_{p}\) \(p_{n}\) \(n_{p}(-x_{p})\) \(p_{n}(x_{n})\) \(\delta n_{p}=n_{p}-n_{p0}\) \(\delta p_{n}=p_{n}-p_{n0}\)	pn접합의 p영역에서의 억셉터 농도  pn접합의 n영역에서의 도너 농도  n영역에서의 열평형 다수 캐리어 전자농도  p영역에서의 열평형 다수 캐리어 정공농도  p영역에서의 열평형 소수 캐리어 전자농도  n영역에서의 열평형 소수 캐리어 정공농도  p영역에서의 전체 소수 캐리어 전자농도  n영역에서의 전체 소수 캐리어 정공농도  공간전하 끝의 p영역에서의 소수 캐리어 전자농도  공간전하 끝의 n영역에서의 소수 캐리어 정공농도  p영역에서의 과잉 소수 캐리어 전자농도  n영역에서의 과잉 소수 캐리어 정공농도

다음 그림은 열평형 상태의 pn접합의 전도대 에너지를 나타낸 것이다.

내부 전위장벽은 전자가 p영역으로 흐르는 것을 차단해서 접합 양쪽의 캐리어 농도의 평형을 유지하게 한다. 내부 전위장벽은 \(\displaystyle V_{bi}=V_{t}\ln\frac{N_{a}N_{d}}{n_{i}^{2}}\)이고 이 식을 열전압 \(\displaystyle V_{t}=\frac{kT}{e}\)로 나누어 양변에 지수를 취한 다음 역수를 취하면 \(\displaystyle\frac{n_{i}^{2}}{N_{a}N_{d}}=e^{-\frac{eV_{bi}}{kT}}\)이다. 완전히 이온화되었다고 하면 \(n_{n0}\approx N_{d}\)이고 여기서 \(n_{n0}\)는 n영역에서 다수 캐리어 전자의 열평형농도이다. p영역에서는 \(\displaystyle n_{p0}\approx\frac{n_{i}^{2}}{N_{a}}\)로 나타낼 수 있고 여기서 \(n_{p0}\)는 소수 캐리어 전자의 열평형농도이다. 위 식들을 종합하면 \(\displaystyle n_{p0}=n_{n0}e^{-\frac{eV_{bi}}{kT}}\)이고 이 식은 열평형에서 접합의 p영역에서의 소수 캐리어 전자농도와 n영역에서의 다수 캐리어 전자농도와의 관계를 나타낸다.

다음의 왼쪽 그림은 \(V_{a}\)전압이 인가된 pn접합이고, 오른쪽 그림은 순방향 바이어스가 인가된 pn접합의 에너지밴드 다이어그램이다.

n영역을 기준으로 p영역에 양의 전압을 인가하면 전위장벽은 줄어든다. 위의 왼쪽 그림에서 p, n영역에 존재하는 전기장은 매우 작고 인가된 모든 전압은 접합영역에 걸리게 되므로 공간 전자영역의 전기장은 열평형값 이하로 줄어든다. 바이어스 \(V_{a}\)가 인가되어서 pn접합에 전류가 생성되고 이러한 조건을 순방향 바이어스라고 한다.(위 오른쪽 그림)

접합이 순방향 바이어스일 때 전위장벽은 \(V_{bi}-V_{a}\)이므로$$n_{p}=n_{n0}e^{-\frac{e(V_{bi}-V_{a})}{kT}}=n_{n0}e^{-\frac{eV_{bi}}{kT}}e^{\frac{eV_{a}}{kT}}$$이다. 저주입일 때 다수 캐리어 전자농도 \(n_{n0}\)는 그다지 변하지 않으나 소수 캐리어 농도 \(n_{p}\)는 \(n_{p0}\)보다 크게 변한다. 위의 식을 이용하면 \(\displaystyle n_{p}=n_{p0}e^{\frac{eV_{a}}{kT}}\)로 나타낼 수 있고, 정공에 대해서도 \(\displaystyle p_{n}=p_{n0}e^{\frac{eV_{a}}{kT}}\)로 나타낼 수 있다. \(p_{n}\)은 n영역에 있는 공간전하 영역 끝에서의 소수 캐리어 정공농도이다. 이 결과를 다음의 그림으로 나타낼 수 있다.

pn접합에서의 전류를 구하기 위해 앞에서 다룬 네 번째 가정의 3가지 조건을 이용했다. 접합에서의 총 전류는 공핍영역 전체에 걸쳐 일정한 각각의 전자전류와 정공전류의 합이다. 전자전류와 정공전류는 pn접합 전체에서 연속이므로 총 \(p_{n}\) 접합전류는 \(x=x_{n}\)에서의 소수 캐리어 정공 확산전류에 \(x=-x_{p}\)에서의 소수 캐리어 전자 확산전류를 더한 것이다. 다음 그림처럼 소수 캐리어의 농도 기울기로 인해 확산전류가 발생하고 공간전하 끝에서 전기장이 0이므로 드리프트 전류를 무시할 수 있다.

\(x=x_{n}\)에서 소수 캐리어 정공의 확산전류 밀도는 \(\displaystyle J_{p}(x_{n})=-eD_{p}\frac{dp_{n}(x)}{dx}|_{x=x_{n}}\)이고 균일한 도핑영역을 가지므로 열평형 소수 캐리어 농도는 일정하고 따라서 정공의 확산전류 밀도는 \(\displaystyle J_{p}(x_{n})=-eD_{p}\frac{d(\delta p_{n})}{dx}|_{x=x_{n}}\)이며 여기서$$\delta p_{n}(x)=p_{n}(x)-p_{n0}=p_{n0}\left\{e^{\frac{eV_{a}}{kT}}-1\right\}e^{\frac{x_{n}-x}{L_{p}}}\,(x\geq x_{n})$$이고 \(L_{p}=\sqrt{D_{p}\tau_{p0}}\), \(\tau_{p0}\)는 과잉 소수 캐리어 정공의 수명이다. 그러면 \(\displaystyle J_{p}(x_{n})=\frac{eD_{p}p_{n0}}{L_{p}}\left\{e^{\frac{eV_{a}}{kT}}-1\right\}\)이고 순바이어스 조건에 대한 정공전류 밀도는 \(+x\)(p영역에서 n영역)방향이다. 

위와 같은 방법으로 \(x=-x_{p}\)에서의 전자 확산전류 밀도는 \(\displaystyle J_{n}(-x_{p})=eD_{n}\frac{d(\delta n_{p}(x))}{dx}|_{x=-x_{p}}\)이고$$\delta n_{p}(x)=n_{p}(x)-n_{p0}=n_{p0}\left\{e^{\frac{eV_{a}}{kT}}-1\right\}e^{\frac{x_{p}+x}{L_{n}}}$$이며 \(L_{n}^{2}=D_{n}\tau_{n0}\), \(\tau_{n0}\)는 과잉 소수 캐리어 전자의 수명, \(\displaystyle J_{n}(-x_{p})=\frac{eD_{n}n_{p0}}{L_{n}}\left\{e^{\frac{eV_{a}}{kT}}-1\right\}\)이다. 이때 전자전류의 밀도는 \(+x\)방향이다.

총 전류는 전자전류와 정공전류의 합이고 접합 전체에 걸쳐 일정하다. pn접합에서의 총 전류밀도는$$J=J_{p}(x_{n})+J_{n}(-x_{p})=\left\{\frac{eD_{p}p_{n0}}{L_{p}}+\frac{eD_{n}n_{p0}}{L_{n}}\right\}\left\{e^{\frac{eV_{a}}{kT}}-1\right\}$$이고 이때 \(\displaystyle J_{s}=\frac{eD_{p}p_{n0}}{L_{p}}+\frac{eD_{n}n_{p0}}{L_{n}}\)라고 하면 \(\displaystyle J=J_{s}\left\{e^{\frac{eV_{a}}{kT}}-1\right\}\)로 나타낼 수 있으며 이 방정식을 이상적인 다이오드 방정식이라고 한다. 이상적인 다이오드 방정식은 전압-전류의 폭넓은 범위에 걸친 pn접합의 전류-전압 특성을 잘 나타낸다.(아래 그림 참고)

\(V_{a}\)가 \(\displaystyle 2\sim3\frac{kT}{e}\text{V}\)로 역방향 바이어스가 되면 역방향 바이어스 전류 밀도는 역방향 바이어스 전압에 독립적이고 이때의 \(J_{s}\)를 역포화 전류밀도라고 한다. 순방향 바이어스 전압이 \(\displaystyle 2\sim3\frac{kT}{e}\text{V}\)보다 크면 \(-1\)을 무시할 수 있다. 아래의 그림은 \(-1\)을 무시할 수 있을 때의 이상적인 다이오드의 전류를 로그좌표에 나타낸 것이다.

일반적인 다이오드 전류-전압 관계는 \(\displaystyle I_{D}=I_{s}\left\{e^{\frac{eV_{a}}{nkT}}-1\right\}\)이고 여기서 \(I_{D}\)는 다이오드에 흐르는 전류, \(I_{s}\)는 다이오드의 역포화 전류, \(n\)은 이상인자(ideality factor)로 큰 순바이어스 전압에서 확산이 우세할 때 \(n\approx1\)이고, 작은 순바이어스 전압에서 재결합이 우세할 때 \(n\approx2\)이며 \(1<n<2\)인 전이영역이 존재한다.

다이오드가 직류전압 \(V_{0}\)로 순바이어스 되어있어서 직류 다이오드 전류 \(I_{D_{Q}}\)가 생성되어있다고 하자. 다음 그림처럼 작은 저주파 사인파 전압이 중첩되어 있을 때 직류전류에 중첩된 사인파 전류가 생성된다.

사인파 전류 대 사인파 전압의 비 \(\displaystyle g_{d}=\frac{dI_{D}}{dV_{a}}|_{V_{a}=V_{0}}\)를 증분 컨덕턴스라고 하고, 그 역수 \(\displaystyle r_{d}=\frac{dV_{a}}{dI_{D}}|_{I_{D}=I_{D_{Q}}}\)를 증분저항이라고 한다. 

다이오드가 순바이어스 영역에서 충분히 바이어스 되어있으면 \(-1\)을 무시할 수 있고 증분 컨덕턴스는$$g_{d}=\frac{dI_{D}}{dV_{a}}|_{V_{a}=V_{0}}=\frac{e}{kT}I_{s}e^{\frac{eV_{0}}{kT}}\approx\frac{I_{D_{Q}}}{V_{t}}$$이다. 이때 소신호 증분 저항은 컨덕턴스의 역함수이고 \(\displaystyle r_{d}=\frac{V_{t}}{I_{D_{Q}}}\)이고, 이 저항을 확산저항(diffusion resistance)이라고 한다.

다음은 소신호 어드미턴스를 구하는 과정이다.

총 순바이어스 전압은 \(V_{a}=V_{\text{dc}}+V_{\text{ac}}=V_{\text{dc}}+\hat{v}\sin\omega t\)이고, \(t=t_{0}\)일 때 교류전압이 0이고 \(x=0\)에서의 정공의 농도는 \(\displaystyle p_{n}(0)=p_{n0}e^{\frac{V_{\text{dc}}}{V_{t}}}\)이다. 이때 순바이어스된 pn접합의 직류 특성은 다음과 같고

소신호 접합 어드미턴스는$$Y=\frac{I_{p0}+I_{n0}}{V_{t}}+j\omega\frac{I_{p0}\tau_{p0}+I_{n0}\tau_{n0}}{2V_{t}}$$이고 \(I_{p0}\), \(I_{n0}\)는 다이오드 전류의 정공, 전자 성분, \(\tau_{p0}\)와 \(\tau_{n0}\)는 과잉 소수 캐리어 정공, 전자의 수명이다. 위의 어드미턴스를 \(Y=g_{d}+j\omega C_{d}\)로 나타낼 수 있고,$$g_{d}=\frac{I_{p0}+I_{n0}}{V_{t}}=\frac{I_{D_{Q}}}{V_{t}},\,C_{d}=\frac{I_{p0}\tau_{p0}+I_{n0}\tau_{n0}}{2V_{t}}$$이고 \(g_{d}\)는 확산 컨덕턴스(diffusion conductance), \(C_{d}\)를 확산 커패시턴스(diffusion capacitance)라고 한다. 다음 그림은 확산 커패시턴스의 물리적 특성을 나타낸 것이다.

소신호 접합 어드미턴스는 \(Y=g_{d}+j\omega C_{d}\)이고 이것을 다음과 같이 왼쪽의 등가회로로 나타낼 수 있다.

위의 왼쪽 회로는 완전한 등가회로가 아니다. 왼쪽 회로에 확산저항과 확산 커패시턴스에 병렬인 접합 커패시턴스를 병렬로 연결하고 직렬저항을 직렬로 연결한 오른쪽 그림이 완전한 등가회로다. pn다이오드에 인가하는 총 전압은 \(V_{\text{app}}=V_{a}+Ir_{s}\)이고 다음 그림은 이 때의 전류-전압 특성을 나타낸 것이다.

다이오드의 전하축적 및 과도특성

다음 그림은 순바이어스에서 역바이어스로 다이오드를 스위칭 시키기 위한 회로이다.

순바이어스인 ON상태에서 \(t=0\)일 때 역바이어스인 OFF상태로 스위치를 바꾼다고 하자. \(t<0\)일 때 순바이어스 전류는 \(\displaystyle I=I_{F}=\frac{V_{F}-V_{a}}{R_{F}}\)이다. 다음 그림에서 왼쪽은 정상상태 순바이어스 소수 캐리어 농도를 나타낸 것이고, 오른쪽은 여러 시간에서 소수 캐리어 농도를 나타낸 것이다.

공간전하 영역 끝에서 과잉 소수 캐리어 농도가 감소하면 농도 기울기가 커져서 역바이어스 방향으로 화갓ㄴ전류를 흐르게 한다. 어느 한 순간에 다이오드 접합에 걸리는 전압이 \(V_{R}\)보다 작으면 그때의 역바이어스 전류는 \(\displaystyle I=-I_{R}\approx-\frac{V_{R}}{R_{R}}\)로 제한된다. 이 전류 \(I_{R}\)이 \(0+\leq t\leq t_{s}\)에 대해 거의 일정하고, \(t_{s}\)를 축적 시간(storage time)이라고 한다. 축적시간은 공간전하 영역 끝에서 소수 캐리어 농도가 열평형 값으로 도달하는데 필요한 시간의 길이이다. 이 시간이 지난 후에 접합에 걸리는 전압은 변하기 시작한다. 다음 그림에 이 특성을 나타냈다.

일방형(한 쪽에 도핑이 많이 된) p+n접합에서 축전시간은 \(\displaystyle\text{erf}\left(\sqrt{\frac{t_{s}}{\tau_{p0}}}\right)=\frac{I_{F}}{I_{F}+I_{R}}\)이고 여기서 \(\text{erf}(x)\)는 오차함수이다. 축적시간에 대한 해는 근사적으로 \(\displaystyle t_{s}\approx\tau_{p0}\ln\left(1+\frac{I_{F}}{I_{R}}\right)\)이고 \(t>t_{s}\)에 대한 회복시간은 접합이 그 정상상태의 역바이어스 조건에 도달하는데 필요한 시간과 같다. 하강시간(decay time) \(t_{2}\)는 식$$\text{erf}\left(\sqrt{\frac{t_{2}}{\tau_{p0}}}\right)+\sqrt{\frac{\tau_{p0}}{\pi t_{2}}}e^{-\frac{t_{2}}{\tau_{p0}}}=1+0.1\frac{I_{R}}{I_{F}}$$으로부터 결정되고, 총 정지시간은 \(t_{s}+t_{2}\)이다.

다이오드가 OFF에서 순바이어스인 ON상태로 바뀔 때 이온화된 도너와 억셉터는 공간전하 폭이 좁아짐에 따라 중성화된다.

참고자료:                   

Introduction to Semiconductor Devices, Neamen, McGraw-Hill

Semiconductor Physics and Devices 4th edition, Neamen, McGraw-Hill