[반도체] 4. pn접합(1)

[반도체] 4. pn접합(1)

다음의 그림은 개략적으로 나타낸 pn접합이다.

중요한 것은 반도체 전체는 단결정 물질이고, 한 영역은 억셉터 원자가 도핑된 p형, 인접한 영역은 도너 원자가 도핑된 n형이다. n형 영역과 p형 영역을 가르는 경계면을 야금학적 접합(metallurgical junction)이라고 한다. 다음의 그림은 p형 영역과 n형 영역에서의 불순물 도핑농도를 나타낸 것이고 간략화를 위해 각 영역에 균일한 도핑 농도가 있고 야금학적 접합에서 급격한 도핑 변화가 일어나는 계단 접합(step junction)이라고 한다.

다음의 그림은 순수한 양전하, 음전하를 띤 영역을 나타낸 것이다.

이 두 영역을 공간전하 영역(space charge region)이라고 한다. 모든 전자와 정공은 전기장에 의해 공간전하 영역 바깥으로 이동하게 되고 공간전하 영역은 유동전하가 고갈되었기 때문에 이 영역을 공핍영역(depletion region)이라고 한다. 공간전하 영역(공핍영역)의 각 끝에는 다수 캐리어 농도가 있으므로 밀도 기울기가 존재하고 이 밀도 기울기가 다수 캐리어에 작용하는 확산력을 발생시킨다.

여기서는 열평형 상태에서 볼츠만 근사가 유효(각 반도체 영역이 퇴화되지 않게 도핑)하고 완전 이온화(pn접합의 온도가 너무 낮지 않음)되었다고 가정할 것이다.

pn접합 양단에 전압을 걸지 않으면 접합은 열평형 상태에 있게 되고 페르미 준위는 일정하다. 다음의 그림은 열평형에 있는 pn접합의 에너지밴드 다이어그램이다.

전도대와 가전자대 에너지는 공간전하 영역(공핍영역)을 통과할 때 p, n영역간의 페르미 에너지의 변화에 대한 전도대, 가전자대의 상대적 위치로 인해 휘어지게 된다.

n영역의 전도대에 있는 전자가 p영역의 전도대로 이동하게 되면 전위장벽에 막히게 된다. 이 전위장벽을 내부 전위장벽(built-in potential barrier)이라고 하고 \(V_{bi}\)로 나타낸다. 내부 전위장벽은 n영역의 다수 캐리어인 전자들과 p영역의 소수 캐리어인 전자들 사이의 평형을 유지하며, 또한 p영역의 다수 캐리어인 정공과 n영역의 소수 캐리어인 정공들 사이의 평형을 유지한다. 

접합을 가로지르는 이러한 전위차는 프로브와 반도체 사이에 새로운 장벽이 생겨서 \(V_{bi}\)를 상쇄시키기 때문에 측정할 수 없다. 따라서 \(V_{bi}\)는 평형을 유지시키며 이 전압으로 전류를 흐르지 않는다.

진성 페르미 준위는 접합에서 전도대로부터 동일한 거리만큼 떨어져 있기 때문에 내부 전위장벽은 p, n영역에서의 진성 페르미 준위들 사이의 차로 나타낼 수 있다.

위의 그림대로 전위 \(\phi_{Fn}\)과 \(\phi_{Fp}\)를 정의하면 \(V_{bi}=|\phi_{Fn}|+|\phi_{Fp}|\)이다.

n영역에서의 전자농도가 \(\displaystyle n_{0}=N_{c}e^{-\frac{E_{c}-E_{F}}{kT}}=n_{i}e^{\frac{E_{F}-E_{Fi}}{kT}}\)이고 \(e\phi_{Fn}=E_{Fi}-E_{F}\)이므로 \(\displaystyle n_{0}=n_{i}e^{-\frac{e\phi_{Fn}}{kT}}\)이고 \(\displaystyle\phi_{Fn}=-\frac{kT}{e}\ln\frac{N_{d}}{n_{i}}(n_{0}=N_{d})\)이다. 이와 같은 방법을 이용하면 정공농도는 \(\displaystyle p_{0}=N_{a}=n_{i}e^{\frac{E_{Fi}-E_{F}}{kT}}\)이고 여기서 \(N_{a}\)는 억셉터 농도이며 \(e\phi_{Fp}=E_{Fi}-E_{F}\)이므로 \(\displaystyle\phi_{Fp}=+\frac{kT}{e}\ln\frac{N_{a}}{n_{i}}\)이다.

이 두 결과로부터 \(\displaystyle V_{bi}=\frac{kT}{e}\ln\frac{N_{a}N_{d}}{n_{i}^{2}}=V_{t}\ln\frac{N_{a}N_{d}}{n_{i}^{2}}\)이고 여기서 \(\displaystyle V_{t}=\frac{kT}{e}\)를 열전압(thermal voltage)이라고 하고 상온에서 \(26\text{mV}\)의 값을 갖는다.

전기장은 양과 음의 공간전하 밀도의 분리로 인해 공핍층에서 발생한다. 다음 그림은 균일 도핑이라고 가정하고 계단접합 근사를 가정한 pn접합에서의 체적 전하밀도이다.

여기서 공간전하 영역이 n형 영역에서는 \(x=+x_{n}\)의 끝에서, p형 영역에서는 \(x=-x_{p}\)의 끝에서 급격하게 끝난다고 가정하겠다.

이때의 전기장은 1차원 포아송 방정식 \(\displaystyle\frac{d^{2}\phi}{dx^{2}}=-\frac{\rho(x)}{\epsilon_{s}}=-\frac{dV}{dx}\)으로부터 구할 수 있고, \(\phi(x)\)는 전위, \(E(x)\)는 전계, \(\epsilon_{s}\)는 반도체의 유전율이고$$\rho(x)=\begin{cases}-eN_{a}\,(-x_{p}<x<0)\\eN_{d}\,(0<x<x_{n})\end{cases}$$이다. 위의 포아송 방정식을 적분하면$$E=\int{\frac{\rho(x)}{\epsilon_{s}}dx}=-\int{\frac{eN_{a}}{\epsilon_{s}}dx}=-\frac{eN_{a}}{\epsilon_{s}}x+C_{1}$$이고 \(C_{1}\)은 적분상수이다.

열평형 상태에서 전류가 0이므로 영역 \(x<-x_{p}\)에서 전기장은 0이다. pn접합구조의 내부에는 표면전하밀도가 없기 때문에 전기장은 연속함수이고, 적분상수는 \(x=-x_{p}\)에서 \(E=0\)으로 놓고 구할 수 있다. 따라서 p영역에서의 전기장은$$E=-\frac{eN_{a}}{\epsilon_{s}}(x+x_{p})\,(-x_{p}\leq x\leq0)$$이다. n영역에 대해서도$$E=\int{\frac{eN_{d}}{\epsilon_{s}}dx}=\frac{eN_{d}}{\epsilon_{s}}x+C_{2}$$이고 전기장이 n영역 내부에서 0이고 연속함수이므로 \(x=x_{n}\)에서 \(E=0\)으로 놓고 적분상수를 구하면 n영역에서의 전기장은$$E=-\frac{eN_{d}}{\epsilon_{s}}(x_{n}-x)\,(0\leq x\leq x_{n})$$이다. 앞에서 구한 p, n영역에서의 전기장이 \(x=0\)에서 서로 같다고 하면 \(N_{a}x_{p}=N_{d}x_{n}\)을 얻고, 이는 p영역에서의 단위면적당 음전하의 수가 n영역에서의 단위면적당 양전하의 수와 같다는 것을 뜻한다.

다음 그림은 공핍영역에서의 전기장을 나타낸 것이다.

전기장의 방향은 n영역에서 p영역(\(-x\)방향)으로 향한다. p, n영역 사이에 전압이 없더라도 공핍영역 내부에는 전기장이 존재한다. 이 접합 내부에서의 전위는 전기장을 적분해서 구할 수 있다.

p영역에서$$\begin{align*}\phi(x)&=-\int{E(x)dx}=\int{\frac{eN_{a}}{\epsilon_{s}}(x+x_{p})dx}\\&=\frac{eN_{a}}{\epsilon_{s}}\left(\frac{1}{2}x^{2}+x_{p}x\right)+C_{1}'\end{align*}$$\(x=-x_{p}\)에서 \(\phi=0\)이라고 하면 \(\displaystyle C_{1}'=\frac{eN_{a}}{2\epsilon_{s}}x_{p}^{2}\)이므로 p영역에서의 전위는$$\phi(x)=\frac{eN_{a}}{2\epsilon_{s}}(x+x_{p})^{2}\,(-x_{p}\leq x\leq0)$$이다.

n영역 내부에서의 전위는$$\phi(x)=\int{\frac{eN_{d}}{\epsilon_{s}}(x_{n}-x)dx}=\frac{eN_{d}}{\epsilon_{s}}\left(x_{n}x-\frac{1}{2}x^{2}\right)+C_{2}'$$이고, 전위는 연속함수이므로 야금학적 접합(\(x=0\))에서 n영역과 p영역의 전위가 같아야 한다. 그러면 \(\displaystyle C_{2}'=\frac{eN_{a}}{2\epsilon_{s}}x_{p}^{2}\)이고 n영역에서의 전위는$$\phi(x)=\frac{eN_{d}}{\epsilon_{s}}\left(x_{n}x-\frac{1}{2}x^{2}\right)+\frac{eN_{a}}{2\epsilon_{s}}x_{p}^{2}\,(0\leq x\leq x_{n})$$이다.

다음의 그림은 접합에 의한 전위로 거리에 따라 제곱에 비례한다.

앞의 결과들을 종합하면 \(\displaystyle V_{bi}=|\phi(x=x_{n})|=\frac{e}{2\epsilon_{s}}(N_{d}x_{n}^{2}+N_{a}x_{p}^{2})\)를 얻는다. 전자의 전위 에너지는 \(E=-e\phi\)이므로 전자 에너지도 공간전하 영역을 통해 거리의 제곱에 비례함을 알 수 있다.     

공간전하 영역이 야금학적 접합으로부터 p, n영역으로 확장되는 거리를 구할 수 있고, 이 거리를 공간 전하폭이라고 한다. 식 \(\displaystyle x_{p}=\frac{N_{d}x_{n}}{N_{a}}\)를 위의 식에 대입하면 \(\displaystyle x_{n}=\sqrt{\frac{2\epsilon_{s}V_{bi}}{e}}\left\{\frac{N_{a}}{N_{d}}\right\}\left\{\frac{1}{N_{a}+N_{d}}\right\}\)이고 이 식은 전압이 없을 때 n형 영역으로 확장되는 공핍영역 폭 또는 공간 전하폭이다. 

마찬가지로 식 \(\displaystyle x_{p}=\frac{N_{d}x_{n}}{N_{a}}\)를 이용하면 \(\displaystyle x_{p}=\sqrt{\frac{2\epsilon_{s}V_{bi}}{e}\left\{\frac{N_{a}}{N_{d}}\right\}\left\{\frac{1}{N_{a}+N_{d}}\right\}}\)이고 이 식은 전압이 없을 때 p형 영역으로 확장되는 공핍영역 폭이다. 

위의 두 식들로부터 전체 공간 전하폭은 \(\displaystyle W=x_{n}+x_{p}=\sqrt{\frac{2\epsilon_{s}V_{bi}}{e}\left\{\frac{N_{a}+N_{d}}{N_{a}N_{d}}\right\}}\)이다.

참고자료:

Introduction to Semiconductor Devices, Neamen, McGraw-Hill

Semiconductor Physics And Devices, Neamen, McGraw-Hill