[반도체] 1. 반도체(1)

[반도체] 1. 반도체(1)

전도대 내부에서의 전자의 분포는 다음과 같이 가능한 양자 상태 밀도와 그 상태를 전자가 채울 확률의 곱으로 나타낼 수 있다.$$n(E)=g_{c}(E)f_{F}(E)$$여기서 \(\displaystyle f_{F}(E)=\frac{1}{1+e^{\frac{E-E_{F}}{kT}}}\)는 페르미-디락 분포(확률함수)이고, \(g_{c}(E)\)는 전도대에서의 양자 상태 밀도이다. \(n(E)\)의 단위는 \(\text{cm}^{3}\text{당 단위 에너지/전자의 수}\)이다.

위의 \(n(E)\)를 전체 전도대 에너지에 대해 적분하면 단위부피당 총 전자농도를 구할 수 있다.

이와 같은 방법으로 가전자대 내부의 정공의 분포를 다음과 같이 가전자대의 가능한 양자 상태의 밀도와 그 상태가 비어있을 확률의 곱으로 나타낼 수 있다.$$p(E)=g_{v}(E)\{1-f_{F}(E)\}$$\(p(E)\)의 단위는 \(\text{cm}^{3}\text{당 단위 에너지/정공의 수}\)이고, \(p(E)\)를 가전자대 에너지 전체 영역에 대해 적분하면 단위 부피당 총 정공농도를 구할 수 있다.

열평형 상태의 전자, 정공의 농도를 구하려면 페르미 에너지 \(E_{F}\)의 위치를 전도대 에너지의 바닥 \(E_{c}\)와 가전자대 에너지의 꼭대기 \(E_{v}\)를 기준으로 나타낼 필요가 있다. 이 문제를 해결하기 위해서는 진성반도체(intrinsic semiconductor, 이상적인 진성반도체는 불순물, 결함이 없는 순수한 반도체)를 고려해야 하고, \(T=0\text{K}\)인 진성반도체는 가전자대의 모든 에너지 상태가 전자로 채워져 있고, 전도대의 모든 에너지 상태는 비어있다. 따라서 페르미 에너지는 \(E_{c}\)와 \(E_{v}\) 사이에 있어야 한다.

온도가 \(0\text{K}\)이상이 되면 가전자대의 전자들은 열에너지를 얻어 전도대로 오르게 되고, 이로 인해 가전자대에 전자의 빈자리인 정공이 생성되므로 전도대의 전자의 수와 가전자대의 정공의 수는 같다. 

다음 그림은 전도대의 상태밀도함수 \(g_{c}(E)\)와 가전자대의 상태밀도함수 \(g_{v}(E)\), \(T>0\text{K}\)에서의 페르미-디락 분포함수이다.

위의 그림에서 오른쪽 위는 전도대 하단부 근처를 확대한 그림이고, 아래는 가전자대 상단부 근처를 확대한 그림이다. 전자와 정공의 유효질량(입자의 정지질량과 내부 힘에 의해 정지질량이 변화된 질량)이 같다고 가정하면 \(g_{c}(E)\)와 \(g_{v}(E)\)는 중간에너지(\(E_{c}\)와 \(E_{F}\)의 중간)에 대하여 대칭이 된다. 따라서 \(g_{c}(E)\)와 \(g_{v}(E)\)가 대칭이면 전자와 정공의 농도가 같기 위해서 페르미 에너지는 중간에 위치해야 한다.

페르미 에너지가 금지대 밴드갭 내부에 있다고 하자. 열평형 상태의 전자의 농도는 \(\displaystyle\int_{E_{c}}^{\infty}{g_{c}(E)f_{F}(E)dE}\)이고 에너지가 증가할수록 페르미 확률함수가 0으로 접근하기 때문에 적분 구간의 상한을 무한대로 할 수 있다.

페르미 에너지가 금지대 밴드갭 내부에 있고, 전도대의 전자들은 전도대의 하단 에너지 \(E_{c}\)보다 크므로 \(E>E_{c}\)이고 \((E_{C}-E_{F})\gg kT\)이면 \((E-E_{F})\gg kT\)이므로 페르미 확률함수를 다음과 같이 볼츠만 근사할 수 있다.$$f_{F}(E)=\frac{1}{1+e^{\frac{E-E_{F}}{kT}}}\approx e^{-\frac{E-E_{F}}{kT}}$$그러면 전자의 열평형 농도는$$n_{0}=\int_{E_{c}}^{\infty}{\frac{4\pi(2m_{n}^{*})^{\frac{3}{2}}}{h^{3}}\sqrt{E-E_{c}}e^{-\frac{E-E_{F}}{kT}}dE}$$이고 \(\displaystyle\eta=\frac{E-E_{c}}{kT}\)라고 하면$$n_{0}=\frac{4\pi(2m_{n}^{*}kT)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}}e^{-\frac{E_{c}-E_{F}}{kT}}\int_{0}^{\infty}{\sqrt{\eta}e^{-\eta}d\eta}$$이고 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\sqrt{\eta}e^{-\eta}d\eta}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)이므로 \(\displaystyle N_{c}=2\left(\frac{2\pi m_{n}^{*}kT}{h^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\)라고 하면 전도대의 열평형 상태의 전자농도는 \(\displaystyle n_{0}=N_{c}e^{-\frac{E_{c}-E_{F}}{kT}}\)이다. 여기서 \(m_{n}^{*}\)는 전자의 상태밀도 유효질량(density of states function)이고, \(N_{c}\)는 전도대의 유효상태밀도함수(effective density of states function in conduction band)라고 한다. \(m_{n}^{*}=m_{0}\)라고 하면 \(300\text{K}\)에서 \(N_{c}=2.5\times10^{19}\text{cm}^{-3}\)이 되는데 대부분의 반도체들이 갖는 값이다. 

가전자대의 열평형 상태의 정공의 농도는 \(\displaystyle p_{0}=\int_{-\infty}^{E_{v}}{g_{v}(E)\{1-f_{F}(E)\}dE}\)이고 에너지가 감소할수록 \(1-f_{F}(E)\)가 0으로 접근하기 때문에 적분 구간의 하한을 음의 무한대로 할 수 있다.

식 \(\displaystyle1-f_{F}(E)=\frac{1}{1+e^{\frac{E_{F}-E}{kT}}}\)와 가전자대의 에너지 상태가 \(E<E_{v}\)이므로 \((E_{F}-E_{v})>kT\)이면$$1-f_{F}(E)=\frac{1}{1+e^{\frac{E_{F}-E}{kT}}}\approx e^{-\frac{E_{F}-E}{kT}}$$이고 정공의 농도는$$p_{0}=\int_{-\infty}^{E_{v}}{\frac{4\pi(2m_{p}^{*})^{\frac{3}{2}}}{h^{3}}\sqrt{E_{v}-E}e^{-\frac{E_{F}-E}{kT}}dE}$$이다. \(\displaystyle\eta=\frac{E_{v}-E}{kT}\)라고 하면$$\begin{align*}p_{0}&=-\frac{4\pi(2m_{p}^{*}kT)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}}e^{-\frac{E_{F}-E_{v}}{kT}}\int_{-\infty}^{0}{\sqrt{\eta}e^{-\eta}d\eta}\\&=\frac{4\pi(2m_{p}^{*}kT)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}}e^{-\frac{(E_{F}-E_{v})}{kT}}\int_{0}^{\infty}{\sqrt{\eta}e^{-\eta}d\eta}\end{align*}$$이고 \(\displaystyle N_{v}=2\left(\frac{2\pi m_{p}^{*}kT}{h^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\)라고 하면 가전자대의 열평형 상태의 정공농도는 \(\displaystyle p_{0}=N_{v}e^{-\frac{E_{F}-E_{c}}{kT}}\)이다. 여기서 \(m_{p}^{*}\)는 정공의 상태밀도 유효질량이고, \(N_{v}\)는 가전자대의 유효상태밀도함수(effective density of states function in valence band)라고 한다. \(300\text{K}\)에서 대부분의 반도체에 대한 \(N_{v}\)값은 \(10^{-19}\text{cm}^{-3}\)이다. 

유효상태밀도함수 \(N_{c}\)와 \(N_{v}\)는 특정 반도체의 일정 온도에서 상수이다. 다음의 표는 \(\text{Si}\), \(\text{Ge}\), \(\text{GaAs}\)에 대한 상태밀도함수값 및 유효질량의 값들을 나타낸 것이다.

위의 표에서 \(\text{GaAs}\)의 전자 유효 질량이 작기 때문에 \(N_{c}\)의 값이 작다.

진성반도체에 대한 전도대의 전자농도는 가전자대의 정공농도와 같고, 각각 \(n_{i}\), \(p_{i}\)로 나타내는데 \(n_{i}=p_{i}\)이므로 \(n_{i}\)를 진성 캐리어 농도(intrinsic carrier concentration)로 나타내고, 진성전자농도와 진성정공농도를 동시에 의미한다. 

진성반도체의 페르미에너지 준위를 진성 페르미 에너지(intrinsic Fermi energy)라고 하고 \(E_{F}=E_{Fi}\)로 나타낸다.$$n_{0}=n_{i}=N_{c}e^{-\frac{E_{c}-E_{Fi}}{kT}},\,p_{0}=p_{i}=n_{i}=N_{v}e^{-\frac{E_{Fi}-E_{v}}{kT}}$$이므로$$\begin{align*}n_{i}^{2}&=N_{c}N_{v}e^{-\frac{E_{c}-E_{Fi}}{kT}}e^{-\frac{E_{Fi}-E_{v}}{kT}}\\&=N_{c}N_{v}e^{-\frac{E_{c}-E_{v}}{kT}}=N_{c}N_{v}e^{-\frac{E_{g}}{kT}}\end{align*}$$이고 여기서 \(E_{g}\)는 밴드갭 에너지이다. \(n_{i}\)는 특정 온도에서 일정하고, 페르미 에너지의 영향을 받지 않는다.

다음의 표는 \(300\text{K}\)에서의 \(\text{Ge}\), \(\text{Si}\), \(\text{GaAs}\)에 대한 \(n_{i}\)값들을 나타낸 것으로 위의 식 \(\displaystyle n_{i}^{2}=N_{c}N_{v}e^{-\frac{E_{g}}{kT}}\)를 이용하여 구한 것이다.

다음의 그림은 위의 \(n_{i}\)에 대한 식을 이용하여 구한 온도에 따른 \(n_{i}\)의 도표이다.

진성반도체에서의 페르미에너지 준위는 금지대 밴드갭의 중앙 근처에 있다. 진성반도체에서의 전자농도와 정공농도는 같으므로 \(\displaystyle N_{c}e^{-\frac{E_{c}-E_{Fi}}{kT}}=N_{v}e^{-\frac{E_{Fi}-E_{v}}{kT}}\)이고 이 식의 양변에 자연로그를 취하면$$\begin{align*}E_{Fi}&=\frac{1}{2}(E_{c}+E_{v})+\frac{1}{2}kT\ln\left(\frac{N_{v}}{N_{c}}\right)\\&=\frac{1}{2}(E_{c}+E_{v})+\frac{3}{4}kT\ln\left(\frac{m_{p}^{*}}{m_{n}^{*}}\right)\end{align*}$$이다. 이때 \(\displaystyle\frac{1}{2}(E_{c}+E_{v})\)는 \(E_{c}\)와 \(E_{v}\)의 중간이므로 중간갭 에너지(midgap energy)라고 하고 \(E_{\text{midgap}}\)로 나타내며 식 \(\displaystyle E_{Fi}-E_{\text{midgap}}=\frac{3}{4}kT\ln\left(\frac{m_{p}^{*}}{m_{n}^{*}}\right)\)이 성립한다.

위의 식에 따르면 \(m_{n}^{*}=m_{p}^{*}\)일 때 \(E_{Fi}=E_{\text{midgap}}\)(진성 페르미 준위는 밴드갭의 중앙), \(m_{p}^{*}>m_{n}^{*}\)일 때 \(E_{Fi}>E_{\text{midgap}}\)(진성 페르미 준위는 가운데보다 위), \(m_{p}^{*}<m_{n}^{*}\)일 때 \(E_{Fi}<E_{\text{midgap}}\)(진성 페르미 준위는 가운데보다 아래)이다.

진성반도체에 불순물을 첨가하여 반도체의 능력이 향상된다. 불순물이 첨가된 진성반도체를 외인성반도체(extrinsic semiconductor)라고 한다.

위의 왼쪽 그림은 단결정 진성 실리콘 격자의 2차원 그림이다. 실리콘 원소를 오른쪽 그림처럼 5족원소(5개의 가전자를 가짐) 인(\(\text{P}\))으로 바꾸면 4개의 전자들은 실리콘 원자들과 공유결합하고, 5번째 전자는 인 원자와 약하게 결합되어있다. 이 다섯번째 원자를 도너(donor) 전자라고 한다. 다음 그림은 에너지밴드 그림이고 에너지준위 \(E_{d}\)는 도너 전자의 에너지 준위이다.

열에너지와 같은 작은 양의 에너지가 도너 전자에 가해지면 도너 전자는 전도대로 올라가고 양으로 대전된 +이온만 남는다. 이러한 형태의 불순물 원자는 전도대로 전자를 내놓기 때문에 도너 불순물 원자(donor impurity atom)라고 한다. 도너 불순물 원자는 가전자대에 정공을 만들지 않고 전도대에 전자를 제공한다. 따라서 이러한 반도체를 n형 반도체(n(negative)-type semiconductor)라고 한다.

실리콘에 3족원소(3개의 가전자를 가짐)인 붕소(\(\text{B}\))를 첨가하면 위의 왼쪽 그림대로 3개의 전자들은 모두 공유결합하고, 1개의 공유결합 자리가 남는다. 전자가 이 빈자리를 차지하려면 전자의 에너지가 가전자의 에너지보다 커야 하나 이 빈자리를 차지하는 전자는 전도대로 상승할 만큼의 큰 에너지를 얻지 못하기 때문에 빈 자리의 에너지 상태는 전도대의 에너지 보다 훨씬 작은 에너지를 갖는다. 위의 오른쪽 그림은 가전자들이 작은 열에너지를 얻어서 결정 내부에서 이동하는 것을 나타낸 것이다. 붕소 원자의 빈자리는 채워지고 다른 가전자 자리는 비게 되는데 이 다른 빈 전자의 자리는 정공이다. 다음 그림은 빈 자리의 에너지 상태와 전도대의 정공 생성을 나타낸 것이다.

정공은 결정 내부를 이동하면서 전류를 생성하나 음전하의 붕소 원자는 결정 내부에 고정되어 있다. 3족 원소는 가전자대로부터 전자를 받아들이므로 억셉터 불순물 원자(acceptor impurity atom)라고 한다. 억셉터 불순물 원자는 전도대에 전자를 만들지 않고 가전자대에 정공을 만든다. 따라서 이러한 반도체를 p형 반도체(p(positive)-type semiconductor)라고 한다.

순수한 단결정 반도체를 진성반도체라고 한다. 이 진성반도체에 도너 또는 억셉터와 같은 원자(도펀트(dopant) 원자)를 첨가하면 외인성반도체가 되는데 자유전자가 많은 n형 반도체, 정공이 많은 p형 반도체로 나뉜다. 

도너 불순물 이온과 도너 전자 사이의 거리를 이용하여 도너 전자를 전도대로 상승하는데 필요한 에너지를 구할 수 있고, 이 에너지를 이온화 에너지(ionization energy)라고 한다. 이 에너지는 보어의 원자모형을 이용하여 구할 수 있고, 양자역학적으로도 타당한 결과를 얻는다.

안정된 궤도운동을 위해 전자와 이온 사이의 쿨롱 힘이 전자의 원심력과 같다고 하면 \(\displaystyle\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon r_{n}^{2}}=\frac{m^{*}v^{2}}{r_{n}}\)이고 여기서 \(v\)는 속도의 크기, \(r_{n}\)은 궤도반지름이다. 각운동량도 양자화된다고 하면 \(m^{*}r_{n}v=n\hslash\)이고 위의 두 식으로부터 \(\displaystyle r_{n}=\frac{\hslash^{2}4\pi\epsilon}{m^{*}e^{2}}n^{2}\)이다. 보어 반지름은 \(\displaystyle a_{0}=\frac{4\pi\epsilon_{0}}{m_{0}e^{2}}=0.53\)Å으로 정의된다. 도너 궤도의 반지름은 보어 반지름으로 정규화하면 \(\displaystyle\frac{r_{n}}{a_{0}}=n^{2}\epsilon_{r}\left(\frac{m_{0}}{m^{*}}\right)\)이고, 여기서 \(\epsilon_{r}\)은 반도체의 유전상수, \(m_{0}\)는 전자의 정지질량, \(m^{*}\)는 반도체에서 전자의 전도도 유효질량이다.

궤도 전자의 총 에너지는 운동에너지 \(T\)와 전자의 위치(퍼텐셜)에너지 \(V\)의 합 \(E=T+V\)이다.$$T=\frac{1}{2}m^{*}v^{2}=\frac{m^{*}e^{4}}{2(n\hslash)^{2}(4\pi\epsilon)^{2}},\,V=-\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon r_{n}}=-\frac{m^{*}e^{4}}{(n\hslash)^{2}(4\pi\epsilon)^{2}}$$이므로 총 에너지는 \(\displaystyle E=T+V=-\frac{m^{*}e^{4}}{2(n\hslash)^{2}(4\pi\epsilon)^{2}}\)이다.

\(\text{GaAs}\)의 경우, 6족원소 \(\text{Se}\), \(\text{Te}\)는 5족원소 \(\text{As}\)자리에 불순물로 들어가 도너 불순물이 되고, 4족 원소 \(\text{Si}\), \(\text{Ge}\)는 3족원소 \(\text{Ga}\)자리에 불순물로 들어가 억셉터 불순물이 된다. \(\text{Ge}\)도 이와 같은 성질을 갖고, 이러한 불순물을 양쪽성(amphoteric)이라고 한다. 

진성반도체는 순수한 반도체이나 외인성반도체는 불순물이 있어서 전자가 우세한 n형 반도체와 정공이 우세한 p형 반도체로 나뉜다. 진성반도체에 도너 또는 억셉터 불순물을 첨가하면 전자와 정공의 에너지 분포가 변하게 된다. 다음의 그림에서 왼쪽은 \(E_{F}>E_{Fi}\)인 경우( n형 반도체)를, 오른쪽은 \(E_{F}<E_{Fi}\)인 경우(p형 반도체)를 나타낸 것이다.

다음의 식$$n_{0}=N_{c}e^{-\frac{E_{c}-E_{F}}{kT}},\,p_{0}=N_{v}e^{-\frac{E_{F}-E_{v}}{kT}}$$에 의해 밴드갭 에너지 안에서 변하는 페르미 에너지에 따라 \(n_{0}\)과 \(p_{0}\)의 값이 변한다. 

n형 반도체에서 전자를 다수 캐리어(majority carrier), 정공을 소수 캐리어(minority carrier)라고 하고, 반대로 p형 반도체에서 정공을 다수 캐리어, 전자를 소수 캐리어라고 한다.$$n_{0}=N_{c}e^{\frac{-(E_{c}-E_{Fi})+(E_{F}-E_{Fi})}{kT}}=N_{c}e^{-\frac{E_{c}-E_{Fi}}{kT}}e^{\frac{E_{F}-E_{Fi}}{kT}}$$이고 진성캐리어 농도가 \(\displaystyle n_{i}=N_{c}e^{-\frac{E_{c}-E_{Fi}}{kT}}\)이므로 열평형 상태의 전자의 농도는 \(\displaystyle n_{0}=n_{i}e^{\frac{E_{F}-E_{Fi}}{kT}}\)이다. 위와 같은 방법을 이용하면 열평형 상태의 정공농도는 \(\displaystyle p_{0}=n_{i}e^{-\frac{E_{F}-E_{Fi}}{kT}}\)이다.

\(E_{F}>E_{Fi}\)이면 \(p_{0}<n_{i}<n_{0}\)이고, \(E_{F}<E_{Fi}\)이면 \(n_{0}<n_{i}<p_{0}\)이다. 따라서 n형에서 \(E_{F}>E_{Fi}\)이므로 \(n_{0}>p_{0}\)이고 p형에서 \(E_{F}<E_{Fi}\)이므로 \(n_{0}<p_{0}\)이다. 식$$n_{0}p_{0}=N_{c}N_{v}e^{-\frac{E_{c}-E_{F}}{kT}}e^{-\frac{E_{F}-E_{v}}{kT}}=N_{c}N_{v}e^{-\frac{E_{g}}{kT}}$$은 일반적인 페르미 에너지에 대해 유도되었기 때문에 \(n_{0}\)와 \(p_{0}\)가 같을 필요는 없다. 그러나 이 위의 식은 진성반도체의 식과 완전히 같으므로 열평형 상태에 있는 반도체에 대해 \(n_{0}p_{0}=n_{i}^{2}\)이고, 이 식은 볼츠만 근사로부터 얻은 것이기 때문에 볼츠만 근사를 할 수 없다면 이 식은 성립할 수 없다.

볼츠만 근사를 적용할 수 없을 때의 전자의 농도는 \(\displaystyle n_{0}=\frac{4\pi}{h^{3}}(2m_{n}^{*})^{\frac{3}{2}}\int_{E_{c}}^{\infty}{\frac{\sqrt{E-E_{c}}}{1+e^{\frac{E-E_{F}}{kT}}}dE}\)이고 \(\displaystyle\eta=\frac{E-E_{c}}{kT}\), \(\displaystyle\eta_{F}=\frac{E_{F}-E_{c}}{kT}\)라고 하면 \(\displaystyle n_{0}=4\pi\left(\frac{2m_{n}^{*}kT}{h^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\int_{0}^{\infty}{\frac{\sqrt{\eta}}{1+e^{(\eta-\eta_{F})}}d\eta}\)이고, 위와 같은 방법을 이용하여 열평형 상태의 정공의 농도를 \(\displaystyle p_{0}=4\pi\left(\frac{2m_{p}^{*}kT}{h^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\int_{0}^{\infty}{\frac{\sqrt{\eta'}}{1+e^{\eta'-\eta_{F}'}}d\eta'}\)로 구할 수 있으며 여기서 \(\displaystyle\eta'=\frac{E_{v}-E}{kT}\), \(\displaystyle\eta_{F}'=\frac{E_{v}-E_{F}}{kT}\)이다. 

여기서의 적분 \(\displaystyle F_{\frac{1}{2}}(\eta_{F})=\int_{0}^{\infty}{\frac{\sqrt{\eta}}{1+e^{\eta-\eta_{F}}}d\eta}\)를 페르미-디락 적분이라 하고, 그 그래프는 다음과 같다.

불순물은 n형 반도체에서 개별적이고 비간섭적인 도너 에너지 상태를 만들고, p형 반도체에서 개별겆이고 비간섭적인 억셉터 에너지를 만든다. 이러한 형태의 반도체를 비축퇴(nondegenerate) 반도체라고 한다. 반대로 n형 반도체에서 불순물 농도가 증가할 때 도너 농도가 증가함에 따라 개별적인 도너 에너지 상태가 에너지밴드로 형성되어 전도대의 하단과 겹치게 되고, 전도대의 전자농도가 상태밀도 \(N_{c}\)보다 클 때 페르미 에너지는 전도대 내부에 있게 된다. 이러한 반도체를 축퇴(degenerate) n형 반도체라고 하고, 마찬가지로 p형 반도체에서 불순물 농도가 증가할 때 억셉터 농도가 증가함에 따라 개별적인 억셉터 에너지 상태가 에너지밴드로 형성되어 가전자대의 상단과 겹치게 되고, 가전자대의 정공농도가 상태밀도 \(N_{v}\)보다 클 때 페르미 에너지는 가전자대 내부에 있게 된다. 이러한 형태의 반도체를 축퇴 p형 반도체라고 한다. 다음은 축퇴 n형, p형 반도체에 대한 에너지밴드의 모형이다.

위의 그림 왼쪽에서 \(E_{F}\)와 \(E_{c}\)사이는 전자로 채워져 있고, \(E_{c}\)와 \(E_{v}\)사이는 비어있으므로 전도대의 전자의 농도는 크다. 오른쪽에서 \(E_{F}\)와 \(E_{v}\)사이는 정공으로 채워져 있고, \(E_{v}\)와 \(E_{c}\)사이는 비어있으므로 가전자대의 정공의 농도는 크다.

참고자료:

Introduction to Semiconductor Devices, Neamen, McGraw-Hill

Semiconductor Physics And Devices, Neamen, McGraw-Hill