[반도체] 5, pn접합(2)

[반도체] 5, pn접합(2)

p, n영역에 전위를 공급하면 평형상태가 되지 않으므로 페르미 에너지 준위는 일정하지 않다. 다음 그림은 p영역을 기준으로 n영역에 양의 전압을 인가했을 때의 pn접합의 에너지밴드 다이어그램이다.

양의 전위가 아래를 향하므로 n형 영역의 페르미 준위는 p형 영역의 페르미 준위보다 아래쪽에 있고, 이 둘 사이의 전위차는 공급된 전압의 에너지 단위와 같다.

총 전위장벽은 \(V_{\text{total}}=|\phi_{Fn}|+|\phi_{Fp}|+V_{R}=V_{bi}+V_{R}\)이고 여기서 \(V_{R}\)은 공급된 역 바이어스 전압의 크기이고 \(V_{bi}\)는 열평형 상태에서 정의한 내부 전위장벽 이다.

다음의 그림은 역방향 바이어스 전압 \(V_{R}\)을 공급했을 때의 pn접합이다.

여기서 \(E_{\text{app}}\)는 공간전하영역(공핍영역) 내부에서의 전기장 및 인가전압에 의해 유도된 전기장이고 중성인 p, n영역에서 전기장은 거의 0이며 이것은 공간전하 영역 내부의 전기장의 크기가 외부 공급전압에 의한 전기장으로 인해 열평형 상태의 값 이상으로 큼을 의미한다. 전기장은 양의 전하에서 시작해 음의 전하에서 끝나기 때문에 전기장이 증가하면 양, 음전하 값 모두 증가해야 한다.

양, 음전하의 수는 공간전하폭 \(W\)가 증가할 때 증가한다. 

모든 식에서 내부 전위장벽을 총 전위장벽으로 바꾸어 나타낼 수 있고, 총 공간 전하폭은 \(\displaystyle W=\sqrt{\frac{2\epsilon_{s}(V_{bi}+V_{R})}{e}\left\{\frac{N_{a}+N_{d}}{N_{a}N_{d}}\right\}}\)이고, 이때$$x_{p}=\sqrt{\frac{2\epsilon_{s}(V_{bi}+V_{R})}{e}\left(\frac{N_{d}}{N_{a}}\right)\frac{1}{N_{a}+N_{d}}},\,x_{n}=\sqrt{\frac{2\epsilon_{s}(V_{bi}+V_{R})}{e}\left(\frac{N_{a}}{N_{d}}\right)\frac{1}{N_{a}+N_{d}}}$$이다.

공핍영역 내부에서의 전기장의 크기는 공급된 역 바이어스 전압에 의해 증가하며 공간전하 영역 전체에 걸쳐 거리에 대한 선형함수이다. 

야금학적 접합에서의 최대 전기장의 크기는 \(\displaystyle E_{\max}=-\frac{eN_{d}x_{n}}{\epsilon_{s}}=-\frac{eN_{a}x_{p}}{\epsilon_{s}}\)이고, 총 전위장벽 \(V_{bi}+V_{R}\)을 이용하여 나타내면$$E_{\max}=-\sqrt{\frac{2e(V_{bi}+V_{R})}{\epsilon_{s}}\left(\frac{N_{a}N_{d}}{N_{a}+N_{d}}\right)}=-\frac{2(V_{bi}+V_{R})}{W}$$이다(\(W\)는 총 공간전하폭).

공핍영역 내부에서는 양, 음의 전하가 분리되기 때문에 양, 음 전하와 그 분리된 공간을 커패시터로 볼 수 있다. 다음의 그림은 \(V_{R}\), \(V_{R}+dV_{R}\)로 역방향 바이어스 전압이 공급될 때의 공핍영역에서의 전하밀도이다.

역방향 바이어스 전압 \(dV_{R}\)의 증가는 n영역에서는 양전하를, p영역에서는 음전하를 발생시키고 앞에서 언급한 커패시터의 커패시턴스(접합 커패시턴스)를 \(\displaystyle C'=\frac{dQ'}{dV_{R}}\)로 정의한다. 이때 \(dQ'=eN_{d}dx_{n}=eN_{d}dx_{n}=eN_{a}dx_{p}\)이고, \(dQ'\)의 단위는 \(\text{C/cm}^{2}\)이고, \(C'\)의 단위는 \(\text{F/cm}^{2}\)(단위 면적당 커패시턴스)이다.

총 전위장벽은 \(\displaystyle x_{n}=\sqrt{\frac{2\epsilon_{s}(V_{bi}+V_{R})}{e}\left(\frac{N_{a}}{N_{d}}\right)\frac{1}{N_{a}+N_{d}}}\)이고 \(\displaystyle C'=\frac{dQ'}{dV_{R}}=eN_{d}\frac{dx_{n}}{dV_{R}}\)이므로 \(\displaystyle C'=\sqrt{\frac{e\epsilon_{s}N_{a}N_{d}}{2(V_{bi}+V_{R})(N_{a}+N_{d})}}=\frac{\epsilon_{s}}{W}\)이다. p영역에서는 \(\displaystyle x_{p}=\sqrt{\frac{2\epsilon_{s}(V_{bi}+V_{R})}{e}\left(\frac{N_{d}}{N_{a}}\right)\frac{1}{N_{a}+N_{d}}}\)를 이용하여 나타낼 수 있다. 접합 커패시턴스를 공핍층 커패시턴스(depletion layer capacitance)라고 한다.

여기서는 특수한 pn접합인 단측 접합(one-sided junctions)에 대해 다룰 것이다. \(N_{a}\gg N_{d}\)이면 이 접합을 p+n접합이라고 한다. 이때의 총 공간 전하폭은 \(\displaystyle W\approx\sqrt{\frac{2\epsilon_{s}(V_{bi}+V_{R})}{eN_{d}}}\)이다. p+n접합에서 \(x_{p}\ll x_{n}\)이고 \(W\approx x_{n}\)이다. 대부분의 전체적인 공간전하층은 적게 도핑된 쪽으로 확장하게 된다.(아래 그림 참고)

p+n접합의 접합 커패시턴스는 \(\displaystyle C'\approx\sqrt{\frac{e\epsilon_{s}N_{d}}{2(V_{bi}+V_{R})}}\)이고 단측 접합에서의 공핍층 커패시턴스는 적게 도핑된 영역 내부에서의 도핑농도의 함수이다. \(\displaystyle\left(\frac{1}{C'}\right)^{2}=\frac{2(V_{bi}+V_{R})}{e\epsilon_{s}N_{d}}\)이므로 공핍층 커패시턴스의 역수의 제곱은 공급된 역 바이어스 전압의 선형함수이다.(아래 그림 참고)

pn접합 양단에 역 바이어스 전압을 공급했을 때의 효과들을 결정할 수 있으나 역 바이어스 전압은 무제한으로 증가시킬 수 없다. 즉 어떤 특정 전압에서 역 바이어스 전류는 급격하게 증가할 수 있고, 이 특정 전압을 항복전압(breakdown voltage)이라고 한다. 

pn접합에 있어서 역 바이어스 항복을 일으키는 두 물리적 메커니즘은 제너효과(Zener effect)와 애벌런치 효과(avalance effect)가 있다.

제너효과는 강하게 도핑된 pn접합에서 발생하는 터널링 메커니즘에 의해 일어난다. 강하게 도핑된 접합에서 역 바이어스 되어있을 때 접합의 반대쪽 전도대와 가전자대는 가까워져서 전자는 p영역의 가전자대로부터 n영역의 전도대로 터널링(tunneling)이 일어난다.(아래 그림 참고)

애벌런치 항복 과정은 공간전하 영역을 건너 운동하는 전자 또는 정공이 전기장으로 인해 충분한 에너지를 얻어 공핍층 내부에서 원자적 전자와 충돌해서 전자-정공 쌍이 생성된다. 다음의 그림은 애벌런치 과정을 나타낸 것이다.

새로 생성된 전자와 정공은 전기장에 의해 서로 반대방향으로 움직이고 그로 인해 역 바이어스 전류가 증가하게 된다. 새로 생성된 전자 또는 정공은 다른 원자를 이온화하는데 충분한 에너지를 얻게 되어 애벌런치 과정을 일으킨다.

역 바이어스 전자전류 \(I_{n0}\)가 다음 그림처럼 \(x=0\)에서 공핍영역으로 들어간다고 하면 전자전류 \(I_{n}\)은 애벌런치 과정으로 인해 공핍영역에 걸쳐 거리에 따라 증가한다.

\(x=W\)에서 전자전류는 \(I_{n}(W)=M_{n}I_{n0}\)이고 여기서 \(M_{n}\)은 증배인자이다. 정공전류는 n형 영역에서 p형 영역으로 공핍영역을 통해 증가하고 \(x=0\)에서 최댓값에 도달하며, 총 전류는 정상상태일 때 pn접합 전체에서 일정하다.

어느 점 \(x\)에서 증분 전자 전류는 \(dI_{n}(x)=I_{n}(x)\alpha_{n}dx+I_{p}(x)\alpha_{p}dx\)이고 여기서 \(\alpha_{n}\)과 \(\alpha_{p}\)는 각각 전자, 정공의 이온화율로 단위 길이당 한 개의 전자 또는 한개의 정공만큼 생성되는 전자-정공 쌍의 수이다. \(\displaystyle\frac{dI_{n}(x)}{dx}=I_{n}(x)\alpha_{n}+I_{p}(x)\alpha_{p}\)이고 총 전류는 \(I=I_{n}(x)+I_{p}(x)\)으로 일정하며 미분방정식 \(\displaystyle\frac{dI_{n}(x)}{dx}+(\alpha_{p}-\alpha_{n})I_{n}(x)=\alpha_{p}I\)으로 나타낼 수 있다.

전자와 정공의 이온화율이 같으면(\(\alpha_{n}=\alpha_{p}=\alpha\)) 위의 미분방정식은 \(\displaystyle\frac{dI_{n}(x)}{dx}=\alpha_{p}I\)이고 \(\displaystyle I_{n}(W)-I_{n}(0)=I\int_{0}^{W}{\alpha dx}\)이며 \(\displaystyle\frac{M_{n}I_{n0}-I_{n}(0)}{I}=\int_{0}^{W}{\alpha dx}\)로 나타낼 수 있고, \(M_{n}I_{n0}\approx I\), \(I_{n}(0)=I_{n0}\)이므로 \(\displaystyle1-\frac{1}{M_{n}}=\int_{0}^{W}{\alpha dx}\)이다. 이때 애벌런치 항복전압을 증배인자 \(M_{n}\)이 무한대로 접근하는 전압을 정의하고, 애벌런치 항복조건은 \(\displaystyle\int_{0}^{W}{\alpha dx}=1\)이다.

이온화율은 전기장에 의존하는 함수이고 전기장은 공간전하 영역에서 일정하지 않기 때문에 수식으로 나타내기가 어렵다.

p+n 단측 접합에서 최대 전기장 크기는 \(\displaystyle E_{\max}=\frac{eN_{d}x_{n}}{\epsilon_{s}}\)이고 \(\displaystyle x_{n}\approx\sqrt{\frac{2\epsilon_{s}V_{R}}{eN_{d}}}\)이며 여기서 \(V_{R}\)은 역 바이어스 전압의 크기이고 내부 전위 \(V_{bi}\)는 무시했다. 이때 \(V_{R}\)을 항복전압 \(V_{B}\) 라고 하면 항복에서의 최대전기장 \(E_{\max}\)는 임계전기장 \(E_{\text{crit}}\)으로 정의되고 위의 두 식들로부터 \(\displaystyle V_{B}=\frac{\epsilon_{s}E_{\text{crit}}^{2}}{2eN_{B}}\)이며 여기서 \(N_{B}\)는 단측 접합의 저 농도로 도핑된 반도체의 도핑농도이다.(아래 그림 참고)

다음의 그림은 단측 계단형 접합과 선형적 기울기를 갖는 버합에 대해 항복전압을 보인 그림이다.

그동안 pn접합의 반도체 영역이 균일하게 도핑되었다고 했었다. 그러나 실제로는 불균일하게 도핑되어 있다.

기판이 균일하게 도핑된 n형 반도체라고 생각하고 표면을 통해 억셉터 원자가 확산된다고 하면 불순물 농도의 분포는 다음과 같다.

다음 그림은 선형적으로 경사진 도핑을 갖는 접합의 공핍영역 내부에서의 공간전하의 밀도이고 야금학적 접합은 \(x=0\)이다.

공간전하밀도는 \(\rho(x)=eax\)이고 여기서 \(a\)는 순수한 불순물의 농도의 기울기이다. 

공간전하 영역 내부에서의 전기장과 전위는 포아송 방정식으로부터 구할 수 있고, \(\displaystyle\frac{dE}{dx}=\frac{\rho(x)}{\epsilon_{s}}=\frac{eax}{\epsilon_{s}}\)이므로 전기장은\(\displaystyle E=\int{\frac{eax}{\epsilon_{s}}dx}=\frac{ea}{2\epsilon_{s}}(x^{2}-x_{0}^{2})\)이다.

전위 \(\phi\)는 전기장 \(E\)를 적분함으로써 구할 수 있고 \(x=-x_{0}\)에서 \(\phi=0\)이라고 하면$$\phi=-\int{Edx}=-\frac{ea}{2\epsilon_{s}}\left(\frac{1}{3}x^{3}-x_{0}^{2}x\right)+\frac{ea}{3\epsilon_{s}}x_{0}^{3}$$이고 \(x=+x_{0}\)에서의 전위의 크기는 내부 전위장벽과 같으므로 \(\displaystyle\phi(x_{0})=\frac{2eax_{0}^{3}}{3\epsilon_{s}}=V_{bi}\)이다. 내부 전위를 \(\displaystyle V_{bi}=V_{t}\ln\frac{N_{d}(x_{0})N_{a}(-x_{0})}{n_{i}^{2}}\)로 나타낼 수 있고, 여기서 \(N_{d}(x_{0})\)와 \(N_{a}(-x_{0})\)는 공간전하 영역의 끝에서의 도핑농도이고 \(N_{d}(x_{0})=ax_{0}\), \(N_{a}(-x_{0})=ax_{0}\)이므로 \(\displaystyle V_{bi}=V_{t}\ln\left(\frac{ax_{0}}{n_{i}}\right)^{2}\)이다.

접합에 역방향 바이어스 전압을 공급하면 전위장벽이 증가하게 되고 \(V_{bi}\)는 \(V_{bi}+V_{R}\)로 바뀌게 된다. 그러면 \(\displaystyle x_{0}=[3]\sqrt{\frac{3\epsilon_{s}}{2ea}(V_{bi}+V_{R})}\)이다. 

단위면적당 접합 커패시턴스는 균일하게 도핑된 경우와 같은 방법으로 구할 수 있다. 다음 그림은 미분전압 \(dV_{R}\)이 공급될 때 \(dQ'\)이 나타나는 것을 나타낸 것이다.

이때의 접합 커패시턴스는$$C'=\frac{dQ'}{dV_{R}}=eax_{0}\frac{dx_{0}}{dV_{R}}=\sqrt[3]{\frac{ea\epsilon_{s}^{2}}{12(V_{bi}+V_{R}}}$$이다. 

\(C'\)은 균일하게 도핑된 접합에서 \((V_{bi}+V_{R})^{-\frac{1}{2}}\)에 비례하고, 선형적 기울기를 갖는 접합에서 \((V_{bi}+V_{R})^{-\frac{1}{3}}\)에 비례한다.

다음의 그림은 일반적인 단일 p+n접합의 도핑분포이다.

\(x>0\)에서 n형 도핑농도는 \(N=Bx^{m}\)이고, \(m\)이 음의 값을 가질 때 초계단형 접합(Hyperabrupt junction)이라고 한다. 이 경우 n형 도핑은 야금학적 접합근처에 많고, 접합 커패시턴스는 앞의 방법대로 구하면 \(\displaystyle C'=\left\{\frac{eB\epsilon_{s}^{m+1}}{(m+2)(V_{bi}+V_{R})}\right\}^{\frac{1}{m+2}}\)이다. \(m\)이 음이면 커패시터는 버렉터 다이오드(varactor diode)에서 요구되는 특성인 역 바이어스 전압에 매우 강하고, 버렉터(varactor)는 variable과 reactor의 합성어이다. 그러므로 리액턴스는 바이어스 전압에 의해 조절된다.

버렉터 다이오드와 인덕턴스가 병렬로 연결되어있을 때, 그 LC회로의 공진주파수는 \(\displaystyle f_{r}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\)이다. 

다이오드의 커패시터를 \(C=C_{0}(V_{bi}+V_{R})^{-\frac{1}{m+2}}\)형태로 나타낼 수 있고, 공진주파수가 역방향 바이서스 전압 \(V_{R}\)의 선형함수가 되기 위해서는 \(C\alpha V^{-2}\)형태가 되어야 하고 따라서 \(\displaystyle\frac{1}{m+2}=2\), \(\displaystyle m=-\frac{3}{2}\)이어야 한다.

참고자료:

Introduction to Semiconductor Devices, Neamen, McGraw-Hill

Semiconductor Physics And Devices, Neamen, McGraw-Hill