[반도체] 2. 반도체(2)

[반도체] 2. 반도체(2)

페르미-디락 확률함수를 유도하는데 하나의 입자만이 하나의 양자 상태에 허용되는 파울리의 배타원리가 이용되었다. 파울리의 배타원리는 도너와 억셉터에서도 적용이 가능하다.

각 도너 준위는 2개의 양자상태를 가지고 있으나 모든 도너 준위의 동일한 방향의 스핀이 우선 채워진 후, 다른 방향의 스핀이 채워지므로 전자 한 개가 하나의 양자 상태에 들어가면 다른 전자가 두 번째 양자 상태에 들어가는 것이 불가능해진다. 따라서 도너 에너지 상태의 도너 준위에 대한 분포함수는 페르미-디락 함수와는 다르다.

도너 상태를 차지하는 전자의 확률함수는 \(\displaystyle n_{d}=\frac{N_{d}}{1+\frac{1}{2}e^{\frac{E_{d}-E_{F}}{kT}}}\)이고 여기서 \(n_{d}\)는 도너 준위를 차지하는 전자의 농도, \(E_{d}\)는 도너 준위의 에너지이다. 여기서의 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)는 \(\displaystyle\frac{1}{g}\)로 나타내고 \(g\)를 퇴화인자(degeneracy factor)라고 한다. 

위의 전자의 농도의 식을 \(n_{d}=N_{d}-N_{d}^{+}\)로 나타낼 수 있고, 여기서 \(N_{d}^{+}\)는 이온화된 도너농도이다. 억셉터 원자에 대해서도 \(\displaystyle p_{a}=\frac{N_{a}}{1+\frac{1}{g}e^{\frac{E_{F}-E_{a}}{kT}}}=N_{a}-N_{a}^{-}\)로 나타낼 수 있고, 여기서 \(E_{a}\)억셉터 에너지 준위, \(p_{a}\)는 억셉터 에너지 준위에 있는 정공의 농도, \(N_{a}^{-}\)는 이온화된 억셉터 농도이다. \(g\)는 앞에서 언급했듯이 퇴화인자이다. 

\(E_{d}-E_{F}\gg kT\)이면 \(\displaystyle n_{d}\approx\frac{N_{d}}{\frac{1}{2}e^{\frac{E_{d}-E_{F}}{kT}}}=2N_{d}e^{-\frac{E_{d}-E_{F}}{kT}}\)이고, 이 경우 볼츠만 근사가 전도대의 전자에 적용되므로 \(\displaystyle n_{0}=N_{c}e^{-\frac{E_{c}-E_{F}}{kT}}\)이다.

도너 상태의 전자와 전도대, 도너 상태에 있는 전자들의 총 수의 비율은$$\begin{align*}\frac{n_{d}}{n_{d}+n_{0}}&=\frac{2N_{d}e^{-\frac{E_{d}-E_{F}}{kT}}}{2N_{d}e^{-\frac{E_{d}-E_{F}}{kT}}+N_{c}e^{-\frac{E_{c}-E_{F}}{kT}}}\\&=\frac{1}{1+\frac{N_{c}}{2N_{v}}e^{-\frac{E_{c}-E_{d}}{kT}}}\end{align*}$$이고, 여기서 \(E_{c}-E_{d}\)는 도너 전자의 이온화 에너지이다.

상온에서 도너 상태는 기본적으로 완전 이온화(complete ionization)가 되고, 일반적인 도핑농도 \(10^{16}\text{cm}^{-3}\)에서 거의 대부분의 도너 불순물 원자들은 전도대로 전자를 이온화 시킨다. 상온에서의 억셉터 또한 완전히 이온화 되고 이것은 모든 억셉터 원자들이 가전자대에서 전자를 하나씩 받아들여 \(p_{a}\)가 0이 됨을 뜻한다. 다음 그림은 이러한 이온화 과정을 나타낸 것이다.

완전이온화의 반대 현상은 \(T=0\text{K}\)에서 일어난다. 이때 모든 전자는 가능한 가장 낮은 에너지 상태에 있게 되고, 이것은 n형 반도체에서 각 도너 상태는 하나의 전자를 가져야 하기 때문에 \(n_{d}=N_{d}(N_{d}^{+}=0)\)이어야 한다. 그러면 \(\displaystyle e^{-\frac{E_{d}-E_{F}}{kT}}=0\)이어야 하고 \(T=0\text{K}\)이므로 \(E_{F}>E_{d}\)이어야 함을 뜻한다. 이것은 절대온도가 0일 때의 페르미 에너지가 도너 에너지 준위보다 위에 있음을 뜻한다. p형 반도체의 경우도 \(0\text{K}\)에서는 불순물 원자에 전자들이 존재하지 않고 페르미 에너지 준위가 억셉터 에너지 상태보다 아래에 있어야 한다. 이 현상을 자세히 분석하면 페르미 에너지는 n형 반도체의 경우 \(E_{c}\)와 \(E_{d}\)가운데에 위치하고 p형 반도체에 대해서는 \(E_{a}\)와 \(E_{v}\) 가운데에 위치한다. 다음의 그림은 이 과정을 나타낸 것이다.

도너 상태로부터 어떤 전자도 열에너지에 의해 전도대로 상승하지 못한다. 이러한 현상을 동결(freeze-out)이라고 한다. 마찬가지로 가전자대로부터 어떤 전자도 억셉터 상태로 상승하지 못하는 현상도 동결이라고 한다.

열평형상태에서 반도체는 중성이고 전자는 여러 에너지 상태에 걸쳐 분포하며 양전하, 음전하를 만들어내지만 순 전하밀도는 0이다. 

보상(compensated) 반도체는 같은 영역에 도너와 억셉터 불순물을 함께 도핑한 반도체이다. n형 보상반도체는 \(N_{d}>N_{a}\)일 때 형성되고, p형 반도체는 \(N_{d}<N_{a}\)일 때 형성된다. \(N_{d}=N_{a}\)이면 완전 보상 반도체이나 진성 반도체의 특성을 갖는다.

다음의 그림은 보상 반도체를 만들기 위해 도너, 억셉터 불순물을 같은 영역에 도핑했을 때의 반도체의 에너지 밴드를 나타내며, 전자와 정공이 에너지 상태에서 어떻게 분포될 수 있는가를 나타낸 것이다.

전하중성조건(charge neutrality condition)은 음전하와 양전하의 농도를 같게 둠으로써 나타낼 수 있다. 그러면 \(n_{0}+N_{a}^{-}=p_{0}+N_{a}^{+}\)이고 \(n_{0}+(N_{a}-p_{a})=p_{0}+(N_{a}-n_{d})\)이며 \(n_{0}\)와 \(p_{0}\)는 각각 전도대와 가전자대에 있는 열평형상태의 전자와 정공의 농도이다. \(n_{d}\)는 도너 에너지 상태에 있는 전자의 농도이므로 \(N_{d}^{+}=N_{d}-n_{d}\)는 양전하를 띤 도너상태의 농도이다. \(p_{a}\)는 억셉터 상태에 있는 정공농도이므로 \(N_{a}^{-}=N_{a}-p_{a}\)는 음전하를 띤 억셉터 상태의 농도이다. 

완전히 이온화되어있다고 하면 \(n_{d}\)와 \(p_{d}\) 모두 0이고, \(\displaystyle p_{0}=\frac{n_{i}^{2}}{n_{0}}\)이므로$$n_{0}+N_{a}=p_{0}+n_{d}=\frac{n_{i}^{2}}{n_{0}}+N_{d}$$이고, 이 식으로부터 2차방정식 \(n_{0}^{2}-(N_{d}-N_{a})n_{0}-n_{i}^{2}=0\)을 얻으며 \(N_{a}=N_{d}=0\)인 진성반도체에 대해 \(n_{0}=n_{i}\)이어야 하므로 근의 공식에 의해 \(\displaystyle n_{0}=\frac{N_{d}-N_{a}}{2}+\sqrt{\left(\frac{N_{d}-N_{a}}{2}\right)^{2}+n_{i}^{2}}\)이다. 이 식은 보상 반도체에 대해서 유도된 식이지만 \(N_{a}=0\)인 경우에도 용할 수 있고 n형 반도체(\(N_{d}>N_{a}\))의 전자농도를 계산할 때도 사용할 수 있다.

전도대의 전자농도는 도너 불순물 원자를 도핑할 때 진성 캐리어 농도 이상으로 증가하고, 동시에 소수 캐리어 정공농도는 도너 원자들을 도핑함에 따라 진성 캐리어 농도 이하로 감소한다. 도너 불순물 원자와 여기의 도너 전자를 도핑함에 따라 전자의 재분포가 일어난다(아래 그림 참고)

일부 도너 전자들이 가전자대의 빈 상태로 떨어져서 진성 정공의 일부가 사라져서 소수 캐리어 농도가 감소하고, 동시에 이러한 재분포로 인해 전도대의 순 전자농도는 도너농도와 진성 전자농도의 합과 같지 않다.

진성캐리어 농도 \(n_{i}\)는 온도의 영향이 크다. 온도가 증가하면 추가로 전자-정공 쌍이 열적으로 생성되어 \(n_{i}^{2}\)항이 가장 큰 영향력을 갖게 되고 반도체는 외인성 특성을 잃게 된다. 다음의 그림은 도너가 \(5\times10^{14}\text{cm}^{-3}\)으로 도핑도니 실리콘의 전자농도와 온도의 관계를 나타낸 것이다.

온도가 증가함에 따라 진성농도가 커지기 시작하는 영역이 존재하고 저온에서 부분이온화, 동결의 시작점이 존재한다.

식 \(n_{0}+N_{a}=p_{0}+N_{d}\)에서 \(\displaystyle n_{0}=\frac{n_{i}^{2}}{p_{0}}\)라고 하면 \(\displaystyle\frac{n_{i}^{2}}{p_{0}}+N_{a}=p_{0}+N_{d}\)이고 2차방정식 \(p_{0}^{2}-(N_{a}-N_{d})p_{0}-n_{i}^{2}=0\)을 얻으며 앞과 같은 이유로 \(\displaystyle p_{0}=\frac{N_{a}-N_{d}}{2}+\sqrt{\left(\frac{N_{a}-N_{d}}{2}\right)^{2}+n_{i}^{2}}\)이다. 이 식은 \(N_{d}=0\)일 때도 사용할 수 있고, p형 반도체(\(N_{a}>N_{d}\))의 열평형상태의 다수 캐리어 정공농도를 계산하는데 사용된다.

밴드갭 내부에서의 페르미 준위의 위치는 이미 유도된 열평형 상태의 전자와 정공의 농도의 식으로부터 결정된다. 볼츠만 근사를 사용할 수 있으면 \(\displaystyle n_{p}=n_{i}e^{\frac{E_{F}-E_{Fi}}{kT}}\)이고 \(\displaystyle E_{c}-E_{F}=kT\ln\frac{N_{c}}{n_{0}}\,\left(n_{0}=\frac{N_{d}-N_{a}}{2}+\sqrt{\left(\frac{N_{d}-N_{a}}{2}\right)^{2}+n_{i}^{2}}\right)\)이고 \(N_{d}\gg n_{i}\)인 n형 반도체의 경우 \(n_{0}\approx N_{d}\)이므로 \(\displaystyle E_{c}-E_{F}=kT\ln\frac{N_{c}}{N_{d}}\)이며 보상반도체의 경우 \(N_{d}\)에 \(N_{d}-N_{a}\)(유효 도너농도)를 대입한다. 

\(\displaystyle n_{0}=n_{i}e^{\frac{E_{F}-E_{Fi}}{kT}}\)이므로 \(\displaystyle E_{F}-E_{Fi}=kT\ln\frac{n_{0}}{n_{i}}\)이고 순 유효 도너농도가 0이면 \(N_{d}-N_{a}=0\)이므로 \(n_{0}=n_{i}\), \(E_{F}=E_{Fi}\)이다. 

p형 반도체에 대해서도 같은 형태의 방정식을 유도할 수 있다. \(p_{0}=N_{v}e^{-\frac{E_{F}-E_{v}}{kT}}\)이므로 \(\displaystyle E_{F}-E_{v}=kT\ln\frac{N_{v}}{p_{0}}\)이고 \(N_{a}\gg n_{i}\)이면 \(\displaystyle E_{F}-E_{v}=kT\ln\frac{N_{v}}{N_{a}}\)이며 보상반도체의 경우 \(N_{a}\)에 \(N_{a}-N_{d}\)(순 유효 억셉터 농도)를 대입한다. 다음 그림은 n형(\(N_{d}>N_{a}\))과 p형(\(N_{d}<N_{a}\))반도체의 페르미 준위의 위치이다.

페르미 에너지 준위를 도핑농도의 함수로 나타낼 수 있다. 다음은 \(T=300\text{K}\)에서 실리콘에 대한 도너농도(n형)와 억셉터농도(p형)의 함수로서 페르미 준위를 나타낸 것이다.

다양한 도핑농도에 대해서는 다음과 같다.

참고자료:

Introduction to Semiconductor Devices, Neamen, McGraw-Hill

Semiconductor Physics and Devices, Neamen, McGraw-Hill