[반도체] 3. 캐리어 이동현상

[반도체] 3. 캐리어 이동현상

반도체에 작용하는 전기장은 정공에 힘을 가하게 되어 전도대와 가전자대에 이용할 수 있는 에너지 상태가 있으면 가속되고 운동을 한다. 전기장에 의한 전하의 순수한 운동을 표동(drift)이라고 하고, 전하의 순수한 표동은 표동 전류를 발생시킨다.

평균 표동 속도 \(v_{d}\)로 운동하는 양의 체적 전하밀도 \(\rho\)가 있을 때의 표동 전류밀도는 \(J_{\text{drift}}=\rho v_{d}\)이고 \(J\)의 단위는 \(\text{C/cm}^{2}-\text{s}\) 또는 \(\text{A/cm}^{2}\)이다. 정공에 의한 양전하 일때의 체적 전하밀도는 \(J_{\text{p|drift}}=(ep)v_{dp}\)이다. 여기서 \(v_{dp}\)는 정공의 평균 표동속도, \(p\)는 정공의 농도이다.

전기장이 존재하는 곳에서 양전하인 정공의 운동방정식은 \(F=m_{p}^{*}a=eE\)이고 여기서 \(e\)는 전하량, \(a\)는 가속도, \(E\)는 전기장의 크기, \(m_{p}^{*}\)는 정공의 유효질량이다. 반도체에서 전하 입자들은 이온화된 불순물 원자들과 열적 진동을 하는 격자 원자들과 충돌을 해서 입자의 속도 특성이 변한다. 

정공이 전기장에 의해 가속되어 속도가 증가하고 전하 입자들이 결정의 원자들과 충돌할 때 입자는 에너지를 거의 잃는다. 다시 가속되기 시작하고 다시 충돌할 때까지 에너지를 얻으며 이 과정은 계속 반복되고 이때 평균 표동속도를 갖는다. 낮은 전기장에서는 전기장 크기에 직접 비례하고 이때 \(v_{dp}=\mu_{p}E\)이다. \(\mu_{p}\)는 정공 이동도로 불리는 비례상수이고 단위는 \(\text{cm}^{2}/\text{V-s}\)이며 입자가 어떻게 잘 이동하는가를 나타내기 때문에 반도체의 중요한 파라미터이다.

따라서 정공에 의한 표동 전류밀도는 \(J_{\text{p|drift}}=(ep)v_{dp}=e\mu_{p}pE\)이고 정공 표동전류는 전기장과 같은 방향이다. 

이와 같은 방법을 이용하면 전자의 표동 전류밀도는 \(J_{\text{n|drift}}=\rho v_{dn}=(-en)v_{dn}\)이고 \(v_{dn}\)은 전자의 평균 표동속도이며 전자의 순수한 전하밀도는 0이다. 전자의 평균 표동속도 역시 작은 전기장에서 전기장의 크기에 비례하고 전자는 음의 전하를 갖기 때문에 전자의 이동은 전기장과 반대이다. 따라서 \(v_{dn}=-\mu_{n}E\)이고 \(\mu_{n}\)은 전자 이동도로 양의 값을 가지며 \(J_{\text{n|drift}}=(-en)(-\mu_{n}E)=e\mu_{n}nE\)이다.

다음은 \(T=300\text{K}\)에서 \(\text{Si}\), \(\text{Ge}\), \(\text{GaAs}\)에 대한 이동도의 값이다.

전자와 정공이 모두 표동전류에 영향을 주기 때문에 전체 표동 전류밀도는 전자, 정공 표동전류 각각의 합인 \(J_{\text{drift}}=e(\mu_{n}n+\mu_{p}p)E\)이다.

앞에서 언급했던 전자가 존재하는 곳에서의 정공의 운동방정식을 \(\displaystyle F=m_{p}^{*}\frac{dv}{dt}=eE\)로 나타낼 수 있고 여기서 \(v\)는 전기장에 의한 입자의 속도이고 무작위 열속도는 포함하지 않는다. 유효질량과 전기장이 일정하면 \(\displaystyle v=\frac{eEt}{m_{p}^{*}}\)이고 초기 표동속도는 0이다. 다음은 반도체에서 전기장이 없을 때(왼쪽)와 전기장이 있을 때(오른쪽)의 통상적인 정공의 무작위 운동을 나타낸 것이다.

위 그림의 운동방향은 충돌에 의해 변하고, 충돌하는데 걸리는 시간을 \(\tau_{cp}\)라고 하면 충돌 또는 산란직전 피크속도는 \(\displaystyle v_{d|\text{peak}}=\left(\frac{e\tau_{cp}}{m_{p}^{*}}\right)E\)이고, 평균 표동속도는 최댓값의 절반이므로 \(\displaystyle\langle v\rangle=\frac{1}{2}\left(\frac{e\tau_{cp}}{m_{p}^{*}}\right)E\)이다. 그런데 충돌과정은 본질적으로 통계적이고, 정공이동도는 \(\displaystyle\mu_{p}=\frac{v_{dp}}{E}=\frac{e\tau_{cp}}{m_{p}^{*}}\)이며 비슷한 방법으로 전자이동도는 \(\mu_{n}=\frac{e\tau_{cn}}{m_{n}^{*}}\)이고 \(\tau_{cn}\)는 전자의 평균 충돌시간이다. 

반도체에서 캐리어 이동도에 영향을 주는 산란 메커니즘으로 포논산란(phonon scattering) 또는 격자산란(lattice scattering)과 이온화 불순물 산란(ionized impurity scattering)이 있다. 

반도체의 원자들은 \(0\text{K}\)이상에서 열에너지를 갖고 원자가 결정체 내부의 격자 위치 부근에서 무작위적으로 진동을 하고, 이 진동이 주기적 전위함수를 붕괴시킨다. 따라서 전자 또는 정공과 진동하는 격자 원자들 사이에 간섭을 일으키고 이러한 격자산란을 포논산란이라고 한다.

격자산란은 원자의 열운동의 영향만을 받으므로  산란이 발생하는 비율은 온도에 대한 함수이다. 단지 격자산란만이 존재할 때 관측되는 이동도를 \(\mu_{L}\)이라고 하면 \(T^{-\frac{3}{2}}\)에 비례한다. 다음 그림은 실리콘에서의 전자(왼쪽)와 정공(오른쪽) 이동도가 온도의 영향을 받음을 보여준다.

캐리어 이동도에 영향을 주는 두 번째 산란 메커니즘은 이온화 불순물 산란이다. 불순물은 상온에서 이온화되므로 쿨롱 상호작용이 전자 또는 정공과 이온화 불순물 사이에 존재한다. 이 쿨롱 상호작용은 산란 또는 충돌을 일으키고 전하 캐리어의 속도 특성을 변화시킨다. 이온화 불순물 산란만 존재하는 경우 관찰될 이동도를 \(\mu_{I}\)라고 할 때 \(\displaystyle\frac{T^{\frac{3}{2}}}{N_{I}}\)(\(N_{I}=N_{d}^{+}+N_{a}^{-}\)는 반도체의 총 이온화 불순물 농도)에 비례한다. 

다음 그림은 \(T=300\text{K}\)에서 불순물 농도 함수에 따른 \(\text{Ge}\), \(\text{Si}\), \(\text{GaAs}\)의 전자와 정공 이동도(이온화된 불순물 농도 \(N_{I}\)에 따른 이동도)이다.

격자 산란에 의한 충돌 사이의 평균시간을 \(\tau_{L}\)이라고 하면 \(\displaystyle\frac{dt}{\tau_{L}}\)은 미분시간 \(dt\)동안 격자 산란이 일어날 확률이다. 마찬가지로 \(\tau_{I}\)가 이온화 불순물 산란에 의한 충돌 사이의 평균시간이면 \(\displaystyle\frac{dt}{\tau_{I}}\)는 미분시간 \(dt\)동안 이온화된 불순물의 격자 산란이 일어날 확률이다. 이 두 산란과정들이 서로 독립이라고 하면 미분시간 \(dt\)에서 산란이 일어날 전체 확률은 \(\displaystyle\frac{dt}{\tau}=\frac{dt}{\tau_{I}}+\frac{dt}{\tau_{L}}\)이고 여기서 \(\tau\)는 어떤 산란 사이의 평균시간이다. 

\(\displaystyle\mu_{p}=\frac{e\tau_{cp}}{m_{p}^{*}}\), \(\displaystyle\mu_{n}=\frac{e\tau_{cn}}{m_{n}^{*}}\)이므로 위의 식으로부터 \(\displaystyle\frac{1}{\mu}=\frac{1}{\mu_{I}}+\frac{1}{\mu_{L}}\)이고 여기서 \(\mu_{I}\)는 이온화된 불순물 산란 과정에 의한 이동도, \(\mu_{L}\)은 격자 산란 과정에 의한 이동도, \(\mu\)는 이동도이다. 

표동 전류밀도는 \(\displaystyle J_{\text{drift}}=e(\mu_{n}n+\mu_{p}p)E=\sigma E\)이고 여기서 \(\sigma\)는 반도체의 전도도이다. 전도도의 단위는 \((\Omega-\text{cm})^{-1}\)이고 전자농도, 정공농도 및 이동도의 함수이다. 전도도의 역수는 비저항으로 \(\rho\)로 나타내며 단위는 \(\Omega-\text{cm}\)이고 \(\displaystyle\rho=\frac{1}{\sigma}=\frac{1}{e(\mu_{n}n+\mu_{p}p)}\)이다. 다음은 \(T=300\text{K}\)에서 \(\text{Si}\), \(\text{Ge}\), \(\text{GaAs}\)등에서의 불순물의 농도함수로 된 비저항의 그래프이다.

다음의 그림대로 반도체에 전류 \(I\)가 흐르도록 전압 \(V\)를 걸면

\(\displaystyle J=\frac{I}{A}\), \(\displaystyle E=\frac{V}{L}\)이므로 \(\displaystyle\frac{I}{A}=\sigma\frac{V}{L}\)이고$$V=\frac{L}{\sigma A}I=\left(\rho\frac{L}{A}\right)I=RI$$이고 이 식은 반도체에 대한 옴의 법칙이다.

반도체에서의 저항은 전도도 뿐만 아니라 반도체 구조의 영향을 받는다. 억셉터 도핑 p형 반도체(\(N_{d}=0\))에서 \(N_{a}\gg n_{i}\)이고 전자와 정공의 이동도가 같은 차수이면, 전도도는 \(\sigma=e(\mu_{n}n+\mu_{p}p)\approx e\mu_{p}p\)이다. 만약 모두 이온화 되있다면 \(\displaystyle\sigma\approx e\mu_{p}N_{a}\approx\frac{1}{\rho}\)이다. 

외인성 반도체의 전도도와 비저항은 다수 캐리어의 농도와 이동도의 영향을 받는다. 

반도체의 캐리어 농도와 전도도를 어느 특정한 도핑 농도에서 온도에 대한 함수로 나타낼 수 있다. 다음의 그림은 \(N_{d}=10^{15}\text{cm}^{-3}\)일 때 실리콘의 전자의 농도와 전도도를 온도의 역함수로 나타낸 것이다.

다음 그림은 \(\text{Ge}\), \(\text{Si}\), \(\text{GaAs}\)의 전자와 정공에 대한 전기장의 함수로서 평균 표동속도의 그래프이다.

반도체에서 전류를 유도할 수 있는 두번째 메커니즘이 있다. 다음의 그림은 용기가 얇은 막에 의해 두 칸으로 분리되어 있고 왼쪽은 특정 온도의 기체분자를, 오른쪽은 비어있다.

얇은 막이 없어지면 기체 분자들의 연속적인 무작위 열운동을 하기 때문에 비어있는 오른쪽 칸을 향해 이동한다. 확산(diffusion)은 높은 온도의 영역에서 낮은 영역으로 입자들이 흐르는 과정이고 이 상황에서 기체 분자들이 전기적 전하를 띠면 이러한 전하의 순 흐름에 의해 확산전류가 발생한다. 

다음의 그림은 전자의 농도가 1차원에서 변화하고 이때 온도는 균일하며 전자의 평균 열속도는 \(x\)에 독립적이라고 한다. 또한 거리 \(l\)이 한 전자의 평균 자유행정(mean free path)이 되어서 이 길이가 전자가 충돌 사이에 이동하는 평균거리(\(l=v_{th}\tau_{cn}\))라고 하면, \(x=-l\)에서 오른쪽으로 이동하는 전자들과 \(x=+l\)에서 왼쪽으로 이동하는 전자들은 \(x=0\)을 통과한다.

\(x=0\)에서 \(+x\)방향으로의 전자의 순흐름은$$F_{n}=\frac{1}{2}n(-l)v_{th}-\frac{1}{2}n(+l)v_{th}=\frac{1}{2}v_{th}\{n(-l)-n(+l)\}$$이고 전자농도에 대한 매클로린 급수(\(x=0\)에서의 테일러급수)전개를 해서 첫 두항만 고려하면$$F_{n}=\frac{1}{2}v_{th}\left\{\left(n(0)-l\frac{dn}{dx}\right)-\left(n(0)+l\frac{dn}{dx}\right)\right\}$$이므로 \(\displaystyle F_{n}=-v_{th}l\frac{dn}{dx}\)이고 각 전하는 전하 \(-e\)를 가지므로 전류밀도는 \(\displaystyle J=-eF_{n}=ev_{th}l\frac{dn}{dx}\)이다. 이 전류밀도를 전자 확산전류밀도(electron diffusion current density)라고 하고 전자농도의 거리에 대한 도함수 또는 농도의 기울기에 비례한다. 높은 전자농도에서 낮은 전자농도로의 전자의 확산은 전자 속(flux)을 만든다. 전자는 음의 전하를 갖기 때문에 전류의 방향은 \(+x\)이다. 

다음의 그림에서 왼쪽은 반도체에서 거리의 함수로서 전자의 농도를, 오른쪽은 반도체에서 거리의 함수로서 정공의 농도를 나타낸다.

위의 그림은 1차원 전자 속과 전류방향을 나타낸 것이다. 이 경우 전자 확산전류밀도를 \(\displaystyle J_{nx|dif}=eD_{n}\frac{dn}{dx}\)로 나타낼 수 있고, \(D_{n}\)은 전자 확산 계수로 단위는 \(\text{cm}^{2}\text{/s}\)의 단위를 갖는 양의 상수이다. 전류밀도의 기울기가 음이면 전자의 확산전류는 \(-x\)방향이다.

정공에 대해서도 비슷한 결과인 정공 확산전류밀도(hole diffusion current density)\(\displaystyle J_{px|dif}=-eD_{p}\frac{dp}{dx}\)을 얻고, \(D_{p}\)는 정공 확산 계수로 단위는 \(\text{cm}^{2}\text{/s}\)의 단위를 갖는 양의 상수이다. 정공밀도의 기울기가 음이 되면 정공의 확산전류는 \(+x\)방향이다.

반도체에는 4가지의 독립된 전류 메커니즘이 있다. 앞에서 다루었던 전자의 표동과 확산전류, 정공의 표동과 확산전류이다. 전체 전류밀도는 1차원의 경우$$J=en\mu_{n}E_{x}+ep\mu_{p}E_{x}+eD_{n}\frac{dn}{dx}-eD_{p}\frac{dp}{dx}$$이고, 3차원의 경우$$J=en\mu_{n}\mathbf{E}+ep\mu_{p}\mathbf{E}+eD_{n}\nabla n-eD_{p}\nabla p$$이다.

지금까지 다룬 반도체는 균일하게 도핑되었다고 가정했으나 실제로 거의 모든 반도체들은 불균일하게 도핑되어 있다.

도너 불순물 원자들로 불균일하게 도핑되었다고 하자. 열평형 상태에 있다면 페르미 에너지 준위는 일정하므로 에너지밴드 그림은 다음과 같다.

위 그림의 경우 도핑농도는 \(x\)가 증가할수록 감소하고 \(+x\)방향(높은 도핑영역으로부터 낮은 영역)으로의 다수 캐리어 전자의 확산이 있다. 전자의 흐름은 뒤에 양이온화된 도너 이온을 남기고, 양, 음전하의 분리는 확산과 반대방향으로 전기장을 유도한다. 평형상태에 도달하면 이동이 가능한 캐리어의 농도는 고정 불순물 농도와 같지 않고, 유도된 전기장은 전하분리를 억제한다.

전위 \(\phi\)와 전기장 \(E\) 사이의 관계가 \(E=-e\phi\)이므로 \(\displaystyle\phi=+\frac{1}{e}(E_{F}-E_{Fi})\)이고 1차원에서는 \(\displaystyle E_{x}=-\frac{d\phi}{dx}=\frac{1}{e}\frac{dE_{Fi}}{dx}\)이다. 만약 진성 페르미 준위가 열평형상태에서 거리의 함수이면, 전기장은 반도체 내부에 존재한다.

전자의 농도가 거의 도너 불순물 농도와 같은 준 중성조건(quasi-neutral condition)일 때 \(\displaystyle n_{0}=n_{i}e^{\frac{E_{F}-E_{Fi}}{kT}}\approx N_{d}(x)\)이고 \(E_{F}-E_{Fi}=kT\ln\frac{N_{d}(x)}{n_{i}}\)이다. 페르미 준위는 열평형상태에서 일정하므로 \(\displaystyle-\frac{dE_{Fi}}{dx}=\frac{kT}{N_{d}(x)}\frac{dN_{d}(x)}{dx}\)이고 따라서 전기장은 \(\displaystyle E_{x}=-\frac{kT}{eN_{d}(x)}\frac{dN_{d}(x)}{dx}\)이다. 전기장이 있기 때문에 불균일한 도핑에 의해 반도체 내부에 전위차가 발생한다.

불균일하게 도핑된 반도체가 전기적 연결이 없는 열평형 상태이면 전자와 정공, 전류는 각각 0이 되어야 한다. 즉$$J_{n}=0=en\mu_{n}E_{x}+eD_{n}\frac{dn}{dx}$$만약 준중성(\(n\approx N_{d}(x)\))이라고 하면$$J_{n}=0=e\mu_{n}N_{d}(x)E_{}+eD_{n}\frac{dN_{d}(x)}{dx}$$이며$$0=-e\mu_{n}N_{d}(x)\frac{kT}{eN_{d}(x)}\frac{dN_{d}(x)}{dx}+eD_{n}\frac{dN_{d}(x)}{dx}$$를 얻고, 이 식은 조건 \(\displaystyle\frac{D_{n}}{\mu_{n}}=\frac{kT}{e}\)에서 유효하다. 

정공 전류도 반도체 내부에서 0이 되어야 하므로 \(\displaystyle\frac{D_{p}}{\mu_{p}}=\frac{kT}{e}\)이고 관계식 \(\displaystyle\frac{D_{n}}{\mu_{n}}=\frac{D_{p}}{\mu_{p}}=\frac{kT}{e}\)를 얻으며 이 관계식을 아인슈타인 관계식이라고 한다. 다음은 \(\text{Ge}\), \(\text{Si}\), \(\text{GaAs}\)의 \(T=300\text{K}\)에서의 이동도와 확산계수 값이다.

홀 효과(Hall effect)는 반도체가 n형인지 p형인지를 구별하고, 다수 캐리어 농도와 이동도를 측정하는데 사용되며 자기장 감지기 및 회로 등에 광범위하게 사용된다. 다음의 그림은 홀 효과를 측정하기 위한 구조이다.

전하 \(q\)를 갖고 자기장에서 운동하는 입자에 작용하는 힘은 \(\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times\mathbf{B}\)이고 벡터의 외적은 속도와 자기장에 적용되므로 힘벡터는 속도와 자기장 모두에 수직이다.

위의 그림에서 반도체에 전류 \(I_{x}\)가 흐르고 있고, 자기장은 \(z\)방향을 향하고 있다. 반도체에 흐르는 전자와 정공은 그림대로 힘의 영향을 받고, 그 방향은 \(-y\)이다. p형 반도체(\(p_{0}>n_{0}\))는 \(y=0\)표면에 양전하가 축적되고, n형 반도체(\(n_{0}>p_{0}\))는 \(y=0\)표면에 음전하(전자)가 축적된다. 이 전하는 \(y\)방향으로 전기장을 유도한다.

정상상태에서 자기장에 의한 힘(자기력)은 유도된 전기장에 의한 힘(전기력)과 균형을 이루므로 \(F=q(E+v\times B)=0\)이고 \(qE_{y}=qv_{x}B_{z}\)이다.

\(y\)방향으로 유도된 전기장을 홀 전기장(Hall field)이라 하고, 홀 전기장은 홀 전압(Hall voltage)이라고 불리는 반도체를 가로지르는 전압을 유도한다. \(V_{H}=E_{H}W\)로 나타낼 수 있고, \(E_{H}\)를 \(+y\)방향이 양의 방향이라고 가정하면 \(V_{H}\)는 위의 그림과 같은 극성을 갖게 된다.

정공이 다수 캐리어인 p형 반도체에서의 홀전압은 위의 그림대로 정의된 방향이 양의 방향이 되고, 전자가 다수 캐리어인 n형 반도체는 그 반대이다.

홀 전압의 극성을 이용하여 외인성 반도체가 p형인지 n형인지를 결정할 수 있다.    

앞에서 \(qE_{H}=qv_{x}B_{z}\), \(V_{H}=E_{H}W\)이므로 \(V_{H}=v_{x}WB_{z}\)이고 p형 반도체에 대해 정공의 표동속도는 \(\displaystyle v_{dx}=\frac{J_{x}}{ep}=\frac{I_{x}}{(ep)(Wd)}\)로 나타낼 수 있다. 그러면 \(\displaystyle V_{H}=\frac{I_{x}B_{z}}{epd}\)이고 \(\displaystyle p=\frac{I_{x}B_{z}}{edV_{H}}\)이고 따라서 다수 캐리어 정공농도는 전류, 자기장, 홀 전압에 의해 결정된다.

n형 반도체에 대해 홀 전압은 \(\displaystyle V_{H}=-\frac{I_{x}B_{z}}{ned}\)이므로 전자의 농도는 \(\displaystyle n=-\frac{I_{x}B_{z}}{edV_{H}}\)이다(홀 전압은 n형 반도체에 대해 음이므로 전자농도는 양의 값이다).

다수 캐리어 농도가 결정되면 전기장이 낮은 다수 캐리어의 이동도를 구할 수 있다. p형 반도체에 대해서 \(J_{x}=ep\mu_{p}E_{x}\)이고, 전류밀도와 전기장을 전류와 전압으로 나타낼 수 있으므로 \(\displaystyle\frac{I_{x}}{Wd}=\frac{ep\mu_{p}V_{x}}{L}\)이고 따라서 정공의 이동도는 \(\displaystyle\mu_{p}=\frac{I_{x}L}{epV_{x}Wd}\)이다. n형 반도체에 대해서도 위와 같은 방법으로 구할 수 있고 \(\displaystyle\mu_{n}=\frac{I_{x}L}{enV_{x}Wd}\)이다.

참고자료:

Introduction to Semiconductor Devices, Neamen, McGraw-Hill

Semiconductor Physics and Devices, Neamen, McGraw-Hill