[현대물리학] 13. 고체(2: 반도체)

[현대물리학] 13. 고체(2: 반도체)

금속 원자의 원자가(바깥)전자들은 매우 약하게 결합되어 있다.(아래 그림 참고)

이 원자들이 상호작용으로 금속이 될 때 원자가전자들은 하나의 가스를 형성하고, 금속 이온들 사이를 자유롭게 운동한다. 전자가스는 이온들을 결합하고, 높은 전기전도도, 열전도도, 불투명성, 표면광택 등의 금속의 고유한 성질들을 나타낸다.

금속 결정에서 전자의 퍼텐셜에너지는 감소하고, 운동에너지는 증가한다. 금속 원자의 모든 원자가 에너지 준위는 상호작용으로 인해 많은 수의 에너지 준위로 분리된다. 에너지 준위들 사이의 간격이 매우 조밀해서 실제로는 연속적인 에너지 띠(energy band)를 형성한다. 에너지 띠에서의 자유전자는 페르미-디락 에너지 분포를 가지므로 운동에너지는 0에서부터 최대 페르미 에너지 \(\epsilon_{F}\)까지의 분포를 갖는다.

전자 퍼텐셜에너지의 감소가 전자의 운동에너지의 증가량을 넘어설 때 결합이 이루어진다.

금속 도체의 양 끝에 전압 \(V\)가 걸리 때 전류 \(I\)는 적당한 조건에서 \(V\)에 비례한다. 이 관계는 옴의 법칙(Ohm's law) \(\displaystyle I=\frac{V}{R}\)으로 나타낼 수 있고, \(R\)은 도체의 저항(resistance)으로 도체의 크기, 조성, 온도의 영향을 받고, \(V\)와는 무관하다.

금속 내부의 자유전자는 기체 내부의 분자들처럼 어느 방향으로 운동할 수 있고, 계속해서 충돌을 한다고 가정할 수 있다. 여기서의 충돌은 현실적인 충돌이 아닌 전자 파동과 결정 구조의 불규칙성(불순물 원자에 의한 결함 또는 진동에 의해 원자가 평형 위치를 벗어나는 경우 등) 사이의 산란을 의미하고, 완벽한 결정 구조 내부의 원자들은 자유전자를 산란시킬 수 없다.

자유전자의 충돌과 충돌 사이의 평균 자유 경로(mean free path)를 \(\lambda\)라고 하면, 충돌 사이의 평균 시간 간격은 \(\displaystyle\tau=\frac{\lambda}{v_{F}}\)이고, \(\displaystyle v_{F}=\frac{2\epsilon_{F}}{m}\)는 페르미 에너지에 해당하는 에너지를 갖는 전자의 속도를 나타내는 양이다. 

위 그림은 시간간격 \(t\)동안 단면을 표류하여 통과하는 자유전자를 나타낸 그림이다. 이때 \(n\)을 부피당 도선안에 있는 자유전자의 개수라고 하면 전류는 \(\displaystyle I=\frac{Q}{t}=nAev_{d}\)이고, 표류속도는 \(\displaystyle v_{d}=\frac{I}{nAe}\)이다.

길이가 \(L\)인 도체의 양 끝에 전압 \(V\)를 가해주면 도체 내부에 세기가 \(\displaystyle E=\frac{V}{L}\)인 전기장이 형성되고, 이 전기장은 도체 내부의 자유전자에 힘 \(eE\)를 가하므로 자유전자의 가속도는 \(\displaystyle a=\frac{F}{m}=\frac{eE}{m}\)이다.

전기장 \(\mathbf{E}\)를 금속의 자유전자 가스에 걸면, 자유전자의 운동에 일반적인 표류운동이 더해지게 된다.(아래 그림 참고)

따라서 표류속도 \(v_{d}\)를 구할 때 페르미 속도 \(v_{F}\)에서의 전자운동을 무시할 수 있다.

전자는 한 번의 충돌이 일어나고 다음 충돌이 일어나기까지 시간간격 \(\Delta t\)동안 가속되고, 시간간격 마지막까지 \(\displaystyle\frac{1}{2}a(\Delta t)^{2}\)만큼 운동한다. 여러번 충돌한 전자의 평균변위는 \(\displaystyle\overline{X}=\frac{1}{2}a\overline{\Delta t^{2}}\)이고, 여기서 \(\overline{\Delta t}=2\tau^{2}\)는 시간간격 제곱의 평균이다. 따라서 \(\overline{X}=a\tau^{2}\)이고 표류속도는$$v_{d}=a\tau=\left(\frac{eE}{m}\right)\left(\frac{\lambda}{v_{F}}\right)=\frac{eE\lambda}{mv_{F}}$$이다.     

단면적이 \(A\)이고, 자유전자 밀도가 \(n\)인 도체에 흐르는 전류는 \(I=nAev_{d}\)이다. 그러면$$I=\frac{nAe^{2}E\lambda}{mv_{F}}=\left(\frac{ne^{2}\lambda}{mv_{F}}\right)\left(\frac{A}{L}\right)V$$이므로 옴의 법칙으로부터 \(\displaystyle R=\left(\frac{mv_{F}}{ne^{2}\lambda}\right)\frac{L}{A}\)이고, \(\displaystyle\rho=\frac{mv_{F}}{ne^{2}\lambda}\)는 금속의 비저항(resistivity)이다.

비저항은 결함의 농도의 영향을 받는 \(\rho_{i}\)와 온도의 영향을 받는 \(\rho_{t}\)의 합 \(\rho=\rho_{i}+\rho_{t}\)이다.

위의 그래프는 \(290\text{K}\)에서의 비저항과 비교한 두 개의 다른 나트륨 시료의 비저항의 절대온도에 따른 비저항의 비로 위의 곡선은 결함이 많은 시료, 아래의 곡선은 거의 순수한 시료이다.  

 

모든 고체에서의 원자들은 서로 가까워져서 원자가전자의 파동함수가 서로 겹친다. 상호작용을 하는 원자의 수가 커지면, 그들 각각의 원자가(valence) 파동함수가 혼합해서 만드는 준위의 수도 커진다.(아래 그림 참고)

다음 그림은 나트륨 원자의 에너지 준위와 에너지띠이다.

\(3s\)준위가 띠로 넓어져서 점유되는 첫 번째 준위가 되고, 더 낮은 \(2p\)준위는 \(2p\)파동함수가 \(3s\)파동함수보다 핵에 훨씬 더 가까이 있기 때문에 핵간 거리가 훨씬 좁아질 때 까지 퍼지지 않는다. \(3s\)띠에 평균 에너지는 처음에 감소하며 원자간의 힘이 인력임을 나타낸다. 나트륨 고체의 실제 핵간 거리는 \(3s\)전자 평균 에너지의 최소에 해당하는 거리이다.

고체 내부의 전자는 에너지 띠 내부에 있는 에너지들만 가질 수 있다.

위의 왼쪽 그림처럼 에너지 띠가 중첩될 수 있는데, 이 경우는 원자가 전자에 허용되는 에너지가 연속적인 분포를 이룬다. 반대로 오른쪽 그림처럼 에너지 띠가 중첩되지 않는데 이 간격은 전자가 가질 수 없는 에너지로 간주되어 금지된 띠(forbidden band) 또는 띠 간격(band gap)라고 한다.

나트륨 원자는 단일의 원자가전자를 가진다. 각 \(s(l=0)\)원자 준위는 \(2(2l+1)=2\)개 씩의 전자를 가질 수 있으므로 \(N\)원자들로 만들어지는 \(s\) 띠는 \(2N\)전자를 가질 수 있고, 따라서 고체 나트륨에서의 \(3s\)띠는 절반만 채워지고, 페르미 에너지 \(\epsilon_{F}\)는 중간에 위치하게 된다.(아래 그림 참고)

탄소 원자에서 \(2p\)껍질은 \(2\)개의 전자만 가지고 있다. \(p\)껍질은 6개의 전자를 가질 수 있으므로 탄소도 나트륨처럼 도체라고 생각할 수 있다. 실제로 탄소 원자들이 접근해서 생성된 \(2s\)와 \(2p\)띠는 먼저 중첩되고(나트륨에서 \(3s\), \(3p\)띠), 더 접근함에 따라 결합된 띠는 두 개의 띠로 분리된다.(아래 그림 참고)

각각의 띠는 \(4N\)개의 전자들을 포함할 수 있다. 탄소 원자는 2개의 \(2s\)와 2개의 \(2p\) 전자를 가지므로 다이아몬드에서의 \(4N\)원자가전자들은 다음 그림처럼 낮은(또는 원자가) 띠를 채운다. 원자가띠 위의 전도띠(conduction band)는 원자가띠와 \(6\text{eV}\)의 금지된 띠로 분리되어 있다.

상온에서 \(kT=0.025\text{eV}\)이므로 다이아몬드의 원자가전자들은 \(6\text{eV}\)의 틈을 뛰어넘을 수 없고, 전기장으로도 그럴 수 없다. 따라서 다이아몬드는 매우 불량한 도체이고 부도체이다.

실리콘은 다이아몬드와 비슷한 결정 구조를 가지고, 금지된 띠 간격이 존재하나, 이 간격은 \(1\text{eV}\)이므로 낮은 온도에서의 실리콘은 도체로서 다이아몬드보다 약간 더 좋은 정도이나 실온에서는 약간의 원자가띠에 전자들이 금지된 띠를 넘을 수 있을만한 에너지를 얻는다.(아래 그림 참고)

전자의 수가 적으나 전기장이 있을 때 약간의 전류가 흘러서 실리콘의 비저항은 도체와 부도체의 중간이고, 이러한 고체를 반도체(semiconductor)라고 한다. 

반도체는 소량의 불순물에 의해 비저항이 변한다. 실리콘에 비소(arsenic) 원자를 주입하면 실리콘과 비소의 최외각 껍질 전자배치가 각각 \(3s^{2}3p^{2}\), \(4s^{2}4p^{3}\)이므로 실리콘 결정에서 실리콘 원자 하나를 비소 원자로 바꿈녀 비소 원자의 전자 4개는 가장 가까운 실리콘 원자와 공유결합하고, 다섯번째 전자는 매우 작은 에너지(\(0.05\text{eV}\))로 분리되어 결정 내부를 운동한다. 다음의 그림같이 실리콘 결정 내부에서 불순물로 작용하는 비소는 전도띠 바로 아래에 에너지 준위를 만든다.

이러한 에너지 준위를 주개준위(donor level)라 하고, 이러한 반도체는 음전하에 의해 전류가 흐르므로 n-형(n-type) 반도체라고 한다.(아래 그림 참고)

반대로 실리콘 결정에 갈륨 원자를 넣으면 갈륨 원자의 전자배치가 \(4s^{2}4p\)이므로 최외각 껍질에 3개의 전자를 갖고, 이러한 갈륨 원자가 들어가면 결정의 전자 구조에 구멍(hole, 정공)이라고 하는 빈자리(vacancy)가 생긴다. 갈륨이 포함된 실리콘에 전기장을 가하면 전자들은 구멍을 채우면서 양(+)극으로 이동한다. 이 경우는 전류의 흐름 기준이 구멍이고, 구멍이 음극으로 움직이므로 양전하처럼 행동한다. 이러한 물질을 p-형(p-type) 반도체라고 한다.(아래 그림 참고)

다음의 에너지 띠 그림에서 실리콘 내부의 결함으로 작용하는 갈륨은 받개준위(acceptor level)라고 하는 에너지 준위를 원자가 띠 바로 위에 만든다.

반도체에 불순물을 첨가하는 행위를 도핑(doping)이라고 한다.

대부분의 반도체 소자는 p-형, n-형 반도체의 접합(p-n접합)의 성질을 이용해서 작동한다. p-n접합의 성질 중 하나는 전류를 다른 방향보다 어느 특정한 방향으로 훨씬 더 쉽게 흐르게 할 수 있는 것이다. 다음은 반도체에 전류가 흐르는 세 가지 경우로 왼쪽은 구멍의 운동에 의해 전도가 일어나는 p-형 영역이고, 오른쪽은 전자의 운동에 의해 전도가 일어나는 n-형 영역이다. 공핍영역(depletion region)에서는 n-형 반도체의 주개준위에 있는 전자가 p-형 반도체의 받개준위에 있는 구멍의 채워서 두 종류의 전하 운반자 수가 모두 매우 적다.

1. 바이어스 없음

외부에서 전압을 걸지 않을 때 오른쪽 열전자 전류는 왼쪽 재결합 전자 전류와 같아져 알짜 전류가 0이다.

2. 역방향 바이어스

다이오드의 p-형 반도체 부분이 음극이 되도록 전압을 걸면, 재결합 전류는 열전자 전류보다 작아져서 오른쪽 방향으로 아주 작은 알짜 전류가 발생한다.

3. 순방향 바이어스  

다이오드의 n-형 반도체 부분이 양극이 되도록 전압을 걸면, 재결합 전류는 열전자 전류보다 매우 커져서 왼쪽 방향으로의 매우 큰 알짜 전류가 발생한다.(전류방향은 전자의 운동방향의 반대이다)

  

다음의 그래프는 p-n접합 정류기의 전압-전류 그래프이다.

다이오드의 n형 반도체와 p형 반도체 부분을 심하게 도핑해서 다음의 왼쪽 그림과 같은 에너지 띠 구조를 갖게 할 수 있다.

(a) 공핍영역이 아주 좁아서 전자들이 금지된 띠를 터널처럼 통과할 수 있어서 이러한 다이오드를 터널 다이오드(tunnel diode)라고 한다. 이 다이오드에 외부 전압이 걸리지 않으면 전자들은 p-형 반도체, n-형 반도체 양쪽으로 모두 터널링한다.

(b) 위의 가운데 그림은 다이오드에 작은 순방향 전압을 걸었을 때 전자가 n-형 반도체에서 p-형 반도체로 터널링하여 왼쪽 방향으로 전자의 흐름(오른쪽으로 전류가 흐름)이 발생한다.

(c) 위의 오른쪽 그림은 큰 순방향 바이어스일 때 p-형 반도체의 원자가 띠와 n-형 반도체의 원자가 띠가 서로 겹치지 않아서 더이상 터널링이 일어나지 않아서 보통의 다이오드처럼 행동한다.

다음의 그래프는 위의 그림의 경우에 대한 터널 다이오드의 전압-전류 그래프이다.

a와 b사이 또는 b와 c사이에서는 전압 변와에 대해 전류가 매우 빠르게 변한다(빠른 반응성). 따라서 높은 진동수 진동자나 컴퓨터의 빠른 스위치에 사용된다.

어떤 다이오드는 특정 전압에 도달했을 때 역방향 전류가 급격히 증가한다.(아래 그림 참고)

이러한 다이오드를 제너 다이오드(Zener diode)라고 한다. 전류가 급격히 증가하는 두 메카니즘 중 하나는 사태증식(avalanche multiplication, 접합 근처에 있는 전자가 전기장에 의해 충분히 가속되어 전자와 충돌하는 원자를 이온화하여 새로운 전자-구멍 쌍을 만든다)이고, 다른 하나는 제너 붕괴(Zener breakdown, p-형 반도체 원자가띠의 전자들이 n-형 반도체 전도띠로 터널링하는 것으로, p-형 반도체로 올라갈 만한 충분한 에너지를 가질 필요가 없다)이다. 

트랜지스터(transistor)는 약한 신호를 강한 신호로 증폭시키는 반도체 소자이다.

위의 그림은 n-p-n 접합 트랜지스터(junction transistor)(BJT)로, 베이스(base)인 p-형 반도체가 이미터(emitter), 컬렉터(collector)인 두 n-형 반도체 사이에 끼워져 있다. n-p-n 트랜지스터의 에너지 띠 구조는 다음과 같다.

BJT 트랜지스터는 베이스-컬렉터 접합의 역방향 바이어스를 통해 입력 회로보다 출력 회로가 훨씬 더 높은 전압을 갖게 하기 때문에 증폭이 가능하다. 

BJT의 단점은 낮은 입력 임피던스(impedance)이고, 한 집적회로에 많이 집어넣는 것이 어려우며 상대적으로 많은 전력을 소모한다. 이를 해결하기 위해 전기장-효과 트랜지스터(field-effect transistor, FET)가 개발되었다. 속도가 BJT보다 느리나 가장 많이 사용되는 트랜지스터이다.

위의 그림의 n-채널 FET는 n-형 반도체 위에 얇은 p-형 반도체(게이트, gate)를 붙여서 만든다. 위 그림대로 배선되었을 때, 소스(source)에서 n-형 반도체를 통해 드레인(drain)으로 전자들이 이동한다. 이 p-n접합에 역방향 바이어스가 걸리게 하면 역방향 전압이 커질수록 고갈영역이 더 넓어져서 전류를 흐르게 하는 전자의 수가 줄어들게 된다. 따라서 게이트 전압으로 채널 전류를 조절할 수 있고, 역방향 바이어스에 의해 게이트를 통과하는 전류가 아주 작아지므로 높은 임피던스를 얻게 된다.

p-형 반도체(게이트)를 금속 필름으로, 필름과 채널 사이를 이산화 실리콘의 부도체 층으로 분리한 FET를 금속-산화물-반도체(metal-oxide-semiconductor FET, MOSFET)라고 한다. 

참고자료:

Concepts of Modern Physics 6th edition, Beiser, McGraw-Hill