[현대물리학] 8. 다전자 원자(1)

[현대물리학] 8. 다전자 원자(1)

외부 자기장 \(\mathbf{B}\) 내부에 있는 자기 쌍극자는 위치에너지 \(U_{m}\)을 갖고, 자기 쌍극자 모멘트 \(\mu\)의 크기 및 자기장에 대한 방향 모두에 의존한다.(아래 그림 참고)

자속 밀도가 \(\mathbf{B}\)인 자기장 안에서 자기 쌍극자가 받은 토크는 \(\tau=\mu B\sin\theta\)이고 \(\theta\)는 \(\mu\)와 \(\mathbf{B}\) 사이의 각도이다. 위치에너지 \(U_{m}\)을 구하기 위해 \(\displaystyle\theta=\frac{\pi}{2}\)일 때 \(U_{m}=0\)이라 하자. 그러면$$\begin{align*}U_{m}&=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\theta}{\tau d\theta}=\mu B\int_{\frac{\pi}{2}}^{\theta}{\sin\theta d\theta}\\&=-\mu B\cos\theta\end{align*}$$이다.

전류 루프의 자기모멘트는 \(\mu=IA\)이고 여기서 \(I\)는 전류, \(A\)는 전류 루프가 둘러싼 면적이다.(아래 그림 참고)

반지름이 \(r\)인 원형 궤도를 도는 초당 회전수가 \(f\)인 전자는 \(-ef\)의 전류와 같고, 따라서 자기모멘트는 \(\mu=-ef\pi r^{2}\)이고 전자의 선속도가 \(v=2\pi fr\)이므로 전자의 각운동량은 \(L=mvr=2\pi mfr^{2}\)이다. 자기모멘트 \(\mu\)와 각운동량 \(\mathbf{L}\) 사이에는 \(\displaystyle\mu=-\frac{e}{2m}L\)의 관계가 있고(아래 그림 참고)

\(\displaystyle-\frac{e}{2m}\)을 자기회전비율(gyromagnetic ratio)이라고 한다. 음의 부호는 \(\mu\)와 \(\mathbf{L}\)의 방향이 반대임을 뜻하고, 전자가 음전하를 갖기 때문이다. 따라서 자기장 내부에 있는 원자의 위치에너지는 \(\displaystyle U_{m}=\frac{e}{2m}LB\cos\theta\)이다.

\(\mathbf{L}\)과 \(z\)방향 사이의 각도\(\theta\)에 대해 \(\displaystyle\cos\theta=\frac{m_{l}}{\sqrt{l(l+1)}}\)이고, \(L=\sqrt{l(l+1)}\hslash\)이므로 \(\displaystyle U_{m}=m_{l}\frac{e\hslash}{2m}B\)이고 \(\displaystyle\frac{e\hslash}{2m}\)을 보어 마그네톤(Bohr magnetron)이라고 하고$$\mu_{B}=\frac{e\hslash}{2m}=9.274\times10^{-24}\text{J/T}=5.788\times10^{-5}\text{eV/T}$$이다.

자기장 내부의 원자의 특정한 상태에너지는 \(n\)과 \(m_{l}\)의 값의 영향을 받는다. 원자가 자기장 내부에 있을 때, 주양자수가 \(n\)인 상태는 몇 개의 버금상태(substates)로 분해되고, 이 버금상태의 에너지는 자기장이 없을 때의 에너지보다 약간 크거나 약간 작아진다. 이러한 현상은 자기장 내부의 원자가 복사선을 방출할 때 각각의 스펙트럼선을 몇개의 선들로 갈라지게 하고, 갈라진 선들은 자기장의 세기의 영향을 받는다. 이러한 현상을 제만 효과(Zeeman effect)라고 하고 제만 효과는 공간 양자화의 증거이다.

\(-l\leq m_{l}\leq l\)이므로 \(2l+1\)개의 값들을 갖고, 자기양자수가 \(l\)인 상태는 원자가 자기장 안에 있을 때 에너지 간격이 \(\mu_{B}B\)인 \(2l+1\)개의 버금상태로 갈라지나 전이에 있어서 \(\Delta m_{l}=0,\,\pm1\)이어야 하므로 다른 \(l\)을 갖는 두 상태 사이의 전이에서 생기는 스펙트럼선은 다음 그림과 같이 3개로 분할된다.

위의 그림대로 진동수가 \(\nu_{0}\)인 스펙트럼선이 다음의 진동수들을 갖는 3개의 스펙트럼선으로 분리되는 현상을 정상 제만 효과(normal Zeeman effect)라고 한다.$$\begin{align*}\nu_{1}&=\nu_{0}-\mu_{B}\frac{B}{h}=\nu_{0}-\frac{e}{4\pi m}B\\ \nu_{2}&=\nu_{0}\\ \nu_{3}&=\nu_{0}+\mu_{B}\frac{B}{h}=\nu_{0}+\frac{e}{4\pi m}B\end{align*}$$

수소 원자의 양자역학적인 해석으로는 많은 수의 실험적인 관측들을 설명하지 못한다. 

1. 많은 스펙트럼선들이 실제로 간격이 아주 작은 이중선(미세구조, fine structure)으로 되어 있다.

(발머 계열의 첫번째 선은 이론적으로 \(656.3\text{nm}\)이어야 하나 실제로는 \(0.14\text{nm}\)떨어진 두개의 선으로 이루어져 있다)

2. 정상 제만 효과는 몇 종류의 원소들에서 어떤 특정한 환경일 때만 실제로 관측되고, 정상 제만 효과로 나타나지 않는 경우가 더 많다.

(4개 이상의 스펙트럼 선이 나타나거나, 3개의 스펙트럼선들이 있다고 해도 이 스펙트럼선들의 간격이 정상 제만 효과를 만족하지 않는다)

이러한 현상을 설명하기 위해 1925년에 구드스미트(Goursmit)와 울렌벡(Uhlenbeck)은 다음의 주장을 했다.

:전자는 스핀이라 부르는 모든 전자에 대해 그 크기가 같은 고유 각운동량(intrinsic angular momentum)을 가진다. 이 각운동량과 연결되는 것은 자기모멘트이다.

전자스핀은 1929년에 디락(Dirac)의 상대론적 양자역학의 전개로부터 확인되었다. 디락의 이론으로부터 전자와 같은 질량과 전하를 갖는 입자는 구드스미트와 울렌벡의 주장한 전자에서와 같은 고유 각운동량과 자기모멘트를 가져야 함이 발견되었다.

양자수 \(s\)가 전자스핀의 각운동량을 설명하고, 디락의 이론과 스펙트럼선의 데이터로부터 \(\displaystyle s=\frac{1}{2}\)만이 가능하며 전자스핀에 의한 각운동량의 크기는 \(\displaystyle S=\sqrt{s(s+1)}\hslash=\frac{\sqrt{3}}{2}\hslash\)이다. 

이 식은 \(L=\sqrt{l(l+1)}\hslash\)와 비슷한 형태이고, 전자스핀에 의한 공간 양자화는 스핀 자기양자수 \(m_{s}\)에 의해 설명된다. 자기장 안에서 궤도 각운동량 벡터는 \(+l\)부터 \(-l\)까지의 \(2l+1\)개의 방향을 갖고, 비슷하게 스핀 각운동량 벡터는 \(2s+1=2\)가지의 방향을 가질 수 있고, 이 두 방향을 \(\displaystyle m_{s}=+\frac{1}{2}\)(spin up), \(\displaystyle m_{s}=-\frac{1}{2}\)(spin down)으로 나타낼 수 있다.(아래 그림 참고)

\(z\)방향의 자기장 내부의 전자의 스핀 각운동량의 성분은 스핀 자기양자수에 의해 결정되고, 그 값은 \(\displaystyle S_{z}=m_{s}\hslash=\pm\frac{1}{2}\hslash\)이다.

전자의 궤도운동에 의한 자기회전비율은 \(\displaystyle-\frac{e}{2m}\)이고, 전자의 스핀 자기모멘트 \(\mu_{s}\)와 전자 스핀 각운동량 \(\mathbf{S}\)사이의 관계는 \(\displaystyle\mu_{s}=-\frac{e}{m}\mathbf{S}\)이므로 \(z\)축에 대해 \(\mu_{s}\)가 가질 수 있는 가능한 성분은 \(\displaystyle\mu_{sz}=\pm\frac{e\hslash}{2m}=\pm\mu_{B}\)(\(\mu_{B}\)는 보어 마그네톤)이다.

따라서 원자 이론을 해석하는데에는 다음의 4개의 양자수가 필요하다.

이름	기호	가능한 값	결정하는 물리량
주양자수	\(n\)	\(1,\,2,\,3,\,\cdots\)	전자 에너지
궤도양자수	\(l\)	\(0,\,1,\,2,\,\cdots,\,n-1\)	궤도 각운동량 크기
자기양자수	\(m_{l}\)	\(-l,\,\cdots,\,0,\,\cdots,\,+l\)	궤도 각운동량 방향
스핀 자기양자수	\(m_{s}\)	\(\displaystyle-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\)	전자 스핀 방향

1925년에 파울리(Pauli)가 원자의 스펙트럼을 연구하다 발견한 배타원리(exclusion principle)는 다음과 같다.

: 한 원자에서 같은 양자 상태에 두개 이상의 전자들이 함께 존재할 수 없고, 각각의 전자들은 모두 다른 양자수 조합 \(n,\,l,\,m_{l},\,m_{s}\)를 갖는다.

배타원리에 따르면 두 전자 모두가 동일한 \(\displaystyle n=1,\,l=0,\,m_{l}=0,\,m_{s}=\frac{1}{2}\)을 갖는 원자 상태는 없으나 한 전자는 \(\displaystyle m_{s}=\frac{1}{2}\)이고, 다른 전자는 \(\displaystyle m_{s}=-\frac{1}{2}\)인 상태는 존재한다.

상호작용을 하지 않는 \(n\)개의 입자로 구성된 계의 완전한 파동함수 \(\psi(1,\,3,\,\cdots,\,n)\)는 다음과 같이 각 입자들의 파동함수 \(\psi(1),\,\psi(2),\,\cdots,\,\psi(n)\)들의 곱$$\psi(1,\,2,\,\cdots,\,n)=\psi(1)\psi(2)\cdots\psi(n)$$으로 나타낼 수 있다. 입자가 동일하기 때문에 입자 1이 상태 \(a\)에, 입자 2가 상태 \(b\)에 있을 때 \(\displaystyle|\psi|^{2}(1,\,2)=|\psi|^{2}(2,\,1)\)이어야 한다. 이때

입자가 바뀌어도 그대로(\(\psi(2,\,1)=\psi(1,\,2)\))인 파동함수를 대칭(symmetric),         

입자가 바뀌었을 때 부호가 반대로 되는(\(\psi(2,\,1)=-\psi(1,\,2)\))인 파동함수를 반대칭(anti-symmetric)이라고 한다.        

입자 1이 상태 \(a\)에, 입자 2가 상태 \(b\)에 있을 때, 이 계의 파동함수는 \(\psi_{I}=\psi_{a}(1)\psi_{b}(2)\)이고, 입자 2가 상태 \(a\)에, 입자 1이 상태 \(b\)에 있을 때의 파동함수는 \(\psi_{II}=\psi_{a}(2)\psi_{b}(1)\)이다. 이 두 입자를 구별할 수 없기 때문에 특정한 순간에 이 계를 설명하는 파동함수가 \(\psi_{I}\)인지 \(\psi_{II}\)인지 알 수 없고, 특정한 순간에 이 계가 \(\psi_{I}\)로 설명될 확률은 \(\psi_{II}\)로 설명될 확률과 같다. 이것은 이 계의 전체 시간의 절반은 \(\psi_{I}\)으로, 나머지 절반은 \(\psi_{II}\)로 설명됨을 뜻하고 따라서 이 계를 정당화하기 위해서는 이 계의 완전한 파동함수를 \(\psi_{I}\)과 \(\psi_{II}\)의 선형결합으로 나타내야 한다.

이때 결합으로 대칭인 결합 \(\displaystyle\psi_{S}=\frac{1}{\sqrt{2}}\{\psi_{a}(1)\psi_{b}(2)+\psi_{a}(2)\psi_{b}(1)\}\)과 반대칭인 결합\(\displaystyle\psi_{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}\{\psi_{a}(1)\psi_{b}(2)-\psi_{a}(2)\psi_{b}(1)\}\)이 가능하다. 여기서 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)는 규격화하기 위해 필요한 상수이고, 대칭인 결합은 \(a=b\)인 상태에 있을 수 있으나 반대칭인 결합은 \(a=b\)일 때, \(\displaystyle\psi_{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}\{\psi_{a}(1)\psi_{a}(2)-\psi_{a}(2)\psi_{a}(1)\}=0\)이 되어 두 입자가 같은 양자 상태가 될 수 없다. 따라서 전자로 이루어진 계는 어떠한 전자 두개를 교환하면 그 부호가 변하는(반대칭) 파동함수로 설명되어야 한다.

스핀이 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)의 홀수배인 입자들은 어느 한 쌍을 교환했을 때, 반대칭이 되는 파동함수를 갖고, 이러한 입자들을 페르미온(fermion)이라고 한다. 전자 뿐만 아니라 양성자, 중성자 같은 입자들은 같은 계에 있을 때 배타원리를 따르므로 공통의 힘에 의해 움직일 때 이 계의 구성 입자들은 모두 다른 양자상태에 있어야 한다. 스핀이 0이거나 정수(\(\displaystyle\frac{1}{2}\)의 짝수배)인 입자들은 어느 한 쌍을 교환했을 때, 대칭이 되는 파동함수를 갖고, 이러한 입자들을 보존(boson)이라고 하고 이러한 입자들은 배타원리를 따르지 않는다.

참고자료:

Concepts of Modern Physics 6th edition, Beiser, McGraw-Hill