[현대물리학] 6. 양자역학(2)

[현대물리학] 6. 양자역학(2)

실제 위치에너지는 유한하고, 무한대로 딱딱한 벽을 가진 상자는 존재하지 않는다. 다음의 그림은 현실을 고려한 사각형 모양의 퍼텐셜 우물이다.

고전역학에 따르면 영역 II에 있는 입자가 옆면(영역의 경계)에 부딪치면 영역 I, III으로 가지 않고 튀어나온다. 그러나 양자역학에 따르면 \(E<U\)일지라도 영역 I, III으로 지나갈 확률은 적어도 0이 아니다.

영역 I ,III(\(x<0,\,x>L\))에서의 슈뢰딩거 방정식은$$\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+\frac{2m}{\hslash^{2}}(E-U)\psi=0$$이고, \(\displaystyle a=\frac{\sqrt{2m(U-E)}}{\hslash}\)라고 하면, 이 슈뢰딩거 방정식의 일반해는 다음과 같다.$$\psi_{I}=Ce^{ax}+De^{-ax},\,\psi_{III}=Fe^{ax}+Ge^{-ax}$$이때 \(\psi_{I},\,\psi_{III}\)는 모두 유한해야 하고 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}{\psi_{I}}=0\), \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{\psi_{III}}=0\)이어야 하므로 \(\psi_{I}=Ce^{ax}\), \(\psi_{III}=Ge^{-ax}\)이다. 우물 안(영역 II)에서는 \(U=0\)이므로 영역 II 에서의 슈뢰딩거 방정식은 \(\displaystyle\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+\frac{2m}{\hslash^{2}}E=0\)이고 일반해는 \(\displaystyle\psi_{II}=A\sin\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash}x+B\cos\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash}x\)이다.

\(\psi_{II}(0)=C\), \(\psi_{II}(L)=G\)이어야 하므로 \(\psi_{II}\)의 사인, 코사인 모두 해가 된다. 

또한 \(x=0\), \(x=L\)에서 \(\psi\)와 \(\displaystyle\frac{d\psi}{dx}\)모두 연속이어야 하므로 이 경계조건까지 고려하면 입자에너지가 특정한 값 \(E_{n}\)을 가질 때에만 완전한 파동함수를 구할 수 있다. 다음의 그림은 완전한 파동함수와 그 절댓값의 제곱이다.

이(위치에너지가 유한) 경우는 위치에너지가 무한인 경우의 파장보다 길기 때문에 운동량이 더 낮고\(\displaystyle\left(\lambda=\frac{h}{p}\right)\), 따라서 에너지 준위 \(E_{n}\)은 위치에너지가 무한인 경우보다 더 낮다.

다음의 그림은 에너지 \(E\)가 위치에너지 \(U\)보다 작은 입자가 높이가 \(U\)이고 유한한 너비(\(L\))를 갖는 장벽에 부딧치는 것을 나타낸 것이다.

영역 I, III에서의 슈뢰딩거 방정식은 \(\displaystyle\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+\frac{2m}{\hslash}E\psi=0\)이므로 일반해는$$\psi_{I}=Ae^{ik_{1}x}+Be^{-ik_{1}x},\,\psi_{III}=Fe^{ik_{1}x}+Ge^{-ik_{1}x}$$이고 여기서 \(\displaystyle k_{1}=\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash}=\frac{p}{\hslash}=\frac{2m}{\lambda}\)이고 장벽 바깥에 있는 입자를 나타내는 드 브로이 파의 파수이다.

\(Ae^{ik_{1}x}\)는 장벽에서 왼쪽에서 오른쪽으로 입사하는 진폭이 \(A\)인 파동이므로 \(\psi_{I+}=Ae^{ik_{1}x}\)로 나타낼 수 있다.

장벽에 도달하는 입자들의 선속은 \(S=|\psi_{I+}|^{2}v_{I+}\)(장벽에 도달하는 입자의 단위시간, 면적당 개수)이다.

입사파는 \(x=0\)에서 장벽과 충돌한 후 일부는 반사되고, \(\psi_{I-}=Be^{-ik_{1}x}\)는 반사파를 나타낸다. 그러므로 영역 I에서의 파동함수는 \(\psi_{I}=\psi_{I+}+\psi_{I-}\)이다.

영역 III에는 파를 반사시키는 물체가 없으므로 \(x>L\)에서는 \(+x\)방향으로 속도 \(v_{III+}\)로 진행하는 파만 존재한다. 따라서 \(\psi_{III+}=Fe^{ik_{1}x}\)이고 \(G=0\)이며 \(\psi_{III}=\psi_{III+}=Fe^{ik_{1}x}\)이다.

입자가 장벽을 뚫고 지나갈 투과 확률은 장벽에 도달하는 입자 선속과 장벽을 빠져나가는 입자 선속 사이의 비율 \(\displaystyle T=\frac{|\psi_{III+}|^{2}v_{III+}}{|\psi_{I+}|^{2}v_{I+}}=\frac{FF^{*}v_{III+}}{AA^{*}v_{I+}}\) 즉 \(T\)는 입사파 중 장벽을 뚫고 지나가는(터널링) 입자의 비율이다. 고전역학에서는 명백히 \(T=0\)이다.

영역 II에서의 슈뢰딩거 방정식은 \(\displaystyle\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}-\frac{2m}{\hslash^{2}}(U-E)\psi=0\,(U>E)\)이고 일반해는 \(\psi_{II}=Ce^{-k_{2}x}+De^{k_{2}x}\)이며 여기서 \(\displaystyle k_{2}=\frac{\sqrt{2m(U-E)}}{\hslash}\)는 장벽 안에서의 파수이다. 지수가 실수이므로 \(\psi_{II}\)는 진동하지 않으나 \(\psi_{II}\neq0\)이므로 장벽 안에서 입자를 발견할 확률이 존재한다. 이때 이 입자들은 영역 III로 나오거나 영역 I로 되돌아간다. 다음 그림은 앞에서 구한 파동함수들에 경계조건을 적용한 다음 각 영역별로 나타낸 것이다.

투과확률 \(T\)를 구하기 위해서는 \(psi_{I},\,\psi_{II},\,\psi_{III}\)에 경계조건을 적용해야 한다. 경계조건은$$\psi_{I}(0)=\psi_{II}(0),\,\frac{d\psi_{I}}{dx}(0)=\frac{d\psi_{II}}{dx}(0),\,\psi_{II}(L)=\psi_{III}(L),\,\frac{d\psi_{II}}{dx}(L)=\frac{d\psi_{III}}{dx}(L)$$이므로 이 경계조건으로부터 다음의 식들을 얻는다$$\begin{align*}A+B&=C+D\\ ik_{1}A-ik_{1}B&=-k_{2}C+k_{2}D\\Ce^{-k_{2}L}+De^{k_{2}L}&=Fe^{ik_{1}L}\\-k_{2}Ce^{-k_{2}L}+k_{2}De^{k_{2}L}&=ik_{1}Fe^{ik_{1}L}\end{align*}$$이 식들로부터$$\frac{A}{F}=\left\{\frac{1}{2}+\frac{i}{4}\left(\frac{k_{2}}{k_{1}}-\frac{k_{1}}{k_{2}}\right)\right\}e^{(ik_{1}+k_{2})L}+\left\{\frac{1}{2}-\frac{i}{4}\left(\frac{k_{2}}{k_{1}}-\frac{k_{1}}{k_{2}}\right)\right\}$$를 얻고, \(U\gg E\)라고 하면 \(\displaystyle\frac{k_{2}}{k_{1}}\gg\frac{k_{1}}{k_{2}}\)이므로 \(\displaystyle\frac{k_{2}}{k_{1}}-\frac{k_{1}}{k_{2}}\approx\frac{k_{2}}{k_{1}}\)이다.

또한 장벽이 충분히 넓어서(\(L\)이 충분히 큼) \(\psi_{II}\)가 영역 II에서 상당히 약해진다고 하면 \(k_{2}L\geq1\)이고 \(e^{k_{2}L}\gg e^{-k_{2}L}\)이므로 \(\displaystyle\frac{A}{F}=\left(\frac{1}{2}+\frac{ik_{2}}{4k_{1}}\right)e^{(ik_{1}+k_{2})L}\)로 근사할 수 있다.

\(\displaystyle\left(\frac{A}{F}\right)^{*}=\left(\frac{1}{2}-\frac{ik_{2}}{4k_{1}}\right)e^{(-ik_{1}+k_{2})L}\)이므로 \(\displaystyle\frac{AA^{*}}{FF^{*}}=\left(\frac{1}{4}+\frac{k_{2}^{2}}{16k_{1}^{2}}\right)e^{2k_{2}L}\)이고 \(v_{I+}=v_{III+}\)이므로 투과확률은$$T=\frac{FF^{*}v_{III+}}{AA^{*}v_{I+}}=\frac{16}{4+\left(\frac{k_{2}}{k_{1}}\right)^{2}}e^{-2k_{2}L}$$이고 앞에서$$k_{1}=\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash},\,k_{2}=\frac{\sqrt{2m(U-E)}}{\hslash}$$이므로$$\frac{k_{2}}{k_{1}}=\frac{2m(U-E)}{2mE}=\frac{U}{E}-1$$이고 \(\displaystyle T=\left(\frac{16E}{3E+U}\right)e^{-2k_{2}L}\)이 되는데 괄호 안의 값이 1에서 크게 벗어나지 않으므로 \(\displaystyle T=e^{-2k_{2}L},\,\left(k_{2}=\frac{\sqrt{2m(U-E)}}{\hslash}\right)\)로 근사할 수 있다.

이와 같이 입자가 벽을 뚫고 나오는 효과를 터널 효과(tunnel effect)라고 한다. 

단순 조화운동에서 변위 \(x\)에 위치한 질량이 \(m\)인 입자에 복원력 \(F\)이 작용할 때 \(F=-kx\)이고, 뉴턴의 운동 제2법칙 \(\displaystyle F=ma=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\)로부터 식 \(\displaystyle\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x=0\)을 얻고 이 식으로부터$$x=A\cos(2\pi\nu t+\phi),\,\nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$이다. 여기서 \(A\)는 진폭이고, \(\phi\)는 위상각으로 경계조건(초기조건)에 의해 결정된다.

임의의 복원력\(F\)를 매클로린 급수로 나타내면$$F=F(0)+\frac{dF}{dx}(0)x+\frac{1}{2!}\frac{d^{2}F}{dx^{2}}(0)x^{2}+\frac{1}{3!}\frac{d^{3}F}{dx^{3}}x^{3}+\cdots$$이고 \(x=0\)이 평형위치이므로 \(F(0)=0\)이며 \(x\)가 작으면 세번째 이상의 항들을 무시할 수 있으므로 \(\displaystyle F(x)=\frac{dF}{dx}(0)x\)이고 \(\displaystyle\frac{dF}{dx}\)가 음의 값을 가지면 훅의 법칙이 성립한다.

이것은 모든 진동은 진폭이 충분히 작을 때 단순 조화운동의 특성을 가짐을 보여준다.

훅의 법칙의 힘에 해당하는 위치에너지는 \(\displaystyle U(x)=-\int_{0}^{x}{F(x)dx}=\frac{1}{2}kx^{2}\)이고(아래 그림 참고)

진동자의 에너지가 \(E\)이면 입자는 \(x=-A\)와 \(x=+A\)사이를 진동하게 되고 \(\displaystyle E=\frac{1}{2}kA^{2}\)이다.

이러한 고전역학적인 관점에 대해 다음의 세가지 양자역학적인 수정을 할 수 있다.

1. 허용된 에너지는 연속적인 스펙트럼이 아닌 특정한 값만을 갖는 스펙트럼으로 나타난다. 

2. 허용되는 에너지 중에서 가장 낮은 에너지는 \(E=0\)이 아닌 최솟값 \(E=E_{0}\)이다.

3. 입자가 퍼텐셜 우물을 뚫고 \(-A\)와 \(A\)의 한계를 벗어날 수 있는 확률이 있다.

위치에너지가 \(\displaystyle U=\frac{1}{2}kx^{2}\)인 조화진동자에 대한 슈뢰딩거 방정식은 \(\displaystyle\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+\frac{2m}{\hslash^{2}}\left(E-\frac{1}{2}kx^{2}\right)\psi=0\)이고 여기서$$y=\left(\frac{\sqrt{km}}{\hslash}\right)^{\frac{1}{2}}x=\sqrt{\frac{2\pi m\nu}{\hslash}}x\,\alpha=\frac{2E}{\hslash}\sqrt{\frac{m}{k}}=\frac{2E}{h\nu}$$라고 하면 슈뢰딩거 방정식을 \(\displaystyle\frac{d^{2}\psi}{dy^{2}}+(\alpha-y^{2})\psi=0\)으로 나타낼 수 있고 규격화가 되기 위해서는 \(\alpha=2n+1\,(n=0,\,1,\,2,\,\cdots)\)를 만족해야 하며 \(\displaystyle\alpha=\frac{2E}{h\nu}\)이므로 진동수 \(nu\)를 갖는 조화진동자의 에너지 준위는 다음과 같다.$$E_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right)h\nu\,(n=0,\,1,\,2,\,\cdots)$$\(n=0\)일 때, \(\displaystyle E_{0}=\frac{1}{2}h\nu\)는 가장 낮은 에너지이고, 온도가 \(0\text{K}\)에 접근할 때 주위와 평형을 이룬 진동자는 \(E=E_{0}\)에 가까워지기 때문에 이 값을 영점에너지(zero-point energy)라고 한다. 이 경우의 파동함수는$$\psi_{n}=\frac{1}{\sqrt{2^{n}n!}}\left(\frac{2m\nu}{\hslash}\right)^{\frac{1}{4}}H_{n}(y)e^{-\frac{y^{2}}{2}}$$이고 \(H_{n}(y)\)는 에르미트 다항식(Hermite polynomial)이다.

(\(n=0\)부터 \(n=5\)까지의 조화진동자의 파동함수)

(\(n=0\)과 \(n=10\)일 때의 조화진동자의 파동함수의 절댓값의 제곱)

다음은 퍼텐셜 우물, 상자, 조화진동자일때의 에너지 준위를 나타낸 것이다.

참고자료:

Concepts of Modern Physics 6th edition, Beiser, McGraw-Hill