[현대물리학] 4. 원자의 구조

[현대물리학] 4. 원자의 구조

1898년에 톰슨(Thomson)은 원자는 양의 전하를 띤 물질의 덩어리에 전자가 박혀 있을 것이라는 원자모형을 제안했다(아래 그림 참고)

이 모형은 러더퍼드(Rutherford)의 α입자 산란실험으로 틀렸음이 입증되었다.

톰슨의 모형대로라면 α입자가 거의 굴절되지 않고 통과해야 하나 실제 실험에서는 몇개의 α입자들은 큰 각도, 반대방향으로 산란되었다. 따라서 원자는 핵과 적당한 거리에 있는 전자들로 구성되어있고, 핵은 원자와 양전하 모두 질량의 거의 대부분을 갖는 작은 알갱이어야 한다.

(원자의 러더퍼드 모형)

전자의 수가 다른 같은 원소 원자들의 핵의 전하량은 항상 같고, 이 전하량은 주기율표에 따라 규칙적으로 증가한다. 핵의 전하량은 \(+e\)의 정수배이고, 한 원소의 핵에 있는 단위 양전하의 수 \(Z\)를 해당 원소의 원자번호(atomic number)라고 부른다. 전하량이 \(+e\)인 양성자가 핵의 전하이고, 그 원소의 원자번호와 그 원자핵 내부의 양성자의 수가 같다.

위의 그림은 수소 원자이다. 전자가 핵으로부터 \(r\)만큼 떨어진 궤도에 있게 하는 구심력 \(\displaystyle F_{c}=m\frac{v^{2}}{r}\)은 핵과 전자 사이의 쿨롱힘 \(\displaystyle F_{e}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r^{2}}\)에 의해 발생한다. 역학적으로 안정한 궤도가 되려면 \(F_{c}=F_{e}\), 즉$$m\frac{v^{2}}{r}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r^{2}}$$이고 \(\displaystyle v=\frac{e}{\sqrt{4\pi\epsilon_{0}mr}}\)이다. 그러면 운동에너지와 위치에너지가$$K=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{e^{2}}{8\pi\epsilon_{0}r},\,U=-\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r}$$이므로 역학적에너지는 \(\displaystyle E=K+U=-\frac{e^{2}}{8\pi\epsilon_{0}r}\)이고 이것은 전자가 핵에 얽매여 있고, \(E>0\)이면 전자는 핵 주위를 도는 닫힌 궤도에서 벗어남을 뜻한다.

이 해석은 원자가 안정하다는 실험적 관찰 결과와 일치하나 전자기 이론과는 맞지 않는다. 전자기 이론에 따르면 가속되는 전하는 전자기파의 형태로 에너지파를 방출해야 하고, 곡선 궤도를 따르는 전자의 운동은 가속운동이므로 전자는 연속적으로 에너지를 잃어야 하고 따라서 1초도 안되어서 핵 속으로 빨려들어가야 한다.(아래 그림 참고)

그러나 원자는 붕괴하지 않기 때문에 모순이고 거시 세계에서 성립하는 물리 법칙은 미시 세계의 원자에 대해 적용되지 않는다. 그 이유는 고전물리는 순수한 입자와 순수한 파동의 시각으로 자연에 접근하고, 연구 대상의 크기가 작을 수록 고전물리의 정당성이 감소하기 때문이다.

스펙트럼선(분광선)은 고전물리로는 설명이 불가능하다. 응집 물질(고체와 액체)은 서로 다른 성질을 갖지만 모든 온도에서 모든 파장의 복사선을 방출한다. 

위의 그림은 원자 스펙트럼을 관측하는 이상적인 장치이고 아래의 그림은 일부 원소들의 방출 선 스펙트럼(emission line spectrum)이다.

백색광이 기체를 지날 때 방출 스펙트럼에 나타나는 파장과 같은 파장을 갖는 빛을 흡수한다. 따라서 밝은 배경 위에 흡수로 인해 색이 없는 파장은 검은 선으로 된 흡수 선 스펙트럼(absorption line spectrum)이 나타나고, 방출 스펙트럼은 검은 배경 위에 밝은 선으로 나타난다.(아래 그림 참고)

1세기 전에 원소의 분광에서 파장들이 분광계열(spectral series)이라 불리는 일련의 분광선 무리에 포함됨이 발견되었다.

1885년에 발머(Balmer)가 수소 스펙트럼의 가시광선 부분을 연구하다가 이 계열을 발견했고, 다음 그림의 발머 계열(Balmer series)을 나타냈다.

위의 그림에서 가장 긴 파장은 \(H_{\alpha}=656.3\text{nm}\)이고 계열의 한계는 \(H_{\infty}=364.6\text{nm}\)이다. 이 계열에 대한 발머의 공식은$$\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)\,(n=3,\,4,\,5,\,\cdots)$$이고 \(R=1.097\times10^{-7}\text{m}^{-1}=0.01097\text{nm}^{-1}\)은 리드베리 상수(Rydberg constant)이다. \(H_{\alpha}\)는 \(n=3\)일 때이고, \(H_{\beta}\)는 \(n=4\)일 때, 계열의 한계 \(H_{\infty}\)는 \(n=\infty\)일 때이다.

발머 계열은 수소 스펙트럼의 가시광 영역의 파장을 포함하고, 자외선과 적외선 영역에 속하는 수소의 스펙트럼 선은 몇 개의 다른 계열에 속한다.

자외선 영역인 라이먼 계열(Lyman series)은 다음 식으로 나타나는 파장들을 포함한다.$$\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)\,(n=2,\,3,\,4,\,\cdots)$$적외선 영역에서 3개의 스펙트럼 계열이 발견되었고, 이 계열들에 대한 분광선들은 다음 식으로 나타나는 파장을 갖는다.

파센(Paschen) 계열: \(\displaystyle\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)\,(n=4,\,5,\,6,\,\cdots)\)      

브라켓(Brackett) 계열: \(\displaystyle\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{4^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)\,(n=5,\,6,\,7\,\cdots)\)  

푼트(Pfund) 계열: \(\displaystyle\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{5^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)\,(n=6,\,7,\,8\,\cdots)\)

(수소의 스펙트럼 계열)

 

1913년에 보어(Bohr)는 드 브로이의 물질파의 개념으로부터 수소핵 주위의 궤도를 도는 전자의 파동성을 조사해서 원자이론을 이끌어 냈다. 이때 전자의 속력이 광속 \(c\)보다 작으므로 \(\gamma=1\)이라고 할 수 있다. 

전자의 드 브로이 파장은 \(\displaystyle\lambda=\frac{h}{mv}\)이고 전자의 속력이 \(\displaystyle v=\frac{e}{\sqrt{4\pi\epsilon_{0}mr}}\)이므로 전자의 파장은 \(\displaystyle\lambda=\frac{h}{e}\sqrt{\frac{4\pi\epsilon_{0}r}{m}}\)이다.

전자궤도의 반지름이 \(r=5.3\times10^{-11}\text{m}\)이므로 전자의 파장은 \(\lambda=33\times10^{-11}\text{m}\)이고, 이 파장은 전자 궤도의 둘레 길이 \(2\pi r=33\times10^{-11}\text{m}\)와 일치한다.

위의 그림대로 수소 원자의 전자 궤도는 양 끝에서 자신을 서로 이어 완전한 한 파장의 전자파가 된다.(빨간선: 드 브로이 파장, 흑색선: 전자의 경로)

위의 그림은 수소 원자의 전자 궤도의 길이가 그 전자파의 한 파장과 같음을 보여준다. 즉 파장의 정수배는 원주 길이와 일치한다. 이 줄이 완전한 탄성체이면 진동은 영원히 지속된다.

만약 원주 길이가 파장의 정수배가 아니면 상쇄간섭이 일어나서 진동이 끝나게 된다. 따라서 전자는 궤도가 드 브로이 파장의 정수배에 해당하는 경우에만 핵 궤도를 운동할 수 있다.

궤도가 안정되기 위한 조건은 \(n\lambda=2\pi r_{n}\,(n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\)이고 여기서 \(r_{n}\)은 \(n\)개의 파장을 갖는 궤도의 반지름이고, \(n\)은 궤도의 양자수(quantum number)이다. \(\displaystyle\frac{nh}{e}\sqrt{\frac{4\pi\epsilon_{0}r_{n}}{m}}=2\pi r_{n}\)이고 따라서 가능한 전자 궤도는 다음의 반지름만 갖는 궤도들이다.$$r_{n}=\frac{h^{2}\epsilon_{0}}{\pi me^{2}}n^{2}\,(n=1,\,2,\,\cdots)$$이고 이때 가장 안쪽 궤도의 반지름 \(\displaystyle a_{0}=\frac{h^{2}\epsilon_{0}}{\pi me^{2}}\)를 수소 원자의 보어 반지름(Bohr radius)이라 하고, \(r_{n}=a^{0}n^{2}\)로 나타낼 수 있다.

전자에너지를 궤도반지름으로 나타내면 \(\displaystyle E_{n}=-\frac{e^{2}}{8\pi\epsilon_{0}r_{n}}\)이고$$\begin{align*}E_{n}&=-\frac{me^{4}}{8\epsilon_{0}^{2}h^{2}}\frac{1}{n^{2}}=\frac{E_{1}}{n^{2}}\,(n=1,\,2,\,\cdots)\\E_{1}&=-2.18\times10^{-18}\text{J}=-13.6\text{eV}\end{align*}$$이다. 식 \(E_{n}\)으로 나타나는 에너지를 수소 원자의 에너지 준위(energy level)라고 한다. 다음 그림은 수소 원자의 에너지 준위를 나타낸 것이다.

에너지 준위들은 모두 음수인데 이것은 전자가 핵으로부터 벗어날 수 있는 충분한 에너지를 갖지 못함을 뜻한다. 가장 낮은 에너지 \(E_{1}\)을 원자의 바닥상태(ground state)라 하고, \(E_{1}\)보다 높은 준위인 \(E_{2},\,E_{3},\,E_{4},\,\cdots\)등을 들뜬 상태(excited state)라고 한다. \(n\)이 증가할 수록 에너지도 증가하며 \(n=\infty\)일 때 \(E_{n}=0\)이다.

바닥상태 원자에서 전자를 핵으로부터 분리하는데 필요한 일(에너지)을 이온화 에너지(ionization energy)라고 한다. 따라서 이온화 에너지는 \(-E_{1}\)이고, 바닥상태의 전자를 \(E=0\)인 상태로 만들려면 \(-E_{1}\)만큼의 일을 해야 한다. 

  

초기(높은 에너지 \(E_{i}\))상태의 양자수를 \(n_{i}\), 최종(낮은 에너지 \(E_{f}\))상태의 양자수를 \(n_{f}\)라고 하면 초기 에너지와 최종 에너지의 차가 광자의 에너지이므로 \(E_{i}-E_{f}=h\nu\)이고, 여기서 \(\nu\)는 방출된 광자의 진동수이다. 따라서$$E_{i}-E_{f}=E_{1}\left(\frac{1}{n_{i}^{2}}-\frac{1}{n_{f}^{2}}\right)=-E_{1}\left(\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}\right)$$이고, 광자의 진동수는$$\nu=\frac{E_{i}-E_{f}}{h}=-\frac{E_{1}}{h}\left(\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}\right)$$이며 \(\displaystyle\lambda=\frac{c}{\nu}\)이므로 수소 스펙트럼의 식$$\frac{1}{\lambda}=-\frac{E_{1}}{ch}\left(\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}\right)$$을 얻는다. 이 결과에서

라이먼 계열: \(\displaystyle n_{f}=1,\,\frac{1}{\lambda}=-\frac{E_{1}}{ch}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)\,(n=2,\,3,\,\cdots)\)  

발머 계열: \(\displaystyle n_{f}=2,\,\frac{1}{\lambda}=-\frac{E_{1}}{ch}\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)\,(n=3,\,4,\,\cdots)\) 

파센 계열: \(\displaystyle n_{f}=3,\,\frac{1}{\lambda}=-\frac{E_{1}}{ch}\left(\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)\,(n=4,\,5,\,\cdots)\) 

브라켓 계열: \(\displaystyle n_{f}=4,\,\frac{1}{\lambda}=-\frac{E_{1}}{ch}\left(\frac{1}{4^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)\,(n=5,\,6,\,\cdots)\)   

푼트 계열: \(\displaystyle n_{f}=5,\,\frac{1}{\lambda}=-\frac{E_{1}}{ch}\left(\frac{1}{5^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)\,(n=6,\,7,\,\cdots)\)  

이고, 이 식들을 앞에서 언급했던 스펙트럼 계열의 실험식과 모양이 같으며, \(\displaystyle-\frac{E_{1}}{ch}=1.097\times10^{-7}\text{m}^{-1}\)은 리드베리 상수의 값과 같다. 따라서 보어의 수소 원자 모형은 스펙트럼 실험 결과와 일치한다.

원자를 바닥상태에서 에너지를 제공해서 복사선을 방출하게 하기 위해서 다른 입자와 충돌시킨다. 충돌이 일어나는 동안 운동에너지의 일부가 원자에 흡수되어 들뜨게 되고, 들뜬 원자는 한개 이상의 광자를 방출하면서 바닥상태가 된다.(아래 그림 참고)

수소 원자가 \(n=2\)인 들뜬 상태에서 \(n=1\)인 바닥상태로 떨어질 때 광자를 방출하므로 역으로 \(n=1\)인 상태에 있던 수소 원자가 광자를 흡수하면 \(n=2\)인 상태가 된다.(아래 그림 참고)

레이저(laser)는 다음의 특성을 갖는 광선 빔을 발생시키는 장치이다.

1. 레이저 빛은 거의 단색의 빛이다.  

2. 레이져 빛은 파들이 모두 서로 같은 위상(in phase) 상태에 있는 결이 일치하는(coherent) 빛이다.(아래 그림 참고)

3. 레이저 빛은 거의 퍼지지 않는다. 

4. 레이저 빔은 다른 어떠한 광원에서 발생되는 빛보다 세기가 월등히 세다. 

레이저의 뜻은 복사의 유도방출에 의한 빛의 증폭(Light Amplification by the Stimulated Emission of Radiation)이다.

원자의 두 에너지 준위 \(E_{0}\)와 \(E_{1}\) 사이에 전자기파가 관여하는 전이는 세 가지 종류이다.

1. 유도흡수(stimulated absorption): 원자가 초기에 낮은 상태 \(E_{0}\)에 있을 때 에너지가 \(E_{1}-E_{0}=h\nu\)인 광자를 흡수해서 \(E_{1}\)으로 올라갈 수 있다.    

2. 자발방출(spontaneous emission): 원자가 초기에 높은 상태 \(E_{1}\)에 있을 때 에너지가 \(h\nu\)인 광자를 방출해서 \(E_{0}\)로 내려간다.   

3. 유도방출(stimulated emission): 에너지가 \(h\nu\)인 입사 광자에 의해 \(E_{1}\)에서 \(E_{0}\)로의 전이가 유도되는 방출이다. 이때 방출되는 빛은 입사하는 빛과 위상이 일치하며 결이 일치하는 빛이 증폭된다.

다음은 간단한 3-준위 레이저(3-level laser)의 원리를 나타낸 것이다.

바닥상태에서 \(h\nu\)만큼 높은 에너지를 가지는 준안정 상태와 준안정 상태로 붕괴하는 더 높은 들뜬상태를 가진 원자(또는 분자)들을 이용한다.

참고자료:

Concepts of Modern Physics 6th edition, Beiser, McGraw-Hill

알기쉬운 현대물리, 최상돈, 강남룡, 이연주, 북스힐