[현대물리학] 2. 파동의 입자성

[현대물리학] 2. 파동의 입자성

1864년 맥스웰(Maxwell)은 전자기파의 전기장과 자기장은 같이 변하고 서로 수직이며 파의 진행방향에 대해서 수직이라는 사실을 알아냈고(아래 그림 참고)

또한 진공에서의 전자기파의 전파 속력 \(c\)가$$c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}}=2.998\times10^{8}\text{m/s}$$(\(\epsilon_{0}\)은 자유공간에서의 전기유전율, \(\mu_{0}\)은 자기 투자율)임을 보였다.

1888년 헤르츠(Hertz)는 전자기파가 실제로 존재하며 맥스웰의 발견이 사실임을 실험을 통해 보였다. 작은 틈을 가진 전선고리에 교류를 발생시켜서 틈에서 방전을 일으켰고, 여기서 발생되는 파가 전기, 자기적 성분을 가지며 반사, 굴절, 회절이 됨을 보였다.

(전자기 복사의 스펙트럼)

파동은 다음의 중첩의 원리(principle of superposition)를 따른다.

중첩의 원리: 같은 성질을 지닌 두개 이상의 파동이 동시에 한 점을 지날 때, 그 점에서의 순간진폭은 그 순간의 각각의 파동들의 진폭을 합한 것과 같다.

두 개 이상의 파열(wave train)이 한 위치에서 만나면 간섭(interference)을 일으켜서 순간진폭이 원래 파들의 순간진폭의 합인 새로운 파를 만든다.

보강간섭(constructive interference)은 같은 위상을 가진 파동이 중첩되어 진폭이 더 커지는 간섭이고, 상쇄간섭(destructive interference)은 서로 다른 위상을 가진 파동이 중첩되어 진폭이 더 작아지는 간섭이다.

위의 그림은 물결파에서 일어나는 간섭으로 선분 AB(왼쪽 흰색 직선)는 보강간섭이 일어나는 점들을 이은 직선이고, 선분 CD(오른쪽 흰색 직선)는 상쇄간섭이 일어나는 점들을 이은 직선이다.

1801년에 영(Young)은 이중 슬릿 실험을 통해 빛의 간섭현상을 보였다.(아래 그림 참고)

각 슬릿으로부터 2차 파가 슬릿을 광원하는 빛처럼 퍼지고 이것은 회절(diffraction)의 한 예이고, 회절은 간섭과 같이 파동이 갖는 특성이다. 간섭으로 인해 스크린은 밝고 어두운 선이 번갈아 나타난다. 경로차가 반파장의 홀수배 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}(2n-1)\)인 지점에서 상쇄간섭이 일어나 어두운 선이 생기고, 반파장의 짝수배 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}(2n)\)인 지점에서 보강간섭이 일어나 밝은 선이 생긴다. 영의 이중 슬릿 실험은 빛이 파동임을 입증하는 실험이며 맥스웰의 이론에 의해 전자기파이다.

흑체(blackbody)는 입사하여 들어오는 모든 복사를 주파수에 관계없이 모두 흡수하는 이상적인 물체이다. 속이 빈 물체 벽의 구멍은 흑체의 가장 좋은 근사이다.(아래 그림 참고)

구멍으로 통과하는 모든 복사는 공동 내부로 들어와 같혀서 흡수될 때까지 반사를 계속한다. 공동의 벽은 계속해서 복사를 흡수하고 내보나며 흑체복사(blackbody radiation)의 특성을 가진다.

(흑체복사 스펙트럼)

19세기 말에 레일리(Rayleigh)와 진스(Jeans)는 완전 반사하는 벽으로 인해 정상파들로 이루어진 전자기파를 포함하는 절대온도가 \(T\)인 공동 내부에서의 복사를 고려했다.(아래 그림 참고)

위의 세 그림은 당겨진 줄에서의 정상파를 3차원으로 일반화 시킨 것이고 이러한 공동에서의 정상파 조건은 벽과 벽 사이의 거리 \(L\)이 반파장의 정수배여서 반사면인 벽에서 파동의 마디가 형성되어야 한다는 것이다. 

공동에서 주파수 \(\nu\)와 간격 \(d\nu\) 사이의 단위 부파당 독립적인 정상파의 개수(공동 내부에서의 정상파 밀도)는 \(\displaystyle G(\nu)d\nu=\frac{8\pi\nu^{2}}{c^{3}}d\nu\)이고 공동의 모양과는 무관하며 정상파의 수는 주파수에 비례(파장에 반비례)한다.

지등분배 정리(theorem of equipartition energy)에 의해 절대온도 \(T\)로 열평형 상태의 시스템을 이루는 구성인자(예: 이상기체에서의 분자)의 자유도당 평균 에너지는 \(\displaystyle\frac{1}{2}kT\)(\(k=1.381\times10^{-23}\text{J/K}\)는 볼츠만 상수(Boltzmann constant))이다. 

단원자 이상기체 분자는 세 방향의 운동에너지에 해당하는 3개의 자유도를 가진다. 1차원 조화진동자는 2개의 자유도를 갖는데 하나는 운동에너지이고 나머지는 위치에너지이다.

공동에서 각각의 정상파들은 공동 벽에서의 전자 전하의 진동에 의해 발생하므로 정상파 하나당 2개의 자유도를 갖고 따라서 평균 에너지는 \(\displaystyle\overline{\epsilon}=2\left(\frac{1}{2}kT\right)=kT\)이다.

그러므로 공동 내부에서 주파수 간격 \(\nu\)와 \(\nu+d\nu\) 사이의 단위부피당 총 에너지(흑체복사의 에너지 밀도 스펙트럼) \(u(\nu)d\nu\)는$$u(\nu)d\nu=\overline{\epsilon}G(\nu)d\nu=\frac{8\pi kT}{c^{3}}\nu^{2}d\nu$$이고 이 식을 레일리-진스 공식(Rayleigh-Jeans formula)라고 한다.

위의 그래프에서 점선은 레일리-진스 공식이고, 실선은 실제 흑체복사 스펙트럼이다. 레일리-진스 공식은 실제 흑체복사 스펙트럼과 앞부분(작은 주파수)에서 어느정도 일치하나 뒤로 갈 수록(높은 주파수) 불일치하고 이것을 자외선 파탄(ultraviolet catastrophy)이라고 한다.

1900년에 플랑크(Planck)가 흑체복사의 에너지 밀도 스펙트럼이 다음(플랑크 복사공식, Planck radiation formula)과 같아야 함을 보였다.$$u(\nu)d\nu=\frac{8\pi h}{c^{3}}\frac{\nu^{3}d\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}$$여기서 \(h=6.626\times10^{-34}\text{J}\cdot\text{s}\)는 플랑크 상수(planck constant)이다. 낮은 주파수에서 플랑크 공식은 근사식 \(e^{x}\approx1+x\)로부터$$u(\nu)d\nu\approx\frac{8\pi h}{c^{3}}\nu^{3}\left(\frac{kT}{h\nu}\right)d\nu\approx\frac{8\pi kT}{c^{3}}\nu^{2}d\nu$$이므로 레일리-진스 공식이 된다. 

플랑크는 공동 벽에 있는 진동자들은 가능한 에너지로 연속적인 에너지가 아닌 특정한 에너지$$\epsilon_{n}=nh\nu\,(n=0,\,1,\,\cdots)$$를 가져야 한다. 진동자는 한 에너지 상태에서 다음의 낮은 에너지 상태로 낮아질 때 주파수 \(\nu\)의 복사파를 방출하고, 주파수 \(\nu\)의 복사파를 흡수해서 다음의 높은 에너지 상태로 뛰어오른다. 

각각의 불연속적인 에너지 덩어리를 양자(quantum)라고 한다. 진동자 에너지가 \(\epsilon_{n}=nh\nu\)로 제한되면 공동에 있는 정상파 1개 당 평균 에너지는 \(\displaystyle\epsilon=\frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}\)이다.

헤르츠는 실험 도중 전자파 발생기의 한쪽 금속 구에 자외선을 쪼여주면 방전이 잘 일어나는 것을 발견했다. 빛의 주파수가 충분히 크면 전자가 방출되기 때문에 이러한 현상이 일어나고 이 현상을 광전효과(photoelectric effect)라고 하며 방출되는 전자를 광전자(photoelectron)라고 한다.

위 그림에서 양극판에 빛을 쪼이면 양극에서 광전자들이 방출되고, 일부는 충분한 에너지를 가져서 음극판으로 이동해서 전류가 흐르게 된다. 몇 볼트 정도인 특정전압 \(V_{0}\)까지 전압을 높이면 더 이상 전류가 흐르지 않게 되고, 이 전압은 최대 광전자 운동에너지와 대응된다. 특정전압 \(V_{0}\)를 정지전압(stopping potential)이라고 한다.

다음은 광전효과에 대한 실험의 결과들이다.

1. 빛이 금속 표면에 도달하는 시간과 광전자가 방출되는 시간 사이에 어떠한 시간적 지연이 없으나 전자기파 에너지가 전체 파면에 걸쳐서 퍼져 있기 때문에 각 전자 하나하나가 금속을 벗어날 만큼의 에너지(몇 eV)를 축적하기까지 상당한 시간이 필요하다.

2. 같은 주파수에서 광전자 수는 빛의 세기에 비례하나 전자의 에너지는 모두 같다.(아래 그림 참고)

3. 주파수가 높을수록 광전자는 더 큰 에너지를 갖는다.(아래 그림 참고)

각 금속마다 특성으로 갖는 특정 임계 주파수 \(\nu_{0}\)를 기준으로 이 주파수보다 크면 광전자의 에너지는 최대 에너지까지의 값을 갖고, 최대 에너지는 주파수에 비례하나 반대로 주파수보다 작으면 전자가 방출되지 않는다.

주파수가 \(\nu\)인 빛의 광자의 에너지는 \(h\nu\)이다. 

앞에서 언급한 세 실험들은 아인슈타인의 가설과 연관되는 실험들이다.

1. 전자기파 에너지가 광자에 집중되어 있기 때문에 광전자 방출이 지연될 이유가 없다.

2. 주파수가 \(\nu\)인 모든 광자는 동일한 에너지를 갖기 때문에 단색광의 세기를 증가시키면 광전자 수는 증가하나 에너지는 그대로이다.

3. 광자에너지 \(h\nu\)는 주파수 \(\nu\)에 비례한다.

전자가 특정한 금속을 벗어나기 위한 최소에너지 \(\phi\)를 금속의 일함수(work function)라 하고, 임계주파수가 \(\nu_{0}\)일 때 \(\phi=h\nu_{0}\)이다.

금속	일함수(단위: eV)
Cs(세슘)	1.9
K(칼륨)	2.2
Na(나트륨)	2.3
Li(리튬)	2.5
Ca(칼슘)	3.2
Cu(구리)	4.7
Ag(은)	4.7
Pt(백금)	6.4

아인슈타인은 금속에서의 광전효과가 다음과 같음을 보였다.$$h\nu=K_{\max}+\phi$$여기서 \(h\nu\)는 광자에너지, \(K_{\max}\)는 최대 광전자에너지, \(\phi\)는 일함수이다. 이 식으로부터 \(K_{\max}=h(\nu-\nu_{0})\)이다. 에너지 보존법칙을 이용해서 앞에서 언급했던 정지전압 \(V_{0}\)를 사용하여 최대 광전자에너지를 \(K_{\max}=eV_{0}\)로 나타낼 수 있고, 이것은 최대 광전자에너지가 빛의 세기와 무관함을 뜻한다. 

                

파동설은 양자 이론으로 설명할 수 없는 빛의 간섭과 회절을 설명하고(아래 왼쪽 그림), 양자 이론은 파동설로 설명할 수 없는 광전효과를 설명한다.(아래 오른쪽 그림)

 

1895년 뢴트겐(Roentgen)은 빠른 전자를 물체에 충돌시킬 때 투과력이 강하고 그 성질이 잘 알려지지 않은 X-선(X-ray)이 방출되는 것을 발견했고, 전자기파라는 결론을 얻었다.

위의 그림은 X-선 관으로 전압 \(V\)가 클수록 전압이 빨라지고 X-선 파장이 짧아진다.

다음은 몰리브덴과 텅스텐을 표적으로 사용했을 때, 가속 전위차에 따른 X-선의 스펙트럼 변화를 나타낸 것이다.

위의 그래프는 다음의 두 가지를 설명한다.

1. 몰리브덴의 경우, 어떤 파장에서 X-선의 발생이 증폭되었음을 보여주는 봉우리들이 있고, 이 봉우리들은 특정 파장에서만 발생하는데 이것은 표적 전자들과 충돌한 후 표적 원자들의 전자가 재배치되기 때문에 생기는 봉우리이다.

2. 가속 전위차 \(V\)에 따라 X-선의 파장이 변하나 어떤 특정한 파장 \(\lambda_{\min}\)보다 더 짧은 파장의 X-선은 나오지 않는다. 이때 \(\displaystyle\lambda_{\min}=\frac{1.24\times10^{-6}}{V}\text{V}\cdot\text{m}\)이다.

2는 복사에 대한 양자 이론과 일치하는 결과이다.

다음의 그림은 X-선 광자와 전자의 충돌을 나타낸 것이다.

에너지와 운동량 사이에는 \(E^{2}=(mc^{2})^{2}+p^{2}c^{2}\)의 관계가 있다. 질량이 없는 입자의 에너지는 \(m=0\)인 경우에 해당하므로 \(E=pc\)이고 \(\displaystyle p=\frac{E}{c}=\frac{h\nu}{c}\)이다.

운동량 보존법칙에 의해

수평방향: \(\displaystyle\frac{h\nu}{c}+0=\frac{h\nu'}{c}\cos\phi+p\cos\theta\)   

수직방향: \(\displaystyle0=\frac{h\nu'}{c}\sin\phi-p\sin\theta\)

이므로$$\begin{align*}pc\cos\theta&=h\nu-h\nu'\cos\phi\\pc\sin\theta&=h\nu'\sin\phi\end{align*}$$이고$$p^{2}c^{2}=(h\nu)^{2}-2(h\nu)(h\nu')\cos\phi+(h\nu')^{2}$$이며$$E=K_{\max}+mc^{2}=\sqrt{m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}$$라고 하면 \(p^{2}c^{2}=K_{\max}^{2}+2mc^{2}K_{\max}\)이다. \(K=h\nu-h\nu'\)이므로$$p^{2}c^{2}=(h\nu)^{2}-2(h\nu)(h\nu')+(h\nu')^{2}+2mc^{2}(h\nu-h\nu')$$이고 이 식을 위의 식에 대입하면$$2mc^{2}(h\nu-h\nu')=2(h\nu)(h\nu')(1-\cos\phi)$$를 얻는다.

위의 식을 \(2h^{2}c^{2}\)로 나누면 \(\displaystyle\frac{mc}{h}\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}\right)=\frac{1-\cos\phi}{\lambda\lambda'}\)이고 따라서 다음의 콤프턴 효과(Compton effect)$$\lambda'-\lambda=\frac{h}{mc}(1-\cos\phi)$$를 얻는다. 여기서 \(\displaystyle\lambda_{C}=\frac{h}{mc}\)를 콤프턴 파장(Compton wavelength)이라고 하고$$\lambda'-\lambda=\lambda_{C}(1-\cos\phi)$$로 나타낼 수 있다.

(콤프턴 효과의 실험과 그 결과)

광자는 충돌을 통해 자신의 에너지 전부(광전 효과) 또는 일부(콤프턴 효과)를 전자에 전달할 수 있고 또한 광자가 전자와 양으로 대전된 전자인 양전자로 물질화 되는 것도 가능하다. 이 과정을 쌍생성(pair production)이라고 하고, 전자기적 에너지가 물질로 전환된다.(아래 그림 참고)

전자의 양전자의 정지에너지는 \(mc^{2}=0.51\text{MeV}\)이므로 쌍생성이 일어나기 위한 광자의 최소 에너지(일함수)는 \(1.02\text{MeV}\)이어야 한다. 이 이상의 광자에서는 양전자의 운동에너지가 되고, 이에 상응하는 광자의 최대 파장은 \(1.2\text{pm}\)이다. 이러한 파장을 가지는 전자기파를 \(\gamma\)-선(gamma ray)이라 하고, 자연적으로는 방사성 핵 방출 또는 우주선(cosmic ray)에서 발견된다.

쌍생성의 역반응은 양전자와 전자가 서로 접근해서 소멸되고 사라진 질량은 에너지가 되어 다음과 같이 두개의 \(\gamma\)-선 광자를 발생시킨다.$$e^{+}+e^{-}\,\rightarrow\,\gamma+\gamma$$이 과정을 쌍소멸(pair annihilation)이라 하고, 쌍소멸이 일어나는데는 핵이나 다른 입자가 불필요하다.

다음은 빛 광자인 X-선과 \(\gamma-\)선이 물질과 상호작용하는 세가지 방법을 나타낸 것이다.

이 세가지 경우 모두 광자에너지는 전자로 전달되고, 전자는 다시 흡수물질의 원자에 의해 에너지를 잃는다.

(탄소(가벼운 원소)와 납(무거운 원소)에서의 에너지에 따른 광전자 효과, 콤프턴 효과, 쌍생성에 대한 상대적인 확률 그래프)

X-선이나 \(\gamma\)-선의 세기 \(I\)는 빔의 단위 단면적당 에너지 전달률과 같다. 두께 \(dx\)의 흡수체를 지니면서 빔의 에너지를 잃는 에너지 손실률은 \(dx\)에 비례한다. 즉$$-\frac{dI}{I}=\mu dx$$이고 여기서 \(\mu\)는 선형감쇠계수(linear attenuation coefficient)이며 광자에너지와 흡수체의 성질에 따라 달라진다. 위의 식으로부터 복사 세기 \(I=I_{0}e^{-\mu x}\)를 얻고 \(x\)는 흡수체의 두께이며 \(\displaystyle x=\frac{1}{\mu}\ln\frac{I_{0}}{I}\)이다.

참고자료:

Concepts of Modern Physics 6th edition, Beiser, McGraw-Hill

Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics 7th edition, Serway, Jewett, Cengage Learning