[현대물리학] 5. 양자역학(1)

[현대물리학] 5. 양자역학(1)

앞에서 다루었던 원자에 대한 보어 모형은 원자 현상의 많은 부분을 설명할 수 있으나 수소($\text{H}$)원자 같은 단전자 원자에 대해서만 적용할 수 있고, 스펙트럼 선들 사이의 관계를 설명할 수 없다는 한계가 있다.

1925~1926년에 슈뢰딩거(Schrödinger), 하이젠베르크(Heisenberg), 보른(Born), 디락(Dirac) 등에 의해 양자역학(Quantum mechanics)이 만들어졌다.

불확정성 원리에 따르면 원자 영역에서 관측 가능한 양들의 성질은 고전역학과 다르고 엉성해 보이나, 고전역학은 양자역학의 근사치이다.

양자역학에서 양들의 관계를 확률(probability)로 나타내며 관심의 대상은 그 물체의 파동함수(wave function) $\Psi$이다. $\Psi$자체로는 물리적인 의미가 없지만 특정 장소, 시간에서 구한 $|\Psi|^{2}$는 그 장소에서 물체를 발견할 확률에 비례한다. 물체의 운동량, 각운동량, 에너지 등도 $\Psi$로부터 알아낼 수 있다. 

파동함수는 일반적으로 복소수이므로 확률밀도 $|\Psi|^{2}$는 $\Psi$와 $\Psi$의 켤레복소수(complex conjugate) $\Psi^{*}$의 곱 $\Psi\Psi^{*}$이다. 모든 복소함수 $\Psi$는 $\Psi=A+Bi\,(i=\sqrt{-1})$로 나타낼 수 있고, $\Psi^{*}=A-Bi,\,i^{2}=-1$이므로 $$|\Psi|^{2}=\Psi\Psi^{*}=(A+Bi)(A-Bi)=A^{2}+B^{2}$$ 이고 이 값은 실수 값이다.

앞에서 $|\Psi|^{2}$가 파동함가 $\Psi$인 물체를 발견할 확률에 비례한다고 했는데 이것을 물체를 발견할 확률밀도와 일치시키는 것이 편리하다. $|\Psi|^{2}$가 확률밀도함수이면 $$\int_{-\infty}^{\infty}{|\Psi|^{2}dx}=1$$ 이어야 하고, 이 식을 만족시키는 파동함수를 규격화(normalized)되었다고 한다.

다음은 파동함수가 가져야 할 조건들이다.

1. $\Psi$는 전체에서 연속이고, 1가(1차원) 함수이어야 한다. 

2. $\displaystyle\frac{\partial\Psi}{\partial x},\,\frac{\partial\Psi}{\partial y},\,\frac{\partial\Psi}{\partial z}$는 전체에서 연속이고 1가 함수이어야 한다.  

3. $\Psi$는 규격화가 가능해야 한다. 이것은 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{|\Psi|^{2}dx}<\infty$(유한)이기 위해 $x\,\rightarrow\,\pm\infty$, $y\,\rightarrow\,\pm\infty$, $z\,\rightarrow\,\pm\infty$인 극한에서 $\Psi\,\rightarrow\,0$이어야 함을 뜻한다.

이 세가지 조건들은 근사적으로만 나타내어지는 모형에서 적용이 불가능하다. 예를 들어 상자 밖에서 $\Psi=0$이므로 무한히 딱딱한 벽에서는 함수의 미분이 불연속이나 실제로 무한히 딱딱한 벽이 존재하지 않으므로 함수의 미분은 연속이다.   

양자역학에서 $+x$방향으로 진행하는 파동함수는 $\Psi=Ae^{-i\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)}$이고 여기서 $\omega=2\pi\nu$, $v=\lambda\nu$이므로 $\Psi=Ae^{-2\pi i\left(\nu t-\frac{x}{\lambda}\right)}$이며 또한 $E=h\nu=2\pi\hslash\nu$, $\displaystyle\lambda=\frac{h}{p}=\frac{2\pi\hslash}{p}$이므로 파동함수를 $\Psi=Ae^{-\frac{i}{\hslash}(Et-px)}$로 나타낼 수 있다. 이 식은 총 에너지가 $E$이고, 운동량이 $p$이며, $+x$방향으로 진행하는 자유입자의 파동의 수학적 표현이다. 

앞에서 얻은 파동함수에 대해 $$\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}=-\frac{p^{2}}{\hslash^{2}}\Psi,\,p^{2}\Psi=-\hslash^{2}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}},\,\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{iE}{\hslash}\Psi,\,E\Psi=-\frac{\hslash}{i}\frac{\partial\Psi}{\partial t}$$ 이고 광속보다 작은 속력을 갖는 입자의 총 에너지는 $\displaystyle E=\frac{p^{2}}{2m}+U(x,\,t)$이므로 이 식의 양변에 파동함수를 곱하면 $\displaystyle E\Psi=\frac{p^{2}\Psi}{2m}+U\Psi$이고 앞의 편미분 식들을 대입하면 다음의 시간의존 슈뢰딩거 방정식(time-dependent from of Schrödinger's equation) $$i\hslash\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{\partial\Psi^{2}}{\partial x^{2}}+U(x,\,t)\Psi$$ (1차원)을 얻고, 3차원 시간의존 슈뢰딩거 방정식은 $$i\hslash\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hslash^{2}}{2m}\left(\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial z^{2}}\right)+U(x,\,y,\,z,\,t)\Psi\left(=-\frac{\hslash^{2}}{2m}\nabla^{2}\Psi+U(x,\,y,\,z,\,t)\Psi\right)$$ 이다. 

슈뢰딩거 방정식에서 위치에너지가 일정하다는 가정에서 얻었고, 위치에너지가 일정하지 않다면 슈뢰딩거 방정식은 타당하지 않다. 그러나 슈뢰딩거 방정식은 물리의 다른 기본원리로부터 유도된 방정식이 아니라 자체가 기본원리이기 때문에 위치에너지가 일정하지 않아도 크게 문제될 것은 없다. 다만 비상대론적인 문제에만 적용가능하다.              

슈뢰딩거 방정식은 $\Psi$에 대해 선형이므로 $\Psi_{1}$과 $\Psi_{2}$가 각각 슈뢰딩거 방정식의 해일때, 이 두 해들의 선형결합 $\Psi=a_{1}\Psi_{1}+a_{2}\Psi_{2}$도 슈뢰딩거 방정식의 해가 된다. 따라서 $\Psi_{1}$과 $\Psi_{2}$는 중첩의 원리를 따르고 파동함수에서도 간섭현상이 일어난다고 할 수 있다.

위의 왼쪽 그림에서 $\Psi_{1}$이 슬릿 1만 개방했을 때의 스크린에서의 전자 세기의 파동함수, $\Psi_{2}$가 슬릿 2만 개방했을 때의 스크린에서의 전자 세기의 파동함수이면, $\Psi=\Psi_{1}+\Psi_{2}$는 슬릿 1, 2를 동시에 개방했을 때의 스크린에서의 전자 세기의 파동함수이고, 이 스크린에서의 확률밀도는 $$\begin{align*}|\Psi|^{2}&=|\Psi_{1}+\Psi_{2}|^{2}\\&=(\Psi_{1}^{*}+\Psi_{2}^{*})(\Psi_{1}+\Psi_{2})\\&=|\Psi_{1}|^{2}+|\Psi_{2}|^{2}+\Psi_{1}^{*}\Psi_{2}+\Psi_{1}\Psi_{2}^{*}\end{align*}$$ 이다.

주어진 물리적 상황에서 얻은 슈뢰딩거 방정식의 해인 파동함수 $\Psi(x,\,y,\,z,\,t)$는 불확정성 원리가 허용하는 범위 안에서 입자에 대한 모든 정보를 포함하고, 양자화된 변수를 제외한 모든 정보는 확률의 형태로만 나타난다.

$x$축에서만 일어나는 운동에서 얻은 파동함수 $\Psi(x,\,t)$에 의해 설명되는 입자의 위치에 대한 기댓값(expectation value)을 구하자.

$x$축에서 $x_{1}$에 $N_{1}$개, $x_{2}$에 $N_{2}$개가 위치하는 $x$축 상에 위치한 입자들의 평균위치는 $$\overline{x}=\frac{N_{1}x_{1}+N_{2}x_{2}+\cdots+}{N_{1}+N_{2}+\cdots}=\frac{\sum_{i}{N_{i}x_{i}}}{\sum_{i}{N_{i}}}$$ 이고 이 결과를 참고하면 기댓값은 $$\langle x\rangle=\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{x|\Psi|^{2}dx}}{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{|\Psi|^{2}dx}}$$ 이고 $\Psi$가 규격화된 파동함수이면, $\displaystyle\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}{x|\Psi|^{2}dx}$이고, 이때 일반적으로 $\displaystyle\langle G(x)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}{G(x)|\Psi|^{2}dx}$이다.

불확정성 원리 $\displaystyle\Delta x\Delta p\geq\frac{\hslash}{2}$로부터 $\Delta x=0$이면 운동량의 함수 $p(x)$가 존재하지 않기 때문에 운동량에 대한 기댓값을 구할 수 없다. 마찬가지로 $\displaystyle\Delta E\Delta t\geq\frac{\hslash}{2}$이므로 $\Delta t=0$이면 에너지의 함수 $E(t)$가 존재하지 않으므로 에너지에 대한 기댓값을 구할 수 없다. 하지만 다음의 연산자 방법을 이용하면 기댓값을 구할 수 있다.

자유입자의 파동함수 $\Psi=Ae^{-\frac{i}{\hslash}(Et-px)}$에 대하여 $$\frac{\partial\Psi}{\partial x}=\frac{i}{\hslash}p\Psi,\,\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{i}{\hslash}E\Psi$$ 이고 $$p\Psi=\frac{\hslash}{i}\frac{\partial}{\partial}\Psi,\,E\Psi=i\hslash\frac{\partial}{\partial t}\Psi$$ 이다.

연산자(operator)는 자신의 뒤에 있는 양에 어떤 연산을 할 것인가를 알려준다. 예를 들어 연산자 $\displaystyle i\hslash\frac{\partial}{\partial t}$는 뒤에 있는 양에 대해 우선 $t$에 대해 편미분을 하고 $i\hslash$를 곱하는 연산이다. 물리학에서 연산자에 대해 다음과 같이 캐럿 기호를 이용하여 나타낸다. $$\hat{p}=\frac{\hslash}{i}\frac{\partial}{\partial x},\,\hat{E}=i\hslash\frac{\partial}{\partial t}$$ $\hat{p}$는 운동량 $p$에 대응하는 연산자이고 $\hat{E}$는 에너지 $E$에 대응하는 연산자이다.

운동에너지를 운동량 $p$를 이용하여 나타내면 $\displaystyle K=\frac{p^{2}}{2m}$이므로 앞의 방법을 이용하여 운동에너지 연산자 $$\hat{K}=\frac{\hat{p}^{2}}{2m}=\frac{1}{2m}\left(\frac{\hslash}{i}\frac{\partial}{\partial x}\right)^{2}=-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}$$ 를 얻고, 총 에너지의 식 $E=K+U$에서 $\hat{E}=\hat{K}+\hat{U}$이고 $\hat{U}=U(\Psi)$이므로 $$i\hslash\frac{\partial}{\partial t}=-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+U$$ 이고 이 식의 양변에 $\Psi$를 곱하면 슈뢰딩거 방정식 $\displaystyle i\hslash\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}+U\Psi$를 얻는다.

연산자를 이용하여 $p$와 $E$의 기댓값을 다음과 같이 구할 수 있다. $$\begin{align*}\langle p\rangle&=\int_{-\infty}^{\infty}{\Psi*\hat{p}\Psi dx}=\int_{-\infty}^{\infty}{\Psi^{*}\left(\frac{\hslash}{i}\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi dx}=\frac{\hslash}{i}\int_{-\infty}^{\infty}{\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}dx}\\ \langle E\rangle&=\int_{-\infty}^{\infty}{\Psi^{*}E\Psi dx}=\int_{-\infty}^{\infty}{\Psi^{*}\left(i\hslash\frac{\partial}{\partial t}\right)\Psi dx}=i\hslash\int_{-\infty}^{\infty}{\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial t}dx}\end{align*}$$ 물리계를 특정짓는 모든 측정가능한 양 $G$를 적당한 연산자 $\hat{G}$로 나타낼 수 있다. 이 연산자를 얻기 위해서는 $G$를 $x$와 $p$로 나타낸 다음, $p$를 $\displaystyle\frac{\hslash}{i}x$로 바꾸면 된다. 파동함수 $\Psi$가 알려져 있을 때의 $G(x,\,p)$의 기댓값은 $\displaystyle\langle G(x,\,p)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}{\Psi^{*}\hat{G}\Psi dx}$이다. 

 

대다수의 경우, 입자의 위치에너지는 시간에 대해 독립이므로 입자의 위치에 대해서만 변한다. 1차원 자유입자의 파동함수는 $$\Psi=Ae^{-\frac{i}{\hslash}(Et-px)}=Ae^{i\frac{p}{\hslash}}e^{-\frac{iE}{\hslash}t}=\psi e^{-\frac{iE}{\hslash}t}$$ 이고 여기서 $\psi=Ae^{\frac{ip}{\hslash}x}$는 위치에만 의존하는 함수이다. 이 파동함수를 시간 의존 슈뢰딩거 방정식에 대입하면 $$E\psi e^{-\frac{iE}{\hslash}t}=-\frac{\hslash^{2}}{2m}e^{-\frac{iE}{\hslash}t}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+U\psi e^{-\frac{iE}{\hslash}t}$$ 이므로 1차원 정상상태 슈뢰딩거 방정식(steady-state form of Schrödinger equation) $\displaystyle\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+\frac{2m}{\hslash}(E-U)\psi=0$을 얻고, 다음은 3차원 정상상태 슈뢰딩거 방정식이다. $$\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial z^{2}}+\frac{2m}{\hslash}(E-U)\psi=0\,\left(=\nabla^{2}\psi+\frac{2m}{\hslash}(E-U)\psi=0\right)$$

슈뢰딩거 방정식의 해에서 나타나는 에너지의 양자화 방식과 비슷한 예는 양 끝이 고정된 길이 $L$로 잡아당겨진 줄에서의 정상파에 대한 것이다. 이 파는 한 방향으로 무한히 전파하여 나가는 대신 $+x$방향과 $-x$방향의 양 방향으로 동시에 진행하고 이 파들은 변위 $y$가 양 끝에서 항상 0이 되어야 하는 조건(경계조건, boundary condition)을 만족해야 한다. 이러한 변위함수는 파동함수의 조건을 만족하고 연속이며, 1가함수이어야 한다. 줄의 경우, $y$는 직접 측정가능하기 때문에 실수여야 하고 이 조건들을 만족하는 해들은 파장이 다음과 같다. $$\lambda_{n}=\frac{2L}{n+1}\,(n=0,\,1,\,\cdots)$$

(앞에서 언급한 해에 해당되는 정상파들)

정상상태 슈뢰딩거 방정식이 풀릴 수 있는 에너지의 값 $E_{n}$을 교유값(eigenvalue)이라고 하고, 이에 대응하는 파동함수 $\psi_{n}$을 고유함수(eigenfunction)라고 한다. 

수소 원자의 경우, 총 각운동량 크기의 고유값은 $$L=\sqrt{l(l+1)}\,(l=0,\,1,\,\cdots,\,(n-1))$$ 이다. 양자화되지 않는 동역학적 변수 $G$에 대하여 $\displaystyle\langle G\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}{G|\psi|^{2}dx}$로 나타낼 수 있다. 수소 원자의 경우, 전자의 위치는 양자화되지 않기 때문에 고전적 의미의 예측 가능한 위치에 존재하거나 궤도를 이루는 것이 아닌 핵의 근처에서 단위 부피당 $|\psi|^{2}$의 확률을 갖는 것으로 봐야 한다.

동역학적 변수 $G$가 양자화될($G_{n}$이 존재) 조건은 이 계의 파동함수 $\psi_{n}$이 다음의 식을 만족하는 것이다. $$\hat{G}\psi_{n}=G_{n}\psi_{n}$$ 여기서 $\hat{G}$는 $G$에 대응하는 연산자이고, $G_{n}$은 실수이다.

예를들어 연산자 $\displaystyle\frac{d^{2}}{dx^{2}}$의 고유함수 $\psi=e^{2x}$에 대응하는 고유값을 구하면 $\displaystyle\hat{G}=\frac{d^{2}}{dx^{2}}$이므로 $$\hat{G}\psi=\frac{d^{2}}{dx^{2}}(e^{2x})=\frac{d}{dx}(2e^{2x})=4e^{2x}=4\psi$$ 이므로 $\hat{G}\psi=4\psi$이고 따라서 $G$의 고유값은 $G=4$이다.

고전역학에서 사용되는 해밀토니안 $\displaystyle H=\frac{p^{2}}{2m}+U\,(=K+U)$를 다음과 같이 연산자로 나타낼 수 있고 $$\hat{H}=-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+U$$ 이 연산자를 해밀턴 연산자(Hamiltonian operator)라고 한다. $\hat{H}\psi_{n}=E_{n}\psi_{n}$이므로 $E_{n}$은 해밀턴 연산자의 고유값이다.

다음은 몇 가지 관측 가능한 물리량에 대한 연산자들을 나타낸 것이다.

물리량	연산자
위치 $x$  선운동량 $p$  위치에너지 $U(x)$  운동에너지 $\displaystyle K=\frac{p^{2}}{2m}$  총 에너지 $E$  해밀토니안 $\displaystyle H=\frac{p^{2}}{2m}+U$	위치 $x$  선운동량 $\displaystyle\hat{p}=\frac{\hslash}{i}\frac{\partial}{\partial x}$  위치에너지 $U(x)$  운동에너지 $\displaystyle\hat{K}=-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}$  총 에너지 $\displaystyle\hat{E}=i\hslash\frac{\partial}{\partial t}$   해밀토니안 $\displaystyle\hat{H}=-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+U(x)$

   

다음의 그림처럼 무한히 단단한 벽에 의해 $x$축을 따라 $x=0$과 $x=L$사이에서만 운동할 수 있는 입자가 있다.

입자는 벽과 충돌할 때 에너지를 잃지 않고 위치에너지는 상자의 양 끝에서 무한대이며 상자 내부에서 0으로 일정하다. 그러므로 파동함수 $\psi$는 $0\leq x\leq L$에서만 의미를 갖는다. 상자 안에서 $U=0$이므로 슈뢰딩거 방정식은 $\displaystyle\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+\frac{2m}{\hslash^{2}}E\psi=0$이고, 일반해 $\displaystyle\psi=A\sin\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash}x+B\cos\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash}x$를 얻고, 경계조건을 이용하여 상수 $A$와 $B$를 구해야 한다.  

경계조건은 $\psi(0)=0,\,\psi(L)=0$이고, 이 경계조건으로부터 $B=0$, $\displaystyle\frac{\sqrt{2\pi E}}{\hslash}L=n\pi$를 얻고, 이 식으로부터 $\displaystyle E_{n}=\frac{\pi^{2}\hslash^{2}}{2mL^{2}}n^{2}$이다.

그러면 고유함수 $\displaystyle\psi_{n}=A\sin\frac{\sqrt{2mE_{n}}}{\hslash}x=A\sin\frac{n\pi x}{L}$를 얻고 $$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}{|\psi_{n}|^{2}dx}&=\int_{0}^{L}{|\psi_{n}|^{2}dx}=A^{2}\int_{0}^{L}{\sin^{2}\frac{n\pi x}{L}dx}\\&=\frac{A^{2}}{2}\left\{\int_{0}^{L}{dx}-\int_{0}^{L}{\cos\frac{2n\pi x}{L}dx}\right\}\\&=\frac{A^{2}L}{2}-\left[\frac{L}{2n\pi}\sin\frac{2n\pi x}{L}\right]_{0}^{L}\\&=\frac{A^{2}L}{2}\end{align*}$$ 이므로 이 파동함수를 규격화하면 $\displaystyle\frac{A^{2}L}{2}=1$, 즉 $\displaystyle A=\sqrt{\frac{2}{L}}$이어야 하고 따라서 규격화된 파동함수는 $\displaystyle\psi_{n}=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L}$이며 이 때의 기댓값은 $$\begin{align*}\langle x\rangle&=\int_{-\infty}^{\infty}{x|\psi|^{2}dx}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}{x\sin^{2}\frac{n\pi x}{L}dx}\\&=\frac{2}{L}\left[\frac{x^{2}}{4}-\frac{Lx}{4n\pi}\sin\frac{2n\pi x}{L}-\frac{L^{2}}{8n^{2}\pi^{2}}\cos\frac{2n\pi x}{L}\right]_{0}^{L}\\&=\frac{2}{L}\cdot\frac{L^{2}}{4}=\frac{L}{2}\end{align*}$$ 이다.

($n=1,\,2,\,3$일 때의 $\psi_{n}$과 $|\psi_{n}|^{2}$의 파형)

위의 운동에서 $\displaystyle\psi^{*}=\psi=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L}$이고 $\displaystyle\frac{d\psi}{dx}=\sqrt{\frac{2}{L}}\frac{n\pi}{L}\cos\frac{n\pi x}{L}$이므로 $$\begin{align*}\langle p\rangle&=\int_{-\infty}^{\infty}{\psi^{*}\hat{p}\psi dx}=\int_{-\infty}^{\infty}{\psi^{*}\left(\frac{\hslash}{i}\frac{d}{dx}\right)\psi dx}\\&=\frac{\hslash}{iL}\frac{2n\pi}{L}\int_{0}^{L}{\sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{n\pi x}{L}dx}\\&=\frac{\hslash}{iL}\left[\sin^{2}\frac{n\pi x}{L}\right]_{0}^{L}\\&=0\end{align*}$$ 이다. 또한 전체 에너지가 $\displaystyle E=\frac{p^{2}}{2m}$이므로 $\displaystyle p_{n}=\pm\sqrt{2mE_{n}}=\pm\frac{n\pi\hslash}{L}$이고 앞에서처럼 $\displaystyle\langle p\rangle=\frac{1}{2}\left(\frac{n\pi\hslash}{L}-\frac{n\pi\hslash}{L}\right)=0$을 얻는다.

이 결과는 하나의 에너지 고유함수마다 두개의 가능한 운동방향에 대응하는 운동량의 고유함수가 있어야 함을 뜻한다. 앞에서 구한 파동함수 $\psi_{n}$은 $$\frac{\hslash}{i}\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L}\right)=\frac{n\pi\hslash}{iL}\sqrt{\frac{2}{L}}\cos\frac{n\pi x}{L}\neq p_{n}\psi_{n}$$ 이므로 식 $\hat{p}\psi_{n}=p_{n}\psi_{n}$을 만족하지 않는다. 등식 $$\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}=\frac{1}{2i}e^{i\theta}-\frac{1}{2i}e^{-i\theta}$$ 을 이용하여 각 에너지 고유함수를 다음의 두 파동함수 $$\psi_{n}^{+}=\frac{1}{2i}\sqrt{\frac{2}{L}}e^{\frac{in\pi x}{L}},\,\psi_{n}^{-}=-\frac{1}{2i}\sqrt{\frac{2}{L}}e^{-\frac{in\pi x}{L}}$$ 들의 선형결합으로 나타낼 수 있고 $$\frac{\hslash}{i}\frac{d}{dx}\psi_{n}^{+}=\frac{\hslash}{i}\frac{1}{2i}\sqrt{\frac{2}{L}}\frac{in\pi}{L}e^{\frac{in\pi x}{L}}=\frac{n\pi\hslash}{L}\psi_{n}^{+}=p_{n}^{+}\psi_{n}^{+}$$ 이므로 $\displaystyle p_{n}^{+}=\frac{n\pi\hslash}{L}$이고 위와 같은 방법으로 $\displaystyle p_{n}^{-}=-\frac{n\pi\hslash}{L}$이다.

따라서 $\psi_{n}^{+},\,\psi_{n}^{-}$는 상자 내부의 입자의 운동량 고유함수이다.

 

참고자료:

Concepts of Modern Physics 6th edition, Beiser, McGraw-Hill