[현대물리학] 3. 입자의 파동성, 불확정성 원리

[현대물리학] 3. 입자의 파동성, 불확정성 원리

진동수가 \(\nu\)인 광자의 운동량은 \(\displaystyle p=\frac{E}{c}=\frac{h\nu}{c}=\frac{h}{\lambda}\,(\lambda\nu=c)\)이므로 이 광자의 파장은 \(\displaystyle\lambda=\frac{h}{p}\)이다. 

드 브로이(de Broglie)는 위의 파장 식이 일반적으로 광자 뿐만 아닌 물질 입자에 대해서도 성립한다고 주장했다. 일반적으로 질량이 \(m\)이고 속력이 \(v\)인 입자의 운동량은 \(p=\gamma mv\)이고 여기서 \(\displaystyle\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\)이다. 따라서 입자의 드 브로이 파장(de Broglie wavelength)은 \(\displaystyle\lambda=\frac{h}{\gamma mv}\)이다. 전자기파처럼 물체에서도 입자성과 파동성이 동시에 관측될 수 없기 때문에 어떤 경우에는 파동같고 어떤 경우에는 입자 같다고 할 수 밖에 없다.  

물질파에서 변하는 양을 파동함수(wave function)라고 하고, \(\Psi\)로 나타낸다. 공간의 한 점 \((x,\,y,\,z)\)에서 시간 \(t\)일 때의 파동함수의 값은 해당 시간에 그 장소에서 물체를 발견할 가능성(확률)과 관련이 있으나 모든 파동의 진폭이 음수일 수 있고, 확률은 0과 1 사이의 값만을 취하기 때문에 \(\Psi\)는 관측 가능한 양이 아니며 어떠한 물리적 의미도 없다.

그러나 파동함수의 절댓값의 제곱 \(|\Psi|^{2}\)에 대해서는 위의 반론이 적용되지 않으며 다음의 성질을 갖는다.

위치 \((x,\,y,\,z)\)에서 시간 \(t\)일 때의 파동함수 \(\Psi\)로 기술되는 물체를 실험적으로 발견할 확률은 해당 장소와 시간 \(t\)일 때의 \(|\Psi|^{2}\)의 값에 비례한다.

\(|\Psi|^{2}\)는 확률밀도(probability density)로 알려져 있고, 시간 \(t\)일 때 \((x,\,y,\,z)\)에서의 물체의 실제 밀도(actual density, 단위 부피당 개수)는 \(|\Psi|^{2}\)의 값에 비례한다.

드 브로이 파의 파장이 \(\displaystyle\lambda=\frac{h}{\gamma mv}\)이므로 드 브로이 파의 속력은$$v_{p}=\nu\lambda=\left(\frac{\gamma mc^{2}}{h}\right)\left(\frac{h}{\gamma mv}\right)=\frac{c^{2}}{v}\,(E=h\nu=\gamma mc^{2})$$이다. 입자가 최대한으로 낼 수 있는 속력은 광속보다 작아야 한다. 이 결과는 현실과 모순되는 결과이나 위상속도(phase velocity)와 군속도(group velocity)의 차이를 고찰하면 이해할 수 있다.

위의 왼쪽 그림은 특정 순간에 잡아당겨진 줄에서의 파동의 모양을 나타낸 것이고, 오른쪽 그림은 왼쪽 파동의 모양을 수학적으로 나타낸 것이고 \(y=A\cos2\pi\nu t\)이다. 현의 파동운동에 대해 분석하려면 줄 위에서의 임의의 점 \(x\)에서 임의의 시간에 \(y\)가 어떠한 지를 알아야 한다(\(y\)를 \(x\)와 \(t\)의 함수로 표현).

위의 그림은 \(t=0\)일 때 \(x=0\)에서 줄을 흔들어 파가 \(+x\)방향으로 진행하는 것을 나타낸 그림이고, 이 파의 속력은 \(v_{p}\)이다. 그러므로 \(x=v_{p}t\)이고 \(0\)에서 \(x\)로 도달 할 때까지의 시간간격은 \(\displaystyle\frac{x}{v_{p}}\)이다. 따라서 시간 \(t\)에서 \(x\)에서의 줄의 변위 \(y\)는 \(x=0\)에서 앞선 시간 \(\displaystyle t-\frac{x}{v_{p}}\)일 때의 \(y\)의 값과 같다. 그러므로$$\begin{align*}y&=A\cos2\pi\nu\left(t-\frac{x}{v_{p}}\right)=A\cos2\pi\left(\nu t-\frac{\nu x}{v_{p}}\right)\\&=A\cos2\pi\left(\nu t-\frac{x}{\lambda}\right)\end{align*}$$이다. 이때 각진동수(angular frequency) \(\omega=2\pi\nu\,\text{rad/s}\)와 파수(wave number) \(\displaystyle k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{\omega}{v_{p}}\,\text{rad/m}\)를 이용하여 위의 파동 공식을 \(y=A\cos(\omega t-kx)\)로 나타낼 수 있다. 3차원의 경우, 파면에 수직인 \(\mathbf{k}\)와 위치벡터 \(\mathbf{r}\)의 내적 \(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\)을 파동공식의 \(kx\)에 대입하면 된다.

움직이는 물체에 대응하는 드 브로이 파의 진폭은 특정 시간에 특정 장소에서 물체를 발견할 확률이고 모두 같은 진폭 \(A\)를 갖는 무한히 연속되는 파를 나타내기 때문에 \(y=A\cos(\omega t-kx)\)의 형태로 나타낼 수 없다. 반면에 움직이는 물체에 대한 파동 표현은 다음 그림의 파군(wave group)에 해당한다.

파군의 대표적인 예는 맥놀이(beat)이고 다른 진동수를 가진 두 파동의 중첩에 의해 발생한다.(아래 그림 참고)

파군은 수학적으로 서로 다른 파장을 갖는 파들의 중첩으로 나타낼 수 있다. 다음의 두 파$$y_{1}=A\cos(\omega t-kx),\,y_{2}=A\cos((\omega+\Delta\omega)t-(k+\Delta k)x)$$에 의해 만들어진 파군을 해석하자. 다음의 삼각함수에 대한 공식$$\begin{align*}\cos\alpha+\cos\beta=&2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \cos(-\theta)&=\cos\theta\end{align*}$$과$$2\omega+\Delta\omega\approx2\omega,\,2k+\Delta k\approx2k$$를 이용하면$$\begin{align*}y&=y_{1}+y_{2}\\&=2A\cos\frac{(2\omega+\Delta\omega)t-(2k+\Delta k)x}{2}\cos\frac{\Delta\omega t-\Delta kx}{2}\\&\approx2A\cos(\omega t-kx)\cos\left(\frac{\Delta\omega}{2}t-\frac{\Delta k}{2}x\right)\end{align*}$$이다.

위상속도는 \(\displaystyle v_{p}=\frac{\omega}{k}\)이고 파군의 속도는 \(\displaystyle v_{g}=\frac{\Delta\omega}{\Delta k}\)이며 만약 \(\omega\)와 \(k\)가 연속적이면 군속도는 \(\displaystyle v_{g}=\frac{d\omega}{dk}\)이다.

정지질량이 \(m\)이고 속력이 \(v\)인 물체의 드 브로이 파의 각진동수와 파수는 \(E=h\nu=\gamma mc^{2}\)이므로$$\begin{align*}\omega&=2\pi\nu=\frac{2\pi\gamma mc^{2}}{h}=\frac{2\pi mc^{2}}{h\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\\k&=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi\gamma mv}{h}=\frac{2\pi mv}{h\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\end{align*}$$이고$$\frac{d\omega}{dv}=\frac{2\pi mv}{h\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}},\,\frac{dk}{dv}=\frac{2\pi m}{h\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}}$$이므로 따라서$$v_{g}=\frac{d\omega}{dk}=\frac{\frac{d\omega}{dv}}{\frac{dk}{dv}}=v$$고 \(\displaystyle v_{p}=\frac{\omega}{k}=\frac{c^{2}}{v}\)이다. 

물체의 운동은 파군을 이루는 각각의 파들의 운동이 아닌 파군 전체의 운동에 대응되므로 \(v_{p}\)는 물리적인 의미가 없고 \(v_{g}=v<c\)이다. 따라서 드 브로이 파에서 \(v_{p}>c\)는 특수 상대성 이론에 위배되지 않는다.

파동은 회절 현상이 일어난다. 데이비슨(Davisson)과 거머(Germer)는 다음의 실험을 통해 결정의 규칙적인 원자 배열에 의해 산란된 전자 선속이 회절함을 보였다.

위의 그림의 장치를 통해 고체(니켈)에 의한 전자의 산란을 연구하던 중 사고로 공기가 실험 장치 내부로 들어가 니켈의 표면을 산화시켰다. 산화된 니켈을 순수한 니켈로 환원시키기 위해 고온에서 구운 다음 다시 실험을 하자 니켈이 산화되기 전과 다른 결과를 얻었다.(아래 그림 참고)

특정 각도에서의 산란 세기를 그 각도에서의 산란 점에서부터 곡선까지의 거리로 표시했고, 산란된 전자의 세기가 각도에 따라 연속적으로 변하지 않으며 명백한 최댓값과 최솟값을 가짐이 확인되었다. 또한 최대와 최소가 되는 위치가 1차 전자의 에너지와 관련이 있음이 밝혀졌다. 

다음의 그림은 제한된 특정 공간(상자)에서 움직이는 입자의 운동을 나타낸 것이고 벽은 충돌이 일어났을 때 에너지를 잃지 않을 정도로 단단하다.

파동의 관점에서 보면 상자 속의 입자는 상자의 벽 사이에 잡아당겨진 줄에서의 정상파와 같고, 벽에서 파가 정지하기 때문에 파동 변수(줄의 경우는 가로 방향의 변위, 움직이는 입자의 경우는 파동함수 \(\Psi\))는 0이다.

위의 그림에서처럼 입자의 가능한 드 브로이 파장은 상자의 길이 \(L\)에 의해 결정되고 일반적으로$$\lambda_{n}=\frac{2L}{n}\,(n=1,\,2,\,\cdots)$$이다. \(\displaystyle mv=\frac{h}{\lambda}\)이므로 이 입자의 운동에너지는$$K=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{p^{2}}{2m}=\frac{h^{2}}{2m\lambda^{2}}$$이고 \(\displaystyle\lambda=\frac{2L}{n}\)이며 입자의 위치에너지가 없기 때문에 입자의 에너지는$$E_{n}=\frac{n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}\,(n=1,\,2,\,\cdots)$$이다. 입자가 가질 수 있는 각각의 에너지를 에너지 준위(energy level)라고 하고, 에너지 준위 \(E_{n}\)을 정하는 정수 \(n\)을 양자수(quantum number)라고 한다. 식 \(E_{n}\)으로부터 다음의 세 가지 결론을 도출할 수 있다.

1. 갇혀있는 전자는 자유 전자가 가지는 것과 같은 임의의 에너지를 가질 수 없다.(공간에서의 입자의 제한은 파동함수에 제한을 주어 특정한 에너지 값만 갖게 한다)

2. 갇혀 있는 입자는 에너지가 0이 될 수 없다. 그 이유는 드 브로이 파장이 \(\displaystyle\lambda=\frac{h}{mv}\)이므로 \(v=0\)이면 파장이 무한대가 되기 때문이다.

3. 플랑크 상수가 너무 작기 때문에 \(m\)과 \(L\)이 작은 경우에만 에너지 양자화가 눈에 보인다.

불확정성 원리

움직이는 입자를 파군으로 여기는 것은 위치 또는 운동량 같은 입자성을 나타내는 물리량을 측정하는데 한계가 있기 때문이다.

위의 왼쪽 그림은 좁은 드 브로이 파군으로 입자의 위치를 정확히 측정할 수 있으나 파장(운동량, \(\displaystyle\lambda=\frac{h}{mv}\))을 측정할 만한 충분한 파들이 없어서 파장을 정확히 측정하기 어렵다. 반대로 위의 오른쪽 그림은 넓은 드 브로이 파군으로 파장을 정확히 측정할 수 있으나 위치를 정확히 측정하기 어렵다. 이것을 토대로 다음의 하이젠베르크(Heisenberg)의 불확정성 원리(uncertainty principle)를 얻는다.

:한 물체에 대해 위치와 운동량을 동시에 정확하게 아는 것은 불가능하다. 

다음의 그림대로 임의의 파군을 형성하려면 진동수, 파수, 진폭이 서로 다른 무한개의 파열들의 중첩이 필요하다.

어떤 시간 \(t\)에서의 파군 \(\Psi(x)\)를 푸리에 적분(Fourier integral) \(\displaystyle\Psi(x)=\int_{0}^{\infty}{g(k)\cos kxdk}\)로 나타낼 수 있다. 여기서 \(g(k)\)는 \(k\)값의 변화에 따라 \(\Psi(x)\)에 기여하는 파들의 진폭의 변화를 나타내는 함수로 \(\Psi(x)\)의 푸리에 변환(Fourier transformation)이다. 군의 폭이 좁으면 좁을수록 필요한 파수의 범위는 더 넓어지며 역도 성립한다.

길이의 폭 \(\Delta x\)와 파수의 폭 \(\Delta k\) 사이의 관계는 파군의 모양과 \(\Delta x\)와 \(\Delta k\)를 어떻게 정의하는가에 따라 다르다. 파군의 포락선이 종 모양의 가우스 함수(정규분포 곡선) 형태이면, 그 푸리에 변환도 가우스 함수이고, \(\Delta x\Delta k\)가 최솟값을 갖는다. \(\Delta x\)와 \(\Delta k\)를 각각 \(\Psi(x)\)와 \(g(k)\)의 표준편차로 정의하면 \(\displaystyle\Delta x\Delta k\geq\frac{1}{2}\)이다.

무작위한 실험오차를 갖는 어떤 양 \(x\)에 대해 일련의 측정을 하면 가우스 분포(Gauss distribution)(또는 정규분포)를 따른다. 측정에서의 표준편차(standard deviation) \(\sigma\)는 평균값 \(x_{0}\)를 중심으로 벗어나는 정도를 측정하는 값이고, 평균값 \(x_{0}\)의 편차의 제곱합의 평균의 제곱근이다. \(N\)번 측정했다고 했을 때의 표준편차는$$\sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{n}{(x_{i}-x_{0})^{2}}}$$이다.

가우스 함수는 \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}}\)이고$$P(x_{0}-\sigma\leq x\leq x_{0}+\sigma)=\int_{x_{0}-\sigma}^{x_{0}+\sigma}{f(x)dx}=0.683$$이다. 이것은 일련의 측정에서 측정값들이 평균값 \(x_{0}\)의 표준편차 안에 있을 확률이 0.683임을 뜻한다.

(가우스 분포의 곡선)

 

운동량이 \(p\)인 드 브로이 파장은 \(\displaystyle\lambda=\frac{h}{p}\)이고 이에 대응되는 파수는 \(\displaystyle k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi p}{h}\)이다. 따라서 \(\displaystyle p=\frac{hk}{2\pi}\)이고 드 브로이 파의 파수의 불확정성 \(\Delta k\)는 입자 운동량에 불확정성 \(\Delta p\)를 주고 \(\displaystyle\Delta p=\frac{h\Delta k}{2\pi}\)이다.

앞에서 \(\displaystyle\Delta x\Delta k\geq\frac{1}{2}\)이므로 \(\displaystyle\Delta k\geq\frac{1}{2\Delta x}\)이고$$\Delta x\Delta p\geq\frac{h}{4\pi}$$를 얻는다. 이 불확정성은 측정장비가 부정확해서가 아니라 측정하려는 양들이 부정확(불확실성은 운동하는 물체가 본질적으로 가지고 있는 성질)하기 때문에 나타나는 것이다. 현재를 확실히 알 수 없기 때문에 미래를 확실히 알 수 없으나 입자가 다른 곳에 비해 어느 특정한 장소에 있을 확률이 더 크다고 할 수 있고, 운동량이 다른 값보다 어떤 특정한 값을 가질 확률이 더 크다고 할 수 있다.

\(\hslash\)를 플랑크 상수 \(h\)를 \(2\pi\)로 나눈 값으로 정의하고, h-bar(하-바)라고 부른다. 즉$$\hslash=\frac{h}{2\pi}=1.054\times10^{-34}\text{J}\cdot\text{s}$$이고, 불확정성 원리를 \(\displaystyle\Delta x\Delta p\geq\frac{\hslash}{2}\)로 나타낼 수 있다.

다음은 입자에서 접근을 하는 방법으로 불확정성 원리를 얻는 과정이다.

파장이 \(\lambda\)인 빛에 대해 각각의 광자는 운동량 \(\displaystyle\frac{h}{\lambda}\)를 갖고 운동량의 변화량 \(\Delta p\)를 정확히 예측하기 어려우나 광자의 운동량과 비슷한 정도이므로 \(\displaystyle\Delta p\approx\frac{h}{\lambda}\)이다.

측정에 사용하는 광자의 파장이 길면 길수록 전자의 운동량의 불확정성은 작아진다. 빛은 입자성과 파동성을 갖기 때문에 전자의 위치를 무한대의 정확도로 측정할 수 없다. 따라서 \(\Delta x\geq\lambda\)로 하는것이 타당하고 파장이 짧은 빛을 사용하면 위치를 정확하게 측정할 수 있으나 운동량의 정확도가 떨어지며, 파장이 긴 빛을 사용하면 운동량을 정확하게 측정할 수 있으나 위치의 정확도가 떨어진다. 

위의 두 결과로부터 \(\Delta x\Delta p\geq h\)이고 이것은 \(\displaystyle\Delta x\Delta p\geq\frac{\hslash}{2}\)와 일치하는 결과이다. 

어떤 한 원자에 대해 시간간격 \(\Delta t\)동안 방출되는 에너지 \(E\)를 측정하려고 한다. 전자기파 형태의 에너지는 측정이 가능한 시간의 제약 때문에 진동수 측정의 정확도에 제한이 있다. 한 파동에서 진동의 개수를 셀 때 셀 수 있는 최소의 불확정성은 진동 하나라고 하면 \(\displaystyle\Delta\nu\geq\frac{1}{\Delta t}\)이고 \(\Delta E=h\Delta\nu\)이므로 \(\displaystyle\Delta E\geq\frac{h}{\Delta t}\)이고 \(\Delta E\Delta t\geq h\)이다. 파군의 성질에 기초해서 구하면 \(\displaystyle\Delta E\Delta t\geq\frac{\hslash}{2}\)이다.

참고자료:

Concepts of Modern Physics 6th edition, Beiser, McGraw-Hill