[현대물리학] 1. 상대성 이론

[현대물리학] 1. 상대성 이론

어떤 물체의 운동의 엄밀한 정의는 그 위치가 다른 물체에 대해 상대적으로 변하는 것을 뜻한다. 운동을 설명하기 위해서 기준계(frame of reference)가 필요하고, 물체가 움직이는 것은 특정한 기준계가 존재함을 뜻한다.

관성기준계(inertial frames of reference)는 뉴턴의 운동 제 1 법칙이 성립하는 계를 뜻한다. 관성기준계에서 정지 상태의 물체는 계속 정지해 있고, 물체에 힘이 작용하지 않으면(알짜힘이 0) 등속직선운동을 한다. 

모든 관성기준계는 동등하고 일정한 속도의 운동은 상대적이기 때문에 우주 전체에서 광범위하게 사용가능한 기준계는 존재하지 않고 이와 마찬가지로 절대운동(광범위하게 사용가능한 기준계에 대한 운동) 또한 존재하지 않는다. 

상대성 이론(theory of relativity)은 보편적인 기준계(광범위하게 사용가능한 기준계)가 존재하지 않아서 발생한 결과와 관련이 있다. 아인슈타인(Albert Einstein)이 1905년에 발표한 특수 상대성 이론(special relativity)은 관성기준계에 관련된 문제를 다룬 것이고, 1915년에 발표한 일반 상대성 이론(general relativity)은 중력과 시공간의 기하학적 구조 사이의 관계를 다룬 이론이다.

특수 상대성 이론은 다음의 아인슈타인의 두 가설에 기초한다.

1. 상대성의 원리(principle of relativity): 상대적으로 일정한 속도로 움직이는 기준계에서는 모든 물리 법칙이 동일하다.

2. 실험 결과를 바탕으로 하는 가설: 자유공간에서의 빛의 속력은 모든 관성기준계에서 같은 값을 갖는다.(광속: \(c=2.998\times10^{8}\text{m/s}\))(아래 그림 참고)

특수 상대성 이론을 무시하면 한 관성계에서 다른 관성계로 쉽게 변환할 수 있다. 계 \(S\)와 \(S'\)의 원점이 일치하는 순간부터 시간을 측정했다고 하고 계 \(S'\)는 계 \(S\)에 대해 일정한 속도 \(\mathbf{v}\)로 \(+x\)방향으로 움직인다고 하자.(아래 그림 참고)

그러면 \(S\)에서 측정한 \(x\)방향으로의 값은 \(x'=x-vt\,(|\mathbf{v}|=v)\)이고, \(y,\,z\)방향으로는 상대적인 운동이 없기 때문에 \(y'=y\), \(z'=z\)이고 \(t'=t\)이다. 앞의 \(x',\,y',\,z',\,t'\)들을 갈릴레이 변환(Galilean transformation)이라고 한다.

갈릴레이 변환으로부터 계 \(S\)에서의 속도를 계 \(S'\)에서의 속도로 변환하려면 다음과 같이 \(x',\,y',\,z'\)을 시간에 대해 미분하면 된다.$$v_{x}'=\frac{dx'}{dt}=v_{x}-v,\,v_{y}'=\frac{dy'}{dt}=v_{y},\,v_{z}'=\frac{dz'}{dt}=v_{z}$$갈릴레이 변환과 속도변환은 직관에 의한 예상과 일치하지만 앞에서 언급한 아인슈타인의 두 가설 모두에 위배된다. 

첫번째 가설에 의해 물리법칙에 대한 모든 공식은 기준계 \(S\)와 \(S'\)에서 서로 일치해야 하나 한 기준계에서 측정된 양을 다른 기준계에서 측정한 값으로 변환하는데 갈릴레이 변환을 이용하면 전기, 자기에 대한 기본공식(맥스웰 방정식)들은 서로 다른 형태를 갖게 된다.

두번째 가설에 의해 광속 \(c\)는 \(S\)와 \(S'\)에서 같아야 하는데 갈릴레이 변환에 의하면 \(c'=c-v\)이다.

앞에서 갈릴레오 변환에 문제가 있음을 확인했다. 아인슈타인의 두 가설에 위배되지 않는 \(x\)와 \(x'\)사이의 정확한 변환관계는$$x'=k(x-vt)$$이고 \(k\)는 \(v\)의 함수이다. 기준계 \(S\)와 \(S'\)에서 물리공식이 같아야 하므로$$x=k(x'+vt)$$이어야 하고 \(v\)의 부호가 다르다는 점을 제외하면 모두 동일하기 때문에 두 기준계에서 \(k\)는 같아야 한다. \(v\)에 수직인 \(y,\,z\)는 갈릴레이 변환의 경우처럼 \(y',\,z'\)과 같기 때문에 \(y'=y,\,z'=z\)이나 \(t\neq t'\)이다. 다음의 두 식$$x'=k(x-vt),\,x=k(x'+vt)$$으로부터 \(x=k^{2}(x-vt)+kvt'\)이고 \(\displaystyle t'=kt+\left(\frac{1-k^{2}}{kv}\right)x\)이다. 

두번째 가설에 따르면 두 기준계 \(S\)와 \(S'\)에서의 광속은 \(c\)로 동일해야 한다. 즉 \(S\)에서 \(x=ct\), \(S'\)에서 \(x'=ct'\). 

두 식 \(x'=k(x-vt)\)와 \(\displaystyle t'=kt+\left(\frac{1-k^{2}}{kv}\right)x\)으로부터$$k(x-vt)=ckt+\left(\frac{1-k^{2}}{kv}\right)cx$$이고$$x=\frac{ckt+vkt}{k-\left(\frac{1-k^{2}}{kv}\right)c}=ct\left\{\frac{k+\frac{v}{c}k}{k-\left(\frac{1-k^{2}}{kv}\right)c}\right\}=ct\left\{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\left(\frac{1}{k^{2}}-1\right)\frac{c}{v}}\right\}$$이다. \(x=ct\)이어야 하므로$$\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\left(\frac{1}{k^{2}}-1\right)\frac{c}{v}}=1$$이고 따라서 \(\displaystyle k=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\)이다. 그러므로$$x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}},\,y'=y,\,z'=z,\,t'=\frac{t-\frac{vx}{c^{2}}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$$이고 이 식들을 로렌츠 변환(Lorenz transformation), 상수 \(\displaystyle k=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\)를 로렌츠 인수(Lorenz factor)라고 한다. 역 로렌츠 변환(inverse Lorentz transformation)은 다음과 같다.$$x=\frac{x'+vt}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}},\,y=y',\,z=z',\,t=\frac{t'+\frac{vx'}{c^{2}}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$$(프라임(')이 붙은 양과 붙지 않은 양을 서로 교환하고 \(v\)를 \(-v\)로 대체하면 된다)

고정된 기준계 \(S\)와 \(x'\)방향으로 움직이는 기준계\(S'\)에 대하여 \(S'\)에 있는 관측자가 볼 때, 막대 양 끝의 좌표는 \(x_{1}'\)과 \(x_{2}'\)이고 그 막대의 고유 길이(proper length)는 \(L_{0}=x_{2}-x_{1}\)이다. 고정된 기준계 \(S\)에서 시간 \(t\)일 때의 막대의 길이 \(L=x_{2}-x_{1}\)을 구하면$$x_{1}'=\frac{x_{1}-vt}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}},\,x_{2}'=\frac{x_{2}-vt}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$$이므로$$L=ㅌ_{2}-x_{1}=(x_{2}'-x_{1}')\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}=L_{0}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$$이다. 

(상대론적 길이의 수축, x축은 로그축이다)

관측자의 기준계에 있는 동일한 장소에서 일어난 사건 사이의 시간간격 \(t_{0}\)를 사건 사이 간격의 고유 시간(proper time)이라고 한다. 시간 간격의 시작과 끝을 이루는 사건은 지구상의 관측자 입장에서 서로 다른 장소에서 일어나고 따라서 간격의 지속시간은 고유시간보다 더 길어진다. 이러한 효과를 시간 지연(time dilation)이라고 한다.

위의 왼쪽 그림에서 빛 펄스가 왕복하는 시간간격은 고유 시간 \(t_{0}\)이고 편도 시간(한 쪽으로 가는데 걸리는 시간)은 \(\displaystyle\frac{t_{0}}{2}\)이므로 \(\displaystyle\frac{t_{0}}{2}=\frac{L_{0}}{c}\)이고 따라서 고유 시간은 \(\displaystyle t_{0}=\frac{2L_{0}}{c}\)이다.

위의 오른쪽 그림에서 \(\displaystyle\left(\frac{ct}{2}\right)^{2}=L_{0}^{2}+\left(\frac{vt}{2}\right)^{2}\)이므로 \(\displaystyle\frac{t^{2}}{4}(c^{2}-v^{2})=L_{0}^{2}\)이고 따라서 \(\displaystyle t=\frac{2L_{0}}{c\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\frac{t_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\)이다. \(t\)가 \(t_{0}\)보다 크므로 지구에 있는 관측자의 시선에서 움직이는 우주선 내부에 있는 시계가 지상에 위치한 시계보다 느리게 가는 것처럼 보임을 뜻한다.

우주선에 탑승한 우주인이 지구상의 시계를 보았을 때, 지상의 시계의 빛 펄스가 왕복하는데 걸리는 \(t\)시간이 걸리는 것으로 보인다. 자신의 시계의 빛 펄스가 왕복하는데 걸리는 시간이 \(t_{0}\)이므로 \(\displaystyle t=\frac{t_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\)이다.          

기준계 \(S\)와 \(S'\)에 두 입자 A, B가 정지해 있다가 동시에 A는 +y방향으로 \(V_{A}\)의 속력으로 움직이고, B는 -y방향으로 \(V_{B}'\)의 속력으로 움직여서 탄성충돌을 하며 \(V_{A}=V_{B}'\)이라고 하자.(아래 그림 참고)

\(T\)를 기준계 \(S\)에서 B가 원래 위치로 돌아오는데 걸리는 시간, \(T_{0}\)를 기준계 \(S'\)에서 B가 원래 위치로 돌아오는데 걸리는 시간이라고 하면 \(\displaystyle T_{0}=\frac{Y}{V_{A}}=\frac{Y}{V_{B}'}\), \(\displaystyle T=\frac{T_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\)이고 기준계 \(S\)에서의 \(B\)의 속력이 \(\displaystyle V_{B}=\frac{Y}{T}=\frac{Y}{T_{0}}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\)이므로 기준계 \(S\)에서의 운동량은$$p_{A}=m_{A}V_{A}=m_{A}\left(\frac{Y}{T_{0}}\right),\,p_{B}=m_{B}V_{B}=m_{B}\frac{Y}{T_{0}}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$$이고 \(m_{A}=m_{B}\)이면 운동량이 보존되지 않으나 \(\displaystyle m_{B}=\frac{m_{A}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\)이면 운동량이 보존된다.

\(V_{A},\,V_{B}'\ll v\), A가 정지상태(\(V_{A}=0\))일 때의 질량을 \(m\), 계 \(S\)에서 속력 \(v\)로 움직이는 B의 질량을 \(m(v)\)라고 하면 \(\displaystyle m(v)=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\)이다.

선운동량을 \(\displaystyle\mathbf{p}=\frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\)로 정의하면 특수 상대성 이론에서도 선운동량이 보존되고 \(v\ll c\)인 경우는 고전역학에서의 운동량 \(\mathbf{p}=m\mathbf{v}\)이다. 상대성 이론 하에서 운동량을 \(\mathbf{p}=\gamma m\mathbf{v}\)로 표기하고 \(\displaystyle\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\)이다. 운동량의 식에서 \(m\)은 대상물체의 고유질량(proper mass)(또는 정지질량, rest mass)이고, 관측자에 대해 정지상태일 때 측정한 질량이다.

(관측자에 대해 속도 \(v\)로 운동하는 물체의 운동량)

상대론적 운동량이 \(\mathbf{p}=\gamma m\mathbf{v}\)이므로 상대론에서의 뉴턴의 운동 제 2법칙은 \(\displaystyle\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}=\frac{d}{dt}(\gamma m\mathbf{v})\)이고 운동에너지는$$\begin{align*}K&=\int_{0}^{s}{\mathbf{F}ds}=\int_{0}^{s}{\frac{d}{dt}(\gamma mv)ds}\\&=\int_{0}^{mv}{vd(\gamma mv)}=\int_{0}^{v}{vd\left(\frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\right)}\\&=\frac{mv^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-m\int_{0}^{v}{\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}}=\frac{mv^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}+\left[mc^{2}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\right]_{0}^{v}\\&=\frac{mv^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-mc^{2}=\gamma mc^{2}-mc^{2}\\&=(\gamma-1)mc^{2}\end{align*}$$이다. 총 에너지를 \(\displaystyle E=\gamma mv^{2}=\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\)라고 하면 \(E=\gamma mc^{2}=mc^{2}+K\)이고 \(mc^{2}\)를 질량이 \(m\)인 물체의 정지에너지(rest energy)라고 하고 \(E_{0}\)로 나타낸다(\(E_{0}=mc^{2}\)). 

앞에서 운동에너지는$$K=(\gamma-1)mc^{2}=\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-1\right)mc^{2}$$이고 \(\displaystyle\frac{v}{c}\ll1\,(v\ll c)\)이므로 \(|x|\ll1\)일 때의 이항근사 \((1+x)^{n}\approx1+nx\)를 이용하면 \(\displaystyle\frac{1}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\approx1+\frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}\)이므로$$K\approx\left(1+\frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)mc^{2}-mc^{2}=\frac{1}{2}mv^{2}$$이다.

(운동하는 물체의 운동에너지와 정지질량의 비율에 대한 그래프)

총 에너지와 운동량의 식$$E=\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}},\,p=\frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$$이로부터 식 \(E^{2}=(mc^{2})^{2}+p^{2}c^{2}\)를 얻는다.

참고자료:

Concepts of Modern Physics 6th edition, Beiser, McGraw-Hill

알기쉬운 현대물리, 최상돈, 강남룡, 이연주, 북스힐