[양자역학] 8. 불확정성원리, 디락의 표기법

[양자역학] 8. 불확정성원리, 디락의 표기법

불확정성 원리

임의의 관측량 \(A\)에 대한 분산은$$\sigma_{A}^{2}=\langle(\hat{A}-\langle A\rangle)\Psi|(\hat{A}-\langle A\rangle)\Psi\rangle=\langle f|f\rangle$$(\(f=(\hat{A}-\langle A\rangle)\Psi\))이고, 위의 방법을 이용하여 관측량 \(B\)에 대해서도 \(\sigma_{B}^{2}=\langle g|g\rangle\,(g=(\hat{B}-\langle B\rangle)\Psi)\)이다. 따라서 슈바르츠 부등식으로부터 \(\sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2}=\langle f|f\rangle\langle g|g\rangle\geq|\langle f|g\rangle|^{2}\)이고 임의의 복소수 \(z\)에 대해$$|z|^{2}=\{\text{Re}z\}^{2}+\{\text{Im}z\}^{2}\geq\{\text{Im}z\}^{2}=\left\{\frac{1}{2i}(z-z^{*})\right\}^{2}$$이므로 부등식 \(\displaystyle\sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2}\geq\left(\frac{1}{2i}\{\langle f|g\rangle-\langle g|f\rangle\}\right)^{2}\)을 얻고,$$\begin{align*}\langle f|g\rangle&=\langle(\hat{A}-\langle A\rangle)\Psi|(\hat{B}-\langle B\rangle)\Psi\rangle=\langle\Psi|(\hat{A}-\langle A\rangle)(\hat{B}-\langle B\rangle)\Psi\rangle\\&=\langle\Psi|(\hat{A}\hat{B}-\hat{A}\langle B\rangle-\hat{B}\langle A\rangle+\langle A\rangle\langle B\rangle)\Psi\rangle\\&=\langle\Psi|\hat{A}\hat{B}\Psi\rangle-\langle B\rangle\langle\Psi|\hat{A}\Psi\rangle-\langle A\rangle\langle\Psi|\hat{B}\Psi\rangle+\langle A\rangle\langle B\rangle\langle\Psi|\Psi\rangle\\&=\langle\hat{A}\hat{B}\rangle-\langle B\rangle\langle A\rangle-\langle A\rangle\langle B\rangle+\langle A\rangle\langle B\rangle\\&=\langle\hat{A}\hat{B}\rangle-\langle A\rangle\langle B\rangle\end{align*}$$이고, 이와 비슷하게 \(\langle g|f\rangle=\langle\hat{B}\hat{A}\rangle-\langle A\rangle\langle B\rangle\)이다. 그러므로$$\langle f|g\rangle-\langle g|f\rangle=\langle\hat{A}\hat{B}\rangle-\langle\hat{B}\hat{A}\rangle=\langle\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}\rangle=\langle[\hat{A},\,\hat{B}]\rangle$$(\([\hat{A},\,\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}\)는 두 연산자의 교환자(commutator))이고 다음의 불확정성 원리(uncertainty principle)$$\sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2}\geq\left(\frac{1}{2i}\langle[\hat{A},\,\hat{B}]\rangle\right)^{2}$$를 얻는다. 

첫번째 관측량이 위치 \(x\)이고, 두번째 관측량이 운동량 \(p\)이면, 이 두 연산자의 교환자는 \([\hat{x},\,\hat{p}]=i\hslash\)이므로 \(\displaystyle\sigma_{x}^{2}\sigma_{p}^{2}\geq\left(\frac{1}{2i}i\hslash\right)^{2}=\left(\frac{\hslash}{2}\right)^{2}\)이고 \(\displaystyle\sigma_{x}\sigma_{p}\geq\frac{\hslash}{2}\)이고 이것이 하이젠베르크의 불확정성 원리(Heisenberg's uncertainty principle)이다.

교환자가 0이 아닌 임의의 두 관측량이 주어지면 불확정성 원리가 성립하고, 이러한 두 관측량을 서로 호환되지 않는 관측량들(incompatible observables)이라고 한다. 이러한 관측량은 서로 다른 고유함수를 갖고, 그렇지 않은 관측량들의 같은 고유함수들은 완비이다.(수소 원자의 해밀토니안, 각운동량 크기, 각운동량의 \(z\)성분등은 서로 호환되는 관측량이고, 따라서 공통의 고유함수를 갖는다)

불확정성 원리는 양자역학에 대한 추가적인 가정이 아니라 양자역학의 통계적 해석의 결과이다. 

파동함수가 최소의 불확정성을 가지려면 부등식에서 등식이 성립해야 하고, 등식이 성립하려면 한 함수가 다른 함수에 비례해야 한다(일차종속). 즉 \(g(x)=cf(x)\)(\(c\)는 상수)이어야 하고, \(\text{Re}\langle f|g\rangle=\text{Re}c\langle f|f\rangle=0\)이어야 한다. \(\langle f|f\rangle\)는 실수이므로 \(c\)가 순허수이어야 함을 뜻한다. \(c=ia\)라고 하면, 최소 불확정성을 갖기 위한 필요충분조건은 \(g(x)=iaf(x)\)(\(a\)는 실수)이다.

위치-운동량의 불확정성이 최소이려면 \(\displaystyle\left(\frac{\hslash}{i}\frac{d}{dx}-\langle p\rangle\right)\Psi=ia(x-\langle x\rangle)\Psi\)이어야 하고, \(\Psi(x)=Ae^{-\frac{a(x-\langle x\rangle)^{2}}{2\hslash}}e^{\frac{i\langle p\rangle}{\hslash}x}\)이어야 최소의 불확정성을 갖는다. 

양자역학을 배우기 이전에 현대물리에서 위치와 운동량 사이의 불확정성을 \(\displaystyle\Delta x\Delta p\geq\frac{\hslash}{2}\)로 나타냈다. 여기서 \(\Delta x\)는 \(x\)의 불확실한 정도(불확정성), \(\Delta p\)는 \(p\)의 불확정성이다. 다음의 식은 에너지-시간의 불확정성 원리를 나타낸다.$$\Delta t\Delta E\geq\frac{\hslash}{2}$$이 에너지-시간 불확정성 원리를 다음과 같이 유도할 수 있다.$$\frac{d}{dt}\langle Q\rangle=\frac{d}{dt}\langle\Psi|\hat{Q}\Psi\rangle=\langle\frac{\partial Q}{\partial t}|\hat{Q}\Psi\rangle+\langle\Psi|\frac{\partial\hat{Q}}{\partial t}\Psi\rangle+\langle\Psi|\hat{Q}\frac{\partial\Psi}{\partial t}\rangle$$이고, 슈뢰딩거 방정식에 의해 \(\displaystyle i\hslash\frac{\partial\Psi}{\partial t}=\hat{H}\Psi\,\left(H=\frac{p^{2}}{2m}+V\right)\)이므로$$\frac{d}{dt}\langle Q\rangle=-\frac{1}{i\hslash}\langle\hat{H}\Psi|\hat{Q}\Psi\rangle+\frac{1}{i\hslash}\langle\Psi|\hat{Q}\hat{H}\Psi\rangle+\langle\frac{\partial\hat{Q}}{\partial t}\rangle$$이다. \(\hat{H}\)는 에르미트 연산자이므로 \(\langle\hat{H}\Psi|\hat{Q}\Psi\rangle=\langle\Psi|\hat{H}\hat{Q}\Psi\rangle\)이고 따라서 \(\displaystyle\frac{d}{dt}\langle Q\rangle=\frac{i}{\hslash}\langle[\hat{H},\,\hat{Q}]\rangle+\langle\frac{\partial\hat{Q}}{\partial t}\rangle\)이다. 

앞에서 구한 불확정성 원리에 의해$$\sigma_{H}^{2}\sigma_{Q}^{2}\geq\left(\frac{1}{2i}\langle[\hat{H},\,\hat{Q}]\rangle\right)^{2}=\left(\frac{1}{2i}\frac{\hslash}{i}\frac{d\langle Q\rangle}{dt}\right)^{2}=\left(\frac{\hslash}{2}\right)^{2}\left(\frac{d\langle Q\rangle}{dt}\right)^{2}$$이고 \(\displaystyle\sigma_{H}\sigma_{Q}\geq\frac{\hslash}{2}\left|\frac{d\langle Q\rangle}{dt}\right|\)이다. 

여기서 \(\Delta E=\sigma_{H}\), \(\displaystyle\Delta t=\frac{\sigma_{Q}}{\left|\frac{d\langle Q\rangle}{dt}\right|}\)라고 하면 에너지-시간의 불확정성 원리 \(\displaystyle\Delta E\Delta t\geq\frac{\hslash}{2}\)를 얻는다. \(\displaystyle\sigma_{Q}=\left|\frac{d\langle Q\rangle}{dt}\right|\Delta t\)이므로 \(\Delta t\)는 \(Q\)의 기댓값이 \(\sigma_{Q}\)(표준편차 1)만큼 변하는데 걸리는 시간을 나타낸다. 

양자역학에서 불확정성 원리는 시간 \(\displaystyle\Delta t\approx\frac{\hslash}{2\Delta E}\)동안 되갚을 수 있다면, \(\Delta E\)의 에너지를 빌릴 수 있음을 의미하고, 에너지 보존법칙이 성립하지 않음을 뜻하지 않는다(양자역학에서도 에너지 보존법칙이 성립한다).

디락의 표기법

양자역학의 상태함수는 힐베르트 공간의 벡터 \(|\mathcal{S}(t)\rangle\)로 나타낼 수 있다. 파동함수 \(\Psi(x,\,t)\)는 \(|\Psi\mathcal{S}(t)\rangle\)를 위치 고유함수를 기저로 하여 \(\Psi(x,\,t)=\langle x|\mathcal{S}(t)\rangle\)로 나타낼 수 있고, 여기서 \(|x\rangle\)는 고윳값 \(x\)를 갖는 위치 연산자 \(\hat{x}\)의 고유함수이다. 또한 \(\Phi(p,\,t)=\langle p|\mathcal{S}(t)\rangle\)이고 \(|p\rangle\)는 고윳값 \(p\)를 갖는 연산자 \(\hat{p}\)의 고유함수를 나타낸다(또는 \(|\mathcal{S}\rangle\)를 에너지 고유함수를 기저로 나타낼 수 있다). 

스펙트럼이 불연속이면, \(c_{n}(t)=\langle n|\mathcal{S}(t)\rangle\)이고, \(|n\rangle\)은 해밀토니안 연산자 \(\hat{H}\)의 \(n\)번째 고유함수를 나타낸다.$$\Psi(x,\,t)=\int_{-\infty}^{\infty}{\Psi(y,\,t)\delta(x-y)dy}=\int_{-\infty}^{\infty}{\Phi(p,\,t)\frac{1}{\sqrt{2\pi\hslash}}e^{\frac{ix}{\hslash}p}dp}=\sum_{n=1}^{\infty}{c_{n}e^{-\frac{iE_{n}}{\hslash}t}\psi_{n}(x)}$$이므로 관측량을 나타내는 연산자는 선형변환이고, \(|\beta\rangle=\hat{Q}|\alpha\rangle\)로 나타낼 수 있다.

벡터를 기저 \(\{|e_{n}\rangle\}\)를 기준으로 다음과 같이 나타낼 수 있듯이$$|\alpha\rangle=\sum_{i=1}{n}{a_{n}|e_{n}\rangle},\,|\beta\rangle=\sum_{i=1}^{n}{b_{n}|e_{n}\rangle}\,(a_{n}=\langle e_{n}|\alpha\rangle,\,b_{n}=\langle e_{n}|\beta\rangle)$$연산자도 주어진 기저를 기준으로 해서 다음과 같이 행렬로 표현할 수 있고$$\langle e_{m}|\hat{Q}|e_{n}\rangle=Q_{mn}$$이때 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{b_{i}|e_{i}\rangle}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\hat{Q}|e_{i}\rangle}\)이고 여기에 \(|e_{m}\rangle\)과 내적을 하면 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{b_{i}\langle e_{m}|e_{i}\rangle}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\langle e_{m}|\hat{Q}|e_{i}\rangle}\)이므로 \(\displaystyle b_{m}=\sum_{i=1}^{n}{Q_{mi}a_{i}}\)이다. 

디락은 내적을 표현하는 \(\langle\alpha|\beta\rangle\)를 브라(bra)라고 부르는 \(\langle\alpha|\)와 켓(ket)이라고 부르는 \(|\beta\rangle\)로 분할해서 나타낼 것을 제안했다. 켓은 벡터인 반면 브라는 다음과 같이 벡터를 변수로 갖는 함수$$\langle f|=\int_{-\infty}^{\infty}{f^{*}[\cdots]dx}$$이고 \([\cdots]\)는 브라가 만나는 켓벡터에 의해 채워져야 한다. 유한차원 벡터공간에서는$$|\alpha\rangle=\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\ \vdots\\a_{n}\end{pmatrix}$$이고, 여기에 해당하는 브라는 행벡터(row vector)$$\langle\alpha|=(a_{1}^{*}\,a_{2}^{*}\,\cdots\,a_{n}^{*})$$이며 모든 브라들을 모은 집합도 벡터공간이 되는데 이 벡터공간을 쌍대공간(dual space)이라고 한다.

\(|\alpha\rangle\)가 규격화된 켓벡터이면, 연산자 \(\hat{P}=|\alpha\rangle\langle\alpha|\)와 임의의 벡터 \(|\beta\rangle\)에 대해 \(\hat{P}|\beta\rangle=\langle\alpha|\beta\rangle|\alpha\rangle\)이고, 이 연산자 \(\hat{P}\)를 사영 연산자(projection operator)라고 한다. 여기서 사영은 \(|\alpha\rangle\)에 의해 결정되는 1차원 공간으로의 사영이다. \(\{|e_{n}\rangle\}\)가 불연속 정규직교기저이면,$$\langle e_{m}|e_{n}\rangle=\delta_{mn},\,\sum_{n}{|e_{n}\rangle\langle e_{n}|}=1$$이고, 위의 오른쪽 식을 항등연산자(identity operator)라고 하며 임의의 벡터 \(|\alpha\rangle\)에 항등연산자를 적용하면 \(\displaystyle\sum_{n}{|e_{n}\rangle\langle e_{n}|\alpha\rangle}=|\alpha\rangle\)이다.

이와 비슷하게 \(\{|e_{z}\rangle\}\)가 디락의 방식으로 직교규격화된 연속적인 기저이면,$$\langle e_{z}|e_{z'}\rangle=\delta(z-z'),\,\int_{-\infty}^{\infty}{|e_{z}\rangle\langle e_{z}|dz}=1$$이다.

참고자료:

Introduction to Quantum Mechanics 2nd edition, Griffiths, Pearson