물리학/양자역학2019. 5. 7. 08:00
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[양자역학] 7. 양자역학의 수학적 기초: 힐베르트 공간, 연산자의 고유함수, 통계적 해석



양자역학의 기반은 파동함수와 연산자이다. 어떤 물리계의 상태는 파동함수에 의해 표현되고, 관측가능한 물리량은 연산자로 표현된다.

수학적으로 파동함수들은 벡터가 만족해야 할 성질들을 모두 만족하고, 연산자는 벡터에 작용하는 선형변환(linear transformation)의 성질을 지니고 있다.

양자역학에서 모든 상태는 어떤 선형공간의 벡터로 나타낼 수 있고, 이러한 벡터를 \(|\alpha\rangle,\,|\beta\rangle\)로 나타낸다.

\(N\)차원 벡터 \(|\alpha\rangle\)와 \(|\beta\rangle\)의 내적을$$\langle\alpha|\beta\rangle=a_{1}^{*}b_{1}+a_{2}^{*}b_{2}+\cdots+a_{N}^{*}b_{n}$$로 정의하고, 내적은 복소수 값을 갖는다.

선형변환 \(T\)를 이용하여 다음과 같이 새로운 벡터를 만들 수 있다.$$|\beta\rangle=T|\alpha\rangle=\begin{pmatrix}t_{11}&t_{12}&\cdots&t_{1N}\\t_{21}&t_{22}&\cdots&t_{2N}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\t_{N1}&t_{N2}&\cdots&t_{NN}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\ \vdots\\a_{N}\end{pmatrix}$$양자역학에서 다루게 될 벡터는 거의 함수이며 무한차원 벡터공간의 원소인 벡터들이다. 이러한 벡터에 대해 물리적 상태를 나타내려면 그 벡터(함수)는 다음과 같이 규격화되어야 한다.$$\int_{-\infty}^{\infty}{|\Psi|^{2}dx}=1$$영역 \((a,\,b)\)에서 제곱적분가능(square-integrable)한 함수들의 집합도 벡터공간이다. 수학적으로 다음과 같이 나타내고$$L_{2}((a,\,b))=\left\{f(x)\,|\,\int_{a}^{b}{|f(x)|^{2}dx}<\infty\right\}$$이 집합을 힐베르트 공간(Hilbert space)이라고 한다. 따라서 양자역학에서 파동함수는 힐베르트 공간의 원소라고 할 수 있고, 힐베르트 공간의 원소 \(f(x)\), \(g(x)\)의 내적을 다음과 같이 정의한다.$$\langle f|g\rangle=\int_{a}^{b}{f(x)^{*}g(x)dx}$$함수 \(f\)와 \(g\)가 제곱적분가능한 함수이면 슈바르츠 부등식(Schwarz inequality)$$\left|\int_{a}^{b}{f(x)^{*}g(x)dx}\right|\leq\sqrt{\int_{a}^{b}{|f(x)|^{2}dx}\int_{a}^{b}{|g(x)|^{2}dx}}\leq$$에 의해 이 두함수의 내적이 존재한다. 또한 다음의 성질들이 성립한다.$$\langle g|f\rangle=\langle f|g\rangle^{*},\,\langle f|f\rangle=\int_{a}^{b}{|f(x)|^{2}dx}\geq0$$어떤 함수가 자기 자신과 내적을 취했을 때 그 값이 1이면, 그 함수는 규격화(normalized)되었다고 하고, 어느 두 함수의 내적이 0이면, 그 두 함수는 직교(orthogonal)한다고 한다. 함수들의 집합 \(\{f_{n}\}\)에 속한 원소 \(f_{m},\,f_{n}\)에 대해 \(\langle f_{m}|f_{n}\rangle=\delta_{mn}\)이면, 정규직교(orthornormal)하다고 한다.

임의의 함수 \(f\)를 앞에서의 \(\{f_{n}\}\)의 원소들의 선형결합 \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{c_{n}f_{n}(x)}\)으로 나타낼 수 있으면, 완비(complete)라고 한다. \(\{f_{n}\}\)이 정규직교이면, \(c_{n}=\langle f_{n}|f\rangle\)이다.


관측가능한 물리량 \(Q(x,\,p)\)의 기댓값은 내적을 이용하여 \(\displaystyle\langle Q\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}{\Psi^{*}\hat{Q}\Psi dx}=\langle\Psi|\hat{Q}\Psi\rangle\)로 나타낼 수 있다. 측정의 결과는 실수이어야 하므로 \(\langle Q\rangle=\langle Q\rangle^{*}\)이어야 하고, 따라서 \(\langle\Psi|\hat{Q}\Psi\rangle=\langle\hat{Q}\Psi|\Psi\rangle\)이다. 이 결과는 어떤 파동함수 \(\Psi\)에 대해 성립해야 하므로 관측가능한 물리량을 나타내는 연산자는 모든 \(f\)에 대하여 \(\langle f|\hat{Q}f\rangle=\langle\hat{Q}f|f\rangle\)이어야 하고, 이러한 성질을 갖는 연산자를 에르미트 연산자(Hermitian operator)라고 한다. 이때 모든 \(f,\,g\)에 대하여 \(\langle f|\hat{Q}g\rangle=\langle\hat{Q}f|g\rangle\)이고, 이것은 앞의 성질과 동일한 성질이다.

에르미트 연산자가 나타내는 관측가능한 물리량의 기댓값이 실수이므로 관측가능한 물리량은 에르미트 연산자로 나타낼 수 있다고 할 수 있다.

운동량 연산자 \(\hat{p}\)에 대해$$\langle f|\hat{p}g\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}{f^{*}\frac{\hslash}{i}\frac{dg}{dx}dx}=\left[\frac{\hslash}{i}f^{*}g\right]_{-\infty}^{\infty}+\int_{-\infty}^{\infty}{\left(\frac{\hslash}{i}\frac{df}{dx}\right)^{*}gdx}=\langle\hat{p}f|g\rangle\,\left(\lim_{x\,\rightarrow\,\pm\infty}{f(x)}=\lim_{x\,\rightarrow\,\pm\infty}{g(x)}=0\right)$$이고, 연산자가 단순히 \(\displaystyle\frac{d}{dx}\)이면, 에르미트 연산자가 될 수 없으며 따라서 관측가능한 물리량을 나타낼 수 없다.


양자역학에서 어떤 물리량 \(Q\)를 동일하게 준비된(모두 같은 상태함수 \(\Psi\)에 해당하는)앙상블에 적용하면 항상 같은 측정결과가 나오지 않는다. 이것이 양자역학에서의 불확정성(indeterminacy)이고, 항상 동일한 측정값 \(q\)가 나오는것이 가능하면 이 상태는 물리량 \(Q\)에 대해 결정된 상태(determinate state)라고 한다. 

결정된 물리량 \(Q\)의 표준편차를 구하면$$\sigma^{2}=\langle(\hat{Q}-\langle Q\rangle)^{2}\rangle=\langle\Psi|(\hat{Q}-q)^{2}\Psi\rangle=\langle(\hat{Q}-q)\Psi|(\hat{Q}-q)\Psi\rangle=0$$이고 어떤 함수가 자기 자신과 내적을 취했을 때 그 값이 0이면, 그 함수 자체가 0이 되므로 다음의 식$$\hat{Q}\Psi=q\Psi$$가 성립한다. 이 식을 연산자 \(\hat{Q}\)에 대한 고유방정식(eigenvalue equation)이라 하고, \(\Psi\)는 \(\hat{Q}\)의 고유함수(eigenfunction) 또는 고유상태(eigenstate)이고 \(q\)는 그 고유함수에 해당하는 고윳값(eigenvalue)이라고 한다. 따라서 연산자 \(\hat{Q}\)에 대해 결정된 상태는 그 연산자의 고유함수라고 할 수 있다.

고윳값은 연산자도 함수도 아닌 숫자이고, 모든 점에서 \(\Psi=0\)인 함수는 고유함수로 간주하지 않는다. 어떤 연산자에 대한 모든 고윳값들의 집합을 그 연산자의 스펙트럼(spectrum)이라고 한다. 두개 이상의 선형독립인 고유함수들이 같은 고윳값을 가질 수 있고, 이 경우는 그 스펙트럼이 겹친(degenerate)상태가 되었다고 한다.

에너지가 결정된 상태 \(\hat{H}\psi=E\psi\)는 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식이고 해밀토니안 \(H\)의 고유함수이다. 따라서 해밀토니안의 고윳값은 에너지 \(E\)이고, 고유함수는 \(\psi\)이고, \(\Psi=e^{-\frac{iE}{\hslash}t}\psi\)라고 하면 \(\Psi\)도 해밀토니안의 고유함수가 된다.

2차원 극좌표의 한 성분(각도) \(0\leq\phi\leq2\pi\)에 대해 연산자 \(\hat{Q}\)를 \(\displaystyle\hat{Q}=i\frac{d}{d\phi}\)로 정의하자. \(\phi\)와 \(\phi+2\pi\)는 물리적으로 서로 같은 점이므로 \(f(\phi)=f(\phi+2\pi)\)이고$$\langle f|\hat{Q}g\rangle=\int_{0}^{2\pi}{f^{*}\left(i\frac{dg}{d\phi}\right)d\phi}=[if^{*}g]_{0}^{2\pi}-\int_{0}^{2\pi}{i\left(\frac{df^{*}}{d\phi}\right)gd\phi}=\langle\hat{Q}f|g\rangle$$이므로 \(\hat{Q}\)는 에르미트 연산자이고 고유방정식은 \(\displaystyle i\frac{d}{d\phi}f(\phi)=qf(\phi)\)이므로 \(f(\phi)=Ae^{-iq\phi}\)이다. \(f(\phi+2\pi)=Ae^{iq(\phi+2\pi)}=Ae^{iq\phi}=f(\phi)\)이므로 \(e^{-iq2\pi}=1\)이어야 하고 \(q=0,\,\pm1,\,\pm2,\,\cdots\)이므로 따라서 이 연산자의 스펙트럼은 정수 전체의 집합이고 겹쳐있지 않다.


스펙트럼이 불연속적(discrete, 고윳값들이 서로 겹치지 않음)이면, 고유함수들은 힐베르트 공간의 원소이고 물리적으로 실현가능한 상태이다. 반대로 스펙트럼이 연속적(continuous)이면, 고유함수들은 규격화가 불가능하고 실현가능한 파동함수가 될 수 없다. 

예를들어 조화진동자의 해밀토니안은 불연속적인 스펙트럼만 갖고, 자유입자의 해밀토니안은 연속적인 스펙트럼만 갖는다.  유한한 사각우물 퍼텐셜 문제의 해밀토니안은 불연속적인 스펙트럼과 연속적인 스펙트럼을 모두 갖고 있다.

불연속적인 스펙트럼을 가질 때가 해석하기 쉽고 내적이 확실히 존재한다.


불연속적인 스펙트럼

수학적으로 에르미트 연산자의 규격화 가능한 고유함수는 다음의 두 가지 중요한 성질들을 갖는다.

1. 에르미트 연산자의 고윳값은 실수이다.

증명: \(\hat{Q}f=qf\)라고 하자. \(\hat{Q}\)가 에르미트 연산자이면, \(\displaystyle\langle f|\hat{Q}f\rangle=\langle\hat{Q}f|f\rangle\)이므로 \(q\langle f|f\rangle=q^{*}\langle f|f\rangle\)이고 \(\langle f|f\rangle>0\)이어야 하므로(\(\langle f|f\rangle\)=0이면, 합당한 고유함수가 아니다) \(q=q^{*}\)이어야 하고, 이것은 \(q\)가 실수임을 뜻한다.


2. 서로 다른 고윳값을 갖는 고유함수들은 서로 직교한다.

증명: \(\hat{Q}\)가 에르미트 연산자이고 \(\hat{Q}f=f\), \(\hat{Q}g=q'g\)이면, 에르미트 연산자의 성질에 의해 \(\langle f|\hat{Q}g\rangle=\langle\hat{Q}f|g\rangle\)이므로 \(q'\langle f|g\rangle=q^{*}\langle f|g\rangle\)이고, \(q'\neq q\)이면, \(\langle f|g\rangle=0\)이어야 한다.  

이 두 정리로부터 무한히 깊은 사각우물 퍼텐셜 또는 조화진동자 문제의 정지상태들은 서로 직교하고 주어진 해밀토니안에 대해 서로 다른 고윳값을 갖는 고유함수들이다. 

위의 정리 2는 겹친 상태에서는 어떠한 정보를 제공하지 않으나 그람-슈미츠 과정(Gram-Schmidt orthogonalization procedure)을 통해 각각의 겹친 부분공간에서 서로 직교하는 고유함수들을 만들 수 있다. 또한 모든 고유함수들의 집합은 그 벡터공간 전체를 생성(span, 주어진 벡터공간에 속하는 임의의 벡터를 고유벡터들만의 선형결합으로 표시할 수 있다)하고, 다음 내용을 공리(axiom)로써 받아들인다.

공리: 물리량을 나타내는 연산자의 고유함수들은 복소수 값을 갖고, 힐베르트 공간에 속한 어떠한 함수들도 그 고유함수들의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 


연속적인 스펙트럼

에르미트 연산자의 스펙트럼이 연속적이면, 고유함수들은 규격화 할수가 없고, 내적이 존재하는지를 알 수 없기 때문에 불연속 스펙트럼에서의 정리 1, 2가 성립하지 않는다. 

\(f_{p}(x)\)를 운동량 연산자의 고유함수, \(p\)를 고윳값이라고 하자. 그러면 \(\displaystyle\frac{\hslash}{i}\frac{d}{dx}f_{p}(x)=pf_{p}(x)\)이므로 \(f_{p}(x)=Ae^{\frac{ip}{\hslash}x}\)이고, 함수 \(f_{p}(x)\)는 제곱적분 가능하지 않으므로 운동량 연산자의 고유함수는 힐베르트 공간의 원소가 아니다. 그러나 \(p\)를 실수라고 하면 델타함수의 성질$$\delta(cx)=\frac{1}{|c|}\delta(x),\,\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{ikx}dk}$$에 의해$$\int_{-\infty}^{\infty}{f_{p'}(x)^{*}f_{p}(x)dx}=A^{2}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{\frac{i(p-p')}{\hslash}x}dx}=A^{2}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{\frac{i(p-p')}{\hslash}x}dx}=A^{2}2\pi\hslash\delta(p-p')$$이므로 \(\displaystyle A=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hslash}}\)라고 하면 \(\displaystyle f_{p}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hslash}}e^{\frac{ip}{\hslash}x}\)이고, \(\langle f_{p'}|f_{p}\rangle=\delta(p-p')\)(디락의 정규직교성)이다.

고유함수들의 집합은 완비이므로 임의의 제곱적분가능한 함수 \(f(x)\)를 다음과 같이 나타낼 수 있고,$$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}{c(p)f_{p}(x)dp}=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hslash}}\int_{-\infty}^{\infty}{c(p)e^{\frac{ip}{\hslash}x}dp}$$, 계수 \(c(p)\)를 다음과 같이 구할 수 있다.$$\langle f_{p'}|f\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}{c(p)\langle f_{p'}|f_{p}\rangle dp}=\int_{-\infty}^{\infty}{c(p)\delta(p-p')dp}=c(p')$$운동량 연산자의 고유함수는 파장이 \(\displaystyle\lambda=\frac{2\pi\hslash}{p}\)인 사인함수이고, 이 식은 드 브로이(de Broglie)의 물질파 공식이다. 위의 예는 \(\hat{p}\)의 고유함수들 중 어느것도 힐베르트 공간의 원소가 되지 않으나 고윳값이 실수인 것들은 힐베르트 공간 근처에 존재한다고 할 수 있으며 규격화 할 수 있다. 


\(g_{y}(x)\)를 위치연산자의 고유함수, \(y\)를 고윳값이라고 하자. 그러면 \(xg_{y}(x)=yg_{y}(x)\)이고, \(y\)는 고정되어 있고, \(x\)는 연속적으로 변하는 변수이다. 이 성질이 성립하려면 \(g_{y}=0\)이거나 \(x=y\)이어야 하고, 따라서 \(g_{y}(x)=A\delta(x-y)\)이다. 이 경우, 고윳값을 실수이어야 한다. 고유함수는 제곱적분 가능하지 않으나$$\int_{-\infty}^{\infty}{g_{y'}(x)^{*}g_{y}(x)dx}=A^{2}\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(x-y')\delta(x-y)dx}=A^{2}\delta(y-y')$$이고, \(A=1\)이면 \(g_{y}(x)=\delta(x-y)\), \(\langle g_{y'}|g_{y}\rangle=\delta(y-y')\)이며 이 고유함수들은 완비이므로$$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}{c(y)g_{y}(x)dy}=\int_{-\infty}^{\infty}{c(y)\delta(x-y)dy}=c(x)$$이고 \(c(y)=f(y)\)이다.


어느 에르미트 연산자의 스펙트럼이 연속적이면, 고유함수들은 규격화 할 수 없고, 힐베르트 공간의 원소가 아니며 물리적으로 가능한 상태를 나타내지 않는다. 그러나 고윳값이 실수이면 정규직교 성질을 가지며 완비이다.


통계적 해석

상태함수가 \(\Psi(x,\,t)\)인 어느 입자의 관측량 \(Q(x,\,p)\)를 측정하면 에르미트 연산자 \(\displaystyle\hat{Q}\left(x,\,-i\hslash\frac{d}{dx}\right)\)의 고윳값 중 하나를 얻게 되고, \(\hat{Q}\)의 스펙트럼이 불연속이면, 정규직교 성질을 갖는 고유함수 \(f_{n}\)이 주어졌을 때, 특정한 고윳값 \(q_{n}\)을 측정값으로 얻게 될 확률은 \(|c_{n}|^{2}\,(c_{n}=\langle f_{n}|\Psi\rangle)\)이다.

스펙트럼이 연속이면, 특히 실수값을 갖는 고윳값이 \(q(z)\)이고 디락의 정규직교성을 갖는 고유함수 \(f_{z}(x)\)가 주어지면 측정결과의 크기가 \(dz\)인 구간에 들어갈 확률은 \(|c(z)|^{2}dz\,(c(z)=\langle f_{z}|\Psi\rangle)\)이다. 

측정을 하는 순간, 상태함수는 그 측정값에 해당하는 고유상태로 무너지게 된다. 관측량을 나타내는 연산자의 고유함수는 완비성을 가지므로 임의의 파동함수를 고유함수들의 선형결합 \(\displaystyle\Psi(x,\,t)=\sum_{n=1}{\infty}{c_{n}f_{n}(x)}\)로 나타낼 수 있다. 고유함수들이 정규직교 성질을 가지므로 \(\displaystyle c_{n}=\langle f_{n}|\Psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}{f_{n}(x)^{*}\Psi(x,\,t)dx}\)이고, \(c_{n}\)은 파동함수 \(\Psi\)에 고유함수 \(f_{n}\)이 들어있는 양이라고 할 수 있다. 

모든 측정의 결과는 \(\hat{Q}\)의 고윳값 중 하나로 나타내야 하므로 특정한 고윳값 \(q_{n}\)이 나타날 확률은 파동함수 \(\Psi\)에 고유함수 \(f_{n}\)이 들어있는 양에 의해 결정된다고 보는게 타당하나 확률은 파동함수의 제곱에 의해 결정되므로 \(|c_{n}|^{2}\)에 의해 확률이 결정된다. 따라서 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{|c_{n}|^{2}}=1\)이어야 하는데 그 이유는 다음과 같다.$$\begin{align*}1&=\langle\Psi|\Psi\rangle=\langle\left(\sum_{n'=1}^{\infty}{c_{n'}f_{n'}}\right)|\left(\sum_{n=1}^{\infty}{c_{n}f_{n}}\right)\rangle\\&=\sum_{n'=1}^{\infty}{\sum_{n=1}^{\infty}{c_{n'}^{*}c_{n}\langle f_{n'}|f_{n}\rangle}}=\sum_{n'=1}^{\infty}{\sum_{n=1}^{\infty}{c_{n'}^{*}c_{n}\delta_{n'n}}}\\&=\sum_{n=1}^{\infty}{c_{n}^{*}c_{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}{|c_{n}|^{2}}\end{align*}$$마찬가지로 \(Q\)의 기댓값은 \(\displaystyle\langle Q\rangle=sum_{n=1}^{\infty}{q_{n}|c_{n}|^{2}}\)이고 그 이유는 다음과 같다.$$\begin{align*}\langle Q\rangle&=\langle \Psi|\hat{Q}\Psi\rangle=\langle\left(\sum_{n'=1}^{\infty}{c_{n'}f_{n'}}\right)|\left(\hat{Q}\sum_{n=1}^{\infty}{c_{n}f_{n}}\right)\rangle\\&=\sum_{n'=1}^{\infty}{\sum_{n=1}^{\infty}{c_{n'}^{*}c_{n}q_{n}\langle f_{n'}|f_{n}\rangle}}=\sum_{n'=1}^{\infty}{\sum_{n=1}^{\infty}{c_{n'}^{*}c_{n}q_{n}\delta_{n'n}}}\,(\hat{Q}f_{n}=q_{n}f_{n})\\&=\sum_{n=1}^{\infty}{q_{n}|c_{n}|^{2}}\end{align*}$$고윳값이 \(y\)인 위치 연산자의 고유함수는 \(g_{y}(x)=\delta(x-y)\)이므로$$c(y)=\langle g_{y}|\Psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(x-y)\Psi(x,\,t)dx}=\Psi(y,\,t)$$이다. 따라서 범위 \((y,\,y+dy)\)에서 측정값이 나타날 확률은 \(|\Psi(y,\,t)|^{2}\)이고, 원래의 통계적 해석과 일치한다.

운동량 연산자의 고유함수가 \(\displaystyle f_{p}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hslash}}e^{\frac{ip}{\hslash}x}\)이므로$$c(p)=\langle f_{p}|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hslash}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\frac{ip}{\hslash}x}\Psi(x,\,t)dt}$$이고, 이것을 운동량 공간에서 표현한 파동함수라고 하고 \(\Phi(p,\,t)\)로 나타낸다. 이것은 위치공간에서 나타낸 파동함수 \(\Psi(x,\,t)\)의 푸리에 변환이고, 플란케렐의 정리에 의해 \(\Psi(x,\,t)\)는 \(\Phi(p,\,t)\)의 역 푸리에 변환이다. 즉$$\begin{align*}\Phi(p,\,t)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hslash}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\frac{ip}{\hslash}x}\Psi(x,\,t)dx}\\ \Psi(x,\,t)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hslash}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{\frac{ix}{\hslash}p}\Phi(p,\,t)dp}\end{align*}$$운동량의 측정값이 \((p,\,p+dp)\)범위에서 나타날 확률은 \(|\Phi(p,\,t)|^{2}dp\)이다.

델타함수 퍼텐셜 \(V(x)=-\alpha\delta(x)\)에 질량이 \(m\)인 입자가 갇혀있다. 이 입자의 파동함수는 \(\displaystyle\Psi(x,\,t)=\frac{\sqrt{m\alpha}}{\hslash}e^{-\frac{m\alpha}{\hslash^{2}|x|}e^{-\frac{iE}{\hslash}t}},\,\left(E=-\frac{m\alpha^{2}}{2\hslash^{2}}\right)\)이고$$Phi(p,\,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hslash}}\frac{\sqrt{m\alpha}}{\hslash}e^{-\frac{iE}{\hslash}t}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\frac{ip}{\hslash}x}e^{-\frac{m\alpha}{\hslash^{2}}|x|}dx}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{p_{0}^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{iE}{\hslash}t}}{p^{2}+p_{0}^{2}}$$이므로 이 입자의 운동량 측정이 \(\displaystyle p_{0}=\frac{m\alpha}{\hslash}\)보다 큰 값을 얻을 확률은$$\begin{align*}\int_{p_{0}}^{\infty}{|\Phi(p,\,t)|^{2}dp}&=\frac{2p_{0}^{3}}{\pi}\int_{p_{0}}^{\infty}{\frac{1}{(p^{2}+p_{0}^{2})^{2}}dp}\\&=\frac{1}{\pi}\left[\frac{p_{0}p}{p^{2}+p_{0}^{2}}+\tan^{-1}\left(\frac{p}{p_{0}}\right)\right]_{p_{0}}^{\infty}\\&=\frac{1}{4}-\frac{1}{2\pi}=0.0908\end{align*}$$이다.        

 

참고자료:

Introduction to Quantum Mechanics 2nd edition, Griffiths, Pearson                

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Posted by skywalker222