[양자역학] 4. 조화진동자

[양자역학] 4. 조화진동자

고전역학에서의 단순 조화진동자는 질량이 $m$인 물체가 용수철상수가 $k$인 용수철에 매달려 운동하는 것이고, 훅의 법칙에 의해 운동방정식 $$F=-kx=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$$ 이고, 이 운동방정식의 일반해는 $x(t)=A\sin\omega t+B\cos\omega t$이며, $\displaystyle\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$, 이 진동의 퍼텐셜에너지는 $\displaystyle V(x)=\frac{1}{2}kx^{2}$이다.

용수철을 무리하게 늘리다 보면 용수철이 끊어지게 되기 때문에 실제로 완벽한 조화진동자는 존재하지 않으나 거의 모든 조화진동의 퍼텐셜 함수를 극솟값 근처에서 2차함수로 근사시킬수 있다는 것이다. $x=x_{0}$에서 극솟값을 가지면 $$V(x)=V(x_{0})+\frac{dV}{dx}_{x=x_{0}}(x-x_{0})+\frac{1}{2}\frac{d^{2}V}{dx^{2}}_{x=x_{0}}(x-x_{0})^{2}+\cdots$$ 이므로 다음 그림과 같이 $x=x_{0}$근처에서 2차함수로 생각할 수 있다.

단순조화진동자 퍼텐셜 $\displaystyle V(x)=\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}\,(k=m\omega^{2})$문제를 양자역학적으로 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식으로 풀면, 슈뢰딩거 방정식이 $$-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}\psi=E\psi$$ 이고, 급수전개방법(미분방정식)과 사다리 연산자 방법을 이용한 대수적 방법을 이용하여 풀 수 있다.

대수적 풀이법: 조화진동자 문제의 슈뢰딩거 방정식을 다음과 같이 나타내자. $$\frac{1}{2m}\{p^{2}+(m\omega x)^{2}\}\psi=E\psi\,\left(p=\frac{\hslash}{i}\frac{d}{dx}\right)$$ 여기서의 $p$는 운동량 연산자이고 해밀토니안 $\displaystyle H=\frac{1}{2m}\{p^{2}+(m\omega x)^{2}\}$를 식 $u^{2}+v^{2}=(u+iv)(u-iv)$처럼 인수분해하는것이 이 풀이 방법의 기본이다. 연산자 $$a_{\pm}=\frac{1}{\sqrt{2\hslash m\omega}}(\mp ip+m\omega x)$$ 에서 $$\begin{align*}a_{-}a_{+}&=\frac{1}{2\hslash m\omega}(ip+m\omega x)(-ip+m\omega x)\\&=\frac{1}{2\hslash m\omega}\{p^{2}+(m\omega x)^{2}-im\omega(xp-px)\}\end{align*}$$ 이고 여기서 $xp-px$를 교환자(commutator)라고 한다. 두 연산자 사이의 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하지 않으면 교환자는 0이 아니다. 일반적으로 두 연산자 $A$와 $B$ 사이의 교환자를 $[A,\,B]=AB-BA$를 이용하여 나타낸다.

$a_{-}a_{+}$를 교환자 기호를 이용하여 나타내면 $$a_{-}a_{+}=\frac{1}{2\hslash m\omega}\{p^{2}+(m\omega x)^{2}\}-\frac{i}{2\hslash}[x,\,p]$$ 이다. $x$와 $p$의 교환자를 구하면 $$[x,\,p]f(x)=\left\{x\frac{\hslash}{i}\frac{d}{dx}f(x)-\frac{\hslash}{i}\frac{d}{dx}xf(x)\right\}=\frac{\hslash}{i}\left(x\frac{d}{dx}f(x)-x\frac{d}{dx}f(x)-f(x)\right)=i\hslash f(x)$$ 이므로 $[x,\,p]=i\hslash$이고, 이것을 표준 교환자 관계식(canonical commutation relations)이라고 한다. 이 결과를 사용하면 $$a_{-}a_{+}=\frac{1}{\hslash\omega}H+\frac{1}{2},\,H=\hslash\omega\left(a_{-}a_{+}-\frac{1}{2}\right),\,a_{+}a_{-}=\frac{1}{\hslash\omega}H-\frac{1}{2}$$ 이므로 $[a_{-},\,a_{+}]=1$이고, $\displaystyle H=\hslash\omega\left(a_{+}a_{-}+\frac{1}{2}\right)$로도 나타낼 수 있다.

위의 연산자 $a_{+},\,a_{-}$를 이용하여 슈뢰딩거 방정식을 $\displaystyle\hslash\omega\left(a_{\pm}a_{\mp}\pm\frac{1}{2}\right)\psi=E\psi$로 나타낼 수 있다. 

$\psi$가 에너지 $E$를 가진 슈뢰딩거 방정식을 만족하면($H\psi=E\psi$), $a_{+}\psi$와 $a_{-}\psi$는 에너지 $E+\hslash\omega$, $E-\hslash\omega$를 가진 슈뢰딩거 방정식 $$H(a_{+}\psi)=(E+\hslash\omega)(a_{+}\psi),\,H(a_{-}\psi)=(E-\hslash\omega)(a_{-}\psi)$$ 을 만족한다. 이에 대한 증명은 다음과 같다. $$\begin{align*}H(a_{+}\psi)&=\hslash\omega\left(a_{+}a_{-}+\frac{1}{2}\right)(a_{+}\psi)=\hslash\omega\left(a_{+}a_{-}a_{+}+\frac{1}{2}a_{+}\right)\psi\\&=\hslash\omega a_{+}\left(a_{-}a_{+}+\frac{1}{2}\right)=a_{+}\left\{\hslash\omega\left(a_{+}a_{-}+1+\frac{1}{2}\right)\psi\right\}\\&=a_{+}(H+\hslash\omega)\psi=a_{+}(E+\hslash\omega)\psi=(E+\hslash\omega)(a_{+}\psi)\\ H(a_{-}\psi)&=\hslash\omega\left(a_{-}a_{+}-\frac{1}{2}\right)(a_{-}\psi)=\hslash\omega a_{-}\left(a_{+}a_{-}-\frac{1}{2}\right)\psi\\&=a_{-}\left\{\hslash\omega\left(a_{-}a_{+}-1-\frac{1}{2}\right)\psi\right\}=a_{-}(H-\hslash\omega)\psi\\&=a_{-}(E-\hslash\omega)\psi=(E-\hslash\omega)(a_{-}\psi)\end{align*}$$ $a_{+}$를 올림 연산자(raising operator), $a_{-}$를 내림 연산자(lowering operator)라고 하고, $a_{\pm}$을 사다리 연산자(ladder operator)라고 한다.(아래 그림 참고)

위의 그림에서 사다리를 계속 내려가다 보면 점점 낮은 에너지 상태로 내려가게 되고 언젠가는 에너지가 0보다 작아지게 되는데 이것은 $E-V_{\min}\geq0$이어야 한다는 조건에 위배된다. 이를 막기 위해서는 사다리 맨 밑의 상태 $\psi_{0}$에서 $a_{-}\psi_{0}=0$이고, 이 식을 이용하여 가장 낮은 에너지 상태(바닥상태)를 구할 수 있다. $\displaystyle a_{-}\psi_{0}=\frac{1}{\sqrt{2\hslash m\omega}}\left(\hslash\frac{d}{dx}+m\omega x\right)\psi_{0}=0$이어야 하고, 이 식에서 미분방정식 $\displaystyle\frac{d\psi_{0}}{dx}=-\frac{m\omega}{\hslash}x\psi_{0}$을 얻으며, $\displaystyle\frac{d\psi_{0}}{\psi_{0}}=-\frac{m\omega}{\hslash}x$이므로 그 해는 $\psi_{0}(x)=Ae^{-\frac{m\omega}{2\hslash}x^{2}}$이다. $\psi_{0}$을 규격화하면 $$1=A^{2}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\frac{m\omega}{\hslash}x^{2}}dx}=A^{2}\sqrt{\frac{\pi\hslash}{m\omega}}$$ 이므로 $\displaystyle\psi_{0}(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hslash}\right)^{\frac{1}{4}}e^{-\frac{m\omega}{2\hslash}x^{2}}$이다.

이 상태의 에너지를 결정하기 위해 슈뢰딩거 방정식 $\displaystyle\hslash\omega\left(a_{\pm}a_{\mp}\pm\frac{1}{2}\right)\psi=E\psi$을 적용하면 $\displaystyle\hslash\omega\left(a_{+}a_{-}+\frac{1}{2}\right)\psi_{0}=E_{0}\psi_{0}$이고, $a_{-}\psi_{0}=0$을 이용하면 $\psi_{0}$상태의 에너지는 $\displaystyle E_{0}=\frac{1}{2}\hslash\omega$이고, 일반적으로 $$\psi_{n}(x)=A_{n}(a_{+})^{n}\psi_{0}(x),\,E_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash\omega$$ 이며 여기서 $A_{n}$은 규격화 상수이고, 다음과 같이 대수적인 방법으로 구할 수 있다.

$a_{\pm}\psi_{n}$이 $\psi_{n\pm1}$에 비례하므로 $a_{+}\psi_{n}=c_{n}\psi_{n+1}$, $a_{-}\psi_{n}=d_{n}\psi_{n-1}$이고 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\pm\infty}{f(x)}=0$, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\pm\infty}{g(x)}=0$인 임의의 함수 $f(x)$, $g(x)$에 식 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{f^{*}(a_{\pm}g)dx}=\int_{-\infty}^{\infty}{(a_{\mp}f)^{*}dx}$가 성립하는데 그 이유는 다음과 같다. $$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}{f^{*}(a_{\pm}g)dx}&=\frac{1}{\sqrt{2\hslash m\omega}}\int_{-\infty}^{\infty}{f^{*}\left(\pm\hslash\frac{d}{dx}+m\omega x\right)dx}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\hslash m\omega}}\int_{-\infty}^{\infty}{f^{*}\left(\mp\hslash\frac{d}{dx}+m\omega x\right)gdx}\,\left(\because\int_{-\infty}^{\infty}{f^{*}\left(\frac{dg}{dx}\right)dx}=-\int_{-\infty}^{\infty}{\left(\frac{df}{dx}\right)^{*}gdx}\right)\\&=\int_{-\infty}^{\infty}{(a_{\mp}f)^{*}gdx}\end{align*}$$ 또한 $$\int_{-\infty}^{\infty}{(a_{\pm}\psi_{n})^{*}(a_{pm}\psi_{n})dx}=\int_{-\infty}^{\infty}{(a_{\mp}a_{\pm}\psi_{n})^{*}\psi_{n}dx}$$ 이고 $$a_{+}a_{-}\psi_{n}=n\psi_{n},\,a_{-}a_{+}\psi_{n}=(n+1)\psi_{n}$$ 이므로 $$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}{(a_{+}\psi_{n})^{*}(a_{-}\psi_{n})dx}&=|c_{n}|^{2}\int_{-\infty}^{\infty}{|\psi_{n+1}|^{2}dx}=(n+1)\int_{-\infty}^{\infty}{|\psi_{n}|^{2}dx}\\ \int_{-\infty}^{\infty}{(a_{-}\psi_{n})^{*}(a_{-}\psi_{n})dx}&=|d_{n}|^{2}\int_{-\infty}^{\infty}{|\psi_{n-1}|^{2}dx}=n\int_{-\infty}^{\infty}{|\psi_{n}|^{2}dx}\end{align*}$$ 이고 $\psi_{n},\,\psi_{n+1}$은 규격화되어있기 때문에 $|c_{n}|^{2}=n+1$, $|d_{n}|^{2}=n$이고, 다음의 관계식을 얻는다. $$a_{+}\psi_{n}=\sqrt{n+1}\psi_{n+1},\,a_{-}\psi_{n}=\sqrt{n}\psi_{n-1}$$ 직접 대입해서 구하면 $$\begin{align*}\psi_{1}&=a_{+}\psi_{0}\\ \psi_{2}&=\frac{1}{\sqrt{2}}a_{+}\psi_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}(a_{+})^{2}\psi_{0}\\ \psi_{3}&=\frac{1}{\sqrt{3}}a_{+}\psi_{2}=\frac{1}{\sqrt{3\cdot2}}(a_{+})^{3}\psi_{0}\\ \psi_{4}&=\frac{1}{4}a_{+}\psi_{3}=\frac{1}{\sqrt{4\cdot3\cdot2}}(a_{+})^{4}\psi_{0}\end{align*}$$ 이므로 수학적 귀납법으로부터 $\displaystyle\psi_{n}=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a_{+})^{n}\psi_{0}$이고, 앞에서의 규격화 상수 $A_{n}$은 $\displaystyle A_{n}=\frac{1}{\sqrt{n!}}$이다. 

급수를 이용한 풀이: 슈뢰딩거 방정식 $\displaystyle-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}\psi=E\psi$에서 $\displaystyle\xi=\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hslash}}\right)x$라고 하면, 슈뢰딩거 방정식을 $\displaystyle\frac{d^{2}\psi}{d\xi^{2}}=(\xi^{2}-K)\psi$로 나타낼 수 있고, $\displaystyle K=\frac{2E}{\hslash\omega}$이다. $\xi$가 매우 크면 $\displaystyle\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=(\xi^{2}-K)\psi\approx\xi^{2}\psi$이고, $\psi(\xi)\approx Ae^{-\frac{\xi^{2}}{2}}+Be^{\frac{\xi^{2}}{2}}$이다. 여기서 $B$가 붙은 항은 규격화가 불가능하므로 물리적으로 가능한 해는 $\psi(\xi)=h(\xi)e^{-\frac{\xi^{2}}{2}}$이고 $$\frac{d\psi}{d\xi}=\left(\frac{dh}{d\xi}-\xi h\right)e^{-\frac{\xi^{2}}{2}},\,\frac{d^{2}\psi}{d\xi^{2}}=\left(\frac{d^{2}h}{d\xi^{2}}-2\xi\frac{dh}{d\xi}+(\xi^{2}-1)h\right)e^{-\frac{\xi^{2}}{2}}$$ 이므로 슈뢰딩거 방정식은 다음의 미분방정식으로 바뀐다. $$\frac{d^{2}h}{d\xi^{2}}-2\xi\frac{dh}{d\xi}+(K-1)h=0$$ 이 미분방정식은 급수 $\displaystyle h(\xi)=\sum_{j=0}^{\infty}{a_{j}\xi^{j}}$를 사용하여 푸는 프로베니우스 방법(Frobenius's method)을 이용하여 풀 수 있다. $$\frac{dh}{d\xi}=\sum_{j=0}^{\infty}{ja_{j}\xi^{j-1}},\,\frac{d^{2}h}{d\xi^{2}}=\sum_{j=0}^{\infty}{(j+1)(j+2)a_{j+2}\xi^{j}}$$ 이므로 $$\sum_{j=0}^{\infty}{\{(j+1)(j+2)a_{j+2}-2ja_{j}+(K-1)a_{j}\}\xi^{j}}=0$$ 이고 해의 유일성으로부터 $$(j+1)(j+2)a_{j+2}-2ja_{j}+(K-1)a_{j}=0$$ 이므로 회귀공식(recursion formula) $\displaystyle a_{j+2}=\frac{(2j+1-K)}{(j+1)(j+2)}a_{j}$를 얻는다. $$\begin{align*}a_{2}&=\frac{(1-K)}{2}a_{0},\,a_{4}=\frac{(5-K)}{12}a_{2}=\frac{(5-K)(1-K)}{24}a_{0}\\a_{3}&=\frac{(3-K)}{6}a_{1},\,a_{5}=\frac{(7-K)}{20}a_{3}=\frac{(7-K)(3-K)}{120}a_{1}\end{align*}$$ 이므로 $h(\xi)=h_{\text{even}}(\xi)+h_{\text{odd}}(\xi)$로 나타낼 수 있고, 여기서 $$\begin{align*}h_{\text{even}}(\xi)&=a_{0}+a_{2}\xi^{2}+a_{4}\xi^{4}+\cdots\\h_{\text{odd}}(\xi)&=a_{1}\xi+a_{3}\xi^{3}+a_{5}\xi^{5}+\cdots\end{align*}$$ 이다. $j$가 큰 값을 가지면 $\displaystyle a_{j+2}\approx\frac{2}{j}a_{j}$이므로 $\displaystyle a_{j}\approx\frac{C}{\left(\frac{j}{2}\right)!}$이고 $\xi$가 큰 값을 가지면 $$h(\xi)\approx C\sum_{j=0}^{\infty}{\frac{1}{\left(\frac{j}{2}\right)!}\xi^{j}}\approx C\sum_{j=0}^{\infty}{\frac{1}{j!}\xi^{2j}}\approx Ce^{\xi^{2}}$$ 이다. $h(\xi)=Ce^{\xi^{2}}$의 형태이면 규격화가 불가능하므로 적당한 자연수 $n$이 존재해서 $a_{n+2}=0$이어야 한다. 그러면 $K=2n+1$이어야 하고, 이 조건으로부터 에너지 $$E_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash\omega,\,n=0,\,1,\,2,\,\cdots$$ 를 구할 수 있다. 또한 이러한 $K$에 대해 $\displaystyle a_{j+2}=\frac{2(j-2)}{(j+1)(j+2)}a_{j}$이고, $a_{1}=0$이라고 하면 $\psi_{0}(\xi)=a_{0}e^{-\frac{\xi^{2}}{2}}$이다. $n=1$일 때 $a_{0}=0$이라고 하면 $j=1$일 때 $a_{3}=0$이므로 $h_{1}(\xi)=a_{1}\xi$이고 $\psi_{1}(\xi)=a_{1}\xi e^{-\frac{\xi^{2}}{2}}$이다.

위와 비슷한 방법으로 $n=2$일 때 $j=0$에 대해 $a_{2}=-2a_{0}$을 얻고, $j=2$에 대해 $a_{4}=0$을 얻는다. 그러면 방정식의 해와 파동함수는 $$h_{2}(\xi)=a_{0}(1-2\xi^{2}),\,\psi_{2}(\xi)=a_{0}(1-2\xi^{2})e^{-\frac{\xi^{2}}{2}}$$ 이다.

일반적으로 $h_{n}(\xi)$는 $\xi$에 대한 $n$차 다항식이고, $n$이 짝수이면, 짝수차항만, 홀수이면, 홀수차항만 포함한다. 비례상수($a_{0}$ 또는 $a_{1}$)를 무시하면, $h_{n}(\xi)=H_{n}(\xi)$이고, 여기서 $H_{n}(\xi)$는 에르미트 다항식(Hermite polynomial)이다. $\xi$의 최고차항의 계수가 $2^{n}$이 되도록 비례상수를 정하면, 조화진동자의 규격화된 정지상태의 파동함수는 $$\psi_{n}(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hslash}\right)^{\frac{1}{4}}\frac{1}{\sqrt{2^{n}n!}}H_{n}(\xi)e^{-\frac{\xi^{2}}{2}}$$ 이다. 

참고자료:

Introduction to Quantum Mechanics 2nd edition, Griffiths, Pearson