[양자역학] 1. 파동함수(1)

[양자역학] 1. 파동함수(1)

아래의 그림처럼 질량이 \(m\)이고 \(x\)축 위에서만 움직이는 어떤 입자에 특정한 힘 \(F(x,\,t)\)가 작용한다.

고전역학에서는 이 물체의 위치 \(x(t)\)에 관심이 있다. 그 이유는 위치를 알면 속도 \(\displaystyle v=\frac{dx}{dt}\)와 운동량 \(p=mv\), 운동에너지 \(\displaystyle T=\frac{1}{2}mv^{2}\)등을 구할 수 있기 때문이다. \(x(t)\)는 뉴턴의 운동 제 2법칙 \(F=ma\)를 이용하여 구한다.

양자역학에서는 고전역학과 다르게 입자의 파동함수(wave function)에 관심이 있고, 파동함수는 다음의 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)$$i\hslash\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}+V\Psi$$을 통해 입자의 파동함수 \(\Psi(x,\,t)\)를 구한다. 위의 슈뢰딩거 방정식에서 \(i=\sqrt{-1}\), \(\displaystyle\hslash=\frac{h}{2\pi}\)(\(h\)는 플랑크 상수)이다. 

슈뢰딩거 방정식을 이용하여 파동함수를 구하는 것은 고전역학에서 뉴턴의 운동방정식을 이용하여 위치를 구하는 것과 비슷하다. 

입자는 공간상의 한 점에 존재하는 것이고, 파동은 공간상에 퍼져있는 것이다. 이러한 파동성을 갖고 주어진 입자의 상태를 구할 수 있는데 파동함수를 통계학적으로 해석을 하면 파동함수의 절댓값의 제곱 \(|\Psi(x,\,t)|^{2}(=\Psi^{*}\cdot\Psi)\)은 시간 \(t\)에 어느 지점 \(x\)에서 그 입자를 발견할 확률밀도함수이다. 즉$$P_{ab}=\int_{a}^{b}{|\Psi(x,\,t)|^{2}dx}$$

(파동함수의 절댓값의 제곱은 확률밀도함수이고 색칠된 부분의 넓이는 입자가 a와 b 사이에서 발견될 확률이다)

파동함수는 통계학적인 해석의 산물이므로 양자역학에는 결정불가능성(indeterminacy)이 있다. 이것은 양자역학 이론으로 입자에 대해 파동함수를 알아내도 정확한 위치를 알 수 없고, 측정에서 가능한 결과에 대한 통계적 정보만을 알 수 있다.

한 입자의 위치를 측정해서 그 입자가 위치 C에 있는 것을 발견했을 때, 측정 이전의 입자의 위치에 대해 학파별로 다음의 3가지 답변이 있다.

1. 사실주의적 입장: 그 입자는 측정 전에도 C에 있다.(아인슈타인의 주장)

2. 정통주의적 입장: 그 입자는 아무 곳에도 있지 않았다.

3. 불가지론적 입장: 답하지 않겠다.(입자의 측정 이전 상태에 대해 논하는 것은 무의미하다)

1964년에 벨(Bell)은 한 입자가 측정 이전에 정확한 위치를 갖는지의 여부가 측정결과에 주목할 만한 차이를 일으킨다는 것을 보였고, 그 결과로 불가지론적 입장은 가능한 선택에서 배제되었다.

사실주의적 해석에서 첫번째 측정을 한 다음 또 한번 측정을 할 때 같은 입자에 대한 새로운 측정은 이전 결과와 동일한 결과를 얻고, 반복된 측정으로 첫번째 측정결과가 확인되지 않으면 입자가 정말로 위치 C에 있는지 알기가 어렵다. 

정통주의적 해석에서 첫번째 측정에 의해 입자의 파동함수가 다음의 그림과 같이 날카로운 최댓값을 가지면,

이것을 측정에 의해 원래의 파동함수가 무너져서(collapse) C에서 날카로운 최댓값을 갖는다고 한다.

이 이론들로부터 다음의 두 가지 물리적 진행이 존재한다.

1. 파동함수가 슈뢰딩거 방정식을 따라 연속적으로 진행한다.

2. 파동함수가 갑자기 불연속적으로 (위의 그림처럼) 무너진다. 

다음은 양자역학에 필요한 통계 이론이다.

위의 도수분포그림은 나이가\(j\)인 사람들의 수 \(N(j)\)를 나타낸 것이다. 위 그림에서$$N(14)=1,\,N(15)=1,\,N(16)=3,\,N(22)=2,\,N(24)=2,\,N(25)=5$$이므로 따라서 교실 안의 모든 사람의 수는 \(\displaystyle N=\sum_{n=1}^{\infty}{N(j)}=14\)이고, 나이가 \(j\)인 사람이 선택될 확률 \(P(j)\)는$$P(14)=\frac{1}{14},\,P(15)=\frac{1}{14},\,P(16)=\frac{3}{14},\,P(22)=\frac{2}{14},\,P(24)=\frac{2}{14},\,P(25)=\frac{5}{14}$$이므로 평균은$$\frac{14\cdot1+15\cdot1+16\cdot3+22\cdot2+24\cdot2+25\cdot5}{14}=\frac{294}{14}=21$$이다.

양자역학에서는 평균(mean)이라는 용어 대신 기댓값(expectation value)이라고 하고, 측정변수 \(j\)의 평균값은 다음의 식$$\langle j\rangle=\frac{1}{N}\sum_{j}{jN(j)}=\sum_{j=0}^{\infty}{jP(j)}$$을 이용하여 구하고, 일반적으로 불연속 변수 \(j\)의 함수 \(g(j)\)의 기댓값은 위와 비슷하게$$\langle g(j)\rangle=\sum_{j=0}^{\infty}{g(j)P(j)}$$이다. 편차는 해당 자료가 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 것으로 식 \(\Delta j=j-\langle j\rangle\)을 이용하여 구하고$$\begin{align*}\langle\Delta j\rangle&=\sum_{j}{(j-\langle j\rangle)P(j)}\\&=\sum_{j}{jP(j)}-\langle j\rangle\sum_{j}{P(j)}\\&=\langle j\rangle-\langle j\rangle\\&=0\end{align*}$$이므로 편차 \(\Delta j\)의 평균은 0이다.

편차의 제곱 \(\sigma^{2}=\langle(\Delta j)^{2}\rangle\)을 분산(variance), 분산의 제곱근 \(\sigma\)를 표준편차(standard deviation)이라고 한다.$$\begin{align*}\sigma^{2}&=\langle(\Delta j)^{2}\rangle=\sum_{j}{(j-\langle j\rangle)^{2}P(j)}\\&=\sum_{j}{(j^{2}-2j\langle j\rangle+\langle j\rangle^{2})P(j)}\\&=\sum_{j}{j^{2}P(j)}-2\langle j\rangle\sum_{j}{jP(j)}+\langle j\rangle\sum_{j}{P(j)}\\&=\langle j^{2}\rangle-\langle j\rangle^{2}\end{align*}$$이므로 \(\sigma^{2}=\langle j^{2}\rangle-\langle j\rangle^{2}\)이고, 이 식을 이용하여 분산을 구하는 것이 쉬울 수 있다.

앞에서 다룬 자료는 불연속적인 이산변수에 대한 것들이었고, 다음은 연속적인 연속변수에 대한 것들이다.

연속형 자료가 특정 상태에 있을 확률은 범위가 짧을 때 그 범위의 길이에 비례하고, 이 규칙으로부터 무작위로 선택된 한 개인이 \(x\)와 \(x+dx\)사이에 있을 확률은 \(f(x)dx\)이고, 비례계수 \(f(x)\)는 \(x\)를 얻을 확률이며, 확률밀도함수(probability density function)이다. 따라서 \(x\)가 \(a\)와 \(b\) 사이에 있을 확률은 \(\displaystyle P_{ab}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)이다. 따라서 불연속 변수에 대해 얻은 결과를 연속 변수에 대해서 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}1&=\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}\\ \langle x\rangle&=\int_{-\infty}^{\infty}{xf(x)dx}\\ \langle g(x)\rangle&=\int_{-\infty}^{\infty}{g(x)f(x)dx}\\ \sigma^{2}&=\langle(\Delta x)^{2}\rangle=\langle x^{2}\rangle-\langle x\rangle^{2}\end{align*}$$높이가 \(h\)인 낭떠러지에서 바위를 떨어트릴 때, 떨어지는 동안 총 100만장의 사진을 찍었다고 하고, 각각의 사진에서 바위가 낭떠러지에서 바위가 움직인 거리를 측정했다. 공기저항을 무시한다면 시간 \(t\)가 지났을 때의 바위의 위치는 \(\displaystyle x(t)=\frac{1}{2}gt^{2}\)이므로 속도는 \(\displaystyle\frac{dx}{dt}=gt\)이고, 바위가 완전히 바닥으로 떨어질 때 까지 걸린 시간은 \(\displaystyle T=\sqrt{\frac{2h}{g}}\)이다. 시간간격 \(dt\)동안 카메라 플래시가 터질 확률은 \(\displaystyle\frac{dt}{T}\)이므로 주어진 한 사진에서 바위가 특정 범위 \(dx\)에 있을 확률은$$\frac{dt}{T}=\frac{dx}{gt}\sqrt{\frac{g}{2h}}=\frac{1}{2\sqrt{hx}}dx$$이다. 따라서 확률밀도함수는$$f(x)=\frac{1}{2\sqrt{hx}}\,(0\leq x\leq h)$$이고$$\int_{0}^{h}{\frac{1}{2\sqrt{hx}}dx}=\left[\sqrt{\frac{x}{h}}\right]_{0}^{h}=1$$이며 기댓값은$$\langle x\rangle=\int_{0}^{h}{\frac{x}{2\sqrt{hx}}dx}=\left[\frac{1}{3\sqrt{h}}x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{h}=\frac{h}{3}<\frac{h}{2}$$이다.

참고자료:

Introduction to Quantum Mechanics 2nd edition, Griffiths, Pearson