[양자역학] 5. 자유입자

[양자역학] 5. 자유입자

고전역학에서 자유입자는 (1차원에서) 단순히 등속직선운동을 하나 양자역학에서는 함부로 다루어서는 안된다.

자유입자의 퍼텐셜은 $V(x)=0$이므로 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 $\displaystyle-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=E\psi$이고, 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=-k^{2}\psi,\,\left(k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash}\right)$$ 여기까지는 무한히 깊은 사각 퍼텐셜 우물 내부에서의 식과 같으나 파동함수를 삼각함수 대신 다음과 같이 지수함수를 이용하여 나타내고 $$\psi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$$ $k$값을 제한하는 경계조건이 없다. 자유입자의 경우 $E>0$이고, 시간의존성으로부터 $\Psi(x,\,t)=Ae^{ik\left(x-\frac{\hslash k}{2m}t\right)}+Be^{-ik\left(x+\frac{\hslash k}{2m}t\right)}$이고, $x$와 $t$의 특별한 결합 $x\pm vt$에만 의존하는 어떤 함수도($v$는 상수), 속도 $v$로 $\mp x$방향으로 움직이는 파동을 나타낼 수 있고, 이때 파형의 특정한 점은 $x\pm vt$가 특정한 값(상수)을 갖는 점이다. $Ae^{ik\left(x-\frac{\hslash k}{2m}t\right)}$는 오른쪽으로 움직이는 파동을, $Be^{-ik\left(x+\frac{\hslash k}{2m}t\right)}$는 (에너지는 같으면서) 왼쪽으로 움직이는 파동을 나타낸다. 이 두 항들은 $k$앞에 붙은 부호만 다르므로 합쳐서 $\Psi_{k}(x,\,t)=Ae^{i\left(kx-\frac{\hslash k^{2}}{2m}t\right)}$로 나타낼 수 있고, $\displaystyle k=\frac{\sqrt{2m E}}{\hslash}$값은 양수(파동이 오른쪽으로 움직인다), 음수(파동이 왼쪽으로 움직인다) 모두 가능하다.

자유입자의 정지된 상태는 진행하는 파동이다. 파장이 $\displaystyle\lambda=\frac{2\pi}{|k|}$이고, 드 브로이 공식에 의해 파동이 전달하는 운동량은 $p=\hslash k$이며, 파동들이 갖는 속도는 $\displaystyle v_{\text{quantum}}=\frac{\hslash|k|}{2m}=\sqrt{\frac{E}{2m}}$이다. 

반면에 고전역학에서의 자유입자의 에너지는 운동에너지 뿐이므로 $\displaystyle E=\frac{1}{2}mv^{2}$이고 $\displaystyle v_{\text{classical}}=\sqrt{\frac{2E}{m}}=2v_{\text{quantum}}$이다. 

이것은 양자역학의 파동함수는 고전역학의 결과에 비해 절반의 속도로 움직임을 뜻하는 역설이고, $$\int_{-\infty}^{\infty}{\Psi^{*}_{k}\Psi_{k}dx}=A^{2}\int_{-\infty}^{\infty}{dx}=\infty$$ 이므로 규격화가 불가능하며 자유입자가 정상상태에 존재할 수 없음을 뜻한다(에너지 값이 고정된 자유입자는 존재하지 않는다).

그러나 $k$가 연속이므로 파동함수를 적분 $\displaystyle\Psi(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{\psi(k)e^{i\left(kx-\frac{\hslash k^{2}}{2m}t\right)}dk}$으로 나타낼 수 있고, 규격화가 가능한 형태이다. 규격화가 가능하려면 $k$값이 특정한 한 값으로 제한되면 안되고 따라서 에너지와 속도도 어느 정도 범위의 값들이 섞이게 되며 이것을 파동묶음이라고 한다.

양자역학 문제에서는 초기조건 $\Psi(x,\,0)$을 이용하여 $\Psi(x,\,t)$를 구해야 한다. 자유입자의 경우 일반해는 앞에서 다루었던 $\displaystyle\Psi(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{\psi(k)e^{i\left(kx-\frac{\hslash k^{2}}{2m}t\right)}dk}$이고, 문제는 주어진 초기조건 $\displaystyle\Psi(x,\,0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{\psi(k)e^{ikx}dk}$을 만족하는 $\psi(k)$를 결정하는 것이다.

이것은 푸리에 해석문제이고, 다음의 플란케렐 정리(Plancherel theorem)

1. 디리클레 정리(Dirichlet's theorem): 임의의 함수 $f(x)$는 구간 $[-a,\,a]$에서 다음과 같이 푸리에 급수로 전개될 수 있다. $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\left\{a_{n}\sin\frac{n\pi x}{a}+b_{n}\cos\frac{n\pi x}{a}\right\}}$$ 이 식을 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_{n}e^{i\frac{n\pi x}{a}}}$로 나타낼 수 있고, $\displaystyle c_{n}=\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a}{f(x)e^{-i\frac{n\pi x}{a}}dx}$이다.

2. $\displaystyle k=\frac{n\pi}{a}$, $\displaystyle F(k)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}ac_{n}$을 이용하면 디리클레 정리의 $f(x)$와 $c_{n}$을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{F(k)e^{ikx}\Delta k},\,F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-a}^{a}{f(x)e^{-ikx}dx}$$ ($\Delta k$는 $n$에서 $n+1$까지 $k$의 증가량이다) 

3. 2에서 $a\,\rightarrow\,\infty$일 때, 다음의 플란케렐의 정리를 얻는다. $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{F(k)e^{ikx}dk}\,\Leftrightarrow\,F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)e^{-ikx}dx}$$ 여기서 $F(k)$를 $f(x)$의 푸리에 변환(Fourier transform), $f(x)$를 $F(k)$의 푸리에 역변환(inverse Fourier transform)이라고 한다. 

를 이용하여 해결할 수 있다. 이 방법을 사용하려면 푸리에 변환과 푸리에 역변환이 모두 존재해야 하고, $\Psi(x,\,0)$이 규격화 되어야 한다. 따라서 자유입자에 대한 양자역학의 문제의 답은 $\displaystyle\psi(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{\Psi(x,\,0)e^{-ikx}dx}$이다.

예를들어 $-a<x<a$의 범위로 제한된 어느 자유입자의 $t=0$에서의 파동함수는 $$\Psi(x,\,0)=\begin{cases}A,\,(-a<x<a)\\0,\,(\text{otherwise})\end{cases}\,(A,\,a>0)$$ 이다. $\Psi(x,\,0)$을 규격화하면 $$1=\int_{-\infty}^{\infty}{|\Psi(x,\,0)|^{2}dx}=A^{2}\int_{-a}^{a}{dx}=2aA^{2}$$ 이므로 $\displaystyle A=\frac{1}{\sqrt{2a}}$이고, $$\begin{align*}\phi(k)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{2a}}\int_{-a}^{a}{e^{-ikx}dx}=\frac{1}{2\sqrt{\pi a}}\left[-\frac{e^{-ikx}}{ik}\right]_{-a}^{a}\\&=\frac{1}{k\sqrt{\pi a}}\left(\frac{e^{ika}-e^{-ika}}{2i}\right)=\frac{\sin(ka)}{k\sqrt{\pi a}}\end{align*}$$ 이고, 따라서 $\displaystyle\Psi(x,\,t)=\frac{1}{\pi\sqrt{2a}}\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{\sin(ka)}{k}e^{i\left(kx-\frac{\hslash k^{2}}{2m}t\right)}dk}$가 구하려는 파동함수이다. 

여기서 $a$가 매우 작으면 $\sin(ka)\approx ka$이므로 $\displaystyle\phi(k)\approx\sqrt{\frac{a}{\pi}}$이고, $a$가 매우 크면 $\displaystyle\phi(k)=\sqrt{\frac{a}{\pi}}\frac{\sin(ka)}{ka}$이다. 이것은 불확정성의 원리를 잘 보여준다.

앞에서 변수분리법으로 얻은 해 $\Psi_{k}(x,\,t)=Ae^{i\left(kx-\frac{\hslash k^{2}}{2m}t\right)}$가 움직이는 속도의 관계가 $v_{\text{classical}}=2v_{\text{quantum}}$임을 확인했다. 

파동묶음은 여러 가능한 $k$값을 갖는 사인(sine)함수들의 중첩이고, 각각의 $k$성분에 대한 사인함수들의 진폭은 $\phi$에 의해 결정된다.(아래 그림 참고)

입자의 속도는 개개의 물결이 움직이는 속도(위상속도, phase velocity)와는 달리 껍데기가 움직이는 속도(군속도, group velocity)이다. 

현의 진동에 의한 파동의 경우 군속도와 위상속도는 같고, 수면파의 경우 군속도는 위상속도의 절반이다. 

양자역학에서 자유입자의 파동함수에 대한 군속도가 위상속도의 두배이면, 고전역학에서 얻은 입자의 속도와 같아지게 된다.

파동함수가 $\displaystyle\Psi(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{\phi(k)e^{i(kx-\omega t)}dk}$인 파동묶음에 대해 군속도를 결정하기 위해 $\phi(k)$가 특정한 $k_{0}$값 근처에서 급격한 최댓값을 갖는다고 하자. 그러면 $\phi(k)$는 $k_{0}$근처 바깥에서는 거의 0이므로 $\omega(k)$를 $k_{0}$근처에서 테일러 전개하면 $$\omega(k)\simeq\omega_{0}+\omega_{0}'(k-k_{0})\,\left(\omega_{0}'=\frac{d\omega}{dk}_{k=k_{0}}\right)$$ 이고 $k$를 $s=k-k_{0}$로 바꾸면 $$\Psi(x,\,t)\simeq\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{\phi(k_{0}+s)e^{i\{(k_{0}+s)x-(\omega_{0}+\omega_{0}'s)t\}}ds}$$ 이며, $t=0$일 때 $\displaystyle\Psi(x,\,0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{\phi(k_{0}+s)e^{i(k_{0}+s)}ds}$이다.

시간이 흐르면 다음과 같이 움직인다. $$\Psi(x,\,t)\simeq\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i(-\omega_{0}t+k_{0}\omega_{0}'t)}\int_{-\infty}^{\infty}{\psi(k_{0}+s)e^{i(k_{0}+s)(x-\omega_{0}'t)}ds}$$ 이 적분은 $x$가 $z-\omega'_{0}t$로 바뀐 것을 제외하면 $\Psi(x,\,0)$의 적분과 같으므로 $\Psi(x,\,t)\simeq e^{-i(\omega_{0}-k_{0}\omega_{0}')t}\Psi(x-\omega_{0}'t,\,0)$이다.          

앞의 식에서 파동묶음이 속도 $\omega_{0}'$으로 움직이므로 $\displaystyle v_{\text{group}}=\frac{d\omega}{dk}$이고, 위상속도는 $\displaystyle v_{\text{phase}}=\frac{\omega}{k}$이다. 이때 $\displaystyle\omega=\frac{\hslash k^{2}}{2m}$이므로 위상속도는 $\displaystyle\frac{\omega}{k}=\frac{\hslash k}{2m}$이고 군속도는 $\displaystyle\frac{d\omega}{dk}=\frac{\hslash k}{m}$이다. 그러면 $$v_{\text{classical}}=v_{\text{group}}=2v_{\text{phase}}$$ 이다.  

참고자료:

Introduction to Quantum Mechanics 2nd edition, Griffiths, Pearson