[양자역학] 2. 파동함수(2)

[양자역학] 2. 파동함수(2)

파동함수의 통계학적 해석에 의하면 파동함수의 절댓값의 제곱 $|\Psi(x,\,t)|^{2}$은 시간 $t$일 때 위치 $x$에서 입자를 발견할 확률밀도이다. $|\Psi|^{2}$가 확률밀도함수가 되기 위해서는 전체 영역에서 적분한 값이 1이어야 한다. 즉

$$\int_{-\infty}^{\infty}{|\Psi(x,\,t)|^{2}dx}=1$$ $\Psi$가 슈뢰딩거 방정식의 해이면, 상수 $A$를 곱한 $A\Psi$도 슈뢰딩거 방정식의 해가 된다. 이것은 상수 $A$를 적절히 선택해서 $|\Psi|^{2}$을 전체 영역에서 적분했을 때, 그 값이 1이 되게 해야 함을 뜻하고, 이 과정을 파동함수를 규격화(normalize)한다고 한다. 어떤 파동함수는 상수 $A$를 곱해도 절댓값의 제곱의 적분이 1이 되지 않는 경우가 있고, 따라서 이러한 파동함수를 규격화 불가능(non-normalizable)하다고 한다. 

파동함수는 한번 규격화 되면 슈뢰딩거 방정식에 의해 시간에 따라 변한다 해도 규격화 상태가 유지되고, 이 성질이 없으면 슈뢰딩거 방정식이 통계학적 해석과 불일치해서 양자역학 이론이 붕괴된다.

$$\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}{|\Psi(x,\,t)|^{2}dx}=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(x,\,t)|^{2}dx}$$ 이고 곱의 미분법에 의해 $$\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}=\frac{\partial}{\partial t}(\Psi^{*}\Psi)=\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial t}+\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial t}\Psi$$ 이며 슈뢰딩거 방정식에 의해 $$\frac{\partial\Psi}{\partial t}=\frac{i\hslash}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}-\frac{i}{\hslash}V\Psi,\,\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial t}=-\frac{i\hslash}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}}+\frac{i}{\hslash}V\Psi$$ 이므로 $$\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}=\frac{i\hslash}{2m}\left(\Psi^{*}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}}\Psi\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left\{\frac{i\hslash}{2m}\left(\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}\Psi\right)\right\}$$ 이고 $$\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}{|\Psi(x,\,t)|^{2}dx}=\left[\frac{i\hslash}{2m}\left(\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}\Psi\right)\right]_{-\infty}^{\infty}$$ 가 되는데, 이 적분은 $x\,\rightarrow\,\pm\infty$일 때, 파동함수값이 $0$으로 수렴해야 하므로 $\displaystyle\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}{|\Psi(x,\,t)|^{2}dx}=0$이어야 하고 따라서 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{|\Psi(x,\,t)|^{2}dx}$는 시간에 무관하게 일정한 값을 갖는다. 따라서 $t=0$에서 $\Psi$가 규격화 되었으면, 그 함수는 $t=0$이후로 항상 규격화된 상태를 유지한다.

파동함수가 $\Psi$인 입자의 위치 $x$의 기댓값은 $\displaystyle\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}{x|\Psi(x,\,t)|^{2}dx}$이고, 이것은 이 입자의 위치측정을 여러번 반복했을 때, 그 평균값이 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{|\Psi|^{2}dx}$가 됨을 의미하는게 아니다. 기댓값은 동일한 상태에 있는 입자들로 이루어진 앙상블(ensemble, 그 계와 동등한 계들의 모임)에 대해 측정을 반복한 평균을 의미하고, 한 상태에서 반복된 측정의 평균을 의미하지 않는다. 

시간에 따라 $\langle x\rangle$는 바뀐다.

$$\begin{align*}\frac{d\langle x\rangle}{dt}&=\int_{-\infty}^{\infty}{x\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}dx}\\&=\frac{i\hslash}{2m}\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{\partial}{\partial x}\left(\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}\Psi\right)dx}\\&=-\frac{i\hslash}{2m}\int_{-\infty}^{\infty}{\left(\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}\Psi\right)dx}\end{align*}$$ 이고 이 식의 전개에서 부분적분과 식 $\displaystyle\frac{\partial x}{\partial x}=1,\,\lim_{x\,\rightarrow\,\pm\infty}{\Psi(x,\,t)}=0$이 이용되었다. 위 식의 두번째 항에 부분적분을 하면 식 $\displaystyle\frac{d\langle x\rangle}{dt}=-\frac{i\hslash}{m}\int_{-\infty}^{\infty}{\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}dx}$이다. 

양자역학에서는 속도를 정확히 계산할 수 없으며, 속도의 의미 또한 불분명하다. 따라서 속도의 기댓값이 위치의 기댓값의 시간도함수와 같다는 공리(axiom)를 세울 수 있다. 즉 $\displaystyle\langle v\rangle=\frac{d\langle x\rangle}{dt}$

실제로 양자역학에서는 속도 보다 운동량(momentum) $p=mv$를 주로 사용한다. 운동량의 기댓값은

$$\langle p\rangle=m\langle v\rangle=m\frac{d\langle x\rangle}{dt}=-i\hslash\int_{-\infty}^{\infty}{\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}dx}$$ 이고, $\langle x\rangle$와 $\langle p\rangle$를 다시 표시하면 $$\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}{\Psi^{*}(x)\Psi dx},\,\langle p\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}{\Psi^{*}\left(\frac{\hslash}{i}\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi dx}$$ 이고, 연산자 $x$가 위치를 나타내고, 연산자 $\displaystyle\frac{\hslash}{i}\frac{\partial}{\partial x}$는 운동량을 나타낸다. 이 연산자들의 기댓값을 구하려면 파동함수 $\Psi^{*}$와 $\Psi$를 그 연산자 앞뒤로 곱한 다음 전체 영역에서 적분하면 된다. 

운동에너지는 $\displaystyle T=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{p^{2}}{2m}$으로 나타낼 수 있고, 운동량의 연산자가 $\displaystyle\frac{\hslash}{i}\frac{\partial}{\partial x}$이므로 운동에너지의 기댓값은 $\displaystyle\langle T\rangle=-\frac{\hslash^{2}}{2m}\int_{-\infty}^{\infty}{\Psi^{2}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}dx}$이다.

일반적으로 위치와 운동량의 함수로 표시되는 어떤 종류의 물리량 $Q(x,\,p)$의 기댓값은 $Q$의 연산자 앞뒤로 $\Psi^{*}$와 $\Psi$를 곱하고 적분을 한다. 즉 $\displaystyle\langle Q(x,\,p)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}{\Psi^{*}Q\left(x,\,\frac{\hslash}{i}\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi dx}$

다음 그림처럼 아주 긴 줄의 한쪽 끝을 잡고 그것을 위아래로 흔들어 파동을 만들 때,

누군가 "파동이 정확히 어디에 있는 것인가?"라는 질문을 던졌다면 파동은 퍼져나가는 것이기 때문에 이 질문에 제대로 된 대답을 할 수 없다. 만약 "파장(wavelength)이 얼마인가?"라는 질문을 던졌다면 구체적으로 답을 할 수 있을것이다. 하지만 파동이 다음 그림과 같이 한번 확 잡아채고 동작을 멈추면

파동이 정확히 어디에 있는지는 대답을 할 수 있으나 파장이 얼마인지에 대한 대답은 할 수 없다. 

위의 두 경우는 파동의 위치가 정확해질수록 파장의 불확정성이 커지고, 반대로 파장이 정확히 측정될수록 파동의 위치의 불확정성이 커짐을 나타낸다.

위의 현상들은 어느 파동 현상에도 적용할 수 있고, 따라서 양자역학의 파동함수에도 적용할 수 있다. 양자역학에서의 파동함수 $\Psi$의 파장 $\lambda$와 운동량 $p$는 드 브로이(de Broglie)의 공식에 의해 $\displaystyle p=\frac{h}{\lambda}=\frac{2\pi\hslash}{\lambda}$이다. 이 식은 입자의 운동량이 정밀하게 측정될 수록, 위치가 덜 정밀하게 측정되고, 반대로 위치가 정밀하게 측정될 수록, 운동량이 덜 정밀하게 측정됨을 뜻하며 따라서 다음의 하이젠베르크(Heisenberg)의 불확정성 원리(uncertainty principle)를 얻는다.

$$\sigma_{x}\sigma_{p}\geq\frac{\hslash}{2}$$ 여기서 $\sigma_{x}$는 위치 $x$측정의 표준편차, $\sigma_{p}$는 운동량 $p$측정의 표준편차이다. 

참고자료:

Introduction to Quantum Mechanics 2nd edition, Griffiths, Pearson  

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%95%99%EC%83%81%EB%B8%94_(%EB%AC%BC%EB%A6%AC%ED%95%99)