[양자역학] 6. 델타함수, 유한 사각우물 퍼텐셜

[양자역학] 6. 델타함수, 유한 사각우물 퍼텐셜

무한히 깊은 사각 퍼텐셜 우물, 조화진동자의 파동함수들은 규격화가 가능하고 정수 \(n\)을 지표로 하여 구분할 수 있으나(물리적으로 실현가능한 상태) 자유입자의 파동함수는 규격화가 불가능하고 연속변수 \(k\)를 사용하여 구분한다(물리적으로 실현불가능한 상태).

어느 경우든 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식의 일반해는 정지된 상태들의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 무한히 깊은 사각우물과 조화진동자는 \(n\)개의 파동함수들의 합으로 나타나고, 자유입자는 \(k\)에 대한 적분으로 나타난다.

고전역학에서 시간에 무관한 1차원 퍼텐셜에는 두 종류의 운동이 있다. 퍼텐셜 \(V(x)\)가 총 에너지 \(E\)보다 커지면, 그 입자는 두 반환점(turning point)사이를 왕복운동할 뿐이고 퍼텐셜 우물 안에 같히게 된다.(위 왼쪽 그림) 이러한 상태를 속박상태(bound state)라고 한다. 

반면에 \(V(x)\)가 어느 한쪽에서만 총 에너지 \(E\)보다 커지는 경우, 입자는 무한히 먼 곳에서 오면서 퍼텐셜에너지의 변화에 따라 속도를 조절하면서 움직이다가 다시 무한히 먼 곳으로 되돌아간다.(위 오른쪽 그림) 이러한 상태를 산란상태(scattering state)라고 한다.

어떤 퍼텐셜에는 입자의 초기 에너지에 따라 두가지 운동 모두 나타날 수도 있다.(위 그림) 

앞에서 언급했던 무한히 깊은 사각 퍼텐셜우물, 조화진동자는 속박상태, 자유입자는 산란상태에 해당한다. 터널링(tunneling) 현상에 의해 입자가 퍼텐셜 장벽을 통과할 수 있으므로 따라서 속박상태인지 산란상태인지를 알려면 무한히 먼 곳에서의 퍼텐셜만 알면 된다.

\(E<V(-\infty)\)이고 \(E<V(\infty)\)이면, 속박상태, \(E<V(-\infty)\)이거나 \(E<V(\infty)\)이면, 산란상태이다. 

모든 퍼텐셜들은 무한히 먼 곳에서 영향을 미치지 않으므로(0으로 수렴) 이때 \(E<0\)이면 속박상태, \(E>0\)이면 산란상태이다.

델타함수 퍼텐셜

델타함수는 다음과 같이 정의되는 함수이고,$$\delta(x-a)=\begin{cases}0,\,(x\neq a)\\ \infty,\,(x=a)\end{cases},\,\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(x-a)dx}=1$$(\(a=0\)일 때의) 그래프는 다음과 같다.

델타함수의 성질에 의해 \(f(x)\delta(x-a)=f(a)\delta(x-a)\)이고, 따라서 다음의 식이 성립한다.$$\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\delta(x-a)dx}=f(a)\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(x-a)dx}=f(a)$$퍼텐셜이 \(V(x)=-\alpha\delta(x)\)이면, 슈뢰딩거 방정식은 \(\displaystyle-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}-\alpha\delta(x)\psi=E\psi\)이고, \(E<0\)일 때 속박상태, \(E>0\)일 때 산란상태이다.

속박상태일 때 \(x<0\)과 \(x>0\)인 영역에서 \(V(x)=0\)이므로 따라서 이 영역에서의 슈뢰딩거 방정식은$$\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=-\frac{2mE}{\hslash^{2}}\psi=\kappa^{2}\psi,\,\kappa=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hslash}$$이고 \(\psi(x)=Ae^{-\kappa x}+Be^{\kappa x}\)인데 규격화 조건에 의해$$\psi(x)=\begin{cases}Be^{-\kappa x},\,(x\geq0)\\Fe^{\kappa x}\,(x\leq0)\end{cases}$$이다. 

다음의 표준 경계조건

1. \(\psi\)는 연속이다. 

2. \(\displaystyle\frac{d\psi}{dx}\)는 퍼텐셜이 무한대인 점들을 제외하고 연속이다.

을 이용하여 \(F=B\)를 얻는다. 그러면 \(x=0\)에서 연속이나 미분가능하지 않게 된다. 슈뢰딩거 방정식 전체를 \(x=-\epsilon\)에서 \(x=\epsilon\)까지 적분하면$$-\frac{\hslash^{2}}{2m}\int_{-\epsilon}^{\epsilon}{\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}dx}+\int_{-\epsilon}^{\epsilon}{V(x)\psi(x)dx}=E\int_{-\epsilon}^{\epsilon}{\psi(x)dx}$$이고, 이 식에 극한 \(\epsilon\,\rightarrow\,0\)을 취하면 \(\displaystyle\lim_{\epsilon\,\rightarrow\,0}{E\int_{-\infty}^{\epsilon}{\psi(x)dx}}=0\)이므로$$\Delta\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)=\frac{\partial\psi}{\partial x}|_{x=\epsilon}-\frac{\partial\psi}{\partial x}|_{x=-\epsilon}=\frac{2m}{\hslash^{2}}\lim_{\epsilon\,\rightarrow\,0}{\int_{-\epsilon}^{\epsilon}{V(x)\psi(x)dx}}$$이고, \(V(x)=-\alpha\delta(x)\)일 때 \(\displaystyle\Delta\left(\frac{d\psi}{dx}\right)=-\frac{2m\alpha}{\hslash}\psi(0)\)이다.$$\frac{d\psi}{dx}=\begin{cases}-B\kappa e^{-\kappa x},\,(x>0)\\B\kappa e^{\kappa x},\,(x<0)\end{cases}$$이므로 \(\displaystyle\Delta\left(\frac{d\psi}{dx}\right)=-2B\kappa\)이고 \(\psi(0)=B\)이므로 \(\displaystyle\kappa=\frac{m\alpha}{\hslash^{2}}\)이고 \(\displaystyle E=-\frac{\hslash^{2}\kappa^{2}}{2m}=-\frac{m\alpha^{2}}{2\hslash^{2}}\)이며, \(\psi\)를 규격화하면$$\int_{-\infty}^{\infty}{|\psi(x)|^{2}dx}=2B^{2}\int_{0}^{\infty}{e^{-2\kappa x}dx}=\frac{B^{2}}{\kappa}=1$$이므로 \(\displaystyle B=\sqrt{\kappa}=\frac{\sqrt{m\alpha}}{\hslash}\)이고 따라서$$\psi(x)=\frac{\sqrt{m\alpha}}{\hslash}e^{-\frac{m\alpha}{\hslash^{2}}|x|},\,E=-\frac{m\alpha^{2}}{2\hslash^{2}}$$이다.

(델타함수 퍼텐셜 일때의 파동함수)

\(E>0\)인 산란상태일 때, \(x<0\)이고 \(x>0\)일 때의 슈뢰딩거 방정식은$$\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=-\frac{2mE}{\hslash^{2}}\psi=-k^{2}\psi\,\left(k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash}\right)$$이고, \(x>0\)에서 \(\psi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\), \(x<0\)에서 \(\psi(x)=Fe^{ikx}+Be^{-ikx}\)이다.

\(x=0\)에서 \(\psi(x)\)가 연속이어야 하므로 \(F+G=A+B\)이고,$$\frac{d\psi}{dx}=\begin{cases}ik(Fe^{ikx}-Ge^{-ikx}),\,(x>0)\\ik(Ae^{ik}-Be^{-ikx}),\,(x<0)\end{cases}$$이므로 \(\displaystyle\Delta\left(\frac{d\psi}{dx}\right)=ik(F-G-A+B)\)이다. \(\psi(0)=A+B=F+G\)이므로 \(\displaystyle ik(F-G-A+B)=-\frac{2m\alpha}{\hslash^{2}}(A+B)\)또는$$F-G=A(1+2i\beta)-B(1-2i\beta)\,\left(\beta=\frac{m\alpha}{\hslash^{2}k}\right)$$이다. 산란상태이므로 규격화가 불가능하기 때문에 상수들의 물리적 의미를 파악하는게 해결책이다. \(e^{ikx}\)는 오른쪽으로 이동하는 파동함수를 만들고, \(e^{-ikx}\)는 왼쪽으로 이동하는 파동함수를 만든다. 여기서의 상수 \(A\)는 왼쪽으로 들어오는 파동의 진폭, \(B\)는 왼쪽으로 돌아가는 파동의 진폭이고, 또한 \(F\)는 오른쪽으로 이동해 나가는 파동의 진폭이고, \(G\)는 오른쪽으로 들어오는 파동의 진폭이다.(아래 그림 참고)

  

보통의 산란실험에서 입사입자들은 한쪽 방향에서만 들어온다. 파동이 왼쪽에서 들어오면, 오른쪽에서 들어오는 파동의 진폭은 0이다(\(G=0\)). 이때 \(A\)는 입사 파동(incident wave)의 진폭, \(B\)는 반사 파동(reflected wave)의 진폭, \(F\)는 투과 파동(transmitted wave)의 진폭이며 \(\displaystyle B=\frac{i\beta}{1-i\beta}A\), \(\displaystyle F=\frac{1}{1-i\beta}A\)이다.

특정 위치에서 입자를 발견할 확률분포는 \(|\Psi|^{2}\)이므로 입사 입자가 반사되어 돌아올 확률은 \(\displaystyle R=\frac{B^{2}}{A^{2}}=\frac{\beta^{2}}{1+\beta^{2}}=\frac{1}{1+\left(\frac{2\hslash^{2}E}{m\alpha^{2}}\right)}\)이고, 이 \(R\)을 반사계수(reflection coefficient), 투과할 확률은 \(\displaystyle T=\frac{F^{2}}{A^{2}}=\frac{1}{1+\beta^{2}}=\frac{1}{1+\left(\frac{m\alpha^{2}}{2\hslash^{2}E}\right)}\)이며 \(R+T=1\)이다.

위의 그림은 델타함수 퍼텐셜 장벽으로 속박상태, 산란상태에 따라 \(\alpha\)의 부호를 바꿔주면 된다. 

고전역학에서 \(E>V_{\max}\)이면 \(T=1,\,R=0\)이고, \(E<V_{\max}\)이면 \(T=0,\,R=1\)이며 퍼텐셜 장벽을 넘지 못하고 어느 점에서 운동의 방향을 바꾸어 되돌아간다. 반면 양자역학에서는 \(E<V_{\max}\)이더라도 입자가 퍼텐셜 장벽을 통과할 확률은 0이 아니다. 이러한 현상을 터널링(tunneling)이라고 한다.

유한 사각우물 퍼텐셜

유한한 사각우물 퍼텐셜은 다음과 같다.$$V(x)=\begin{cases}-V_{0},\,(-a<x<a)\\0,\,(|x|>a)\end{cases}$$

여기서 \(V_{0}>0\)이고, 이 퍼텐셜에서도 속박상태(\(E<0\))와 산란상태(\(E>0\)) 모두 가능하다. 

속박상태의 경우, 

(1) \(x<-a\)영역에서 \(V(x)=0\)이므로 슈뢰딩거 방정식은 \(\displaystyle-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=E\psi\)이고$$\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=\kappa^{2}\psi\,\left(\kappa=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hslash}\right)$$이므로 \(\psi(x)=Be^{\kappa x}\)이다.

(2) \(-a<x<a\)영역에서 \(V(x)=-V_{0}\)이므로 슈뢰딩거 방정식은 \(\displaystyle-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}-V_{0}\psi=E\psi\)이고$$\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=-l^{2}\psi\,\left(l=\frac{\sqrt{2m(E+V_{0})}}{\hslash}\right)$$이며 속박상태여야 하므로 \(E>V_{\min}\)이어야 하므로 \(E+V_{0}>0\)이고 \(\psi(x)=C\sin(lx)+D\cos(lx)\)이다.

(3) \(x>a\)영역에서 \(V(x)=0\)이므로 슈뢰딩거 방정식은 (1)의 경우처럼 \(\displaystyle-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=E\psi\)이고$$\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=\kappa^{2}\psi\,\left(\kappa=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hslash}\right)$$이므로 \(\psi(x)=Fe^{-\kappa x}\)이다.

퍼텐셜이 우함수이면, 파동함수는 우함수 또는 기함수로 나타내어질 수 있다. 이것을 이용하면 퍼텐셜이 우함수이므로 파동함수가 우함수라고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\psi(x)=\begin{cases}Fe^{-\kappa x},\,(x>a)\\D\cos(lx),\,(0<x<a)\\ \psi(-x),\,(x<0)\end{cases}$$파동함수의 표준 경계조건으로부터$$Fe^{-\kappa a}=D\cos(la),\,-\kappa Fe^{-\kappa a}=-lD\sin(la)$$이므로 이 두 식으로부터 \(\kappa=l\tan(la)\)이고 \(\kappa\)와 \(l\)은 에너지 \(E\)에 대한 함수이므로 \(z=la\), \(\displaystyle z_{0}=\frac{a}{\hslash}\sqrt{2mV_{0}}\)라고 하자. 그러면 \(\displaystyle\kappa^{2}+l^{2}=\frac{2mV_{0}}{\hslash^{2}}\)이므로 \(ka=\sqrt{z_{0}^{2}-z^{2}}\)이고 \(\displaystyle\tan z=\sqrt{\left(\frac{z_{0}}{z}\right)^{2}-1}\)이다. 다음의 그림은 \(z_{0}=8\)일때의 이 방정식의 그래프를 이용한 풀이를 나타낸 것이다.

폭이 넓고 깊은 우물: \(z_{0}\)가 크면 교점은 \(\displaystyle z_{n}=\frac{\pi}{2}n\)(\(n\)은 홀수)보다 살짝 작은 지점에서 생기고 \(\displaystyle E_{n}+V_{0}\simeq\frac{n^{2}\pi^{2}\hslash^{2}}{2m(2a)^{2}}\)이다. \(V_{0}\,\rightarrow\,\infty\)이면 깊이가 무한한 우물이 되나 \(V_{0}\)가 유한하기 때문에 유한개의 속박상태만 존재한다. 

폭이 좁고 얕은 우물: \(z_{0}\)가 작아질수록 적은수의 속박상태가 나타나고 최종적으로 1개만 남게 된다. 이것은 퍼텐셜 우물이 아무리 좁고 얕아도 최소한 한개의 속박상태가 존재한다.

여기서 구한 파동함수의 규격화를 하면 좋겠지만 복잡해서 생략하겠다.$$D=F\sqrt{1+\left(\frac{\kappa}{l}\right)^{2}},\,F=\frac{\kappa l^{2}}{2(\kappa\sqrt{l^{2}+\kappa^{2}}\sin(la)+l^{2}e^{-\kappa a})}$$

산란상태의 경우,

(1) \(x<-a\)에서 \(V(x)=0\)이므로 슈뢰딩거 방정식은 \(\displaystyle-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=E\psi\)이고$$\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=-k^{2}\psi\,\left(k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash}\right)$$이므로 \(\psi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\)이다. 

(2) \(-a<x<a\)에서 \(V(x)=-V_{0}\)이므로 슈뢰딩거 방정식은 \(\displaystyle-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}-V_{0}\psi=E\psi\)이므로$$\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=-l^{2}\psi\,\left(l=\frac{\sqrt{2m(E+V_{0})}}{\hslash}\right)$$이고 \(\psi(x)=C\sin(lx)+D\cos(lx)\)이다. 

(3) \(x>a\)에서 \(V(x)=0\)이므로 슈뢰딩거 방정식은 (1)의 경우처럼 \(\displaystyle-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=E\psi\)이고$$\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=-k^{2}\psi\,\left(k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash}\right)$$이므로 \(\psi(x)=Fe^{ikx}+Ge^{ikx}\)이고 입사파동이 없다고 하면 \(G=0\)이므로 \(\psi(x)=Fe^{ikx}\)이다.

위의 식에서 \(A\)는 입사파동, \(B\)는 반사파동, \(F\)는 투과파동의 진폭이다.

표준 경계조건으로부터 다음의 식들을 얻고,$$\begin{align*}Ae^{-ika}+Be^{ika}&=-C\sin(la)+D\cos(la)\\ik(Ae^{-ika}-Be^{ika})&=l\{C\cos(la)+D\sin(la)\}\\C\sin(la)+D\cos(la)&=Fe^{ika}\\l\{C\cos(la)-D\sin(la)\}&=ikFe^{ika}\end{align*}$$다음의 결과를 얻으며$$B=i\frac{\sin(2la)}{2kl}(l^{2}-k^{2})F,\,F=\frac{e^{-2ika}A}{\cos(2la)-i\frac{(k^{2}+l^{2})}{2kl}\sin(2la)}$$투과계수 \(\displaystyle T=\frac{F^{2}}{A^{2}}\)를 구하면$$T^{-1}=1+\frac{V_{0}^{2}}{4E(E+V_{0})}\sin^{2}\left(\frac{2a}{\hslash}\sqrt{2m(E+V_{0})}\right)$$이다.(아래 그림 참고)

\(T=1\)이 되려면 사인함수가 0이 되어야 하고, 그러기 위해서는 \(\displaystyle\frac{2a}{\hslash}\sqrt{2m(E_{n}+V_{0})}=n\pi\)이어야 한다. 그러면 완전 투과가 일어나기 위한 에너지는 \(\displaystyle E_{n}+V_{0}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hslash^{2}}{2m(2a)^{2}}\)이고, 이 식의 우변은 무한히 깊은 퍼텐셜 우물 문제에서 구한 에너지와 정확히 같다. 

참고자료:

Introduction to Quantum Mechanics 2nd edition, Griffiths, Pearson