[해석학] 12. 리만적분(2)

[해석학] 12. 리만적분(2)

적분에 대한 평균값정리(mean-value theorem for integrals)

함수 $f$가 $[a,\,b]$에서 연속이면, $c\in(a,\,b)$가 존재해서 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=(b-a)f(c)$이다. 

증명:

(i) $f$가 상수함수(모든 $x\in[a,\,b]$에 대하여 $f(x)=k$)이면, $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=k(b-a)$이므로 따라서 임의의 $c\in(a,\,b)$에 대해 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=(b-a)f(c)$이다.

(ii) $f$가 상수함수가 아니라고 하면 최댓값최솟값정리에 의해 $M,\,m\in\mathbb{R}$이 존재해서 모든 $x\in[a,\,b]$에 대해 $m\leq f(x)\leq M$이고, $$m(b-a)=\int_{a}^{b}{mdx}\leq\int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq\int_{a}^{b}{Mdx}=M(b-a)$$ 이므로 $$m\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq M$$ 이고 중간값 정리에 의해 $c\in(a,\,b)$가 존재해서 $\displaystyle f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(x)dx}$이다. 따라서 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=(b-a)f(c)$이다.

*$\displaystyle\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(x)dx}$를 함수 $f$의 구간 $[a,\,b]$에서의 평균값(mean value)이라고 한다.

함수 $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$에 대해 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}$라고 하자. 그러면

(1) $F$는 $[a,\,b]$에서 균등연속이다.

(2) $f$가 $x=x_{0}(\in[a,\,b])$에서 연속이면, $F$는 $x=x_{0}$에서 미분가능하고 $F'(x_{0})=f(x_{0})$이다.

증명:

(1) $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이므로 $f$는 $[a,\,b]$에서 유계이고 따라서 $M>0$이 존재해서 모든 $x\in[a,\,b]$에 대해 $|f(x)|\leq M$이다. 임의의 $x,\,y\in[a,\,b]$에 대하여 $$|F(x)-F(y)|=\left|\int_{x}^{y}{f(t)dt}\right|\leq M|y-x|$$ 이므로 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $\displaystyle\delta=\frac{\epsilon}{M}$이라고 하면 모든 $x,\,y\in[a,\,b]$에 대하여 $|y-x|<\delta$일 때 $\left|F(x)-F(y)\right|\leq M|y-x|<\epsilon$이므로 $F$는 $[a,\,b]$에서 균등연속이다.   

(2) $f$가 $x=x_{0}$에서 연속이므로 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $\delta>0$가 존재해서 $|x-x_{0}|<\delta$일 때 $|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon$이다. 따라서 $0<|x-x_{0}|<\delta$일 때 $$\left|\frac{F(x)-F(x_{0})}{x-x_{0}}-f(x_{0})\right|=\left|\frac{1}{x-x_{0}}\int_{x_{0}}^{x}{\{f(t)-f(x_{0})\}dt}\right|<\epsilon$$ 이므로 $F$는 $x=x_{0}$에서 미분가능하고 $F'(x_{0})=f(x_{0})$이다.

미적분학의 제 1 기본정리(first fundamental theorem of calculus)

함수 $f$가 $[a,\,b]$에서 연속라고 하자. $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}$라고 하면 $F$는 $[a,\,b]$에서 미분가능하고 $F'(x)=f(x)$이다. 

증명: 앞 정리의 (2)로부터 명백하다. 굳이 증명을 하면 임의의 $x_{0}\in[a,\,b]$에 대해 $$\begin{align*}F'(x_{0})&=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{h}\left\{\int_{a}^{x_{0}+h}{f(t)dt}-\int_{a}^{x_{0}}{f(t)dt}\right\}}\\&=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{h}\int_{x_{0}}^{x_{0}+h}{f(t)dt}}\end{align*}$$ 이고, 평균값 정리에 의해 $c\in(x_{0},\,x_{0}+h)$가 존재해서 $\displaystyle\int_{x_{0}}^{x_{0}+h}{f(t)dt}=hf(c)$이다.

따라서 $$F'(x_{0})=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{h}\{hf(c)\}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{f(c)}$$ 이고, $f$는 $x=x_{0}$에서 연속이므로 $\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0}{f(c)}=f(x_{0})$이며 $x_{0}$는 임의의 $[a,\,b]$상의 점이므로 모든 $x\in[a,\,b]$에 대해 $F'(x)=f(x)$이다.

함수 $f$가 $[a,\,b]$에서 연속이고 $[a,\,b]$상의 함수 $F$가 존재해서 $F'=f$이면, $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a)$$ 이다.

증명: $\displaystyle g(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}$라고 하면 임의의 $x\in[a,\,b]$에 대해 $g'(x)=f(x)$이다. 그러면 임의의 $x\in[a,\,b]$에 대해 $g'(x)=f(x)=F'(x)$이고 $g(x)=F(x)+C$($C$는 상수)이다. $0=g(a)=F(a)+C$이므로 $C=-F(a)$이고, $g(b)=F(b)-F(a)$이므로 따라서 $$g(b)=\int_{a}^{b}{f(t)dt}=F(b)-F(a)$$ 이다.

*이 정리에서의 함수 $F$를 $f$의 부정적분(indefinite integral)(또는 역도함수, antiderivative)라고 한다.

미적분학의 제 2 기본정리(second fundamental theorem of calculus)

$f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이고, $[a,\,b]$상의 함수 $F$가 존재해서 $F$가 $[a,\,b]$에서 미분가능하고 $F'=f$이면 $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a)$$ 이다. 

증명: $P=\{x_{0},\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n}\}$을 $[a,\,b]$의 분할이라 하자. $[x_{i-1},\,x_{i}]$에서 함수 $F$에 대해 (미분에 대한) 평균값 정리를 적용하면 $t_{i}\in[x_{i-1},\,x_{i}]$가 존재해서 $$F(x_{i})-F(x_{i-1})=f(t_{i})(x_{i}-x_{i-1})=f(t_{i})\Delta x_{i}$$ 이다. 따라서 $$F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^{n}{\{F(x_{i})-F(x_{i-1})\}}=\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i})\Delta x_{i}}$$ 이고 $$\sum_{i=1}^{n}{m_{i}\Delta x_{i}}\leq\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i})\Delta x_{i}}\leq\sum_{i=1}^{n}{M_{i}\Delta x_{i}}$$ 이므로 $L(P,\,f)\leq F(b)-F(a)\leq U(P,\,f)$이고 $$\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\leq F(b)-F(a)\leq\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}$$ 이므로 따라서 $\displaystyle F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$이다. 

치환적분법(integration by substitution)

함수 $g$가 $[\alpha,\,\beta]$에서 미분가능하고 $g(\alpha)=a$, $g(\beta)=b$이고, $f$는 $[a,\,b]$에서 연속이면 $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}$$ 이다.          

증명: 함수 $F$를 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x}{f(s)ds}$라고 하면 $F$는 $[a,\,b]$에서 미분가능하고 $F'=f$이며 $$\frac{d}{dt}F(g(t))=F'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t)$$ 이므로 미적분학의 제 2 기본정리에 의해 $$\begin{align*}\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}&=\left[F(g(t))\right]_{\alpha}^{\beta}=F(g(\beta))-F(g(\alpha))\\&=F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}{f(x)dx}\end{align*}$$ 이다.

부분적분법(integration by parts)

함수 $f,\,g$가 $[a,\,b]$에서 미분가능하고 $f',\,g'\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이면, $$\int_{a}^{b}{f(x)g'(x)dx}=\{f(b)g(b)-f(a)g(a)\}-\int_{a}^{b}{f'(x)g(x)dx}$$ 이다.

증명: $f,\,f',\,g,\,g'\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이므로 $(fg)'=f'g+fg'\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이다. 따라서 $$\begin{align*}f(b)g(b)-f(a)g(a)&=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}=\int_{a}^{b}{\{f(x)g(x)\}'dx}\\&=\int_{a}^{b}{f'(x)g(x)dx}+\int_{a}^{b}{f(x)g'(x)dx}\end{align*}$$ 이고 이 식으로부터 부분적분의 공식을 얻는다.

$f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\,(a<b)$이라고 하자. 그러면 $\displaystyle\int_{a}^{\infty}{f(x)dx}=\lim_{b\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{f(x)dx}}$이고, 비슷하게 $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\,(a<b)$라고 하면 $\displaystyle\lim_{a\,\rightarrow\,-\infty}{\int_{a}^{b}{f(x)dx}}$이다. 이 두 적분들을 각각 $[a,\,\infty)$, $(-\infty,\,b]$에서의 이상적분(improper integral)이라 하고, 극한이 존재하면 이 이상적분은 수렴한다고 하고 그렇지 않다면 발산한다고 한다.

이상적분 $\displaystyle\int_{a}^{\infty}{|f(x)|dx}$가 수렴하면, $f$는 $[a,\,\infty)$에서 절대수렴(absolutely convergence)한다고 한다. 마찬가지로 $\displaystyle\int_{-\infty}^{b}{|f(x)|dx}$가 수렴하면, $f$는 $(-\infty,\,b]$에서 절대수렴한다고 한다.   

다음과 같이 정의된 함수 $$f(x)=\begin{cases}\displaystyle1,\,\left(k-\frac{1}{k^{2}}\leq x<k,\,k\in\mathbb{N}\right)\\0,\,(\text{otherwise})\end{cases}$$ 에 대하여 $\displaystyle\int_{0}^{R}{f(x)dx}=\sum_{i=1}^{[R]}{\frac{1}{k^{2}}}$이므로 $R\,\rightarrow\,\infty$일 때, 이 적분은 수렴하나 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(n)=1}$, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f\left(n+\frac{1}{2}\right)}=0$이므로 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}$는 존재하지 않는다. 이것은 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}$이 수렴하면 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=0$이지만 이 성질이 이상적분에서는 적용할 수 없음을 나타낸다.

 

비교판정법(comparison test) 

임의의 $x\in[a,\,\infty)$에 대하여 $0\leq f(x)\leq g(x)$이고, $f,\,g$는 $[a,\,\infty)$에서 연속함수라고 하자.  

(1) $\displaystyle\int_{a}^{\infty}{g(x)dx}$가 수렴하면 $\displaystyle\int_{a}^{\infty}{f(x)dx}$는 수렴한다. 

(2) $\displaystyle\int_{a}^{\infty}{f(x)dx}$가 발산하면 $\displaystyle\int_{a}^{\infty}{g(x)dx}$는 발산한다.

증명: $R>a$에 대하여 $$0\leq\int_{a}^{R}{f(x)dx}\leq\int_{a}^{R}{f(x)dx}$$ 이고 각 적분들은 $R$에 대한 단조증가함수이다. 따라서 $\displaystyle\int_{a}^{\infty}{g(x)dx}$가 수렴하면 $\displaystyle\int_{a}^{R}{f(x)dx}$는 위로유계이고 수렴하며, $\displaystyle\int_{a}^{\infty}{f(x)dx}$가 발산하면 $\displaystyle\int_{a}^{R}{g(x)dx}$는 유계가 아니고 발산한다.

*비교판정법은 무한구간이 아닌 유한구간에서도 성립한다.

감마함수 $\displaystyle\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t}dt}$는 $0,\,\infty)$에서 수렴한다.

먼저 $(0,\,\infty)$에서 수렴함을 보이자. 감마함수는 다음과 같다 $$\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t}dt}=\int_{0}^{1}{t^{x-1}e^{-t}dt}+\int_{1}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t}dt}$$ $t\in[0,\,1]$, $0<x<1$일 때 $0\leq t^{x-1}e^{-t}\leq t^{x-1}$이고 $\displaystyle\int_{0}^{1}{t^{x-1}dt}$는 수렴하므로 비교판정법에 의해 $\displaystyle\int_{0}^{1}{t^{x-1}e^{-t}dt}$는 수렴한다.

$x\geq1$이고 $t$가 충분히 클 때 $t^{x-1}\leq e^{\frac{1}{2}t}$가 성립함이 알려져 있다. 이것을 이용하면 $$\int_{1}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t}dt}\leq\int_{1}^{\infty}{e^{\frac{1}{2}t}e^{-t}dt}=\int_{0}^{\infty}{e^{-\frac{1}{2}t}dt}=\left[-2e^{-\frac{1}{2}t}\right]_{0}^{\infty}=2$$ 이므로 따라서 $\displaystyle\int_{1}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t}dt}$는 수렴한다. 

따라서 감마함수 $\Gamma(x)$는 수렴한다.  

$f\in\mathfrak{R}([c,\,b]),\,a<c<b$라고 하자. 그러면 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{c\,\rightarrow\,a+}{\int_{c}^{b}{f(x)dx}}$이고, 비슷하게 $f\in\mathfrak{R}([a,\,c]),\,a<c<b$라고 하면 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{c\,\rightarrow\,b-}{f(x)dx}$이다. 이 두 적분들을 각각 $(a,\,b]$, $[a,\,b)$에서의 이상적분이라 하고, 극한이 존재하면 수렴한다고 하고, 그렇지 않으면 발산한다고 한다.     

이상적분 $\displaystyle\int_{0}^{1}{\frac{1}{x^{2}+\sqrt{x}}dx}$에 대해서 임의의 $x\in(0,\,1]$에 대해 $\displaystyle\frac{1}{x^{2}+\sqrt{x}}<\frac{1}{x^{2}}$이고 $\displaystyle\frac{1}{x^{2}+\sqrt{x}}<\frac{1}{\sqrt{x}}$이므로 $$\begin{align*}\lim_{c\,\rightarrow\,0+}{\int_{c}^{1}{\frac{1}{x^{2}}dx}}&=\lim_{c\,\rightarrow\,0+}{\left(\frac{1}{c}-1\right)}=\infty\\ \lim_{c\,\rightarrow\,0+}{\int_{c}^{1}{\frac{1}{\sqrt{x}}dx}}&=\lim_{c\,\rightarrow\,0+}{(2-2\sqrt{c})}=2\end{align*}$$ 이므로 비교판정법에 의해 $\displaystyle\int_{0}^{1}{\frac{1}{x^{2}+\sqrt{x}}dx}$는 수렴한다.

*여기서 $x\in(0,\,1]$일 때 $\displaystyle\frac{1}{x^{2}+\sqrt{x}}<\frac{1}{\sqrt{x}}<\frac{1}{x^{2}}$이다.

 

집합 $A\subset\mathbb{R}$에 대하여 임의의 $\epsilon>0$에 대해 가산개의 열린구간 $(a_{n},\,b_{n})$이 존재해서 $$(\text{i})\,A\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}{(a_{n},\,b_{n})},\,(\text{ii})\,\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}<\epsilon\,(I_{n}=(a_{n},\,b_{n}),\,\ell(I_{n})=b_{n}-a_{n})$$ 이면, 집합 $A$를 측도가 $0$인 집합(measure zero set)이라고 한다.

가산집합 $A=\{x_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}$는 측도가 0인 집합이다. 그 이유는 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $\displaystyle I_{n}=\left(x_{n}-\frac{\epsilon}{2^{n+1}},\,x_{n}+\frac{\epsilon}{2^{n+1}}\right)$라고 하면 $\displaystyle A\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_{n}}$이고 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2\epsilon}{2^{n+1}}}=\epsilon$이기 때문이다. 

$[a,\,b]$에서의 유계함수 $f$에 대해 $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$일 필요충분조건은 $f$의 불연속점의 집합의 측도가 0이다. 이 정리의 증명은 생략하겠다.  

 

다음과 같이 정의된 함수열 $f_{n}$과 함수 $f$에 대해 $$f_{n}(x)=\begin{cases}1,\,(x=q_{n}\in\mathbb{Q})\\0,\,(\text{otherwise})\end{cases},\,f(x)=\begin{cases}1,\,(x\in\mathbb{Q})\\0,\,(x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q})\end{cases}$$ $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}(x)}=f(x)$이다. $f_{n}$의 불연속점이 가산집합이므로 $f_{n}\in\mathfrak{R}([0,\,1])$이나 $f\notin\mathfrak{R}([0,\,1])$이다.

모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $f_{n}\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이고 $f_{n}$이 $[a,\,b]$에서 $f$로 균등수렴하면, $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이고 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{f_{n}(x)dx}}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$ 이다. 

증명: 먼저 $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$임을 보이자. $f_{n}$이 $[a,\,b]$에서 $f$로 균등수렴하므로, 임의의 $\epsilon>0$와 $x\in[a,\,b]$에 대하여 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $n\geq N$일 때 $\displaystyle|f_{n}(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{3(b-a)}$이다.

모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $f_{n}\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이므로 $[a,\,b]$의 분할 $P$가 존재해서 $\displaystyle U(P,\,f_{n})-L(P,\,f_{n})<\frac{\epsilon}{3}$이다. $$M_{i}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)},\,m_{i}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)},\,\overline{M}_{i}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f_{n}(x)},\,\overline{m}_{i}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f_{n}(x)}$$ 라고 하면 모든 $x\in[a,\,b]$에 대하여 $\displaystyle|f_{n}(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{3(b-a)}$이므로 $$\overline{m}_{i}-\frac{\epsilon}{3(b-a)}\leq m_{i}\leq M_{i}\leq\overline{M}_{i}+\frac{\epsilon}{3(b-a)}$$ 이고 따라서 $$\begin{align*}U(P,\,f)-L(P,\,f)&=\sum_{i=1}^{n}{M_{i}\Delta x_{i}}-\sum_{i=1}^{n}{m_{i}\Delta x_{i}}\\&\leq\sum_{i=1}^{n}{\left\{\overline{M}_{i}+\frac{\epsilon}{3(b-a)}\right\}\Delta x_{i}}-\sum_{i=1}^{n}{\left\{\frac{\epsilon}{3(b-a)}\right\}\Delta x_{i}}\\&=\sum_{i=1}^{n}{\overline{M}_{i}\Delta x_{i}}+\frac{\epsilon}{3}-\sum_{i=1}^{n}{\overline{m}_{i}\Delta x_{i}}+\frac{\epsilon}{3}\\&=U(P,\,f_{n})-L(P,\,f_{n})+\frac{2}{3}\epsilon\\&<\frac{\epsilon}{3}+\frac{2}{3}\epsilon=\epsilon\end{align*}$$ 이므로 $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이다.

이제 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{f_{n}(x)dx}}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$가 성립함을 보이자. $f_{n}$이 $[a,\,b]$에서 $f$로 균등수렴하므로 임의의 $\epsilon>0$과 $x\in[a,\,b]$에 대해 $N\in\mathbb{N}$가 존재해서 $n\geq N$일 때 $\displaystyle|f_{n}(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{b-a}$이다. 따라서 $$\begin{align*}\left|\int_{a}^{b}{f_{n}(x)dx}-\int_{a}^{b}{f(x)dx}\right|&=\left|\int_{a}^{b}{\{f_{n}(x)-f(x)\}dx}\right|\\&\leq\int_{a}^{b}{|f_{n}(x)-f(x)|dx}\\&<\int_{a}^{b}{\frac{\epsilon}{b-a}dx}=\epsilon\end{align*}$$ 이므로 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{f_{n}(x)dx}}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$이다.   

이 정리로부터 다음의 정리를 얻는다.

모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $f_{n}\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이고 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}$이 $[a,\,b]$에서 $f$로 균등수렴하면, $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이고 $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{a}^{b}{f_{n}(x)dx}}$$ 이다.

이 정리의 증명은 함수열 $\displaystyle S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}{f_{k}(x)}$를 앞 정리에 적용한다.

다음과 같이 정의된 함수열 $f_{n},\,g_{n}$에 대해 $$f_{n}(x)=\begin{cases}\frac{1}{x},\,(x\in[1,\,n])\\0,\,(x\in[n,\,\infty))\end{cases},\,g_{n}(x)=\begin{cases}\frac{1}{n},\,(x\in[0,\,n^{2}])\\0,\,(x\in(n^{2},\,\infty))\end{cases}$$ 에 대해 $f_{n}$은 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$로 균등수렴하나 $\displaystyle\int_{1}^{\infty}{f(x)dx}=\infty$이다.

$g_{n}$은 $g(x)=0$으로 균등수렴하고 $\displaystyle\int_{0}^{\infty}{g_{n}(x)dx}=n<\infty$이나 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{\infty}{g_{n}(x)dx}}\neq\int_{0}^{\infty}{g(x)dx}$이다.

멱급수 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$의 수렴반지름이 $R>0$일 때, $f$는 $\mathfrak{R}([a,\,b])\,([a,\,b]\subset(-R,\,R))$이고 $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{a_{n}}{n+1}(b^{n+1}-a^{n+1})}$$ 이다. 

증명: $[a,\,b]\subset(-R,\,R)$이므로 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$은 $[a,\,b]$에서 $f$로 균등수렴한다. 따라서 앞 정리의 결과에 의해 $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이고 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\sum_{n=0}^{\infty}{\int_{a}^{b}{a_{n}x^{n}dx}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{a_{n}}{n+1}}(b^{n+1}-a^{n+1})$이다.    

참고자료:

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

실해석학 개론, 정동명, 조승제, 경문사

알기쉬운 해석학, 장건수 외 5인, 대선