[해석학] 12. 리만적분(2)

[해석학] 12. 리만적분(2)

적분에 대한 평균값정리(mean-value theorem for integrals)

함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이면, \(c\in(a,\,b)\)가 존재해서 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=(b-a)f(c)\)이다. 

증명:

(i) \(f\)가 상수함수(모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(f(x)=k\))이면, \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=k(b-a)\)이므로 따라서 임의의 \(c\in(a,\,b)\)에 대해 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=(b-a)f(c)\)이다.

(ii) \(f\)가 상수함수가 아니라고 하면 최댓값최솟값정리에 의해 \(M,\,m\in\mathbb{R}\)이 존재해서 모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대해 \(m\leq f(x)\leq M\)이고,$$m(b-a)=\int_{a}^{b}{mdx}\leq\int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq\int_{a}^{b}{Mdx}=M(b-a)$$이므로$$m\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq M$$이고 중간값 정리에 의해 \(c\in(a,\,b)\)가 존재해서 \(\displaystyle f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)이다. 따라서 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=(b-a)f(c)\)이다.

*\(\displaystyle\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)를 함수 \(f\)의 구간 \([a,\,b]\)에서의 평균값(mean value)이라고 한다.

함수 \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)에 대해 \(\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}\)라고 하자. 그러면

(1) \(F\)는 \([a,\,b]\)에서 균등연속이다.

(2) \(f\)가 \(x=x_{0}(\in[a,\,b])\)에서 연속이면, \(F\)는 \(x=x_{0}\)에서 미분가능하고 \(F'(x_{0})=f(x_{0})\)이다.

증명:

(1) \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이므로 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 유계이고 따라서 \(M>0\)이 존재해서 모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대해 \(|f(x)|\leq M\)이다. 임의의 \(x,\,y\in[a,\,b]\)에 대하여$$|F(x)-F(y)|=\left|\int_{x}^{y}{f(t)dt}\right|\leq M|y-x|$$이므로 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\displaystyle\delta=\frac{\epsilon}{M}\)이라고 하면 모든 \(x,\,y\in[a,\,b]\)에 대하여 \(|y-x|<\delta\)일 때 \(\left|F(x)-F(y)\right|\leq M|y-x|<\epsilon\)이므로 \(F\)는 \([a,\,b]\)에서 균등연속이다.   

(2) \(f\)가 \(x=x_{0}\)에서 연속이므로 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(|x-x_{0}|<\delta\)일 때 \(|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon\)이다. 따라서 \(0<|x-x_{0}|<\delta\)일 때$$\left|\frac{F(x)-F(x_{0})}{x-x_{0}}-f(x_{0})\right|=\left|\frac{1}{x-x_{0}}\int_{x_{0}}^{x}{\{f(t)-f(x_{0})\}dt}\right|<\epsilon$$이므로 \(F\)는 \(x=x_{0}\)에서 미분가능하고 \(F'(x_{0})=f(x_{0})\)이다.

미적분학의 제 1 기본정리(first fundamental theorem of calculus)

함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속라고 하자. \(\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}\)라고 하면 \(F\)는 \([a,\,b]\)에서 미분가능하고 \(F'(x)=f(x)\)이다. 

증명: 앞 정리의 (2)로부터 명백하다. 굳이 증명을 하면 임의의 \(x_{0}\in[a,\,b]\)에 대해$$\begin{align*}F'(x_{0})&=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{h}\left\{\int_{a}^{x_{0}+h}{f(t)dt}-\int_{a}^{x_{0}}{f(t)dt}\right\}}\\&=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{h}\int_{x_{0}}^{x_{0}+h}{f(t)dt}}\end{align*}$$이고, 평균값 정리에 의해 \(c\in(x_{0},\,x_{0}+h)\)가 존재해서 \(\displaystyle\int_{x_{0}}^{x_{0}+h}{f(t)dt}=hf(c)\)이다.

따라서$$F'(x_{0})=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{h}\{hf(c)\}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{f(c)}$$이고, \(f\)는 \(x=x_{0}\)에서 연속이므로 \(\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0}{f(c)}=f(x_{0})\)이며 \(x_{0}\)는 임의의 \([a,\,b]\)상의 점이므로 모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대해 \(F'(x)=f(x)\)이다.

함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이고 \([a,\,b]\)상의 함수 \(F\)가 존재해서 \(F'=f\)이면,$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a)$$이다.

증명: \(\displaystyle g(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}\)라고 하면 임의의 \(x\in[a,\,b]\)에 대해 \(g'(x)=f(x)\)이다. 그러면 임의의 \(x\in[a,\,b]\)에 대해 \(g'(x)=f(x)=F'(x)\)이고 \(g(x)=F(x)+C\)(\(C\)는 상수)이다. \(0=g(a)=F(a)+C\)이므로 \(C=-F(a)\)이고, \(g(b)=F(b)-F(a)\)이므로 따라서$$g(b)=\int_{a}^{b}{f(t)dt}=F(b)-F(a)$$이다.

*이 정리에서의 함수 \(F\)를 \(f\)의 부정적분(indefinite integral)(또는 역도함수, antiderivative)라고 한다.

미적분학의 제 2 기본정리(second fundamental theorem of calculus)

\(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이고, \([a,\,b]\)상의 함수 \(F\)가 존재해서 \(F\)가 \([a,\,b]\)에서 미분가능하고 \(F'=f\)이면$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a)$$이다. 

증명: \(P=\{x_{0},\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n}\}\)을 \([a,\,b]\)의 분할이라 하자. \([x_{i-1},\,x_{i}]\)에서 함수 \(F\)에 대해 (미분에 대한) 평균값 정리를 적용하면 \(t_{i}\in[x_{i-1},\,x_{i}]\)가 존재해서$$F(x_{i})-F(x_{i-1})=f(t_{i})(x_{i}-x_{i-1})=f(t_{i})\Delta x_{i}$$이다. 따라서$$F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^{n}{\{F(x_{i})-F(x_{i-1})\}}=\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i})\Delta x_{i}}$$이고$$\sum_{i=1}^{n}{m_{i}\Delta x_{i}}\leq\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i})\Delta x_{i}}\leq\sum_{i=1}^{n}{M_{i}\Delta x_{i}}$$이므로 \(L(P,\,f)\leq F(b)-F(a)\leq U(P,\,f)\)이고$$\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\leq F(b)-F(a)\leq\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}$$이므로 따라서 \(\displaystyle F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)이다. 

치환적분법(integration by substitution)

함수 \(g\)가 \([\alpha,\,\beta]\)에서 미분가능하고 \(g(\alpha)=a\), \(g(\beta)=b\)이고, \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 연속이면$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}$$이다.          

증명: 함수 \(F\)를 \(\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x}{f(s)ds}\)라고 하면 \(F\)는 \([a,\,b]\)에서 미분가능하고 \(F'=f\)이며$$\frac{d}{dt}F(g(t))=F'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t)$$이므로 미적분학의 제 2 기본정리에 의해$$\begin{align*}\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}&=\left[F(g(t))\right]_{\alpha}^{\beta}=F(g(\beta))-F(g(\alpha))\\&=F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}{f(x)dx}\end{align*}$$이다.

부분적분법(integration by parts)

함수 \(f,\,g\)가 \([a,\,b]\)에서 미분가능하고 \(f',\,g'\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이면,$$\int_{a}^{b}{f(x)g'(x)dx}=\{f(b)g(b)-f(a)g(a)\}-\int_{a}^{b}{f'(x)g(x)dx}$$이다.

증명: \(f,\,f',\,g,\,g'\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이므로 \((fg)'=f'g+fg'\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이다. 따라서$$\begin{align*}f(b)g(b)-f(a)g(a)&=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}=\int_{a}^{b}{\{f(x)g(x)\}'dx}\\&=\int_{a}^{b}{f'(x)g(x)dx}+\int_{a}^{b}{f(x)g'(x)dx}\end{align*}$$이고 이 식으로부터 부분적분의 공식을 얻는다.

\(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\,(a<b)\)이라고 하자. 그러면 \(\displaystyle\int_{a}^{\infty}{f(x)dx}=\lim_{b\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{f(x)dx}}\)이고, 비슷하게 \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\,(a<b)\)라고 하면 \(\displaystyle\lim_{a\,\rightarrow\,-\infty}{\int_{a}^{b}{f(x)dx}}\)이다. 이 두 적분들을 각각 \([a,\,\infty)\), \((-\infty,\,b]\)에서의 이상적분(improper integral)이라 하고, 극한이 존재하면 이 이상적분은 수렴한다고 하고 그렇지 않다면 발산한다고 한다.

이상적분 \(\displaystyle\int_{a}^{\infty}{|f(x)|dx}\)가 수렴하면, \(f\)는 \([a,\,\infty)\)에서 절대수렴(absolutely convergence)한다고 한다. 마찬가지로 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{b}{|f(x)|dx}\)가 수렴하면, \(f\)는 \((-\infty,\,b]\)에서 절대수렴한다고 한다.   

다음과 같이 정의된 함수$$f(x)=\begin{cases}\displaystyle1,\,\left(k-\frac{1}{k^{2}}\leq x<k,\,k\in\mathbb{N}\right)\\0,\,(\text{otherwise})\end{cases}$$에 대하여 \(\displaystyle\int_{0}^{R}{f(x)dx}=\sum_{i=1}^{[R]}{\frac{1}{k^{2}}}\)이므로 \(R\,\rightarrow\,\infty\)일 때, 이 적분은 수렴하나 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(n)=1}\), \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f\left(n+\frac{1}{2}\right)}=0\)이므로 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}\)는 존재하지 않는다. 이것은 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)이 수렴하면 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=0\)이지만 이 성질이 이상적분에서는 적용할 수 없음을 나타낸다.

 

비교판정법(comparison test) 

임의의 \(x\in[a,\,\infty)\)에 대하여 \(0\leq f(x)\leq g(x)\)이고, \(f,\,g\)는 \([a,\,\infty)\)에서 연속함수라고 하자.  

(1) \(\displaystyle\int_{a}^{\infty}{g(x)dx}\)가 수렴하면 \(\displaystyle\int_{a}^{\infty}{f(x)dx}\)는 수렴한다. 

(2) \(\displaystyle\int_{a}^{\infty}{f(x)dx}\)가 발산하면 \(\displaystyle\int_{a}^{\infty}{g(x)dx}\)는 발산한다.

증명: \(R>a\)에 대하여$$0\leq\int_{a}^{R}{f(x)dx}\leq\int_{a}^{R}{f(x)dx}$$이고 각 적분들은 \(R\)에 대한 단조증가함수이다. 따라서 \(\displaystyle\int_{a}^{\infty}{g(x)dx}\)가 수렴하면 \(\displaystyle\int_{a}^{R}{f(x)dx}\)는 위로유계이고 수렴하며, \(\displaystyle\int_{a}^{\infty}{f(x)dx}\)가 발산하면 \(\displaystyle\int_{a}^{R}{g(x)dx}\)는 유계가 아니고 발산한다.

*비교판정법은 무한구간이 아닌 유한구간에서도 성립한다.

감마함수 \(\displaystyle\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t}dt}\)는 \(0,\,\infty)\)에서 수렴한다.

먼저 \((0,\,\infty)\)에서 수렴함을 보이자. 감마함수는 다음과 같다$$\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t}dt}=\int_{0}^{1}{t^{x-1}e^{-t}dt}+\int_{1}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t}dt}$$\(t\in[0,\,1]\), \(0<x<1\)일 때 \(0\leq t^{x-1}e^{-t}\leq t^{x-1}\)이고 \(\displaystyle\int_{0}^{1}{t^{x-1}dt}\)는 수렴하므로 비교판정법에 의해 \(\displaystyle\int_{0}^{1}{t^{x-1}e^{-t}dt}\)는 수렴한다.

\(x\geq1\)이고 \(t\)가 충분히 클 때 \(t^{x-1}\leq e^{\frac{1}{2}t}\)가 성립함이 알려져 있다. 이것을 이용하면$$\int_{1}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t}dt}\leq\int_{1}^{\infty}{e^{\frac{1}{2}t}e^{-t}dt}=\int_{0}^{\infty}{e^{-\frac{1}{2}t}dt}=\left[-2e^{-\frac{1}{2}t}\right]_{0}^{\infty}=2$$이므로 따라서 \(\displaystyle\int_{1}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t}dt}\)는 수렴한다. 

따라서 감마함수 \(\Gamma(x)\)는 수렴한다.  

\(f\in\mathfrak{R}([c,\,b]),\,a<c<b\)라고 하자. 그러면 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{c\,\rightarrow\,a+}{\int_{c}^{b}{f(x)dx}}\)이고, 비슷하게 \(f\in\mathfrak{R}([a,\,c]),\,a<c<b\)라고 하면 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{c\,\rightarrow\,b-}{f(x)dx}\)이다. 이 두 적분들을 각각 \((a,\,b]\), \([a,\,b)\)에서의 이상적분이라 하고, 극한이 존재하면 수렴한다고 하고, 그렇지 않으면 발산한다고 한다.     

이상적분 \(\displaystyle\int_{0}^{1}{\frac{1}{x^{2}+\sqrt{x}}dx}\)에 대해서 임의의 \(x\in(0,\,1]\)에 대해 \(\displaystyle\frac{1}{x^{2}+\sqrt{x}}<\frac{1}{x^{2}}\)이고 \(\displaystyle\frac{1}{x^{2}+\sqrt{x}}<\frac{1}{\sqrt{x}}\)이므로$$\begin{align*}\lim_{c\,\rightarrow\,0+}{\int_{c}^{1}{\frac{1}{x^{2}}dx}}&=\lim_{c\,\rightarrow\,0+}{\left(\frac{1}{c}-1\right)}=\infty\\ \lim_{c\,\rightarrow\,0+}{\int_{c}^{1}{\frac{1}{\sqrt{x}}dx}}&=\lim_{c\,\rightarrow\,0+}{(2-2\sqrt{c})}=2\end{align*}$$이므로 비교판정법에 의해 \(\displaystyle\int_{0}^{1}{\frac{1}{x^{2}+\sqrt{x}}dx}\)는 수렴한다.

*여기서 \(x\in(0,\,1]\)일 때 \(\displaystyle\frac{1}{x^{2}+\sqrt{x}}<\frac{1}{\sqrt{x}}<\frac{1}{x^{2}}\)이다.

 

집합 \(A\subset\mathbb{R}\)에 대하여 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 가산개의 열린구간 \((a_{n},\,b_{n})\)이 존재해서$$(\text{i})\,A\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}{(a_{n},\,b_{n})},\,(\text{ii})\,\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}<\epsilon\,(I_{n}=(a_{n},\,b_{n}),\,\ell(I_{n})=b_{n}-a_{n})$$이면, 집합 \(A\)를 측도가 \(0\)인 집합(measure zero set)이라고 한다.

가산집합 \(A=\{x_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}\)는 측도가 0인 집합이다. 그 이유는 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\displaystyle I_{n}=\left(x_{n}-\frac{\epsilon}{2^{n+1}},\,x_{n}+\frac{\epsilon}{2^{n+1}}\right)\)라고 하면 \(\displaystyle A\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}{I_{n}}\)이고 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\ell(I_{n})}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2\epsilon}{2^{n+1}}}=\epsilon\)이기 때문이다. 

\([a,\,b]\)에서의 유계함수 \(f\)에 대해 \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)일 필요충분조건은 \(f\)의 불연속점의 집합의 측도가 0이다. 이 정리의 증명은 생략하겠다.  

 

다음과 같이 정의된 함수열 \(f_{n}\)과 함수 \(f\)에 대해$$f_{n}(x)=\begin{cases}1,\,(x=q_{n}\in\mathbb{Q})\\0,\,(\text{otherwise})\end{cases},\,f(x)=\begin{cases}1,\,(x\in\mathbb{Q})\\0,\,(x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q})\end{cases}$$\(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}(x)}=f(x)\)이다. \(f_{n}\)의 불연속점이 가산집합이므로 \(f_{n}\in\mathfrak{R}([0,\,1])\)이나 \(f\notin\mathfrak{R}([0,\,1])\)이다.

모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(f_{n}\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이고 \(f_{n}\)이 \([a,\,b]\)에서 \(f\)로 균등수렴하면, \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이고$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{f_{n}(x)dx}}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$이다. 

증명: 먼저 \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)임을 보이자. \(f_{n}\)이 \([a,\,b]\)에서 \(f\)로 균등수렴하므로, 임의의 \(\epsilon>0\)와 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(\displaystyle|f_{n}(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{3(b-a)}\)이다.

모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(f_{n}\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이므로 \([a,\,b]\)의 분할 \(P\)가 존재해서 \(\displaystyle U(P,\,f_{n})-L(P,\,f_{n})<\frac{\epsilon}{3}\)이다.$$M_{i}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)},\,m_{i}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)},\,\overline{M}_{i}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f_{n}(x)},\,\overline{m}_{i}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f_{n}(x)}$$라고 하면 모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(\displaystyle|f_{n}(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{3(b-a)}\)이므로$$\overline{m}_{i}-\frac{\epsilon}{3(b-a)}\leq m_{i}\leq M_{i}\leq\overline{M}_{i}+\frac{\epsilon}{3(b-a)}$$이고 따라서$$\begin{align*}U(P,\,f)-L(P,\,f)&=\sum_{i=1}^{n}{M_{i}\Delta x_{i}}-\sum_{i=1}^{n}{m_{i}\Delta x_{i}}\\&\leq\sum_{i=1}^{n}{\left\{\overline{M}_{i}+\frac{\epsilon}{3(b-a)}\right\}\Delta x_{i}}-\sum_{i=1}^{n}{\left\{\frac{\epsilon}{3(b-a)}\right\}\Delta x_{i}}\\&=\sum_{i=1}^{n}{\overline{M}_{i}\Delta x_{i}}+\frac{\epsilon}{3}-\sum_{i=1}^{n}{\overline{m}_{i}\Delta x_{i}}+\frac{\epsilon}{3}\\&=U(P,\,f_{n})-L(P,\,f_{n})+\frac{2}{3}\epsilon\\&<\frac{\epsilon}{3}+\frac{2}{3}\epsilon=\epsilon\end{align*}$$이므로 \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이다.

이제 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{f_{n}(x)dx}}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)가 성립함을 보이자. \(f_{n}\)이 \([a,\,b]\)에서 \(f\)로 균등수렴하므로 임의의 \(\epsilon>0\)과 \(x\in[a,\,b]\)에 대해 \(N\in\mathbb{N}\)가 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(\displaystyle|f_{n}(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{b-a}\)이다. 따라서$$\begin{align*}\left|\int_{a}^{b}{f_{n}(x)dx}-\int_{a}^{b}{f(x)dx}\right|&=\left|\int_{a}^{b}{\{f_{n}(x)-f(x)\}dx}\right|\\&\leq\int_{a}^{b}{|f_{n}(x)-f(x)|dx}\\&<\int_{a}^{b}{\frac{\epsilon}{b-a}dx}=\epsilon\end{align*}$$이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{f_{n}(x)dx}}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)이다.   

이 정리로부터 다음의 정리를 얻는다.

모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(f_{n}\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이고 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}\)이 \([a,\,b]\)에서 \(f\)로 균등수렴하면, \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이고$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{a}^{b}{f_{n}(x)dx}}$$이다.

이 정리의 증명은 함수열 \(\displaystyle S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}{f_{k}(x)}\)를 앞 정리에 적용한다.

다음과 같이 정의된 함수열 \(f_{n},\,g_{n}\)에 대해$$f_{n}(x)=\begin{cases}\frac{1}{x},\,(x\in[1,\,n])\\0,\,(x\in[n,\,\infty))\end{cases},\,g_{n}(x)=\begin{cases}\frac{1}{n},\,(x\in[0,\,n^{2}])\\0,\,(x\in(n^{2},\,\infty))\end{cases}$$에 대해 \(f_{n}\)은 \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}\)로 균등수렴하나 \(\displaystyle\int_{1}^{\infty}{f(x)dx}=\infty\)이다.

\(g_{n}\)은 \(g(x)=0\)으로 균등수렴하고 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{g_{n}(x)dx}=n<\infty\)이나 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{\infty}{g_{n}(x)dx}}\neq\int_{0}^{\infty}{g(x)dx}\)이다.

멱급수 \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}\)의 수렴반지름이 \(R>0\)일 때, \(f\)는 \(\mathfrak{R}([a,\,b])\,([a,\,b]\subset(-R,\,R))\)이고$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{a_{n}}{n+1}(b^{n+1}-a^{n+1})}$$이다. 

증명: \([a,\,b]\subset(-R,\,R)\)이므로 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}\)은 \([a,\,b]\)에서 \(f\)로 균등수렴한다. 따라서 앞 정리의 결과에 의해 \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이고 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\sum_{n=0}^{\infty}{\int_{a}^{b}{a_{n}x^{n}dx}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{a_{n}}{n+1}}(b^{n+1}-a^{n+1})\)이다.    

참고자료:

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

실해석학 개론, 정동명, 조승제, 경문사

알기쉬운 해석학, 장건수 외 5인, 대선