[해석학] 9. 연속함수

[해석학] 9. 연속함수

\(x_{0}\)의 근방에서 정의된 함수 \(f\)에 대하여 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\delta>0\)가 존재해서 \(|x-x_{0}|<\delta\)일 때 \(|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon\)이면, 함수 \(f\)는 \(x=x_{0}\)에서 연속(continuous)이라고 한다. 연속이 아니면 \(f\)는 \(x=x_{0}\)에서 불연속(discontinuous)이라고 한다. 

함수 \(f\)가 \(x=x_{0}\)에서 연속일 조건은 다음과 같다.

1. \(f\)는 \(x=x_{0}\)에서 정의되어 있다(\(f(x_{0})\)가 존재). 

2. \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}}{f(x)}\)가 존재한다. 

3. \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}}{f(x)}=f(x_{0})\) 

위의 세 조건 중에서 하나라도 만족하지 못하면 불연속이다.

예를들어 다음과 같이 정의된 함수 \(f(x)\)는 \(x=2\)에서 연속이다.$$f(x)=\begin{cases}\frac{x^{2}-4}{x-2}\,(x\neq2)\,4\,(x=2)\end{cases}$$그 이유는 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta=\epsilon\)이라고 하면 \(|x-2|<\delta\)일 때,$$|f(x)-4|=\left|\frac{x^{2}-4}{x-2}-4\right|=|x-2|<\epsilon$$이기 때문이다. 

연속성의 증명은 함수의 극한의 증명과 비슷하고 차이는 함수의 극한에서는 \(0<|x-a|<\delta\)(제거된 근방)이고, 연속함수에서는 \(|x-a|<\delta\)(근방)이라는 점이다.

임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(x_{0}\leq x<x_{0}+\delta\)일 때 \(|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon\)이면, \(f\)는 \(x_{0}\)에서 우연속(right-continuous)이라고 하고, \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}+}{f(x)}=f(x_{0})\)이다.    

위와 비슷하게 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(x_{0}+\delta<x\leq x_{0}\)일 때 \(|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon\)이면, \(f\)는 \(x_{0}\)에서 좌연속(left-continuous)이라고 하고, \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}-}{f(x)}=f(x_{0})\)이다.

다음은 연속함수의 성질들이다.

1. \(f\)가 \(x_{0}\)에서 연속일 필요충분조건은 \(f\)가 \(x_{0}\)에서 각각 좌연속, 우연속이다. 

2. \(f\)가 \(x_{0}\)에서 연속일 필요충분조건은 \(x_{0}\)로 수렴하는 임의의 수열 \(x_{n}\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{n})}=f(x_{0})\)이다.

3. \(f\)가 \(A\subset\mathbb{R}\)의 각 점에서 연속이면, \(f\)는 \(A\)에서 연속이다.

4. \(f\)가 열린구간 \((a,\,b)\)에서 연속이고, \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,b-}{f(x)}=f(b)\), \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a+}{f(x)}=f(a)\)이면, \(f\)는 닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 연속이다. 

1의 증명은 연속함수, 좌연속, 우연속의 정의로부터 분명하고, 2의 증명은 함수의 극한에서의 증명과 비슷하다. 3 또한 자명하고, 4도 3으로부터 성립한다.

함수 \(f\)가

1. \(x_{1}<x_{2}\)일 때 \(f(x_{1})\leq f(x_{2})\)이면 \(f\)는 단조증가(monotone increasing)라고 한다. 

2. \(x_{2}<x_{2}\)일 때 \(f(x_{1})\geq f(x_{2})\)이면 \(f\)는 단조감소(monotone decreasing)라고 한다. 

3. \(x_{1}<x_{2}\)일 때 \(f(x_{1})<f(x_{2})\)이면 \(f\)는 증가((strictly) increasing)한다고 하고, \(f\)를 증가함수(increasing function)라고 한다. 

4. \(x_{1}<x_{2}\)일 때 \(f(x_{1})<f(x_{2})\)이면 \(f\)는 감소((strictly) decreasing)한다고 하고, \(f\)를 감소함수(decreasing function)라고 한다.

단조증가함수와 단조감소함수를 통틀어 단조함수(monotone function)라고 한다. 

\(f\)가 단조함수이면, 가산개의 불연속점을 갖는다.   

증명: \(f\)가 \((a,\,b)\)에서 단조증가라고 하면, \(x\)가 \(f\)의 불연속점일 때 \(f(x-)<f(x+)\)이다. 따라서 \((a,\,b)\)에서 \(f\)의 불연속점들의 집합을 \(E\)라고 하면 모든 \(x\in E\)에 대하여 유리수의 조밀성에 의해 \(r(x)\in\mathbb{Q}\)가 존재해서 \(f(x-)<r(x)<f(x+)\)이고, \(a<x_{1}<x_{2}<b\)일 때 \(f(x_{1}+)\leq f(x_{2}-)\)이므로 \(x_{1}\neq x_{2}\)일 때 \(r(x_{1})\neq r(x_{2})\)이고 \(r:\,E\,\rightarrow\,\mathbb{Q}\)는 일대일 함수이다. 따라서 \(E\)는 \(\mathbb{Q}\)의 부분집합과 일대일 대응이고 따라서 가산집합이다.

함수 \(f\)가 \(x_{0}\)에서 불연속일 때

1. \(f(x+),\,f(x-)\)가 존재하고 \(f(x+)\neq f(x-)\)이면, 점프 불연속(jump discontinuity)이라 하고, \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}}{f(x)}\neq f(x_{0})\)이면, 제거가능한 불연속(removable discontinuity)이라고 한다. 

이 두 경우를 통틀어 1종 불연속(discontinuity of the first kind)이라고 한다. 

2. \(f\)가 \(x_{0}\)에서 1종 불연속이 아니면, 2종 불연속(discontinuity of the second kind)이라고 한다.

다음의 함수$$f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2},\,g(x)=[x],\,h(x)=\begin{cases}1\,(x\in\mathbb{Q})\\0\,(x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q})\end{cases}$$에서 \(f(x)\)는 \(x=2\)에서의 함숫값이 정의되지 않으나 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,2}{f(x)}=\lim_{x\,\rightarrow\,2}{(x+2)}=4\)이므로 제거가능한 불연속이다. \(g(x)\)는 모든 정수점(\(x=n,\,n\in\mathbb{Z}\))에서 점프 불연속이고 따라서 \(f(x)\), \(g(x)\)는 1종 불연속이다.

반면 \(x_{0}\in\mathbb{R}\)에 대하여 유리수의 조밀성으로부터 \(r_{n}\in\mathbb{Q}\)과 무리수의 조밀성으로부터 \(r_{n}'\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\)가 존재해서

\(\displaystyle x_{0}-\frac{1}{n}<r_{n}<x_{0}\)이면 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{r_{n}}=x_{0}\)이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{h(r_{n})}=1\)이다. 

\(\displaystyle x_{0}-\frac{1}{n}<r_{n}<x_{0}\)이면 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{r_{n}'}=x_{0}\)이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{h(r_{n}')}=0\)이다. 

따라서 \(h(x)\)는 실수 전체에서 2종 불연속이다.

함수 \(f,\,g\)가 \(x_{0}\)에서 연속이면, \(\displaystyle f(x)+g(x),\,f(x)g(x),\,\frac{f(x)}{g(x)}(g(x_{0})\neq0)\)는 \(x_{0}\)에서 연속이고 이에 대한 증명은 함수의 극한에서와 비슷하다.

함수 \(f\)가 \(x_{0}\)에서 연속이고 \(g\)가 \(f(x_{0})\)에서 연속이면, 합성함수 \((g\cdot f)\)는 \(x_{0}\)에서 연속이다.

증명: \(g\)가 \(f(x_{0})\)에서 연속이므로 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\delta_{1}>0\)이 존재해서 \(|f(x)-f(x_{0})|<\delta_{1}\)일 때 \(|g(f(x))-g(f(x_{0}))|<\epsilon\)이고, 또한 \(f\)가 \(x_{0}\)에서 연속이므로 \(\delta>0\)가 존재해서 \(|x-x_{0}|<\delta\)일 때 \(|f(x)-f(x_{0})|<\delta_{1}\)이다. 따라서 \(|x-x_{0}|<\delta\)일 때 \(|g(f(x))-g(f(x_{0}))|<\epsilon\)이다.

함수 \(f\)의 정의역 \(A\subset\mathbb{R}\)에 대하여 \(M>0\)이 존재해서 모든 \(x\in A\)에 대해 \(|f(x)|\leq M\)이면, 함수 \(f\)는 \(A\)에서 유계(bounded) 또는 \(A\)에서 유계함수(bounded function)라고 한다. 

함수 \(f\)가 \(x_{0}\)에서 연속이면 \(f\)는 \(x_{0}\)에서 유계이다. 

증명: \(f\)가 \(x_{0}\)에서 연속이므로 \(\delta>0\)가 존재해서 \(|x-x_{0}|<\delta\)일 때 \(|f(x)-f(x_{0})|<1\)이고, 삼각부등식에 의해$$||f(x)|-|f(x_{0})||\leq|f(x)-f(x_{0})|<1$$이므로 \(|f(x)|<1+|f(x_{0})|\)이다. \(M=1+|f(x_{0})|\)라고 하면 모든 \(|x-x_{0}|<\epsilon\)인 \(x\)에 대해 \(|f(x)|<M\)이고, \(M>0\)이므로 \(f\)는 \(x_{0}\)에서 유계이다.

\(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 유계이다.

증명: \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 유계가 아니라고 하면 수열 \(x_{n}\in[a,\,b]\)을 선택해서 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(|f(x_{n})|\geq n\)이라고 하자. 그러면 \(\{x_{n}\}\)은 유계수열이고, 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 부분수열 \(x_{n_{k}}\)가 존재해서 \(\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{x_{n_{k}}}=x_{0}(\in[a,\,b])\)이다. 따라서 \(f\)는 \(x_{0}\)에서 연속이므로 \(\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{n_{k}})}=f(x_{0})\)이나 \(|f(x_{n_{k}})|\geq n_{k}\)이고 \(\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{n_{k}}=\infty\)이므로 모순이다. 따라서 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 유계이다. 

최댓값-최솟값 정리(extremum-value theorem)

함수 \(f\)가 닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 연속이면, \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 최댓값, 최솟값을 갖는다.

증명:

1. \(f\)가 최댓값을 갖지 않는다고 하고 \(\displaystyle M=\sup_{x\in[a,\,b]}{f(x)}\)라고 하자. 그러면 모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(f(x)<M\)이다. \(\displaystyle g(x)=\frac{1}{M-f(x)}\)이라고 하자. 그러면 \(g(x)\)는 \([a,\,b]\)에서 연속이고 \(M_{1}>0\)이 존재해서 모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대해 \(g(x)<M_{1}\)이다. 따라서 \(\displaystyle\frac{1}{M-f(x)}<M_{1}\)이고 \(\displaystyle\frac{1}{M_{1}}<M-f(x)\)이므로 \(\displaystyle f(x)<M-\frac{1}{M_{1}}<M\)이 되는데 이것은 \(M\)의 정의에 모순이고 따라서 \(f\)는 최댓값을 갖는다. 

2. \(f\)가 최솟값을 갖지 않는다고 하고 \(\displaystyle m=\inf_{x\in[a,\,b]}{f(x)}\)라고 하자. 그러면 모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(m<f(x)\)이다. \(\displaystyle g(x)=\frac{1}{f(x)-m}\)이라고 하자. 그러면 \(g(x)\)는 \([a,\,b]\)에서 연속이고 \(m_{1}>0\)이 존재해서 모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대해 \(g(x)<m_{1}\)이다. 따라서 \(\displaystyle\frac{1}{f(x)-m}<m_{1}\)이고 \(\displaystyle\frac{1}{m_{1}}<f(x)-m\)이므로 \(\displaystyle m<\frac{1}{m_{1}}+m<f(x)\)가 되는데 이것은 \(m\)의 정의에 모순이고 따라서 \(f\)는 최솟값을 갖는다.  

     

중간값 정리(intermediate-value theorem)

함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이고 \(f(a)<k<f(b)\) 또는 \(f(b)<k<f(a)\)이면 \(c\in(a,\,b)\)가 존재해서 \(f(c)=k\)이다.                

증명: 

1. \(f(b)<k<f(a)\)일 때 \(A=\{x\in[a,\,b]\,|\,f(x)>k\}\)라고 하자. \(A\subset[a,\,b]\)이고 \(a\in A\)이므로 \(A\neq\emptyset\)이다. \(c=\sup A\)라고 하면 \(a\leq c\leq b\)이고 \(f(c)=k\,(a<c<b)\)임을 보이자. 임의의 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(x_{n},\,y_{n}\in[a,\,b]\)를 선택해서 \(\displaystyle c-\frac{1}{n}<x_{n}<c\), \(\displaystyle c<y_{n}<c+\frac{1}{n}\)라고 하자. 이때 \(y_{n}\notin A\)이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=c\), \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{y_{n}}=c\)이며 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(f(x_{n})>k\), \(f(y_{n})\leq k\)이다. \(f\)는 \(c\)에서 연속이므로$$f(c)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{n})}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(y_{n})}$$이고$$k\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}=c=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}\leq k$$이므로 \(f(c)=k\)이다.  

2. \(f(a)<k<f(b)\)일 때 \(A=\{x\in[a,\,b]\,|\,f(x)\leq k\}\)라고 하자. \(A\subset[a,\,b]\)이고 \(a\in A\)이므로 \(A\neq\emptyset\)이다. \(c=\sup A\)라고 하면 \(a\leq c\leq b\)이고 \(f(c)=k\,(a<c<b)\)임을 보이자. 임의의 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(x_{n},\,y_{n}\in[a,\,b]\)를 선택해서 \(\displaystyle c-\frac{1}{n}<x_{n}<c\), \(\displaystyle c<y_{n}<c+\frac{1}{n}\)라고 하자. 이때 \(y_{n}\notin A\)이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=c\), \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{y_{n}}=c\)이며 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(f(x_{n})\leq k\), \(f(y_{n})>k\)이다. \(f\)는 \(c\)에서 연속이므로$$f(c)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{n})}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(y_{n})}$$이고$$k\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{n})}=f(c)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(y_{n})}\leq k$$이므로 \(f(c)=k\)이다.    

고정점 정리(fixed-point theorem)

함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이고 모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(a\leq f(x)\leq b\)이면, \(c\in(a,\,b)\)가 존재해서 \(f(c)=c\)이다.         

증명: \(g(x)=f(x)-x\)라고 하자. \(g(a)=f(a)-a\geq0\), \(g(b)=f(b)-b\leq0\)이므로 중간값 정리에 의해 \(c\in(a,\,b)\)가 존재해서 \(g(c)=0\), 즉 \(f(c)=c\)이다.

(참고: \(f(a)=a\)이면 \(c=a\)이고 \(f(b)=b\)이면 \(c=b\)이다. 또한 이 정리의 \(c\)를 고정점(fixed point)이라고 한다)    

함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이고 일대일이면 \(f\)는 증가함수 또는 감소함수이다.  

증명: 가정에 의해 \(f(a)\neq f(b)\)이고 \(f(a)<f(b)\)라고 하자. 결론을 부정해서 \(f\)가 증가함수가 아니라고 하면 \(x_{1},\,x_{2}\in[a,\,b]\)가 존재해서 \(x_{1}<x_{2}\)일 때 \(f(x_{1})\geq f(x_{2})\)이다. \(f\)가 일대일이므로 \(x_{1}\neq a\), \(x_{2}\neq b\)이고 \(f(x_{1})>f(x_{2})\)이며 

(1) \(f(x_{1})<f(b)\)이면 \(x_{2}<b\)이므로 \(f(x_{2})<f(x_{1})<f(b)\)이다. \(f(x_{2})<k<f(x_{1})<f(b)\)인 \(k\)를 선택하자. 중간값의 정리로부터 \(c_{1}\in(x_{1},\,x_{2})\), \(c_{2}\in(x_{2},\,b)\)가 존재해서 \(f(c_{1})=f(c_{2})=k\)이고 \(c_{1}\neq c_{2}\)이므로 \(f\)가 일대일이라는 사실에 모순이다. 

(2) \(f(x_{1})>f(b)\)이면 \(f(a)<f(b)<f(x_{1})\)이고 \(f(a)<f(b)<k<f(x_{1})\)인 \(k\)를 선택하자. 중간값의 정리로부터 \(c_{1}\in(a,\,x_{1})\), \(c_{2}(x_{1},\,b)\)가 존재해서 \(f(c_{1})=f(c_{2})=k\)이고 \(c_{1}\neq c_{2}\)이므로 \(f\)가 일대일이라는 사실에 모순이다.

따라서 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 증가함수이다. 감소함수의 경우는 앞의 경우에서 \(-f\)인 경우이다. 

  

함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이고 일대일이라고 하자. \(f\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M,\,m\)이라고 하면 \(f^{-1}\)은 일대일이고 증가함수 또는 감소함수이며 \([m,\,M]\)에서 연속이다.

증명: 앞 정리에 의해 \(f^{-1}\)는 증가함수 또는 감소함수이므로 \([m,\,M]\)에서 연속임을 보이면 된다.

\(y_{0}\in[m,\,M]\)이라 하고, \(y_{n}\in[m,\,M]\)을 선택해서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{y_{n}}=y_{0}\)라고 하자. \(x_{0}=f^{-1}(y_{0})\), \(x_{n}=f^{-1}(y_{n})\)라고 하면 \(f^{-1}\)이 \([m,\,M]\)에서 연속일 필요충분조건은 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=x_{0}\)이다. 

\(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}\neq x_{0}\)라고 하자. 그러면 부분수열 \(x_{n_{k}}\in[a,\,b]\)를 선택해서 모든 \(k\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\epsilon_{0}>0\)이 존재해서 \(|x_{n_{k}}-x_{0}|\geq\epsilon_{0}\)이 되게 할 수 있다. 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 \(x_{n_{k}}\)의 부분수열 \(x_{n_{k_{j}}}\)가 존재해서 \(\displaystyle\lim_{j\,\rightarrow\,\infty}{x_{n_{k_{j}}}}=c\)이고 \(|c-x_{0}|\geq\epsilon_{0}\)이므로 \(c\neq x_{0}\)이다.$$f(c)=\lim_{j\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{n_{k_{j}}})}=\lim_{j\,\rightarrow\,\infty}{y_{n_{j}}}=y_{0}=f(x_{0})$$이고 \(f\)는 일대일이므로 \(c\neq x_{0}\)라는 사실에 모순이다.

함수 \(f\)가 실수 전체에서 연속이고 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}=L_{1}\), \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}{f(x)}=L_{2}\)이면, \(f\)는 실수 전체에서 유계이다.

증명: \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}=L_{1}\)이므로 \(b>0\)가 존재해서 \(x>b\)일 때 \(|f(x)-L_{1}|<1\)이고, 삼각부등식에 의해 \(|f(x)|<|L_{1}|+1\)이다.

또한 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}{f(x)}=L_{2}\)이므로 \(a<0\)가 존재해서 \(x<a\)일 때 \(|f(x)-L_{2}|<1\)이고, 삼각부등식에 의해 \(|f(x)|<|L_{2}|+1\)이다.

\(f\)는 \([a,\,b]\)에서 연속이므로 \(M>0\)가 존재해서 \(M>0\)이 존재해서 모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대해 \(|f(x)|\leq M\)이다.

따라서 실수 전체에서 \(|f(x)|\leq\min\{|L_{1}|+1,\,|L_{2}|+1,\,M\}\)이므로 \(f\)는 실수 전체에서 유계이다.

구간 \(I\)에서 정의된 함수 \(f\)가 임의의 \(\epsilon>0\)과 \(x,\,y\in I\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(|x-y|<\delta\)일 때 \(|f(x)-f(y)|<\epsilon\)이면, \(f\)는 \(I\)에서 균등연속(uniformly continuous)이라고 한다.

예를들어 다음의 두 함수$$f(x)=ax+b,\,g(x)=x^{2}$$에 대하여 \(f\)의 경우 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\displaystyle\delta=\frac{\epsilon}{|a|+1}\)라고 하면 \(|x-y|<\delta\,(x,\,y\in\mathbb{R})\)일 때$$|f(x)-f(y)|=|(ax+b)-(ay+b)|=|a||x-y|\leq\frac{|a|}{|a|+1}\epsilon<\epsilon$$이므로 \(f\)는 실수 전체에서 균등연속이다.

\(g\)의 경우 구간 \([0,\,b]\,(b>0)\)에서 균등연속이나 실수 전체에서는 아니다. 

임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\displaystyle\delta=\frac{\epsilon}{2|b|}\)라고 하면 \(|x-y|<\delta\,(x,\,y\in[0,\,b])\)일 때$$|f(x)-f(y)|=|x+y||x-y|\leq(|x|+|y|)|x-y|<2|b|\frac{\epsilon}{2|b|}=\epsilon$$이므로 \([0,\,b]\)에서 균등연속이다.

그러나 \(\delta>0\)에 대하여 \(\displaystyle x=\frac{1}{\delta},\,y=\frac{1}{\delta}+\frac{\delta}{2}\)라고 하면$$|f(x)-f(y)|=\left|\left(\frac{1}{\delta}\right)^{2}-\left(\frac{1}{\delta}+\frac{\delta}{2}\right)^{2}\right|\geq\frac{\delta}{2}\left(\frac{2}{\delta}+\frac{\delta}{2}\right)>\frac{\delta}{2}\cdot\frac{2}{\delta}=1$$이므로 \(f\)는 실수 전체에서 균등연속이 아니다. 

함수 \(f\)가 구간 \(I\)에서 균등연속이고, \(x_{n}\in I\)이 코시수열이면, \(\{f(x_{n})\}\)은 코시수열이다.

증명: \(f\)가 \(I\)에서 균등연속이므로 임의의 \(\epsilon>0\)와 \(x,\,y\in I\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(|x-y|<\delta\)일 때, \(|f(x)-f(y)|<\epsilon\)이다. 

\(x_{n}\)이 코시수열이므로 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(m,\,n\geq N\)일 때 \(|x_{n}-x_{m}|<\delta\)이고 따라서 \(|f(x_{n})-f(y_{n})|<\epsilon\)이므로 따라서 \(\{f(x_{n})\}\)은 코시수열이다.  

함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속일 필요충분조건은 \([a,\,b]\)에서 균등연속이다.

증명:

(\(\Leftarrow\)): 자명하다. 

(\(\Rightarrow\)): \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 균등연속이 아니라고 하자. 그러면 임의의 \(n\in\mathbb{N}\)와 \(\displaystyle|x_{n}-y_{n}|<\frac{1}{n}\)인 \(x_{n},\,y_{n}\in[a,\,b]\)에 대하여 \(\epsilon_{0}>0\)가 존재해서 \(|f(x_{n})-f(y_{n})|\geq\epsilon_{0}\)이다.

\(x_{n}\in[a,\,b]\)이므로 부분수열 \(\{x_{n_{k}}\}\)가 존재해서 \(\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{x_{n_{k}}}=x_{0}(\in[a,\,b]\)이다. \(\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{y_{n_{k}}}=x_{0}\)이고 \(f\)가 \(x_{0}\)에서 연속이므로 \(\displaystyle f(x_{0})=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{n_{k}})}=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{f(y_{n_{k}})}\)이다. \(\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{|f(y_{n_{k}})-f(x_{n_{k}})|}\geq\epsilon_{0}\)이어야 하는데 \(\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{|f(x_{n_{k}})-f(y_{n_{k}})|}=|f(x_{0})-f(x_{0})|=0\)이므로 모순이다.

함수 \(f\)가 \((a,\,b)\)에서 연속이라고 하자. \(f\)가 \((a,\,b)\)에서 균등연속일 필요충분조건은 \(f(a+)\)와 \(f(b-)\)가 존재하는 것이다.

증명:

(\(\Leftarrow\)): \(f(a)=f(a+)\), \(f(b)=f(b-)\)라고 하면, \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 연속이고 균등연속이므로 \((a,\,b)\)에서 균등연속이다. 

(\(\Rightarrow\)): \(f(a+)\)가 존재하지 않는다고 하자. 그러면 코시수열 \(x_{n}\in(a,\,b)\)가 존재해서 \(f(x_{n})\)은 코시수열이 아니다. 그러나 이것은 \(f\)가 균등연속이라는 조건에 모순이다. 마찬가지로 \(f(b-)\)가 존재하지 않는다고 하자. 그러면 코시수열 \(y_{n}\in(a,\,b)\)가 존재해서 \(f(y_{n})\)은 코시수열이 아니다. 그러나 이것 또한 \(f\)가 균등연속이라는 조건에 모순이다.

 

함수 \(f\)가 

1. \([a,\,\infty)\)에서 연속이고 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}\)가 존재하면, \(f\)는 \([a,\,\infty)\)에서 균등연속이다.  

2. \((-\infty,\,b]\)에서 연속이고 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}{f(x)}\)가 존재하면, \(f\)는 \((-\infty,\,b]\)에서 균등연속이다. 

3. 실수 전체에서 연속이고 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}=L_{1}\), \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}{f(x)}=L_{2}\)이면, \(f\)는 실수 전체에서 균등연속이다.  

증명: 

1. \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}=L\)이라고 하자. 그러면 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(M>a\)가 존재해서 \(x>M\)일 때 \(\displaystyle|f(x)-L|<\frac{\epsilon}{2}\)이다. \(f\)는 \(x=M\)에서 연속이므로 \(\delta_{1}>0\)가 존재해서 \(|x-M|<\delta_{1}\)일 때 \(\displaystyle|f(x)-f(M)|<\frac{\epsilon}{2}\)이다. 또한 \(f\)는 \([a,\,M]\)에서 균등연속이므로 \(\delta_{2}>0\)가 존재해서 임의의 \(x_{1},\,x_{2}\in[a,\,M]\)에 대해 \(|x_{1}-x_{2}|<\delta_{2}\)이면 \(|f(x_{1})-f(x_{2})|<\epsilon\)이다.

\(\delta=\min\{\delta_{1},\,\delta_{2}\}\)라 하고 임의의 \(x,\,y\in[a,\,\infty)\)에 대해 \(|x-y|<\delta\)라고 하자.  

(1) \(x,\,y>M\)이면, \(\displaystyle |f(x)-L|<\frac{\epsilon}{2},\,|f(y)-L|<\frac{\epsilon}{2}\)이므로$$|f(x)-f(y)|\leq|f(x)-L|+|f(y)-L|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$이다.  

(2) \(x,\,y\leq M\)이면, \(|x-y|<\delta\leq\delta_{2}\)이고 \(|f(x)-f(y)|<\epsilon\)이다.

(3) \(x\leq M,\,y>M\)이면, \(|x-y|<\delta\)이므로 \(|x-M|<\delta\leq\delta_{1}\), \(|y-M|<\delta\leq\delta_{1}\)이고 따라서 \(\displaystyle|f(x)-f(M)|<\frac{\epsilon}{2}\), \(\displaystyle|f(y)-f(M)|<\frac{\epsilon}{2}\)이므로$$|f(x)-f(y)|\leq|f(x)-f(M)|+|f(y)-f(M)|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$이다. 그러므로 위의 세 경우 모두 임의의 \(x,\,y\in[a,\,\infty)\)에 대해 \(|x-y|<\delta\)이면 \(|f(x)-f(y)|<\epsilon\)이고 따라서 \(f\)는 \([a,\,\infty)\)에서 균등연속이다. 

2. 1의 증명과정 참고. 

3. 1과 2로부터 성립한다.     

 

구간 \(I\)에서 균등연속인 함수 \(f,\,g\)에 대하여 \(f+g\), \(kf\,(k\in\mathbb{R})\), \(fg\)도 \(I\)에서 균등연속이고, 증명은 균등연속의 정의와 함수의 극한과 비슷한 방법을 이용한다.

다음의 두 함수$$f(x)=\sqrt{x},\,g(x)=\sin (x^{2})$$에 대하여 \(f\)는 \((0,\,1)\)에서 균등연속이나 \(g\)는 실수 전체에서 균등연속이 아니다. 그 이유는 임의의 \(\epsilon>0,\,x,\,y\in(0,\,1)\)에 대해 \(\delta=\epsilon^{2}\)라고 하면 \(|x-y|<\delta\)일 때$$|f(x)-f(y)|=\sqrt{|f(x)-f(y)|^{2}}=\sqrt{|\sqrt{x}-\sqrt{y}|^{2}}\leq\sqrt{|\sqrt{x}-\sqrt{y}||\sqrt{x}+\sqrt{y}|}=\sqrt{|x-y|}<\sqrt{\epsilon^{2}}=\epsilon$$이므로 \(f\)는 \((a,\,b)\)에서 균등연속이다.

\(\displaystyle x_{n}=\sqrt{2n\pi+\frac{\pi}{2}},\,y_{n}=\sqrt{2n\pi-\frac{\pi}{2}}\)라고 하면$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|x_{n}-y_{n}|}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\pi}{\sqrt{2n\pi+\frac{\pi}{2}}+\sqrt{2n\pi-\frac{\pi}{2}}}}=0$$이나 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|f(x_{n})-f(y_{n})|}=|1-(-1)|=2\)이므로 \(g\)는 실수 전체에서 균등연속이 아니다.

구간 \(I\)에서 정의된 함수열 \(\{f_{n}\}\)의 각 항들이 모두 연속함수이면, \(\{f_{n}\}\)을 연속함수열(continuous sequence of functions)이라고 한다. 

 

구간 \([0,\,1]\)에서 정의된 함수열 \(f(x)=x^{n}\)의 극한함수는$$f(x)=\begin{cases}0,\,(0\leq x<1)\\1,\,(x=1)\end{cases}$$이다. 함수열은 연속이나 점별극한함수는 \(x=1\)에서 불연속이다.

연속함수열 \(\{f_{n}\}\)이 구간 \(I\)에서 함수 \(f\)로 균등수렴하면, 함수 \(f\)는 \(I\)에서 연속이다.

증명: 함수 \(f\)가 임의의 \(x_{0}\in I\)에서 연속임을 보인다. \(f_{n}\)이 \(I\)에서 \(f\)로 균등수렴하므로 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 임의의 \(n\geq N\), \(x\in I\)에 대해 \(\displaystyle|f_{n}(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{3}\)이다. 또한 \(f_{n}\)이 연속이므로 \(\delta>0\)가 존재해서 \(|x-x_{0}|<\delta\)일 때 \(\displaystyle|f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})|<\frac{\epsilon}{3}\)이다. 따라서 \(|x-c|<\delta\)이면$$|f(x)-f(x_{0})|\leq|f(x)-f_{n}(x)|+|f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})|+|f_{n}(x_{0})-f(x_{0})|<\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}=\epsilon$$이고 \(f\)는 \(I\)에서 연속이다. 

이 정리로부터 구간 \(I\)에서의 연속함수열 \(f_{n}\)에 대해 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}\)이 \(f\)로 균등수렴하면, \(f\)는 \(I\)에서 연속임을 알 수 있다(부분합 \(\displaystyle S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}{f_{k}(x)}\)을 이 정리에 적용한다).

구간 \([0,\,1]\)에서 정의된 함수열 \(\displaystyle f_{n}(x)=\frac{nx}{1+n^{2}x^{2}}\)는 \(f_{n}(0)=0\)이고 \(x>0\)일 때 \(\displaystyle|f_{n}(x)|<\frac{1}{nx}\)이므로 \(f_{n}\)은 \(f=0\)에 점별수렴하나 \(\displaystyle x=\frac{1}{n}\)일 때 \(\displaystyle f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{2}\)이므로 균등수렴하지 않는다.

멱급수 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}\)이 수렴하는 구간 \((-R,\,R)\,(R>0)\)에서 \(f\)로 수렴하면, \(f\)는 \((-R,\,R)\)에서 연속이다.

증명: \(f\)가 임의의 \(x\in(-R,\,R)\)에서 연속임을 보이자. \(x\in[a,\,b]\subset(-R,\,R)\)인 구간 \([a,\,b]\)에서 멱급수 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}\)은 균등수렴하므로 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 연속이다. 따라서 \(f\)는 \(x\in(-R,\,R)\)에서 연속이고 \(x\)는 구간 \((-R,\,R)\)상의 임의의 점이므로 \(f\)는 \((-R,\,R)\)에서 연속이다.         

 

참고자료:

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

실해석학 개론, 정동명, 조승제, 경문사

알기쉬운 해석학, 장건수 외 5인, 대선