[해석학] 9. 연속함수

[해석학] 9. 연속함수

$x_{0}$의 근방에서 정의된 함수 $f$에 대하여 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $\delta>0$가 존재해서 $|x-x_{0}|<\delta$일 때 $|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon$이면, 함수 $f$는 $x=x_{0}$에서 연속(continuous)이라고 한다. 연속이 아니면 $f$는 $x=x_{0}$에서 불연속(discontinuous)이라고 한다. 

함수 $f$가 $x=x_{0}$에서 연속일 조건은 다음과 같다.

1. $f$는 $x=x_{0}$에서 정의되어 있다($f(x_{0})$가 존재). 

2. $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}}{f(x)}$가 존재한다. 

3. $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}}{f(x)}=f(x_{0})$ 

위의 세 조건 중에서 하나라도 만족하지 못하면 불연속이다.

예를들어 다음과 같이 정의된 함수 $f(x)$는 $x=2$에서 연속이다. $$f(x)=\begin{cases}\frac{x^{2}-4}{x-2}\,(x\neq2)\,4\,(x=2)\end{cases}$$ 그 이유는 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $\delta=\epsilon$이라고 하면 $|x-2|<\delta$일 때, $$|f(x)-4|=\left|\frac{x^{2}-4}{x-2}-4\right|=|x-2|<\epsilon$$ 이기 때문이다. 

연속성의 증명은 함수의 극한의 증명과 비슷하고 차이는 함수의 극한에서는 $0<|x-a|<\delta$(제거된 근방)이고, 연속함수에서는 $|x-a|<\delta$(근방)이라는 점이다.

임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $\delta>0$가 존재해서 $x_{0}\leq x<x_{0}+\delta$일 때 $|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon$이면, $f$는 $x_{0}$에서 우연속(right-continuous)이라고 하고, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}+}{f(x)}=f(x_{0})$이다.    

위와 비슷하게 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $\delta>0$가 존재해서 $x_{0}+\delta<x\leq x_{0}$일 때 $|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon$이면, $f$는 $x_{0}$에서 좌연속(left-continuous)이라고 하고, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}-}{f(x)}=f(x_{0})$이다.

다음은 연속함수의 성질들이다.

1. $f$가 $x_{0}$에서 연속일 필요충분조건은 $f$가 $x_{0}$에서 각각 좌연속, 우연속이다. 

2. $f$가 $x_{0}$에서 연속일 필요충분조건은 $x_{0}$로 수렴하는 임의의 수열 $x_{n}$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{n})}=f(x_{0})$이다.

3. $f$가 $A\subset\mathbb{R}$의 각 점에서 연속이면, $f$는 $A$에서 연속이다.

4. $f$가 열린구간 $(a,\,b)$에서 연속이고, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,b-}{f(x)}=f(b)$, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a+}{f(x)}=f(a)$이면, $f$는 닫힌구간 $[a,\,b]$에서 연속이다. 

1의 증명은 연속함수, 좌연속, 우연속의 정의로부터 분명하고, 2의 증명은 함수의 극한에서의 증명과 비슷하다. 3 또한 자명하고, 4도 3으로부터 성립한다.

함수 $f$가

1. $x_{1}<x_{2}$일 때 $f(x_{1})\leq f(x_{2})$이면 $f$는 단조증가(monotone increasing)라고 한다. 

2. $x_{2}<x_{2}$일 때 $f(x_{1})\geq f(x_{2})$이면 $f$는 단조감소(monotone decreasing)라고 한다. 

3. $x_{1}<x_{2}$일 때 $f(x_{1})<f(x_{2})$이면 $f$는 증가((strictly) increasing)한다고 하고, $f$를 증가함수(increasing function)라고 한다. 

4. $x_{1}<x_{2}$일 때 $f(x_{1})<f(x_{2})$이면 $f$는 감소((strictly) decreasing)한다고 하고, $f$를 감소함수(decreasing function)라고 한다.

단조증가함수와 단조감소함수를 통틀어 단조함수(monotone function)라고 한다. 

$f$가 단조함수이면, 가산개의 불연속점을 갖는다.   

증명: $f$가 $(a,\,b)$에서 단조증가라고 하면, $x$가 $f$의 불연속점일 때 $f(x-)<f(x+)$이다. 따라서 $(a,\,b)$에서 $f$의 불연속점들의 집합을 $E$라고 하면 모든 $x\in E$에 대하여 유리수의 조밀성에 의해 $r(x)\in\mathbb{Q}$가 존재해서 $f(x-)<r(x)<f(x+)$이고, $a<x_{1}<x_{2}<b$일 때 $f(x_{1}+)\leq f(x_{2}-)$이므로 $x_{1}\neq x_{2}$일 때 $r(x_{1})\neq r(x_{2})$이고 $r:\,E\,\rightarrow\,\mathbb{Q}$는 일대일 함수이다. 따라서 $E$는 $\mathbb{Q}$의 부분집합과 일대일 대응이고 따라서 가산집합이다.

함수 $f$가 $x_{0}$에서 불연속일 때

1. $f(x+),\,f(x-)$가 존재하고 $f(x+)\neq f(x-)$이면, 점프 불연속(jump discontinuity)이라 하고, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}}{f(x)}\neq f(x_{0})$이면, 제거가능한 불연속(removable discontinuity)이라고 한다. 

이 두 경우를 통틀어 1종 불연속(discontinuity of the first kind)이라고 한다. 

2. $f$가 $x_{0}$에서 1종 불연속이 아니면, 2종 불연속(discontinuity of the second kind)이라고 한다.

다음의 함수 $$f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2},\,g(x)=[x],\,h(x)=\begin{cases}1\,(x\in\mathbb{Q})\\0\,(x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q})\end{cases}$$ 에서 $f(x)$는 $x=2$에서의 함숫값이 정의되지 않으나 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,2}{f(x)}=\lim_{x\,\rightarrow\,2}{(x+2)}=4$이므로 제거가능한 불연속이다. $g(x)$는 모든 정수점($x=n,\,n\in\mathbb{Z}$)에서 점프 불연속이고 따라서 $f(x)$, $g(x)$는 1종 불연속이다.

반면 $x_{0}\in\mathbb{R}$에 대하여 유리수의 조밀성으로부터 $r_{n}\in\mathbb{Q}$과 무리수의 조밀성으로부터 $r_{n}'\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}$가 존재해서

$\displaystyle x_{0}-\frac{1}{n}<r_{n}<x_{0}$이면 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{r_{n}}=x_{0}$이고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{h(r_{n})}=1$이다. 

$\displaystyle x_{0}-\frac{1}{n}<r_{n}<x_{0}$이면 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{r_{n}'}=x_{0}$이고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{h(r_{n}')}=0$이다. 

따라서 $h(x)$는 실수 전체에서 2종 불연속이다.

함수 $f,\,g$가 $x_{0}$에서 연속이면, $\displaystyle f(x)+g(x),\,f(x)g(x),\,\frac{f(x)}{g(x)}(g(x_{0})\neq0)$는 $x_{0}$에서 연속이고 이에 대한 증명은 함수의 극한에서와 비슷하다.

함수 $f$가 $x_{0}$에서 연속이고 $g$가 $f(x_{0})$에서 연속이면, 합성함수 $(g\cdot f)$는 $x_{0}$에서 연속이다.

증명: $g$가 $f(x_{0})$에서 연속이므로 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $\delta_{1}>0$이 존재해서 $|f(x)-f(x_{0})|<\delta_{1}$일 때 $|g(f(x))-g(f(x_{0}))|<\epsilon$이고, 또한 $f$가 $x_{0}$에서 연속이므로 $\delta>0$가 존재해서 $|x-x_{0}|<\delta$일 때 $|f(x)-f(x_{0})|<\delta_{1}$이다. 따라서 $|x-x_{0}|<\delta$일 때 $|g(f(x))-g(f(x_{0}))|<\epsilon$이다.

함수 $f$의 정의역 $A\subset\mathbb{R}$에 대하여 $M>0$이 존재해서 모든 $x\in A$에 대해 $|f(x)|\leq M$이면, 함수 $f$는 $A$에서 유계(bounded) 또는 $A$에서 유계함수(bounded function)라고 한다. 

함수 $f$가 $x_{0}$에서 연속이면 $f$는 $x_{0}$에서 유계이다. 

증명: $f$가 $x_{0}$에서 연속이므로 $\delta>0$가 존재해서 $|x-x_{0}|<\delta$일 때 $|f(x)-f(x_{0})|<1$이고, 삼각부등식에 의해 $$||f(x)|-|f(x_{0})||\leq|f(x)-f(x_{0})|<1$$ 이므로 $|f(x)|<1+|f(x_{0})|$이다. $M=1+|f(x_{0})|$라고 하면 모든 $|x-x_{0}|<\epsilon$인 $x$에 대해 $|f(x)|<M$이고, $M>0$이므로 $f$는 $x_{0}$에서 유계이다.

$f$가 $[a,\,b]$에서 연속이면 $f$는 $[a,\,b]$에서 유계이다.

증명: $f$는 $[a,\,b]$에서 유계가 아니라고 하면 수열 $x_{n}\in[a,\,b]$을 선택해서 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $|f(x_{n})|\geq n$이라고 하자. 그러면 $\{x_{n}\}$은 유계수열이고, 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 부분수열 $x_{n_{k}}$가 존재해서 $\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{x_{n_{k}}}=x_{0}(\in[a,\,b])$이다. 따라서 $f$는 $x_{0}$에서 연속이므로 $\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{n_{k}})}=f(x_{0})$이나 $|f(x_{n_{k}})|\geq n_{k}$이고 $\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{n_{k}}=\infty$이므로 모순이다. 따라서 $f$는 $[a,\,b]$에서 유계이다. 

최댓값-최솟값 정리(extremum-value theorem)

함수 $f$가 닫힌구간 $[a,\,b]$에서 연속이면, $f$는 $[a,\,b]$에서 최댓값, 최솟값을 갖는다.

증명:

1. $f$가 최댓값을 갖지 않는다고 하고 $\displaystyle M=\sup_{x\in[a,\,b]}{f(x)}$라고 하자. 그러면 모든 $x\in[a,\,b]$에 대하여 $f(x)<M$이다. $\displaystyle g(x)=\frac{1}{M-f(x)}$이라고 하자. 그러면 $g(x)$는 $[a,\,b]$에서 연속이고 $M_{1}>0$이 존재해서 모든 $x\in[a,\,b]$에 대해 $g(x)<M_{1}$이다. 따라서 $\displaystyle\frac{1}{M-f(x)}<M_{1}$이고 $\displaystyle\frac{1}{M_{1}}<M-f(x)$이므로 $\displaystyle f(x)<M-\frac{1}{M_{1}}<M$이 되는데 이것은 $M$의 정의에 모순이고 따라서 $f$는 최댓값을 갖는다. 

2. $f$가 최솟값을 갖지 않는다고 하고 $\displaystyle m=\inf_{x\in[a,\,b]}{f(x)}$라고 하자. 그러면 모든 $x\in[a,\,b]$에 대하여 $m<f(x)$이다. $\displaystyle g(x)=\frac{1}{f(x)-m}$이라고 하자. 그러면 $g(x)$는 $[a,\,b]$에서 연속이고 $m_{1}>0$이 존재해서 모든 $x\in[a,\,b]$에 대해 $g(x)<m_{1}$이다. 따라서 $\displaystyle\frac{1}{f(x)-m}<m_{1}$이고 $\displaystyle\frac{1}{m_{1}}<f(x)-m$이므로 $\displaystyle m<\frac{1}{m_{1}}+m<f(x)$가 되는데 이것은 $m$의 정의에 모순이고 따라서 $f$는 최솟값을 갖는다.  

     

중간값 정리(intermediate-value theorem)

함수 $f$가 $[a,\,b]$에서 연속이고 $f(a)<k<f(b)$ 또는 $f(b)<k<f(a)$이면 $c\in(a,\,b)$가 존재해서 $f(c)=k$이다.                

증명: 

1. $f(b)<k<f(a)$일 때 $A=\{x\in[a,\,b]\,|\,f(x)>k\}$라고 하자. $A\subset[a,\,b]$이고 $a\in A$이므로 $A\neq\emptyset$이다. $c=\sup A$라고 하면 $a\leq c\leq b$이고 $f(c)=k\,(a<c<b)$임을 보이자. 임의의 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $x_{n},\,y_{n}\in[a,\,b]$를 선택해서 $\displaystyle c-\frac{1}{n}<x_{n}<c$, $\displaystyle c<y_{n}<c+\frac{1}{n}$라고 하자. 이때 $y_{n}\notin A$이고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=c$, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{y_{n}}=c$이며 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $f(x_{n})>k$, $f(y_{n})\leq k$이다. $f$는 $c$에서 연속이므로 $$f(c)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{n})}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(y_{n})}$$ 이고 $$k\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}=c=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}\leq k$$ 이므로 $f(c)=k$이다.  

2. $f(a)<k<f(b)$일 때 $A=\{x\in[a,\,b]\,|\,f(x)\leq k\}$라고 하자. $A\subset[a,\,b]$이고 $a\in A$이므로 $A\neq\emptyset$이다. $c=\sup A$라고 하면 $a\leq c\leq b$이고 $f(c)=k\,(a<c<b)$임을 보이자. 임의의 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $x_{n},\,y_{n}\in[a,\,b]$를 선택해서 $\displaystyle c-\frac{1}{n}<x_{n}<c$, $\displaystyle c<y_{n}<c+\frac{1}{n}$라고 하자. 이때 $y_{n}\notin A$이고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=c$, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{y_{n}}=c$이며 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $f(x_{n})\leq k$, $f(y_{n})>k$이다. $f$는 $c$에서 연속이므로 $$f(c)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{n})}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(y_{n})}$$ 이고 $$k\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{n})}=f(c)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(y_{n})}\leq k$$ 이므로 $f(c)=k$이다.    

고정점 정리(fixed-point theorem)

함수 $f$가 $[a,\,b]$에서 연속이고 모든 $x\in[a,\,b]$에 대하여 $a\leq f(x)\leq b$이면, $c\in(a,\,b)$가 존재해서 $f(c)=c$이다.         

증명: $g(x)=f(x)-x$라고 하자. $g(a)=f(a)-a\geq0$, $g(b)=f(b)-b\leq0$이므로 중간값 정리에 의해 $c\in(a,\,b)$가 존재해서 $g(c)=0$, 즉 $f(c)=c$이다.

(참고: $f(a)=a$이면 $c=a$이고 $f(b)=b$이면 $c=b$이다. 또한 이 정리의 $c$를 고정점(fixed point)이라고 한다)    

함수 $f$가 $[a,\,b]$에서 연속이고 일대일이면 $f$는 증가함수 또는 감소함수이다.  

증명: 가정에 의해 $f(a)\neq f(b)$이고 $f(a)<f(b)$라고 하자. 결론을 부정해서 $f$가 증가함수가 아니라고 하면 $x_{1},\,x_{2}\in[a,\,b]$가 존재해서 $x_{1}<x_{2}$일 때 $f(x_{1})\geq f(x_{2})$이다. $f$가 일대일이므로 $x_{1}\neq a$, $x_{2}\neq b$이고 $f(x_{1})>f(x_{2})$이며 

(1) $f(x_{1})<f(b)$이면 $x_{2}<b$이므로 $f(x_{2})<f(x_{1})<f(b)$이다. $f(x_{2})<k<f(x_{1})<f(b)$인 $k$를 선택하자. 중간값의 정리로부터 $c_{1}\in(x_{1},\,x_{2})$, $c_{2}\in(x_{2},\,b)$가 존재해서 $f(c_{1})=f(c_{2})=k$이고 $c_{1}\neq c_{2}$이므로 $f$가 일대일이라는 사실에 모순이다. 

(2) $f(x_{1})>f(b)$이면 $f(a)<f(b)<f(x_{1})$이고 $f(a)<f(b)<k<f(x_{1})$인 $k$를 선택하자. 중간값의 정리로부터 $c_{1}\in(a,\,x_{1})$, $c_{2}(x_{1},\,b)$가 존재해서 $f(c_{1})=f(c_{2})=k$이고 $c_{1}\neq c_{2}$이므로 $f$가 일대일이라는 사실에 모순이다.

따라서 $f$는 $[a,\,b]$에서 증가함수이다. 감소함수의 경우는 앞의 경우에서 $-f$인 경우이다. 

  

함수 $f$가 $[a,\,b]$에서 연속이고 일대일이라고 하자. $f$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M,\,m$이라고 하면 $f^{-1}$은 일대일이고 증가함수 또는 감소함수이며 $[m,\,M]$에서 연속이다.

증명: 앞 정리에 의해 $f^{-1}$는 증가함수 또는 감소함수이므로 $[m,\,M]$에서 연속임을 보이면 된다.

$y_{0}\in[m,\,M]$이라 하고, $y_{n}\in[m,\,M]$을 선택해서 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{y_{n}}=y_{0}$라고 하자. $x_{0}=f^{-1}(y_{0})$, $x_{n}=f^{-1}(y_{n})$라고 하면 $f^{-1}$이 $[m,\,M]$에서 연속일 필요충분조건은 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=x_{0}$이다. 

$\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}\neq x_{0}$라고 하자. 그러면 부분수열 $x_{n_{k}}\in[a,\,b]$를 선택해서 모든 $k\in\mathbb{N}$에 대하여 $\epsilon_{0}>0$이 존재해서 $|x_{n_{k}}-x_{0}|\geq\epsilon_{0}$이 되게 할 수 있다. 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 $x_{n_{k}}$의 부분수열 $x_{n_{k_{j}}}$가 존재해서 $\displaystyle\lim_{j\,\rightarrow\,\infty}{x_{n_{k_{j}}}}=c$이고 $|c-x_{0}|\geq\epsilon_{0}$이므로 $c\neq x_{0}$이다. $$f(c)=\lim_{j\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{n_{k_{j}}})}=\lim_{j\,\rightarrow\,\infty}{y_{n_{j}}}=y_{0}=f(x_{0})$$ 이고 $f$는 일대일이므로 $c\neq x_{0}$라는 사실에 모순이다.

함수 $f$가 실수 전체에서 연속이고 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}=L_{1}$, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}{f(x)}=L_{2}$이면, $f$는 실수 전체에서 유계이다.

증명: $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}=L_{1}$이므로 $b>0$가 존재해서 $x>b$일 때 $|f(x)-L_{1}|<1$이고, 삼각부등식에 의해 $|f(x)|<|L_{1}|+1$이다.

또한 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}{f(x)}=L_{2}$이므로 $a<0$가 존재해서 $x<a$일 때 $|f(x)-L_{2}|<1$이고, 삼각부등식에 의해 $|f(x)|<|L_{2}|+1$이다.

$f$는 $[a,\,b]$에서 연속이므로 $M>0$가 존재해서 $M>0$이 존재해서 모든 $x\in[a,\,b]$에 대해 $|f(x)|\leq M$이다.

따라서 실수 전체에서 $|f(x)|\leq\min\{|L_{1}|+1,\,|L_{2}|+1,\,M\}$이므로 $f$는 실수 전체에서 유계이다.

구간 $I$에서 정의된 함수 $f$가 임의의 $\epsilon>0$과 $x,\,y\in I$에 대하여 $\delta>0$가 존재해서 $|x-y|<\delta$일 때 $|f(x)-f(y)|<\epsilon$이면, $f$는 $I$에서 균등연속(uniformly continuous)이라고 한다.

예를들어 다음의 두 함수 $$f(x)=ax+b,\,g(x)=x^{2}$$ 에 대하여 $f$의 경우 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $\displaystyle\delta=\frac{\epsilon}{|a|+1}$라고 하면 $|x-y|<\delta\,(x,\,y\in\mathbb{R})$일 때 $$|f(x)-f(y)|=|(ax+b)-(ay+b)|=|a||x-y|\leq\frac{|a|}{|a|+1}\epsilon<\epsilon$$ 이므로 $f$는 실수 전체에서 균등연속이다.

$g$의 경우 구간 $[0,\,b]\,(b>0)$에서 균등연속이나 실수 전체에서는 아니다. 

임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $\displaystyle\delta=\frac{\epsilon}{2|b|}$라고 하면 $|x-y|<\delta\,(x,\,y\in[0,\,b])$일 때 $$|f(x)-f(y)|=|x+y||x-y|\leq(|x|+|y|)|x-y|<2|b|\frac{\epsilon}{2|b|}=\epsilon$$ 이므로 $[0,\,b]$에서 균등연속이다.

그러나 $\delta>0$에 대하여 $\displaystyle x=\frac{1}{\delta},\,y=\frac{1}{\delta}+\frac{\delta}{2}$라고 하면 $$|f(x)-f(y)|=\left|\left(\frac{1}{\delta}\right)^{2}-\left(\frac{1}{\delta}+\frac{\delta}{2}\right)^{2}\right|\geq\frac{\delta}{2}\left(\frac{2}{\delta}+\frac{\delta}{2}\right)>\frac{\delta}{2}\cdot\frac{2}{\delta}=1$$ 이므로 $f$는 실수 전체에서 균등연속이 아니다. 

함수 $f$가 구간 $I$에서 균등연속이고, $x_{n}\in I$이 코시수열이면, $\{f(x_{n})\}$은 코시수열이다.

증명: $f$가 $I$에서 균등연속이므로 임의의 $\epsilon>0$와 $x,\,y\in I$에 대하여 $\delta>0$가 존재해서 $|x-y|<\delta$일 때, $|f(x)-f(y)|<\epsilon$이다. 

$x_{n}$이 코시수열이므로 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $m,\,n\geq N$일 때 $|x_{n}-x_{m}|<\delta$이고 따라서 $|f(x_{n})-f(y_{n})|<\epsilon$이므로 따라서 $\{f(x_{n})\}$은 코시수열이다.  

함수 $f$가 $[a,\,b]$에서 연속일 필요충분조건은 $[a,\,b]$에서 균등연속이다.

증명:

($\Leftarrow$): 자명하다. 

($\Rightarrow$): $f$가 $[a,\,b]$에서 균등연속이 아니라고 하자. 그러면 임의의 $n\in\mathbb{N}$와 $\displaystyle|x_{n}-y_{n}|<\frac{1}{n}$인 $x_{n},\,y_{n}\in[a,\,b]$에 대하여 $\epsilon_{0}>0$가 존재해서 $|f(x_{n})-f(y_{n})|\geq\epsilon_{0}$이다.

$x_{n}\in[a,\,b]$이므로 부분수열 $\{x_{n_{k}}\}$가 존재해서 $\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{x_{n_{k}}}=x_{0}(\in[a,\,b]$이다. $\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{y_{n_{k}}}=x_{0}$이고 $f$가 $x_{0}$에서 연속이므로 $\displaystyle f(x_{0})=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{n_{k}})}=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{f(y_{n_{k}})}$이다. $\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{|f(y_{n_{k}})-f(x_{n_{k}})|}\geq\epsilon_{0}$이어야 하는데 $\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{|f(x_{n_{k}})-f(y_{n_{k}})|}=|f(x_{0})-f(x_{0})|=0$이므로 모순이다.

함수 $f$가 $(a,\,b)$에서 연속이라고 하자. $f$가 $(a,\,b)$에서 균등연속일 필요충분조건은 $f(a+)$와 $f(b-)$가 존재하는 것이다.

증명:

($\Leftarrow$): $f(a)=f(a+)$, $f(b)=f(b-)$라고 하면, $f$는 $[a,\,b]$에서 연속이고 균등연속이므로 $(a,\,b)$에서 균등연속이다. 

($\Rightarrow$): $f(a+)$가 존재하지 않는다고 하자. 그러면 코시수열 $x_{n}\in(a,\,b)$가 존재해서 $f(x_{n})$은 코시수열이 아니다. 그러나 이것은 $f$가 균등연속이라는 조건에 모순이다. 마찬가지로 $f(b-)$가 존재하지 않는다고 하자. 그러면 코시수열 $y_{n}\in(a,\,b)$가 존재해서 $f(y_{n})$은 코시수열이 아니다. 그러나 이것 또한 $f$가 균등연속이라는 조건에 모순이다.

 

함수 $f$가 

1. $[a,\,\infty)$에서 연속이고 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}$가 존재하면, $f$는 $[a,\,\infty)$에서 균등연속이다.  

2. $(-\infty,\,b]$에서 연속이고 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}{f(x)}$가 존재하면, $f$는 $(-\infty,\,b]$에서 균등연속이다. 

3. 실수 전체에서 연속이고 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}=L_{1}$, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}{f(x)}=L_{2}$이면, $f$는 실수 전체에서 균등연속이다.  

증명: 

1. $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}=L$이라고 하자. 그러면 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $M>a$가 존재해서 $x>M$일 때 $\displaystyle|f(x)-L|<\frac{\epsilon}{2}$이다. $f$는 $x=M$에서 연속이므로 $\delta_{1}>0$가 존재해서 $|x-M|<\delta_{1}$일 때 $\displaystyle|f(x)-f(M)|<\frac{\epsilon}{2}$이다. 또한 $f$는 $[a,\,M]$에서 균등연속이므로 $\delta_{2}>0$가 존재해서 임의의 $x_{1},\,x_{2}\in[a,\,M]$에 대해 $|x_{1}-x_{2}|<\delta_{2}$이면 $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\epsilon$이다.

$\delta=\min\{\delta_{1},\,\delta_{2}\}$라 하고 임의의 $x,\,y\in[a,\,\infty)$에 대해 $|x-y|<\delta$라고 하자.  

(1) $x,\,y>M$이면, $\displaystyle |f(x)-L|<\frac{\epsilon}{2},\,|f(y)-L|<\frac{\epsilon}{2}$이므로 $$|f(x)-f(y)|\leq|f(x)-L|+|f(y)-L|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ 이다.  

(2) $x,\,y\leq M$이면, $|x-y|<\delta\leq\delta_{2}$이고 $|f(x)-f(y)|<\epsilon$이다.

(3) $x\leq M,\,y>M$이면, $|x-y|<\delta$이므로 $|x-M|<\delta\leq\delta_{1}$, $|y-M|<\delta\leq\delta_{1}$이고 따라서 $\displaystyle|f(x)-f(M)|<\frac{\epsilon}{2}$, $\displaystyle|f(y)-f(M)|<\frac{\epsilon}{2}$이므로 $$|f(x)-f(y)|\leq|f(x)-f(M)|+|f(y)-f(M)|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ 이다. 그러므로 위의 세 경우 모두 임의의 $x,\,y\in[a,\,\infty)$에 대해 $|x-y|<\delta$이면 $|f(x)-f(y)|<\epsilon$이고 따라서 $f$는 $[a,\,\infty)$에서 균등연속이다. 

2. 1의 증명과정 참고. 

3. 1과 2로부터 성립한다.     

 

구간 $I$에서 균등연속인 함수 $f,\,g$에 대하여 $f+g$, $kf\,(k\in\mathbb{R})$, $fg$도 $I$에서 균등연속이고, 증명은 균등연속의 정의와 함수의 극한과 비슷한 방법을 이용한다.

다음의 두 함수 $$f(x)=\sqrt{x},\,g(x)=\sin (x^{2})$$ 에 대하여 $f$는 $(0,\,1)$에서 균등연속이나 $g$는 실수 전체에서 균등연속이 아니다. 그 이유는 임의의 $\epsilon>0,\,x,\,y\in(0,\,1)$에 대해 $\delta=\epsilon^{2}$라고 하면 $|x-y|<\delta$일 때 $$|f(x)-f(y)|=\sqrt{|f(x)-f(y)|^{2}}=\sqrt{|\sqrt{x}-\sqrt{y}|^{2}}\leq\sqrt{|\sqrt{x}-\sqrt{y}||\sqrt{x}+\sqrt{y}|}=\sqrt{|x-y|}<\sqrt{\epsilon^{2}}=\epsilon$$ 이므로 $f$는 $(a,\,b)$에서 균등연속이다.

$\displaystyle x_{n}=\sqrt{2n\pi+\frac{\pi}{2}},\,y_{n}=\sqrt{2n\pi-\frac{\pi}{2}}$라고 하면 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|x_{n}-y_{n}|}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\pi}{\sqrt{2n\pi+\frac{\pi}{2}}+\sqrt{2n\pi-\frac{\pi}{2}}}}=0$$ 이나 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|f(x_{n})-f(y_{n})|}=|1-(-1)|=2$이므로 $g$는 실수 전체에서 균등연속이 아니다.

구간 $I$에서 정의된 함수열 $\{f_{n}\}$의 각 항들이 모두 연속함수이면, $\{f_{n}\}$을 연속함수열(continuous sequence of functions)이라고 한다. 

 

구간 $[0,\,1]$에서 정의된 함수열 $f(x)=x^{n}$의 극한함수는 $$f(x)=\begin{cases}0,\,(0\leq x<1)\\1,\,(x=1)\end{cases}$$ 이다. 함수열은 연속이나 점별극한함수는 $x=1$에서 불연속이다.

연속함수열 $\{f_{n}\}$이 구간 $I$에서 함수 $f$로 균등수렴하면, 함수 $f$는 $I$에서 연속이다.

증명: 함수 $f$가 임의의 $x_{0}\in I$에서 연속임을 보인다. $f_{n}$이 $I$에서 $f$로 균등수렴하므로 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 임의의 $n\geq N$, $x\in I$에 대해 $\displaystyle|f_{n}(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{3}$이다. 또한 $f_{n}$이 연속이므로 $\delta>0$가 존재해서 $|x-x_{0}|<\delta$일 때 $\displaystyle|f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})|<\frac{\epsilon}{3}$이다. 따라서 $|x-c|<\delta$이면 $$|f(x)-f(x_{0})|\leq|f(x)-f_{n}(x)|+|f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})|+|f_{n}(x_{0})-f(x_{0})|<\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}=\epsilon$$ 이고 $f$는 $I$에서 연속이다. 

이 정리로부터 구간 $I$에서의 연속함수열 $f_{n}$에 대해 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}$이 $f$로 균등수렴하면, $f$는 $I$에서 연속임을 알 수 있다(부분합 $\displaystyle S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}{f_{k}(x)}$을 이 정리에 적용한다).

구간 $[0,\,1]$에서 정의된 함수열 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{nx}{1+n^{2}x^{2}}$는 $f_{n}(0)=0$이고 $x>0$일 때 $\displaystyle|f_{n}(x)|<\frac{1}{nx}$이므로 $f_{n}$은 $f=0$에 점별수렴하나 $\displaystyle x=\frac{1}{n}$일 때 $\displaystyle f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{2}$이므로 균등수렴하지 않는다.

멱급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$이 수렴하는 구간 $(-R,\,R)\,(R>0)$에서 $f$로 수렴하면, $f$는 $(-R,\,R)$에서 연속이다.

증명: $f$가 임의의 $x\in(-R,\,R)$에서 연속임을 보이자. $x\in[a,\,b]\subset(-R,\,R)$인 구간 $[a,\,b]$에서 멱급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$은 균등수렴하므로 $f$는 $[a,\,b]$에서 연속이다. 따라서 $f$는 $x\in(-R,\,R)$에서 연속이고 $x$는 구간 $(-R,\,R)$상의 임의의 점이므로 $f$는 $(-R,\,R)$에서 연속이다.         

 

참고자료:

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

실해석학 개론, 정동명, 조승제, 경문사

알기쉬운 해석학, 장건수 외 5인, 대선