[해석학] 6. 수열(4: 급수의 수렴판정)

6. 수열(4: 급수의 수렴판정)

비교판정법(comparison test)

모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(0\leq a_{n}\leq b_{n}\)이라 하자.

(1) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}}\)이 수렴하면, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)도 수렴한다.

(2) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)이 발산하면, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}}\)도 발산한다.

증명:

(1): \(\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{a_{k}},\,T_{n}=\sum_{k=1}^{n}{b_{k}}\)라 하자. \(0\leq a_{n}\leq b_{n}\)이므로 \(S_{n},\,T_{n}\)모두 증가수열이고, \(0\leq S_{n}\leq T_{n}\)이다. \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{T_{n}}\)이 수렴하고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{0}=0\)이므로 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 수렴한다.

(2): \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}}\)이 수렴한다고 하면, (1)에 의해 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)이 수렴하게 되는데 발산한다고 가정했기 때문에 모순이다.

극한 비교판정법(limit comparison test)

급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}},\,\sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}}\,(a_{n},\,b_{n}>0)\)에 대하여

(1) \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{a_{n}}{b_{n}}}\neq0\)일 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)이 수렴할 필요충분조건은 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}}\)이 수렴하는 것이다.

(2) \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{a_{n}}{b_{n}}}=0\)이고 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}}\)이 수렴하면, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 수렴한다.

증명:

(1): \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{a_{n}}{b_{n}}}=r(\neq0)\)이라 하면, \(a_{n}>0,\,b_{n}>0\)이므로 \(r>0\)이다.

수렴의 정의에서 \(\displaystyle\epsilon=\frac{r}{2}\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때, \(\displaystyle\left|\frac{a_{n}}{b_{n}}-r\right|<\epsilon=\frac{r}{2}\)이다. 그러면 \(\displaystyle|a_{n}-rb_{n}|<\frac{r}{2}b_{n}\)이고 \(\displaystyle\frac{r}{2}b_{n}<a_{n}<\frac{3}{2}rb_{n}\)이므로 비교판정법에 의해 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)이 수렴할 필요충분조건이 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}}\)이 수렴하는 것임을 알 수 있다.

(2): \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{a_{n}}{b_{n}}}=0\)이므로 수렴의 정의에서 \(\epsilon=1\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때, \(\displaystyle\left|\frac{a_{n}}{b_{n}}-0\right|=\frac{a_{n}}{b_{n}}<1\)이다. 그러므로 \(a_{n}<b_{n}\)이고 비교판정법에 의해 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}}\)이 수렴하면 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)이 수렴한다.

\(\displaystyle a_{n}>0,\,b_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}\)라 하자. \(\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{b_{k}}\)라 하면$$\begin{align*}S_{1}&=b_{1}=a_{1}\\S_{2}&=b_{1}+b_{2}=a_{1}+\frac{1}{2}(a_{1}+a_{2})>a_{1}\left(1+\frac{1}{2}\right)\\S_{3}&=b_{1}+b_{2}+b_{3}>a_{1}\left(1+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{3}\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)>a_{1}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\\&\vdots\\S_{n}&=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}>a_{1}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)\\&\vdots\end{align*}$$이므로 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}}\)은 발산한다.

급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{|a_{n}|}\)이 수렴하면, 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)도 수렴한다.

증명: 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{|a_{n}|}\)이 수렴하므로 코시판정법에 의해 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(M\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(m,\,n\geq N\)일 때,$$|a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots+|a_{m}|<\epsilon$$이다. 삼각부등식에 의해$$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{m}|\leq|a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots+|a_{m}|<\epsilon$$이므로 코시판정법에 의해 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 수렴한다.

급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{|a_{n}|}\)이 수렴하면, 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 절대수렴(absolutely converges)한다고 하고, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 수렴하지만 절대수렴하지 않으면, 이 급수는 조건수렴(conditional converges)한다고 한다.

 

비판정법(ratio test)

\(a_{n}\neq0\), \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}=R,\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}=r\)이라 하자.

(1) \(R<1\)이면 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 수렴하고

(2) \(r>1\)이면 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 발산한다.

증명:

(1): \(0<\epsilon<1-R\)인 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때, \(\displaystyle\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|<R+\epsilon<1\)이다. \(t=R+\epsilon\)이라 하면, \(n\geq N\)일 때 \(|a_{n+1}|<t|a_{n}|\)이고 \(|a_{n}|<t^{n-N}|a_{N}|\)이 되는데 \(t=\epsilon+R<1\)이므로 급수 \(\displaystyle\sum_{n=N+1}^{\infty}{t^{n-N}|a_{N}|}=|a_{N}|\sum_{i=1}^{\infty}{t^{i}}\)는 수렴한다. 비교판정법에 의해 \(\displaystyle\sum_{n=N+1}^{\infty}{|a_{n}|}\)이 수렴하고 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{|a_{n}|}=\sum_{n=1}^{N}{|a_{n}|}+\sum_{n=N+1}^{\infty}{|a_{n}|}\)이므로 따라서 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{|a_{n}|}\)은 수렴하고, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 수렴한다.

(2): 충분히 큰 \(N\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(n\geq N\)일 때, \(\displaystyle\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|>1\)이므로 \(|a_{n}|>|a_{N}|>0\)이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}\neq0\)이므로 따라서 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 발산한다.

극한 비판정법(limit ratio test)

\(\displaystyle a_{n}\neq0,\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}=r\)이라 하자.

(1) \(r<1\)이면 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 수렴한다.

(2) \(r>1\)이면 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 발산한다.

증명:

(1): \(r<r_{1}<1\)인 \(r_{1}\in\mathbb{R}\)을 선택해서 \(\epsilon=r_{1}-r\)이라 하자. 그러면 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(\displaystyle\left|\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|-r\right|<\epsilon\)이고 \(\displaystyle\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|<r+\epsilon=r_{1}<1\)이므로 비판정법에 의해 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 수렴한다.

(2): \(1<r_{2}<r\)인 \(r_{2}\in\mathbb{R}\)을 선택해서 \(\epsilon=r-r_{2}\)라 하자. 그러면 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(\displaystyle\left|\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|-r\right|<\epsilon\)이고 \(\displaystyle\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|>r-\epsilon=r_{2}>1\)이므로 비판정법에 의해 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 발산한다.

근판정법(root test)

\(a_{n}\neq0\)이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup|a_{n}|^{\frac{1}{n}}}=r\)이라 하자.

(1) \(r<1\)이면 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 수렴하고

(2) \(r>1\)이면 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 발산한다.

증명:

(1): \(|a_{n}|<r^{n}\,(0<r<1)\)이고 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{r^{n}}\)이 수렴하므로 비교판정법에 의해 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{|a_{n}|}\)은 수렴하고 따라서 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 수렴한다.

(2): \(|a_{n}|>r^{n}\,(r>1)\)이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}\neq0\)이고 따라서 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 발산한다.

극한 근판정법(limit root test)

\(a_{n}\neq0\)이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|a_{n}|^{\frac{1}{n}}}=r\)이라 하자.

(1) \(r<1\)이면 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 수렴하고

(2) \(r>1\)이면 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 발산한다.

증명:

(1): \(r<r_{1}<1\)인 \(r_{1}\in\mathbb{R}\)을 선택해서 \(\epsilon=r_{1}-r\)이라 하자. 그러면 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(\displaystyle||a_{n}|^{\frac{1}{n}}-r|<\epsilon\)이다. 그러면 \(|a_{n}|^{\frac{1}{n}}<\epsilon+r=r_{1}<1\)이고 근판정법에 의해 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 수렴한다.

(2): \(1<r_{2}<r\)인 \(r_{2}\in\mathbb{R}\)를 선택해서 \(\epsilon=r-r_{2}>0\)이라 하자. 그러면 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(\displaystyle||a_{n}|^{\frac{1}{n}}-r|<\epsilon\)이고 \(|a_{n}|^{\frac{1}{n}}>r-\epsilon=r_{2}>1\)이므로 근판정법에 의해 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 발산한다.

\(\displaystyle a_{2n}=\left(\frac{1}{3}\right)^{n},\,a_{2n-1}=\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\)일 때, 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)의 수렴하는지 확인하자.$$a_{n}=\begin{cases}\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{n+3}{2}},&\,(n:\,\text{odd})\\ \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{n}{2}},&\,(n:\,\text{even})\end{cases}$$이므로$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\begin{cases}3,&\,(n:\,\text{odd})\\ \frac{1}{3},&\,(n:\,\text{even})\end{cases}$$이고 따라서 비판정법으로는 알 수 없다.

반면에$$|a_{n}|^{\frac{1}{n}}=\begin{cases}\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}+\frac{3}{2n}},&\,(n:\,\text{odd})\\ \frac{1}{\sqrt{3}},&\,(n:\,\text{even})\end{cases}$$이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|a_{n}|^{\frac{1}{n}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}<1\)이고 따라서 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 수렴한다.

급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}'}\)이 절대수렴하는 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)의 재배열이고, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}=S\)이면, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}'}=S\)이다.

증명: 가정에 의해 전단사함수 \(\sigma:\,\mathbb{N}\,\rightarrow\,\mathbb{N}\)가 존재해서 \(a_{n}'=a_{\sigma(n)}\)이다. 

급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{|a_{n}|}\)이 수렴하므로 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(M\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(\displaystyle\sum_{n=M+1}^{\infty}{|a_{n}|}<\frac{\epsilon}{2}\)이다.

\(N>M\)인 \(N\in\mathbb{N}\)을 선택하자. 그러면 \(\{1,\,2,\,\cdots,\,M\}\subset\{\sigma(1),\,\sigma(2),\,\cdots,\,\sigma(N)\}\)이고, \(n\geq N\)이면, \(a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{M}\)은 \(a_{\sigma(1)},\,a_{\sigma(2)},\,\cdots,\,a_{\sigma(N)}\)으로 나타낼 수 있다. 즉 \(\{a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{M}\}\subset\{a_{1}',\,a_{2}',\,\cdots,\,a_{n}'\}\)이고 따라서 \(\displaystyle\left|\sum_{k=1}^{M}{a_{k}}-\sum_{k=1}^{n}{a_{k}'}\right|\leq\sum_{k=M+1}^{\infty}{|a_{k}|}<\frac{\epsilon}{2}\)이다. 그러므로 \(n\geq N\)일 때$$\begin{align*}\left|S-\sum_{k=1}^{\infty}{a_{k}'}\right|&=\left|S-\sum_{k=1}^{M}{a_{k}}+\sum_{k=1}^{M}{a_{k}}-\sum_{k=1}^{n}{a_{k}'}\right|\\&\leq\left|S-\sum_{k=1}^{M}{a_{k}}\right|+\left|\sum_{k=1}^{M}{a_{k}}-\sum_{k=1}^{n}{a_{k}'}\right|=\left|\sum_{k=M+1}^{\infty}{a_{k}}\right|+\left|\sum_{k=1}^{M}{a_{k}}-\sum_{k=1}^{n}{a_{k}'}\right|\\&<\sum_{k=M+1}^{\infty}{|a_{k}|}+\frac{\epsilon}{2}\\&<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\end{align*}$$이고, 따라서 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}'}=S\)이다.

교대급수 판정법(alternating-series test)

수열 \(\{a_{n}\}\)이 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=0\)인 단조감소수열이면, 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n}a_{n}}\)은 수렴한다.

증명: \(\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{(-1)^{k}a_{k}}\)라 하자.$$\begin{align*}S_{1}&\geq S_{3}\geq\cdots\geq S_{2n+1}\geq\cdots\\ S_{2}&\leq S_{4}\leq \cdots\leq S_{2n}\leq\cdots\end{align*}$$이므로 \(S_{2n}\)은 단조감소수열이고$$S_{2n}=-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots+a_{2n-2}-a_{2n-1}+a_{2n}=-a_{1}+(a_{2}-a_{3})+(a_{4}-a_{5})+\cdots+(a_{2n-2}-a_{2n-1})+a_{2n}\geq-a_{1}$$이므로 \(S_{2n}\)은 아래로 유계이다. 그러므로 \(S_{2n}\)은 반드시 수렴해야 한다. \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{2n}}=S\)라 하자. \(S_{2n-1}=S_{2n}-a_{2n}\)이고$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{2n-1}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{2n}}-\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{2n}}=S-0=S$$이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{2n-1}}=S\)이다. 그러므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n}}=S\)이고 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n}a_{n}}=S\)이다.

이 정리에서 \(|S-S_{n}|\leq a_{n+1}\)이다.

교대급수 판정법으로부터 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n}}\)은 수렴한다.

참고자료:

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

실해석학 개론, 정동명, 조승제, 경문사

알기쉬운 해석학, 장건수 외 5인, 도서출판 대선