[해석학] 3. 수열(1: 수열의 극한)

3. 수열(1: 수열의 극한)

자연수 \(\mathbb{N}\)에서 실수 \(\mathbb{R}\)로의 함수 \(f:\,\,\mathbb{N}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 수열(sequence)라 하고, \(n\in\mathbb{N}\)에 대한 \(f\)의 값 \(f(n)=a_{n}\)을 수열 \(x_{n}\)의 제 \(n\)항이라고 한다. 수열을 보통 \(\{a_{n}\}\)으로 나타낸다.

\(\mathbb{N}_{n}=\{1,\,2,\,\cdots,\,n\}\)일 때, \(f:\,\mathbb{N}_{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)로 정의되는 수열 \(f(n)=a_{n}\)을 유한수열(finite sequence)이라 하고, 앞에서 정의역이 자연수 전체 \(\mathbb{N}\)인 수열을 무한수열(infinite sequence)이라고 한다.

 

예를들어$$a_{n}=ar^{n-1},\,S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}=\begin{cases}\displaystyle a\frac{r^{n}-1}{r-1},&\,(r\neq1)\\n+1,&\,(r=1)\end{cases}$$는 각각 등비(기하)수열, 등비(기하)급수이다.

수열 \(\{a_{n}\}\)에 대하여 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때, \(|a_{n}-a|<\epsilon\)이면, 수열 \(\{a_{n}\}\)은 \(x\)에 수렴한다(converge)고 하고, \(a\)를 \(\{a_{n}\}\)의 극한(limit)이라고 하며 다음과 같이 나타낸다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a$$

수열이 수렴하지 않으면, 발산(diverge)한다고 한다.

\(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n}}=0\)이다.

그 이유는 아르키메데스 성질로부터 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(N\epsilon>1\)이고 \(\displaystyle\frac{1}{N}<\epsilon\)이므로 \(n\geq N\)인 모든 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\frac{1}{n}\leq\frac{1}{N}<\epsilon\)이고$$\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}\leq\frac{1}{N}<\epsilon$$이다.

\(0<|a|<1\)일 때 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a^{n}}=0\)이다.

그 이유는 \(0<|a|<1\)이므로 \(\displaystyle|a|=\frac{1}{1+b}\,(b>0)\)라 하면, \(\displaystyle b=\frac{1}{|a|}-1>0\)이고, 베르누이 부등식으로부터$$(1+b)^{n}\geq1+nb$$이며, 아르키메데스 성질로부터 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(Nb\epsilon>1\)이므로 \(n\geq N\)인 모든 자연수 \(n\)에 대하여$$|a^{n}-0|=a^{n}=\frac{1}{(1+b)^{n}}\leq\frac{1}{1+nb}<\frac{1}{nb}\leq\frac{1}{Nb}<\epsilon$$이다.

수렴하는 수열의 극한은 유일하다. 즉 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a,\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=b\)이면, \(a=b\)이다.

증명: 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여

\(N_{1}\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N_{1}\)일 때 \(\displaystyle|a_{n}-a|<\frac{\epsilon}{2}\)이고

\(N_{2}\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N_{2}\)일 때 \(\displaystyle|a_{n}-b|<\frac{\epsilon}{2}\)이다.

\(N=\max\{N_{1},\,N_{2}\}\)라 하면, \(n\geq N\)인 모든 자연수 \(n\)에 대하여$$|a-b|=|(a-a_{n})+(a_{n}-b)|\leq|a_{n}-a|+|a_{n}-b|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$이고 \(\epsilon\)이 임의의 양수이므로 \(|a-b|=0\)이어야 하고 따라서 \(a=b\)이다.

조임정리(Squeeze theorem)

\(a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}\)이고, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{c_{n}}=a\)이면, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{b_{n}}=a\)이다.

증명: 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여

\(N_{1}\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N_{1}\)일 때 \(|a_{n}-a|<\epsilon\)이고, \(N_{2}\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N_{2}\)일 때 \(|c_{n}-a|<\epsilon\)이다.

이때 \(|a_{n}-a|<\epsilon\)이므로 \(a-\epsilon<a_{n}\)이고, \(|c_{n}-a|<\epsilon\)이므로 \(c_{n}<a+\epsilon\)이다. 그러면$$a-\epsilon<a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}<a+\epsilon$$이므로 \(N=\max\{N_{1},\,N_{2}\}\)라 하면, \(n\geq N\)인 모든 자연수 \(n\)에 대하여$$|b_{n}-a|<\epsilon$$이다.

수열 \(\{a_{n}\}\)에 대하여 \(M>0\)이 존재해서 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(|a_{n}|\leq M\)이면, \(\{a_{n}\}\)을 유계수열(bounded sequence)이라고 한다.

수열 \(\{a_{n}\}\)이 수렴하면, 유계수열이다.

증명: \(\epsilon=1\)에 대해 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(|a_{n}-a|<1\)이라 하자. 그러면 삼각부등식에 의해 \(|a_{n}|-|a|\leq|a_{n}-a|<1\)이고 \(|a_{n}|<|a|+1\)이다.$$M=\max\{|a|+1,\,|a_{1}|,\,\cdots,\,|a_{N-1}|\}$$라 하면 \(|a_{n}|\leq M\)이다.

\(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a,\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{b_{n}}=b\)라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(1) \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(a_{n}+b_{n})}=a+b\)

(2) \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{ca_{n}}=ca\,(c\in\mathbb{R})\)

(3) \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}b_{n}}=ab\)

(4) \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{a_{n}}{b_{n}}}=\frac{a}{b}\,(b\neq0)\)

(5) \(\displaystyle s_{n}=\sum_{k=1}^{n}{\frac{a_{k}}{n}}\)이면, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{s_{n}}=a\)

증명:

(1): \(N_{1}\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N_{1}\)일 때 \(\displaystyle|a_{n}-a|<\frac{\epsilon}{2}\)이고

\(N_{2}\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N_{2}\)일 때 \(\displaystyle|b_{n}-b|<\frac{\epsilon}{2}\)이라 하자.

\(N=\max\{N_{1},\,N_{2}\}\)라 하면, \(n\geq N\)일 때$$|(a_{n}+b_{n})-(a+b)|=|(a_{n}-a)+(b_{n}-b)|\leq|a_{n}-a|+|b_{n}-b|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$이다.

(2): \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(\displaystyle|a_{n}-a|<\frac{\epsilon}{|c|+1}\)이므로$$|ca_{n}-ca|=|c||a_{n}-a|<\frac{|c|}{|c|+1}\epsilon<\epsilon$$이다.

(3): \(\{a_{n}\}\)이 \(a\)로 수렴하므로 유계수열이고 따라서 \(M>0\)이 존재해서 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(|a_{n}|\leq M\)이다.

\(N_{1}\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N_{1}\)일 때 \(\displaystyle|a_{n}-a|<\frac{\epsilon}{2(|b|+1)}\)이고

\(N_{2}\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N_{2}\)일 떄 \(\displaystyle|b_{n}-b|<\frac{\epsilon}{2M}\)이라 하자.

\(N=\max\{N_{1},\,N_{2}\}\)라 하면, \(n\geq N\)인 모든 \(n\)에 대하여$$\begin{align*}|a_{n}b_{n}-ab|&=|a_{n}b_{n}-a_{n}b+a_{n}b-ab|\\&\leq|a_{n}||b_{n}-b|+|b||a_{n}-a|\\&<M\frac{\epsilon}{2M}+\frac{|b|}{2(|b|+1)}\epsilon\\&<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\end{align*}$$이다.

(4): \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{b_{n}}}=\frac{1}{b}\)가 성립함을 보이자.

\(N_{1}\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N_{1}\)일 때 \(\displaystyle\frac{|b|}{2}<|b_{n}|\)이고

\(N_{2}\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N_{2}\)일 때 \(\displaystyle|b_{n}-b|<\frac{|b|^{2}}{2}\epsilon\)이라 하자.

\(N=\max\{N_{1},\,N_{2}\}\)라 하면, \(n\geq N\)인 모든 \(n\)에 대하여$$\left|\frac{1}{b_{n}}-\frac{1}{b}\right|=\frac{|b_{n}-b|}{|b_{n}||b|}<\frac{2}{|b|}\cdot\frac{1}{|b|}\frac{|b|^{2}}{2}\epsilon=\epsilon$$이다.

이 결과와 (3)을 적용하면 원하는 결과를 얻는다.

(5): \(\{a_{n}\}\)이 \(a\)로 수렴하므로 \(\{a_{n}-a\}\)는 \(0\)으로 수렴하고 유계수열이다. 즉 \(M>0\)이 존재해서 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(|a_{n}-a|\leq M\)이다. \(1\leq m\leq n\)인 \(m\in\mathbb{N}\)에 대하여$$|s_{n}-a|\leq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{m}{|a_{k}-a|}+\frac{1}{n}\sum_{k=m+1}^{n}{|a_{k}-a|}\leq M\frac{m}{n}+\frac{1}{n}\sum_{k=m+1}^{n}{|a_{k}-a|}$$이다. \(m\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(\displaystyle|a_{n}-a|<\frac{\epsilon}{2}\)이라 하고, \(N\in\mathbb{N}\)을 선택해서 \(\displaystyle\frac{Mm}{N}\leq\frac{\epsilon}{2}\)이라 하자. \(n\geq N\)인 모든 \(n\)에 대하여$$|s_{n}-a|\leq M\frac{m}{n}+\frac{1}{n}\sum_{k=m+1}^{n}{|a_{k}-a|}\leq\frac{\epsilon}{2}+\frac{n-m}{n}\frac{\epsilon}{2}<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$이다.

(5)의 역은 성립하지 않는다.(반례: \(a_{n}=(-1)^{n}\))

다음 성질들이 성립한다.

(1) \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{c}=c\,(c\in\mathbb{R})\)

(2) \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|a|^{\frac{1}{n}}}=1\)

(3) \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{n^{\frac{1}{n}}}=1\)

(4) \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n!}}=0\)

증명:

(1): 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(a_{n}=c\)이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=c\)이다.

(2): 

(i) \(|a|=1\)일 때, \(\displaystyle|a|^{\frac{1}{n}}=1\)이고 (1)에 의해 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|a|^{\frac{1}{n}}}=1\)이다.

(ii) \(|a|>1\)일 때, \(\displaystyle a_{n}=|a|^{\frac{1}{n}}-1>0\)이라 하자. \(|a|=(a_{n}+1)^{n}\geq1+na_{n}\geq0\)이므로 \(\displaystyle0\leq a_{n}\leq\frac{|a|-1}{n}\)이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{|a|-1}{n}}=0\)이므로 조임정리에 의해$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(|a|^{\frac{1}{n}}-1)}=0$$이고 따라서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|a|^{\frac{1}{n}}}=1\)이다.

(iii): \(|a|<1\)일 때, \(\displaystyle\frac{1}{|a|}>1\)이므로, (ii)에 의해 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(\frac{1}{|a|}\right)^{\frac{1}{n}}}=\frac{1}{\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|a|^{\frac{1}{n}}}}=1\)이고 따라서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|a|^{\frac{1}{n}}}=1\)이다.

(3): \(a_{n}=n^{\frac{1}{n}}-1\)이라 하자. 그러면$$(a_{n}+1)^{n}=n\geq1+\binom{n}{1}a_{n}+\binom{n}{2}a_{n}^{2}\geq1+\frac{n(n-1)}{2}a_{n}^{2}\,(n\geq 2)$$이므로$$0\leq a_{n}\leq\sqrt{\frac{2}{n}}$$이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sqrt{\frac{2}{n}}}=0\)이므로 조임정리에 의해$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(n^{\frac{1}{n}}-1)}=0$$이고 따라서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{n^{\frac{1}{n}}}=1\)이다.

(4): \(n\leq n!\)이므로 \(\displaystyle0\leq\frac{1}{n!}\leq\frac{1}{n}\)이고, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n}}=0\)이므로 따라서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n!}}=0\)이다.

참고자료:

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

실해석학 개론, 정동명, 조승제, 경문사