[해석학] 4. 수열(2: 코시수열, 유계수열)

4. 수열(2: 코시수열, 유계수열)

수열 $\{a_{n}\}$이 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $m,\,n\geq N$일 때 $|a_{n}-a_{m}|<\epsilon$이면, 수열 $\{a_{n}\}$을 코시수열(Cauchy sequence)이라고 한다.

수렴하는 수열은 코시수열이다. 즉 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a$이면, $\{a_{n}\}$은 코시수열이다.

증명: 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $n\geq N$일 때, $\displaystyle|a_{n}-a|<\frac{\epsilon}{2}$이다. 그러므로 $n,\,m\geq N$에 대하여 $$|a_{m}-a_{n}|=|(a_{m}-a)-(a_{n}-a)|\leq|a_{m}-a|+|a_{n}-a|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ 이다.

코시수열은 유계수열이다. 즉 $\{a_{n}\}$이 코시수열이면, $\{a_{n}\}$은 유계이다.

증명: $\epsilon=1$일 때 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $m,\,n\geq N$일 때, $|a_{m}-a_{n}|<1$이다.

$m=N$이라 하면 $n\geq N$일 때, $|a_{n}-a_{N}|<1$이고, $n\geq N$에 대하여 $|a_{n}|<|a_{N}|+1$이다. $$M=\max\{|a_{N}|+1,\,|a_{1}|,\,\cdots,\,|a_{N-1}|\}$$ 라 하면, 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $|a_{n}|\leq M$이다.

수열 $\{a_{n}\}$에 대하여

1. 임의의 $M>0$에 대해 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $n\geq N$일 때 $a_{n}>M$이면, $\{a_{n}\}$은 양의 무한대로 발산한다고 하고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\infty$로 나타낸다. 

2. 임의의 $M>0$에 대해 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $n\geq N$일 때 $a_{n}<-M$이면, $\{a_{n}\}$은 음의 무한대로 발산한다고 하고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=-\infty$로 나타낸다.

수열 $\{a_{n}\}$에 대하여

1. 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $a_{n}\leq a_{n+1}$이면, $\{a_{n}\}$은 단조증가(Monotonically increasing)한다고 한다.

2. 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $a_{n}<a_{n+1}$이면, $\{a_{n}\}$은 증가(strictly increasing)한다고 한다.

3. 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $a_{n}\geq a_{n+1}$이면, $\{a_{n}\}$은 단조감소(Monotonically decreasing)한다고 한다.

4. 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $a_{n}>a_{n+1}$이면, $\{a_{n}\}$은 감소(strictly decreasing)한다고 한다.

수열 $\{a_{n}\}$이

(1). 단조증가하고 위로 유계이면, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\sup_{n\in\mathbb{N}}{a_{n}}$

(2). 단조증가하고 아래로 유계이면, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\inf_{n\in\mathbb{N}}{a_{n}}$

증명:

(1): $\displaystyle\alpha=\sup_{n\in\mathbb{N}}{a_{n}}$, $\epsilon>0$이라 하자. $\alpha-\epsilon<\alpha$이므로 $\alpha-\epsilon$은 집합 $\{a_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}$의 하나의 상계이고, $a_{N}\in\{a_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}$이 존재해서 $\alpha-\epsilon<a_{N}$이다. 임의의 $n\geq N$에 대하여 $$\alpha-\epsilon<a_{N}\leq a_{n}\leq\alpha<\alpha+\epsilon$$ 이므로 $|a_{n}-\alpha|<\epsilon$이다.

(2): $\displaystyle\beta=\inf_{n\in\mathbb{N}}{\{a_{n}\}}$, $\epsilon>0$이라 하자. $\beta+\epsilon>\beta$이므로 $\beta+\epsilon$은 집합 $\{a_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}$의 하나의 하계이고, $a_{N}\in\{a_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}$이 존재해서 $a_{N}<\beta+\epsilon$이다. 임의의 $n\geq N$에 대하여 $$\beta-\epsilon<\beta\leq a_{n}\leq a_{N}<\beta+\epsilon$$ 이므로 $|a_{n}-\beta|<\epsilon$이다.

수열 $\displaystyle a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$은 단조증가하는 유계수열이다.

먼저 유계임을 보이자. $$\begin{align*}a_{n}&=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}\left(\frac{1}{n}\right)^{k}}=\sum_{k=0}^{n}{\frac{n(n-1)\cdots(n-(k-1))}{k!}\left(\frac{1}{n}\right)^{k}}\\&=\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}1\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)}\\&\leq\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{n!}}\\&\leq\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{2^{k}}}\\&<3\end{align*}$$ 이므로 $\{a_{n}\}$은 유계수열이다.

그 다음으로 단조증가수열임을 보이자. $$a_{n}=\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)}\leq\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}1\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n+1}\right)}+\left(\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}=a_{n+1}$$ 이므로 $\{a_{n}\}$은 단조증가수열이다.

수열 $\{a_{n}\}$과 증가함수 $g:\,\mathbb{N}\,\rightarrow\,\mathbb{N}$에 대하여 $b_{k}=a_{g(k)}$라 하자. 수열 $\{b_{k}\}=\{a_{g(k)}\}$를 $\{a_{n}\}$의 부분수열(subsequence)이라고 한다.

수열 $\displaystyle c_{n}=\left(1-\frac{1}{n}\right)\sin\frac{n\pi}{2}$일 때, $c_{n}$의 부분수열 $c_{4k},\,c_{4k-1},\,c_{4k-2},\,c_{4k-3}$은 다음과 같다. $$\begin{align*}c_{4k}&=\left(1-\frac{1}{4k}\right)\sin2k\pi=0\\c_{4k-1}&=\left(1-\frac{1}{4k-1}\right)\sin\left(\frac{4k-1}{2}\right)\pi=-\left(1-\frac{1}{4k-1}\right)\\c_{4k-2}&=\left(1-\frac{1}{4k-2}\right)\sin\left(\frac{4k-2}{2}\right)\pi=0\\c_{4k-3}&=\left(1-\frac{1}{4k-3}\right)\sin\left(\frac{4k-3}{2}\right)\pi=1-\frac{1}{4k-3}\end{align*}$$

수열 $\{a_{n}\}$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a$일 필요충분조건은 임의의 부분수열 $\{a_{n_{k}}\}$에 대하여 $\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{a_{n_{k}}}=a$이다.

증명:

$(\Rightarrow)$: 자명하다.

$(\Leftarrow)$: $k\in\mathbb{N}$에 대하여 $n_{k}\geq k$라 하고, 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $n\geq N$일 때, $|a_{n}-a|<\epsilon$이라고 하자.

그러면 $k\geq N$에 대하여 $n_{k}\geq k\geq N$이고 이 경우에 $|a_{n_{k}}-a|<\epsilon$이다.

축소구간성질(Nested-interval property)

임의의 $n\in\mathbb{N}$에 대하여, $I_{n}=[a_{n},\,b_{n}]$, $I_{n+1}\subset I_{n}$이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(1) $\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{I_{n}}=[a,\,b]\,\left(a=\sup_{n\in\mathbb{N}}{a_{n}},\,b=\inf_{n\in\mathbb{N}}{b_{n}}\right)$

(2) $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(b_{n}-a_{n})}=0$이면 $a=b$, 즉 $\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{I_{n}}=\{a\}$

증명:

(1): 가정에 의해 $$a_{1}\leq a_{2}\leq\cdots\leq a_{n}\leq\cdots\leq b_{n}\leq\cdots\leq b_{2}\leq b_{1}$$ 이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n}\leq b_{n}$이고 $b_{m}$은 집합 $\{a_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}$의 상계이므로 $a\leq b_{m}$이고, $a$는 집합 $\{b_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}$에 대한 하계이다. 그러므로 $a\leq b$이다.

(i) $\displaystyle x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}{I_{n}}$이라 하자. 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $a_{n}\leq x\leq b_{n}$이고, $a\leq x\leq b$이므로 $x\in [a,\,b]$이다.

(ii) $x\in[a,\,b]$라 하자. 그러면 $a\leq x\leq b$이고, 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $a_{n}\leq a\leq x\leq b\leq b_{n}$이므로 $x\in[a,\,b]$이고 $\displaystyle x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}{I_{n}}$이다.  

(i)과 (ii)에 의해 $\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{I_{n}}=[a,\,b]$이다.

(2): $\displaystyle0=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(b_{n}-a_{n})}=b-a$이므로 $a=b$이다. 

볼차노-바이어슈트라스 정리(Bolzano-Weirestrass theorem)

실수상의 모든 유계수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다.

증명: $\{a_{n}\}$을 실수 상의 유계수열이라 하고 $$\alpha_{1}=\inf_{n\in\mathbb{N}}{a_{n}},\,\beta_{1}=\sup_{n\in\mathbb{N}}{a_{n}},\,I_{1}=[\alpha_{1},\,\beta_{1}]$$ 이라 한다. $I_{1}$을 분할하고 $I_{2}=[\alpha_{2},\,\beta_{2}]$라 하자. $I_{2}$가 $a_{n}$의 무한개의 항들을 포함하면(그렇지 않다면 그럴 때 까지 반복), 한 닫힌구간의 축소수열 $\{I_{n}\}$을 얻는데 $I_{n}$은 다음의 두 성질들을 만족한다.

(i) $I_{n}$은 $a_{n}$의 무한항들을 포함한다.

(ii) $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(\beta_{n}-\alpha_{n})}=0\,\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}{I_{n}}=\{a\}\right)$

$$a_{n_{1}}\in I_{1},\,a_{n_{2}}\in I_{2}-\{a_{n_{1}}\},\,\cdots,\,a_{n_{k}}\in I_{k}-\{a_{n_{1}},\,\cdots,\,a_{n_{k-1}}\}\,(n_{k}>\cdots>n_{2}>n_{1})$$ 인 $a_{n_{1}},\,\cdots,\,a_{n_{k}}$들을 선택하자. $\{a_{n_{k}}\}$는 $\{a_{n}\}$의 부분수열이고 $a_{n_{k}}\in I_{k}$이므로 $\alpha_{k}\leq a_{n_{k}}\leq\beta_{k}$이다.

$I_{k+1}\subset I_{k+1}$이고 $\displaystyle\bigcap_{k=1}^{\infty}{I_{k}}=\{a\}$, 즉 $\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{\alpha_{k}}=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{\beta_{k}}=a$이므로 조임정리에 의해 $\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{a_{n_{k}}}=a$이다.

$\{a_{n}\}$이 실수 상의 코시수열이면 실수로 수렴하는 수열이다.

증명: $\{a_{n}\}$은 유계수열이므로 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 $a$로 수렴하는 부분수열 $\{a_{n_{k}}\}$를 갖는다.

임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $m,\,n\geq N$일 때 $\displaystyle|a_{m}-a_{n}|<\frac{\epsilon}{2}$이라 하고, $k\in\mathbb{N}$이 존재해서 $n_{k}\geq k$일 때 $\displaystyle|a_{n_{k}}-a|<\frac{\epsilon}{2}$이라 하자. $k_{0}\in\mathbb{N}$를 선택해서 $k_{0}\geq\max\{k,\,N\}$라 하면 $k_{0}\geq k$이고 $N\leq k\leq n_{k_{0}}$이고 임의의 $n\geq N$에 대하여 $$|a_{n}-a|\leq|a_{n}-a_{n_{k}}|+|a_{n_{k}}-a|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ 이다.

이 정리는 실수 상에서만 성립한다. 예를들어 $a_{n}$을 $$a_{1}=1,\,a_{2}=1.4,\,a_{3}=1.414,\,\cdots$$ 인 $\mathbb{Q}$(유리수) 상에서의 코시수열이라 하자. 그러면 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\sqrt{2}$이나 $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$이므로 $a_{n}$은 코시수열이지만 수렴하지 않는다.

수열 $\{a_{n}\}$에 대하여 $$u_{n}=\sup_{k\geq n}{a_{k}},\,v_{n}=\inf_{k\geq n}{a_{k}}$$ 라 하자. $$\begin{align*}\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{u_{n}}&=\inf_{n\in\mathbb{N}}{u_{n}}=\inf_{n\in\mathbb{N}}{\left(\sup_{k\geq n}{a_{k}}\right)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup a_{n}}\\ \lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{v_{n}}&=\sup_{n\in\mathbb{N}}{v_{n}}=\sup_{n\in\mathbb{N}}{\left(\inf_{k\geq n}{a_{k}}\right)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf a_{n}}\end{align*}$$ 를 각각 $\{a_{n}\}$의 상극한(limit superior), 하극한(limit inferior)이라고 한다.

수열 $\displaystyle a_{n}=\sin\frac{n\pi}{2}$의 상극한과 하극한은 각각 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup a_{n}}=1,\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf a_{n}}=-1$$ 이다.

참고자료:

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

실해석학 개론, 정동명, 조승제, 경문사

알기쉬운 해석학, 장건수 외 5인, 도서출판 대선