[해석학] 4. 수열(2: 코시수열, 유계수열)

4. 수열(2: 코시수열, 유계수열)

수열 \(\{a_{n}\}\)이 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(m,\,n\geq N\)일 때 \(|a_{n}-a_{m}|<\epsilon\)이면, 수열 \(\{a_{n}\}\)을 코시수열(Cauchy sequence)이라고 한다.

수렴하는 수열은 코시수열이다. 즉 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a\)이면, \(\{a_{n}\}\)은 코시수열이다.

증명: 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때, \(\displaystyle|a_{n}-a|<\frac{\epsilon}{2}\)이다. 그러므로 \(n,\,m\geq N\)에 대하여$$|a_{m}-a_{n}|=|(a_{m}-a)-(a_{n}-a)|\leq|a_{m}-a|+|a_{n}-a|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$이다.

코시수열은 유계수열이다. 즉 \(\{a_{n}\}\)이 코시수열이면, \(\{a_{n}\}\)은 유계이다.

증명: \(\epsilon=1\)일 때 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(m,\,n\geq N\)일 때, \(|a_{m}-a_{n}|<1\)이다.

\(m=N\)이라 하면 \(n\geq N\)일 때, \(|a_{n}-a_{N}|<1\)이고, \(n\geq N\)에 대하여 \(|a_{n}|<|a_{N}|+1\)이다.$$M=\max\{|a_{N}|+1,\,|a_{1}|,\,\cdots,\,|a_{N-1}|\}$$라 하면, 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(|a_{n}|\leq M\)이다.

수열 \(\{a_{n}\}\)에 대하여

1. 임의의 \(M>0\)에 대해 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(a_{n}>M\)이면, \(\{a_{n}\}\)은 양의 무한대로 발산한다고 하고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\infty\)로 나타낸다. 

2. 임의의 \(M>0\)에 대해 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(a_{n}<-M\)이면, \(\{a_{n}\}\)은 음의 무한대로 발산한다고 하고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=-\infty\)로 나타낸다.

수열 \(\{a_{n}\}\)에 대하여

1. 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(a_{n}\leq a_{n+1}\)이면, \(\{a_{n}\}\)은 단조증가(Monotonically increasing)한다고 한다.

2. 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(a_{n}<a_{n+1}\)이면, \(\{a_{n}\}\)은 증가(strictly increasing)한다고 한다.

3. 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(a_{n}\geq a_{n+1}\)이면, \(\{a_{n}\}\)은 단조감소(Monotonically decreasing)한다고 한다.

4. 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(a_{n}>a_{n+1}\)이면, \(\{a_{n}\}\)은 감소(strictly decreasing)한다고 한다.

수열 \(\{a_{n}\}\)이

(1). 단조증가하고 위로 유계이면, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\sup_{n\in\mathbb{N}}{a_{n}}\)

(2). 단조증가하고 아래로 유계이면, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\inf_{n\in\mathbb{N}}{a_{n}}\)

증명:

(1): \(\displaystyle\alpha=\sup_{n\in\mathbb{N}}{a_{n}}\), \(\epsilon>0\)이라 하자. \(\alpha-\epsilon<\alpha\)이므로 \(\alpha-\epsilon\)은 집합 \(\{a_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}\)의 하나의 상계이고, \(a_{N}\in\{a_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}\)이 존재해서 \(\alpha-\epsilon<a_{N}\)이다. 임의의 \(n\geq N\)에 대하여$$\alpha-\epsilon<a_{N}\leq a_{n}\leq\alpha<\alpha+\epsilon$$이므로 \(|a_{n}-\alpha|<\epsilon\)이다.

(2): \(\displaystyle\beta=\inf_{n\in\mathbb{N}}{\{a_{n}\}}\), \(\epsilon>0\)이라 하자. \(\beta+\epsilon>\beta\)이므로 \(\beta+\epsilon\)은 집합 \(\{a_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}\)의 하나의 하계이고, \(a_{N}\in\{a_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}\)이 존재해서 \(a_{N}<\beta+\epsilon\)이다. 임의의 \(n\geq N\)에 대하여$$\beta-\epsilon<\beta\leq a_{n}\leq a_{N}<\beta+\epsilon$$이므로 \(|a_{n}-\beta|<\epsilon\)이다.

수열 \(\displaystyle a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\)은 단조증가하는 유계수열이다.

먼저 유계임을 보이자.$$\begin{align*}a_{n}&=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}\left(\frac{1}{n}\right)^{k}}=\sum_{k=0}^{n}{\frac{n(n-1)\cdots(n-(k-1))}{k!}\left(\frac{1}{n}\right)^{k}}\\&=\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}1\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)}\\&\leq\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{n!}}\\&\leq\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{2^{k}}}\\&<3\end{align*}$$이므로 \(\{a_{n}\}\)은 유계수열이다.

그 다음으로 단조증가수열임을 보이자.$$a_{n}=\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)}\leq\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}1\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n+1}\right)}+\left(\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}=a_{n+1}$$이므로 \(\{a_{n}\}\)은 단조증가수열이다.

수열 \(\{a_{n}\}\)과 증가함수 \(g:\,\mathbb{N}\,\rightarrow\,\mathbb{N}\)에 대하여 \(b_{k}=a_{g(k)}\)라 하자. 수열 \(\{b_{k}\}=\{a_{g(k)}\}\)를 \(\{a_{n}\}\)의 부분수열(subsequence)이라고 한다.

수열 \(\displaystyle c_{n}=\left(1-\frac{1}{n}\right)\sin\frac{n\pi}{2}\)일 때, \(c_{n}\)의 부분수열 \(c_{4k},\,c_{4k-1},\,c_{4k-2},\,c_{4k-3}\)은 다음과 같다.$$\begin{align*}c_{4k}&=\left(1-\frac{1}{4k}\right)\sin2k\pi=0\\c_{4k-1}&=\left(1-\frac{1}{4k-1}\right)\sin\left(\frac{4k-1}{2}\right)\pi=-\left(1-\frac{1}{4k-1}\right)\\c_{4k-2}&=\left(1-\frac{1}{4k-2}\right)\sin\left(\frac{4k-2}{2}\right)\pi=0\\c_{4k-3}&=\left(1-\frac{1}{4k-3}\right)\sin\left(\frac{4k-3}{2}\right)\pi=1-\frac{1}{4k-3}\end{align*}$$

수열 \(\{a_{n}\}\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a\)일 필요충분조건은 임의의 부분수열 \(\{a_{n_{k}}\}\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{a_{n_{k}}}=a\)이다.

증명:

\((\Rightarrow)\): 자명하다.

\((\Leftarrow)\): \(k\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(n_{k}\geq k\)라 하고, 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때, \(|a_{n}-a|<\epsilon\)이라고 하자.

그러면 \(k\geq N\)에 대하여 \(n_{k}\geq k\geq N\)이고 이 경우에 \(|a_{n_{k}}-a|<\epsilon\)이다.

축소구간성질(Nested-interval property)

임의의 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여, \(I_{n}=[a_{n},\,b_{n}]\), \(I_{n+1}\subset I_{n}\)이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(1) \(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{I_{n}}=[a,\,b]\,\left(a=\sup_{n\in\mathbb{N}}{a_{n}},\,b=\inf_{n\in\mathbb{N}}{b_{n}}\right)\)

(2) \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(b_{n}-a_{n})}=0\)이면 \(a=b\), 즉 \(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{I_{n}}=\{a\}\)

증명:

(1): 가정에 의해$$a_{1}\leq a_{2}\leq\cdots\leq a_{n}\leq\cdots\leq b_{n}\leq\cdots\leq b_{2}\leq b_{1}$$이므로 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n}\leq b_{n}\)이고 \(b_{m}\)은 집합 \(\{a_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}\)의 상계이므로 \(a\leq b_{m}\)이고, \(a\)는 집합 \(\{b_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}\)에 대한 하계이다. 그러므로 \(a\leq b\)이다.

(i) \(\displaystyle x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}{I_{n}}\)이라 하자. 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(a_{n}\leq x\leq b_{n}\)이고, \(a\leq x\leq b\)이므로 \(x\in [a,\,b]\)이다.

(ii) \(x\in[a,\,b]\)라 하자. 그러면 \(a\leq x\leq b\)이고, 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(a_{n}\leq a\leq x\leq b\leq b_{n}\)이므로 \(x\in[a,\,b]\)이고 \(\displaystyle x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}{I_{n}}\)이다.  

(i)과 (ii)에 의해 \(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{I_{n}}=[a,\,b]\)이다.

(2): \(\displaystyle0=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(b_{n}-a_{n})}=b-a\)이므로 \(a=b\)이다. 

볼차노-바이어슈트라스 정리(Bolzano-Weirestrass theorem)

실수상의 모든 유계수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다.

증명: \(\{a_{n}\}\)을 실수 상의 유계수열이라 하고$$\alpha_{1}=\inf_{n\in\mathbb{N}}{a_{n}},\,\beta_{1}=\sup_{n\in\mathbb{N}}{a_{n}},\,I_{1}=[\alpha_{1},\,\beta_{1}]$$이라 한다. \(I_{1}\)을 분할하고 \(I_{2}=[\alpha_{2},\,\beta_{2}]\)라 하자. \(I_{2}\)가 \(a_{n}\)의 무한개의 항들을 포함하면(그렇지 않다면 그럴 때 까지 반복), 한 닫힌구간의 축소수열 \(\{I_{n}\}\)을 얻는데 \(I_{n}\)은 다음의 두 성질들을 만족한다.

(i) \(I_{n}\)은 \(a_{n}\)의 무한항들을 포함한다.

(ii) \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(\beta_{n}-\alpha_{n})}=0\,\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}{I_{n}}=\{a\}\right)\)

$$a_{n_{1}}\in I_{1},\,a_{n_{2}}\in I_{2}-\{a_{n_{1}}\},\,\cdots,\,a_{n_{k}}\in I_{k}-\{a_{n_{1}},\,\cdots,\,a_{n_{k-1}}\}\,(n_{k}>\cdots>n_{2}>n_{1})$$인 \(a_{n_{1}},\,\cdots,\,a_{n_{k}}\)들을 선택하자. \(\{a_{n_{k}}\}\)는 \(\{a_{n}\}\)의 부분수열이고 \(a_{n_{k}}\in I_{k}\)이므로 \(\alpha_{k}\leq a_{n_{k}}\leq\beta_{k}\)이다.

\(I_{k+1}\subset I_{k+1}\)이고 \(\displaystyle\bigcap_{k=1}^{\infty}{I_{k}}=\{a\}\), 즉 \(\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{\alpha_{k}}=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{\beta_{k}}=a\)이므로 조임정리에 의해 \(\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{a_{n_{k}}}=a\)이다.

\(\{a_{n}\}\)이 실수 상의 코시수열이면 실수로 수렴하는 수열이다.

증명: \(\{a_{n}\}\)은 유계수열이므로 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 \(a\)로 수렴하는 부분수열 \(\{a_{n_{k}}\}\)를 갖는다.

임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(m,\,n\geq N\)일 때 \(\displaystyle|a_{m}-a_{n}|<\frac{\epsilon}{2}\)이라 하고, \(k\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n_{k}\geq k\)일 때 \(\displaystyle|a_{n_{k}}-a|<\frac{\epsilon}{2}\)이라 하자. \(k_{0}\in\mathbb{N}\)를 선택해서 \(k_{0}\geq\max\{k,\,N\}\)라 하면 \(k_{0}\geq k\)이고 \(N\leq k\leq n_{k_{0}}\)이고 임의의 \(n\geq N\)에 대하여$$|a_{n}-a|\leq|a_{n}-a_{n_{k}}|+|a_{n_{k}}-a|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$이다.

이 정리는 실수 상에서만 성립한다. 예를들어 \(a_{n}\)을$$a_{1}=1,\,a_{2}=1.4,\,a_{3}=1.414,\,\cdots$$인 \(\mathbb{Q}\)(유리수) 상에서의 코시수열이라 하자. 그러면 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\sqrt{2}\)이나 \(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\)이므로 \(a_{n}\)은 코시수열이지만 수렴하지 않는다.

수열 \(\{a_{n}\}\)에 대하여$$u_{n}=\sup_{k\geq n}{a_{k}},\,v_{n}=\inf_{k\geq n}{a_{k}}$$라 하자.$$\begin{align*}\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{u_{n}}&=\inf_{n\in\mathbb{N}}{u_{n}}=\inf_{n\in\mathbb{N}}{\left(\sup_{k\geq n}{a_{k}}\right)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup a_{n}}\\ \lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{v_{n}}&=\sup_{n\in\mathbb{N}}{v_{n}}=\sup_{n\in\mathbb{N}}{\left(\inf_{k\geq n}{a_{k}}\right)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf a_{n}}\end{align*}$$를 각각 \(\{a_{n}\}\)의 상극한(limit superior), 하극한(limit inferior)이라고 한다.

수열 \(\displaystyle a_{n}=\sin\frac{n\pi}{2}\)의 상극한과 하극한은 각각$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup a_{n}}=1,\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf a_{n}}=-1$$이다.

참고자료:

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

실해석학 개론, 정동명, 조승제, 경문사

알기쉬운 해석학, 장건수 외 5인, 도서출판 대선