[해석학] 5. 수열(3: 함수열과 급수)

5. 수열(3: 함수열과 급수)

\(I\subset\mathbb{R}\)를 구간이라 하자. 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(I\)에서 정의된 함수 \(f:\,I\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)들의 수열 \(\{f_{n}(x)\}\)를 \(I\)에서 정의된 함수열(sequence of functions)이라고 한다.

임의의 \(x_{0}\in I\)에 대하여 \(\{f_{n}(x_{0})\}\)가 \(f(x_{0})\)로 수렴하면, 함수열 \(\{f_{n}(x)\}\)는 구간 \(I\)에서 함수 \(f(x)\)로 점별수렴(pointwise converge)한다고 하고, 이 함수 \(f(x)\)를 \(\{f_{n}(x)\}\)의 점별극한함수(pointwise limit function)라고 한다.

점별수렴의 정의를 다음과 같이 나타낼 수 있다:

모든 \(x_{0}\in I\)와 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때, \(|f_{n}(x_{0})-f(x_{0})|<\epsilon\)이다.

구간 \([0,\,1]\)에서 정의된 함수열 \(f_{n}=x^{n}\)은 다음의 함수 \(f(x)\)로 점별수렴한다.$$f(x)=\begin{cases}0,&\,(0\leq x<1)\\1,&\,(x=1)\end{cases}$$

실수 전체에서 정의된 함수열 \(\displaystyle g_{n}(x)=\frac{x}{n},\,h_{n}(x)=\frac{nx}{1+n^{2}x^{2}}\)는 모두 함수 \(g(x)=0,\,h(x)=0\)으로 수렴한다.

함수열 \(\{f_{n}(x)\}\)을 구간 \(I\)에서 정의되었다고 하자. 임의의 \(x\in I\)와 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때, \(|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon\)이면, 함수열 \(\{f_{n}(x)\}\)는 구간 \(I\)에서 함수 \(f(x)\)로 균등수렴(uniformly converges)한다고 한다.

함수열이 어떤 구간에서 어떤 함수로 균등수렴하면 점별수렴하지만 그 역은 성립하지 않는다.

앞에서 다루었던 함수열 \(\{f_{n}\},\,\{g_{n}\},\,\{h_{n}\}\)은 모두 점별수렴하나 균등수렴하지 않는다.

\(f_{n}\)에 대해서 \(\displaystyle\epsilon_{0}=\frac{1}{2},\,x_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{n}}\)이라 하면,$$|f_{n}(x_{n})-f(x_{n})|=x_{n}^{n}=\frac{1}{2}=\epsilon_{0}$$이고 따라서 균등수렴하지 않는다. \(g_{n}\)과 \(h_{n}\)에 대해서 각각 \(\displaystyle  x_{n}=n,\,\epsilon_{0}=1,\,x_{n}=\frac{1}{n},\,\epsilon_{0}=\frac{1}{2}\)라고 하면,$$|g(x_{n})-g(x)|=1=\epsilon_{0},\,|h_{n}(x)-h(x)|=\frac{1}{2}=\epsilon_{0}$$이므로 모두 균등수렴하지 않는다.

구간 \(I\)에서 함수열 \(\{f_{n}(x)\}\)가 함수 \(f(x)\)로 점별수렴하고$$T_{n}=\sup_{x\in I}|f_{n}(x)-f(x)|$$라 하자. 함수열 \(\{f_{n}(x)\}\)가 \(f(x)\)로 균등수렴할 필요충분조건은 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{T_{n}}=0\)이다.

증명:

\((\Rightarrow)\): 함수열 \(f_{n}\)이 \(f\)로 균등수렴한다고 하자. 그러면 임의의 \(x\in I\)와 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(\displaystyle|f_{n}(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{2}\)이다. 따라서 \(n\geq N\)일 때, \(\displaystyle T_{n}=\sup_{x\in I}{|f_{n}(x)-f(x)|}\leq\frac{\epsilon}{2}<\epsilon\)이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{T_{n}}=0\)이다.

\((\Leftarrow)\): \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{T_{n}}=0\)이라 하자. 그러면 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때, \(|T_{n}-0|=|T_{n}|<\epsilon\)이다.

이것은 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때, \(|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon\)을 뜻하고 따라서 함수열 \(f_{n}\)은 \(I\)에서 함수 \(f\)로 균등수렴한다.

구간 \([0,\,1]\)에서 정의된 함수열 \(\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x}{1+nx}\)는 \([0,\,1]\)에서 함수 \(f(x)=0\)으로 균등수렴한다.

그 이유는 먼저 $$\displaystyle f(x)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}(x)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{x}{1+nx}}=0$$이고,$$T_{n}=\max_{x\in[0,\,1]}{\frac{x}{1+nx}}$$라 하면, \(f_{n}\)은 \([0,\,1]\)에서 연속이므로 최댓값을 갖는다. 이때$$f_{n}'(x)=\frac{1}{(nx+1)^{2}}$$이므로 \(f_{n}\)은 구간 \([0,\,1]\)에서 증가하고 \(x=1\)일 때 최대이다. 즉 \(\displaystyle f_{n}(1)=\frac{1}{1+n}\)이 최댓값이다. 따라서$$T_{n}=f_{n}(1)=\frac{1}{1+n}$$이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{T_{n}}=0\)이므로 \(f_{n}\)은 \(f\)로 균등수렴한다.

코시 판정법(Cauchy criterion)

함수열 \(\{f_{n}(x)\}\)가 구간 \(I\)에서 균등수렴할 필요충분조건은 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n,\,m\geq N\)일 때, \(|f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\epsilon\)이다.

증명:

\((\Rightarrow)\): \(\{f_{n}(x)\}\)가 구간 \(I\)에서 함수 \(f(x)\)로 균등수렴한다고 하자. 그러면 임의의 \(x\in I\)와 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(\displaystyle|f_{n}(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{2}\)이다.

모든 \(x\in I\)에 대하여 \(n,\,m\geq N\)일 때,$$|f_{n}(x)-f_{m}(x)|\leq|f_{n}(x)-f(x)|+|f_{m}(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$이다.

\((\Leftarrow)\): 임의의 \(x\in I\)와 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n,\,m\geq N\)일 때, \(|f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\epsilon\)이라 하자. 그러면 임의의 \(x_{0}\in I\)에 대하여 \(\{f_{n}(x_{0})\}\)는 코시수열이고 수렴한다.

함수열 \(\{f_{n}(x)\}\)가 \(I\)에서 \(f(x)\)로 균등수렴함을 보이자.

임의의 \(x\in I\)와 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n,\,m\geq N\)일 때, \(\displaystyle|f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\frac{\epsilon}{2}\)이다. 함수열이 수렴하므로 \(m_{x}\in\mathbb{N}\)가 존재해서 \(\displaystyle|f_{m_{x}}(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{2}\)이다. 따라서 \(n\geq N\)일 때$$|f_{n}(x)-f(x)|=|f_{n}(x)-f_{m_{x}}(x)+f_{m_{x}}(x)-f(x)|\leq|f_{n}(x)-f_{m_{x}}(x)|+|f_{m_{x}}(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$이다.

수열 \(\{a_{n}\}\)의 항들을 무한히 더한 식$$\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}+\cdots$$를 급수(series)라고 하고, 각 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)의 첫째항부터 \(n\)항까지의 합$$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}$$를 그 급수의 부분합(partial sum)이라고 한다.

부분합의 수열 \(\{S_{n}\}\)이 \(S\)로 수렴하면, 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 수렴(converges)한다고 하고, 그렇지 않은 경우에는 발산(diverges)한다고 한다.

무한등비급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{ar^{n}}\)의 부분합 \(S_{n}\)은$$S_{n}=\begin{cases}a\frac{1-r^{n}}{1-r},&\,(r\neq1)\\a(n+1),&\,(r=1)\end{cases}$$이므로 \(|r|<1\)일 때 \(\displaystyle\frac{a}{1-r}\)로 수렴하고, \(|r|\geq1\)일 때는 발산한다.

무한급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n(n+1)}}\)의 부분합 \(\displaystyle S_{n}\)은$$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k(k+1)}}=\sum_{k=1}^{n}{\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)}=1-\frac{1}{n+1}$$이므로 따라서 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n(n+1)}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n}}=1\)이다.

급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)이 수렴하면, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=0\)이다.

증명: 이 급수의 부분합을 \(S_{n}\)이라 하면, \(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\,(n\geq 2)\)이고, \(S_{n}\)이 수렴하므로 \(S\)로 수렴한다고 하자. 그러면$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(S_{n}-S_{n-1})}=S-S=0$$이다.

이 명제의 대우는 "\(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}\neq0\)이면, 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 발산한다"이고, 역은 성립하지 않는다. 조화급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}\)이 대표적인 반례이다.

\(S_{n}\)을 조화급수의 부분합이라 하자. 그러면$$\begin{align*}S_{2^{n}}&=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^{n-1}+1}+\frac{1}{2^{n-1}+2}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)\\&>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)\\&=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2}\right)=1+\frac{n}{2}\end{align*}$$이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n}}=0\)이지만 조화급수는 발산한다.

코시 판정법(Cauchy criterion)

무한급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)이 수렴할 필요충분조건은 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n,\,m\geq N\)일 때$$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{m}|=\left|\sum_{k=n+1}^{m}{a_{k}}\right|<\epsilon$$이다.

증명: 급수의 부분합을 \(S_{n}\)이라 하자. \(S_{n}\)이 수렴할 필요충분조건은 \(S_{n}\)이 코시수열, 즉 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(m,\,n\geq N\)일 때, \(|S_{m}-S_{n}|<\epsilon\)이다. 이때$$|S_{m}-S_{n}|=|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{m}|$$이므로 따라서 수렴할 필요충분조건은 \(\displaystyle\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}{a_{k}}\right|<\epsilon\)이다.

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}=S,\,\sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}}=T\)라 하자.

(1) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{ca_{n}}=cS\)

(2) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{(a_{n}+b_{n})}=S+T\)

증명: \(\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{a_{k}},\,T_{n}=\sum_{k=1}^{n}{b_{k}}\)라 하자.

(1): \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{ca_{k}}=c\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}=cS_{n}\)이고, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{cS_{n}}=cS\)이므로 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{ca_{n}}=cS\)이다.

(2): \(\displaystyle S_{n}+T_{n}=\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}+\sum_{k=1}^{n}{b_{k}}=\sum_{k=1}^{n}{(a_{k}+b_{k})}\)이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(S_{n}+T_{n})}=S+T\)이므로 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{(a_{n}+b_{n})}=S+T\)이다.

참고자료:

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

실해석학 개론, 정동명, 조승제, 경문사