[해석학] 7. 수열(5: 함수열 급수와 멱급수)

7. 수열(5: 함수열 급수와 멱급수)

구간 $I\subset\mathbb{R}$에서 정의된 함수열 $\{f_{n}\}$들의 무한합 $$\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}(x)}=f_{1}(x)+f_{2}(x)+\cdots+f_{n}(x)+\cdots$$ 을 $I$에서 정의된 함수열 급수라고 하고, $$S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}{f_{k}(x)}$$ 를 함수열 급수의 부분합이라고 한다.

코시 판정법(Cauchy criterion)

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}$을 구간 $I\subset\mathbb{R}$에서 정의된 함수열 급수라 하자. 이 함수열 급수가 $I$에서 균등수렴할 필요충분조건은 임의의 $\epsilon>0$과 $x\in I$에 대하여 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $n,\,m\geq N$일 때, $\displaystyle\left|\sum_{k=n+1}^{m}{f_{k}(x)}\right|$가 성립하는 것이다.

증명: 함수열 급수의 부분합 $\displaystyle S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}{f_{k}(x)}$를 코시 판정법에 적용한다.

바이어슈트라스 M판정법(Weierstrass M test)

구간 $I\subset\mathbb{R}$에서 정의된 함수열 $\{f_{n}\}$에 대하여, 모든 $x\in I$와 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $|f_{n}(x)|\leq M_{n}$이고, 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{M_{n}}$이 수렴하면, 함수열 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}$은 구간 $I$에서 균등수렴한다.

증명: 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{M_{n}}$이 수렴하므로 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $n,\,m\geq N$일 때 $\displaystyle\sum_{k=n+1}^{\infty}{M_{k}}<\epsilon$이다. 가정에 의해 모든 $x\in I$에 대하여 $$\left|\sum_{k=n+1}^{m}{f_{k}(x)}\right|\leq\sum_{k=n+1}^{m}{|f_{k}(x)|}\leq\sum_{k=n+1}^{m}{M_{k}}<\epsilon$$ 이므로 앞의 코시 판정법으로부터 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}$은 $I$에서 균등수렴한다.

식 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{2}}}=\frac{\pi^{2}}{6}$이 성립한다.

구간 $[-1,\,1]$에서 정의된 함수열 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x^{n}}{n^{2}}$에 대하여 $$\left|\frac{x^{n}}{n^{2}}\right|\leq\frac{1}{n^{2}}$$ 이므로 바이어슈트라스 M판정법에 의해 함수항급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}$은 균등수렴한다.

실수 전체에서 정의된 함수열 $$g_{n}(x)=\frac{\sin nx}{n^{2}},\,h_{n}(x)=\frac{\cos nx}{n^{2}}$$ 도 앞과 같은 방법으로 균등수렴함을 보일 수 있다.

수열 $\{a_{n}\}$과 $x_{0}\in\mathbb{R}$에 대하여 다음과 같은 형태의 급수 $$\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-x_{0})^{n}}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots$$ 를 중심이 $x_{0}$인 멱급수(power series)라고 한다.

임의의 멱급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-x_{0})^{n}}$에 대하여 이 멱급수의 수렴반지름(radius of converge)을 $R(\geq0)$이라 하면, 다음 성질들이 성립한다.

(1) $\displaystyle\frac{1}{R}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|a_{n}|^{\frac{1}{n}}}$

이때 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{a_{n}}}=0$이면 $R=\infty$, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{a_{n}}}=\infty$이면 $R=0$으로 정의한다.

(2) $|x-x_{0}|<R$이면 멱급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-x_{0})^{n}}$은 절대수렴한다.

(3) $|x-x_{0}|>R$이면 멱급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-x_{0})^{n}}$은 발산한다.

(4) $0<\rho<R$인 $\rho$에 대하여 멱급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-x_{0})^{n}}$는 $|x-x_{0}|\leq\rho$에서 균등수렴한다.

증명:

(1), (2), (3): 근판정법에 의해 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{|a_{n}(x-x_{0})^{n}|^{\frac{1}{n}}}}<1$일 때, 이 멱급수는 절대수렴한다. 따라서 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{|a_{n}|^{\frac{1}{n}}}|x-x_{0}|}=|x-x_{0}|\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{|a_{n}|^{\frac{1}{n}}}}<1$$ 이고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{|a_{n}|^{\frac{1}{n}}}}=\frac{1}{R}$이라 하면 $\displaystyle\frac{|x-x_{0}|}{R}<1$이고 $|x-x_{0}|<R$이 되어, $|x-x_{0}|<R$일 때 멱급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-x_{0})^{n}}$은 절대수렴한다. $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{|a_{n}(x-x_{0})^{n}|^{\frac{1}{n}}}}>1$일 때 근판정법에 의해 발산하고 $|x-x_{0}|>R$이 되므로 따라서 $|x-x_{0}|>R$일 때 멱급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-x_{0})^{n}}$는 발산한다.

(4): $0<\rho<R$이고 $|x-x_{0}|\leq\rho$이면, $|a_{n}(x-x_{0})^{n}|\leq|a_{n}|\rho^{n}$이다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{(|a_{n}|\rho^{n})^{\frac{1}{n}}}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup|a_{n}|^{\frac{1}{n}}\rho}=\frac{\rho}{R}<1$$ 이므로 근판정법에 의해 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}\rho^{n}}$은 수렴하고 따라서 바이어슈트라스 M판정법에 의해 멱급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-x_{0})^{n}}$은 균등수렴한다.

위 정리에서 $|x-x_{0}|=R$인 경우가 배제되었는데 그 이유는 수렴할수도 있고 발산할수도 있기 때문이다. 그러므로 이 경우는 직접 대입해서 수렴하는지 발산하는지를 확인해야 한다. 또한 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}$이 존재하는 경우, $\displaystyle\frac{1}{R}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}$으로 대체가능하고 이때

$\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}=0$이면, $R=\infty$, $\displaystyle\lim_{n,\,\rightarrow\,\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}=\infty$이면, $R=0$이다. 

멱급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n}}$의 수렴반지름을 구하면 $$\frac{1}{R}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{n}{n+1}}=1$$ 이므로 $R=1$이고 $(-1,\,1)$에서 절대수렴한다. $x=-1,\,x=1$인 경우는 각각 $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n}},\,\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}$$ 이므로 $x=-1$일 때 수렴하고 $x=1$일 때 발산한다. 그러므로 이 멱급수는 $[-1,\,1)$에서 수렴한다.

참고자료:

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

실해석학 개론, 정동명, 조승제, 경문사