[해석학] 7. 수열(5: 함수열 급수와 멱급수)

7. 수열(5: 함수열 급수와 멱급수)

구간 \(I\subset\mathbb{R}\)에서 정의된 함수열 \(\{f_{n}\}\)들의 무한합$$\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}(x)}=f_{1}(x)+f_{2}(x)+\cdots+f_{n}(x)+\cdots$$을 \(I\)에서 정의된 함수열 급수라고 하고,$$S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}{f_{k}(x)}$$를 함수열 급수의 부분합이라고 한다.

코시 판정법(Cauchy criterion)

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}\)을 구간 \(I\subset\mathbb{R}\)에서 정의된 함수열 급수라 하자. 이 함수열 급수가 \(I\)에서 균등수렴할 필요충분조건은 임의의 \(\epsilon>0\)과 \(x\in I\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n,\,m\geq N\)일 때, \(\displaystyle\left|\sum_{k=n+1}^{m}{f_{k}(x)}\right|\)가 성립하는 것이다.

증명: 함수열 급수의 부분합 \(\displaystyle S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}{f_{k}(x)}\)를 코시 판정법에 적용한다.

바이어슈트라스 M판정법(Weierstrass M test)

구간 \(I\subset\mathbb{R}\)에서 정의된 함수열 \(\{f_{n}\}\)에 대하여, 모든 \(x\in I\)와 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(|f_{n}(x)|\leq M_{n}\)이고, 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{M_{n}}\)이 수렴하면, 함수열 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}\)은 구간 \(I\)에서 균등수렴한다.

증명: 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{M_{n}}\)이 수렴하므로 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n,\,m\geq N\)일 때 \(\displaystyle\sum_{k=n+1}^{\infty}{M_{k}}<\epsilon\)이다. 가정에 의해 모든 \(x\in I\)에 대하여$$\left|\sum_{k=n+1}^{m}{f_{k}(x)}\right|\leq\sum_{k=n+1}^{m}{|f_{k}(x)|}\leq\sum_{k=n+1}^{m}{M_{k}}<\epsilon$$이므로 앞의 코시 판정법으로부터 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}\)은 \(I\)에서 균등수렴한다.

식 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{2}}}=\frac{\pi^{2}}{6}\)이 성립한다.

구간 \([-1,\,1]\)에서 정의된 함수열 \(\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x^{n}}{n^{2}}\)에 대하여$$\left|\frac{x^{n}}{n^{2}}\right|\leq\frac{1}{n^{2}}$$이므로 바이어슈트라스 M판정법에 의해 함수항급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}\)은 균등수렴한다.

실수 전체에서 정의된 함수열$$g_{n}(x)=\frac{\sin nx}{n^{2}},\,h_{n}(x)=\frac{\cos nx}{n^{2}}$$도 앞과 같은 방법으로 균등수렴함을 보일 수 있다.

수열 \(\{a_{n}\}\)과 \(x_{0}\in\mathbb{R}\)에 대하여 다음과 같은 형태의 급수$$\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-x_{0})^{n}}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots$$를 중심이 \(x_{0}\)인 멱급수(power series)라고 한다.

임의의 멱급수 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-x_{0})^{n}}\)에 대하여 이 멱급수의 수렴반지름(radius of converge)을 \(R(\geq0)\)이라 하면, 다음 성질들이 성립한다.

(1) \(\displaystyle\frac{1}{R}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|a_{n}|^{\frac{1}{n}}}\)

이때 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{a_{n}}}=0\)이면 \(R=\infty\), \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{a_{n}}}=\infty\)이면 \(R=0\)으로 정의한다.

(2) \(|x-x_{0}|<R\)이면 멱급수 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-x_{0})^{n}}\)은 절대수렴한다.

(3) \(|x-x_{0}|>R\)이면 멱급수 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-x_{0})^{n}}\)은 발산한다.

(4) \(0<\rho<R\)인 \(\rho\)에 대하여 멱급수 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-x_{0})^{n}}\)는 \(|x-x_{0}|\leq\rho\)에서 균등수렴한다.

증명:

(1), (2), (3): 근판정법에 의해 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{|a_{n}(x-x_{0})^{n}|^{\frac{1}{n}}}}<1\)일 때, 이 멱급수는 절대수렴한다. 따라서$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{|a_{n}|^{\frac{1}{n}}}|x-x_{0}|}=|x-x_{0}|\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{|a_{n}|^{\frac{1}{n}}}}<1$$이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{|a_{n}|^{\frac{1}{n}}}}=\frac{1}{R}\)이라 하면 \(\displaystyle\frac{|x-x_{0}|}{R}<1\)이고 \(|x-x_{0}|<R\)이 되어, \(|x-x_{0}|<R\)일 때 멱급수 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-x_{0})^{n}}\)은 절대수렴한다. \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{|a_{n}(x-x_{0})^{n}|^{\frac{1}{n}}}}>1\)일 때 근판정법에 의해 발산하고 \(|x-x_{0}|>R\)이 되므로 따라서 \(|x-x_{0}|>R\)일 때 멱급수 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-x_{0})^{n}}\)는 발산한다.

(4): \(0<\rho<R\)이고 \(|x-x_{0}|\leq\rho\)이면, \(|a_{n}(x-x_{0})^{n}|\leq|a_{n}|\rho^{n}\)이다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup{(|a_{n}|\rho^{n})^{\frac{1}{n}}}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup|a_{n}|^{\frac{1}{n}}\rho}=\frac{\rho}{R}<1$$이므로 근판정법에 의해 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}\rho^{n}}\)은 수렴하고 따라서 바이어슈트라스 M판정법에 의해 멱급수 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-x_{0})^{n}}\)은 균등수렴한다.

위 정리에서 \(|x-x_{0}|=R\)인 경우가 배제되었는데 그 이유는 수렴할수도 있고 발산할수도 있기 때문이다. 그러므로 이 경우는 직접 대입해서 수렴하는지 발산하는지를 확인해야 한다. 또한 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}\)이 존재하는 경우, \(\displaystyle\frac{1}{R}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}\)으로 대체가능하고 이때

\(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}=0\)이면, \(R=\infty\), \(\displaystyle\lim_{n,\,\rightarrow\,\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}=\infty\)이면, \(R=0\)이다. 

멱급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n}}\)의 수렴반지름을 구하면$$\frac{1}{R}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{n}{n+1}}=1$$이므로 \(R=1\)이고 \((-1,\,1)\)에서 절대수렴한다. \(x=-1,\,x=1\)인 경우는 각각$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n}},\,\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}$$이므로 \(x=-1\)일 때 수렴하고 \(x=1\)일 때 발산한다. 그러므로 이 멱급수는 \([-1,\,1)\)에서 수렴한다.

참고자료:

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

실해석학 개론, 정동명, 조승제, 경문사