[해석학] 8. 함수의 극한

[해석학] 8. 함수의 극한

제거된 \(a\)의 근방(deleted neighborhood of \(a\))를$$\begin{align*}N_{\delta}^{*}(a)&=(a-\delta,\,a+\delta)-\{a\}\\&=(a-\delta,\,a)\cup(a,\,a+\delta)\end{align*}$$(\(\delta>0\))로 정의한다.    

 

\(x_{0}\)의 제거된 근방에서 정의된 함수 \(f\)에 대하여 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\delta>0\)가 존재해서 \(0<|x-x_{0}|<\delta\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon\)일 때, 함수 \(f\)는 \(x\,\rightarrow\,x_{0}\)일 때 \(L\)로 수렴(converge)한다고 한다. 이때 \(L\)을 \(x=x_{0}\)에서의 함수 \(f\)의 극한값(limit)이라 하고$$\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}}{f(x)}=L$$또는 \(x\,\rightarrow\,a\)일 때 \(f(x)\,\rightarrow\,L\)로 나타낸다.

예를들어

1. \(f(x)=c,\,x_{0}\in\mathbb{R}\)일 때, \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}}{f(x)}=c\) 

2. \(f(x)=ax+b\,(a\neq0),\,x_{0}\in\mathbb{R}\)일 때, \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}}{f(x)}=ax_{0}+b\) 

3. \(f(x)=ax^{2}\,(a\neq0),\,x_{0}\in\mathbb{R}\)일 때, \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}}{f(x)}=ax_{0}^{2}\) 

4. \(f(x)=\sin x\)일 때, \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\sin x}=\sin a\)

5. \(f(x)=\sqrt{x}\)일 때, \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\sqrt{x}}=\sqrt{a}\,(a\geq0)\) 

6. \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}\)일 때, \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{1}{x}}=\frac{1}{a}\,(a\neq0)\)  

이고, 이에 대한 증명은 다음과 같다.

1. \(|f(x)-c|=|c-c|=0<\epsilon\)이므로 \(\delta>0\)을 임의로 선택하면 \(0<|x-x_{0}|<\delta\)일 때 \(|f(x)-c|<\epsilon\)이 성립한다.  

2. \(\displaystyle\delta=\frac{\epsilon}{|a|}\)라고 하면 \(0<|x-x_{0}|<\delta\)일 때$$|f(x)-(ax_{0}+b)|=|a||x-x_{0}|<|a|\frac{\epsilon}{|a|}=\epsilon$$이 성립한다. 

3. \(|x-x_{0}|<1\)이면 삼각부등식으로부터$$|x|-|x_{0}|\leq||x|-|x_{0}||\leq|x-x_{0}|<1$$이므로 \(|x|<|x_{0}|+1\)이고 부등식$$|a||x-x_{0}|\leq|a|(|x|+|x_{0}|)\leq|a|(2|x_{0}|+1)$$을 얻는다. \(\displaystyle\delta=\min\left\{1,\,\frac{\epsilon}{|a|(2|x_{0}|+1)}\right\}\)라고 하면 \(0<|x-x_{0}|<\delta\)일 때$$|f(x)-ax_{0}^{2}|=|a||x-x_{0}||x+x_{0}|\leq|a|(2|x_{0}|+1)|x-x_{0}|<|a|(2|x_{0}|+1)\delta=\epsilon$$이 성립한다.   

4. \(\delta=\epsilon\)이라고 하면 \(0<|x-a|<\delta\)일 때$$|f(x)-\sin a|=|\sin x-\sin a|=\left|2\cos\frac{x+a}{2}\sin\frac{x-a}{2}\right|\leq2\cdot\frac{|x-a|}{2}<\epsilon$$이 성립한다. 

5. \(\delta=\min\{a,\,\epsilon\sqrt{a}\}\)라고 하면 \(0<|x-a|<\delta\)일 때$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|=\frac{|x-a|}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\leq\frac{|x-a|}{\sqrt{a}}<\frac{\delta}{\sqrt{a}}=\epsilon$$이 성립한다.  

6. \(\displaystyle|x-a|<\frac{|a|}{2}\)이면 삼각부등식으로부터$$|x|-|a|\leq|x-a|<\frac{|a|}{2}$$이므로 \(\displaystyle\frac{|a|}{2}<|x|\)이다. \(\displaystyle\delta=\min\left\{\frac{|a|}{2},\,\frac{|a|}{2}\epsilon\right\}\)라고 하면 \(0<|x-a|<\delta\)일 때,$$\left|f(x)-\frac{1}{a}\right|=\frac{|x-a|}{|x||a|}\leq\frac{2}{|a|}|x-a|<\frac{2}{|a|}\delta=\epsilon$$이 성립한다.

극한은 유일하다. 즉 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=L_{1}\), \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=L_{2}\)이면 \(L_{1}=L_{2}\)이다. 

증명: 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\delta_{1},\,\delta_{2}>0\)가 존재해서 각각 \(0<|x-a|<\delta_{1}\), \(0<|x-a|<\delta_{2}\)일 때,$$|f(x)-L_{1}|<\frac{\epsilon}{2},\,|f(x)-L_{2}|<\frac{\epsilon}{2}$$이다. \(\delta=\min\{\delta_{1},\,\delta_{2}\}\)이면 \(0<|x-a|<\delta\)일 때,$$|L_{1}-L_{2}|\leq|f(x)-L_{1}|+|f(x)-L_{2}|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$이고, \(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 \(|L_{1}-L_{2}|=0\) 즉, \(L_{1}=L_{2}\)이어야 한다.     

 

다음은 극한의 기본적인 성질들이다.

\(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=L_{1},\,\lim_{x\,\rightarrow\,a}{g(x)}=L_{2}\)일 때 

1. \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\{f(x)+g(x)\}}=L_{1}+L_{2}\) 

2. \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)g(x)}=L_{1}L_{2}\)

3. \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{L_{1}}{L_{2}}\,(L_{2}\neq0)\) 

증명: 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여

1. \(\delta_{1},\,\delta_{2}>0\)가 존재해서 각각 \(0<|x-a|<\delta_{1}\), \(0<|x-a|<\delta_{2}\)일 때,$$|f(x)-L_{1}|<\frac{\epsilon}{2},\,|g(x)-L_{2}|<\frac{\epsilon}{2}$$이다. \(\delta=\min\{\delta_{1},\,\delta_{2}\}\)라고 하면 \(0<|x-a|<\delta\)일 때$$|\{f(x)+g(x)\}-(L_{1}+L_{2})|\leq|f(x)-L_{1}|+|g(x)-L_{2}|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$이다.  

2. \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{g(x)}=L_{2}\)이므로 \(\delta_{1}>0\)이 존재해서 \(0<|x-a|<\delta_{1}\)일 때 \(\displaystyle|g(x)-L_{2}|<1\)이고, 삼각부등식에 의해$$|g(x)|-|L_{2}|\leq|g(x)-L_{2}|<1$$이므로 \(|g(x)|<|L_{2}|+1\)이다.

또한 \(\delta_{2},\,\delta_{3}>0\)이 존재해서 각각 \(0<|x-a|<\delta_{2}\), \(0<|x-a|<\delta_{3}\)일 때,$$|f(x)-L_{2}|<\frac{\epsilon}{2(|L_{2}|+1)},\,|g(x)-L_{2}|<\frac{\epsilon}{2(|L_{1}|+1)}$$이다. \(\delta=\min\{\delta_{1},\,\delta_{2},\,\delta_{3}\}\)라고 하면 \(0<|x-a|<\delta\)일 때$$\begin{align*}|f(x)g(x)-L_{1}L_{2}|&=|f(x)g(x)-L_{1}g(x)+L_{1}g(x)-L_{1}L_{2}|\\&\leq|g(x)||f(x)-L_{1}|+|L_{1}||g(x)-L_{2}|\\&<(|L_{2}|+1)\frac{\epsilon}{2(|L_{2}|+1)}+|L_{1}|\frac{\epsilon}{2(|L_{1}|+1)}\\&<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\end{align*}$$이다.   

3. \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{1}{g(x)}}=\frac{1}{L_{2}}\)가 성립함을 보이면 된다. \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{g(x)}=L_{2}\)이므로 \(\delta_{1}>0\)이 존재해서 \(0<|x-a|<\delta_{1}\)일 때 \(\displaystyle|g(x)-L_{2}|<\frac{|L_{2}|}{2}\)이고, 삼각부등식에 의해$$-|g(x)|+|L_{2}|\leq|g(x)-L_{2}|<\frac{|L_{2}|}{2}$$이므로 \(\displaystyle|g(x)|>\frac{|L_{2}|}{2}>0\)이다. 또한 \(\delta_{2}>0\)가 존재해서 \(0<|x-a|<\delta_{2}\)일 때, \(\displaystyle|g(x)-L_{2}|<\frac{|L_{2}|^{2}}{2}\epsilon\)이다.  

\(\delta=\min\{\delta_{1},\,\delta_{2}\}\)라고 하면 \(0<|x-a|<\delta\)일 때$$\left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{L_{2}}\right|=\frac{|g(x)-L_{2}|}{|g(x)||L_{2}|}<\frac{2}{|L_{2}|}\frac{1}{|L_{2}|}\frac{|L_{2}|^{2}}{2}\epsilon=\epsilon$$이다.

조임정리(Squeeze theorem)

\(g(x)\leq f(x)\leq h(x)\)이고 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{g(x)}=L=\lim_{x\,\rightarrow\,a}{h(x)}\)이면, \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=L\)이다.

증명: 가정에 의해 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta_{1},\,\delta_{2}>0\)가 존재해서 각각 \(0<|x-a|<\delta_{1}\), \(0<|x-a|<\delta_{2}\)일 때,$$|g(x)-L|<\epsilon,\,|h(x)-L|<\epsilon$$이다. 그러면$$L-\epsilon<g(x)<L+\epsilon,\,L-\epsilon<h(x)<L+\epsilon$$이고, \(g(x)\leq f(x)\leq h(x)\)이므로$$L-\epsilon\leq g(x)\leq f(x)\leq h(x)<L+\epsilon$$이고 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이다. \(\delta=\min\{\delta_{1},\,\delta_{2}\}\)라고 하면 \(0<|x-a|<\delta\)일 때 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이다.

\(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=L\)일 필요충분조건은 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=a\)이면 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{n})}=L\)이다.

증명:

(\(\Rightarrow\)): 가정에 의해 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(0<|x-a|<\delta\)일 때 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이고 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n\geq N\)일 때 \(|x_{n}-a|<\epsilon\)이다. 그러면 \(n\geq N\)일 때 \(0<|x_{n}-a|<\delta\)이므로 따라서 \(|f(x_{n})-L|<\epsilon\)이다.  

(\(\Leftarrow\)): 결론을 부정하면 임의의 \(\delta>0\)에 대하여 \(x_{\delta}\)와 \(\epsilon_{0}>0\)가 존재해서 \(|x_{\delta}-a|<\delta\)이고 \(|f(x_{\delta})-L|\geq\epsilon_{0}\)이다. 그러면 임의의 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\displaystyle0<|x_{n}-a|<\delta=\frac{1}{n}\)이고, \(|f(x_{n})-L|\geq\epsilon_{0}\)이다. 그러나 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{n})}=L\)이어야 하므로 모순이다.

함수 \(\displaystyle f(x)=\begin{cases}x\,(x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q})\\0\,(x\in\mathbb{Q})\end{cases}\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=0\)이라고 하면 \(\displaystyle f(x_{n})=\begin{cases}x_{n}\,(x_{n}\in\mathbb{R}-\mathbb{Q})\\0\,(x_{n}\in\mathbb{Q})\end{cases}\)이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{n})}=0\)이다. 따라서 위의 정리에 의해 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{f(x)}=0\)이다.

 

\(x=a\)에서의 함수 \(f\)의 좌극한(left-hand limit)과 우극한(right-hand limit)을 각각              

좌극한: 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(a-\delta<x<a\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon\)    

우극한: 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(a<x<a+\delta\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon\)  

으로 정의하고 각각 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a-}{f(x)}=L,\,\lim_{x\,\rightarrow\,a+}{f(x)}=L\) 또는 \(x\,\rightarrow\,a+\)일 때 \(f(x)\,\rightarrow\,L\), \(x\,\rightarrow\,a-\)일 때 \(f(x)\,\rightarrow\,L\)로 나타낸다.(또는 \(f(a+),\,f(a-)\)로도 나타낸다)

예를들어 \(\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{|x|+x}\)일 때 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0+}{f(x)}=0\)이다. 그 이유는 \(x>0\)일 때 \(\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x+x}=\frac{x^{2}}{2x}=\frac{1}{2}x\)이고, 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta=2\epsilon\)이라고 하면 \(0<x<\delta\)일 때$$|f(x)-0|=\left|\frac{1}{2}x-0\right|=\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}\cdot2\epsilon=\epsilon$$이기 때문이다.

\(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=L\)일 필요충분조건은 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a+}{f(x)}=L=\lim_{x\,\rightarrow\,a-}{f(x)}\)이다.

증명:

(\(\Rightarrow\)): 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(0<|x-a|<\delta\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이다. 이때 \(x\in(a-\delta)\cup(a+\delta)\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이므로 \(a-\delta<x<a\)또는 \(a<x<a+\delta\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이고 따라서 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a+}{f(x)}=\lim_{x\,\rightarrow\,a-}{f(x)}=L\)이다. 

(\(\Leftarrow\)): 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta_{1},\,\delta_{2}\)가 존재해서 \(a<x<a+\delta_{1}\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이고 \(a-\delta_{2}<x<a\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이다. \(\delta=\min\{\delta_{1},\,\delta_{2}\}\)라고 하면 \((a-\delta,\,a)\cup(a,\,a+\delta)\subset(a-\delta_{2},\,a)\cup(a,\,a+\delta_{1})\)이므로 따라서 \(0<|x-a|<\delta\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이고 따라서 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=L\)이다.

  

함수 \(f\)에 대하여 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(M>0\)이 존재해서

\(x>M\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이 성립하면 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}=L\) 또는 \(x\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(f(x)\,\rightarrow\,L\)로 나타내고,  

\(x<-M\)이면 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이 성립하면 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}{f(x)}=L\) 또는 \(x\,\rightarrow\,-\infty\)일 때 \(f(x)\,\rightarrow\,\infty\)로 나타낸다. 

예를들어 \(\displaystyle f(x)=-\frac{1}{x+1}\)일 때, \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}=0\)이다. 그 이유는 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\displaystyle M=\frac{1}{\epsilon}\)이라고 하면, \(x>M\)일 때$$|f(x)-0|=\left|-\frac{1}{x+1}-0\right|=\frac{1}{x+1}<\frac{1}{x}<\epsilon$$이기 때문이다.

\(a\)의 제거된 근방에서 정의된 함수 \(f\)에 대하여 임의의 \(M>0\)에 대해 \(\delta>0\)가 존재해서 \(0<|x-a|<\delta\)일 때

\(f(x)>M\)이 성립하면 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=\infty\) 또는 \(x\,\rightarrow\,a\)일 때 \(f(x)\,\rightarrow\,\infty\)로 나타내고, 

\(f(x)<-M\)이 성립하면 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=-\infty\) 또는 \(x\,\rightarrow\,a\)일 때 \(f(x)\,\rightarrow\,-\infty\)로 나타낸다.

예를들어 \(f(x)=\ln|x|\)일 때 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0+}{f(x)}=-\infty\)이다. 그 이유는 임의의 \(M>0\)에 대하여 \(\delta=e^{-M}\)이라고 하면, \(0<x<\delta\)일 때$$f(x)=\ln|x|<\ln e^{-M}=-M$$이기 때문이다.

 

참고자료:

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

알기쉬운 해석학, 장건수 외 5인, 대선

실해석학 개론, 정동명, 조승제, 경문사