[해석학] 10. 미분

[해석학] 10. 미분

$x_{0}$의 근방에서 정의된 함수 $f$에 대하여 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $L\in\mathbb{R}$과 $\delta>0$이 존재해서 $0<|x-x_{0}|<\delta$일 때 $\displaystyle\left|\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}-L\right|<\epsilon$이면, $f$는 $x=x_{0}$에서 미분가능(differentiable)하다고 하고, $L$을 $x=x_{0}$에서의 미분계수(derivative of $f$ at $x_{0}$)라고 하며 $f'(x_{0})$으로 나타낸다.

이 미분계수의 정의는 미적분학에서의 미분계수의 정의 $\displaystyle f'(x_{0})=\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$을 $\epsilon-\delta$를 이용하여 나타낸 것이다.

$f$가 모든 $x\in[a,\,b]$에서 미분가능하면 $f$는 $[a,\,b]$에서 미분가능하다고 한다. $x=x_{0}$에서 $f$의 미분계수가 존재하지 않으면, $f$는 $x=x_{0}$에서 미분가능하지 않다고 한다.

$\displaystyle f_{-}'(x_{0})=\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}-}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$의 값이 존재할 때, 이 값을 $x=x_{0}$에서 $f$의 좌미분계수(left-side derivative of $f$ at $x_{0}$), $\displaystyle f_{+}'(x_{0})=\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}+}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$의 값이 존재할 때, 이 값을 $x=x_{0}$에서 $f$의 우미분계수(right-side derivative of $f$ at $x_{0}$)라고 한다.

따라서 $f$가 $x_{0}\in(a,\,b)$에서 미분가능할 필요충분조건은 $f_{-}'(x_{0})$와 $f_{+}'(x_{0})$가 모두 존재하고 $f_{-}'(x_{0})=f_{+}'(x_{0})$이다.

다음의 함수 $$f(x)=\begin{cases}x^{2}\sin\frac{1}{x},\,(x\neq0)\\0,\,(x=0)\end{cases},\,g(x)=\begin{cases}x\sin\frac{1}{x},\,(x\neq0)\\0,\,(x=0)\end{cases}$$ 에 대하여 $$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=x\sin\frac{1}{x},\,\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\sin\frac{1}{x}$$ 이고 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{x\sin\frac{1}{x}}=0$이므로 $f$는 $x=0$에서 미분가능하고 $f'(0)=0$이나 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\sin\frac{1}{x}}$의 값은 존재하지 않으므로 $g$는 $x=0$에서 미분가능하지 않다.

함수 $f$가 $x=a$에서 미분가능하면, $f$는 $x=a$에서 연속이다. 

증명: $f$가 $x=a$에서 미분가능하므로 $\delta_{1}>0$가 존재해서 $0<|x-a|<\delta_{1}$일 때 $\displaystyle\left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)\right|<1$이고 $|f(x)-f(a)|<|x-a|(1+|f'(a)|)$이다. 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $\displaystyle\delta=\min\left\{1,\,\frac{\epsilon}{1+|f'(a)|}\right\}$라고 하면 $|x-a|<\delta$일 때 $$|f(x)-f(a)|<|x-c|(1+|f'(a)|)<(1+|f'(a)|)\frac{\epsilon}{1+|f'(a)|}=\epsilon$$ 이다.

이 정리의 역은 성립하지 않는다. 함수 $f(x)=|x|$는 $x=0$에서 연속이고 $x=0$에서의 미분계수를 구하면 $$\begin{align*}f_{-}'(0)&=\lim_{x\,\rightarrow\,0-}{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim_{x\,\rightarrow\,0-}{\frac{-x}{x}}=-1\\f_{+}'(0)&=\lim_{x\,\rightarrow\,0+}{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim_{x\,\rightarrow\,0+}{\frac{x}{x}}=1\end{align*}$$ 이므로 $f_{-}'(0)\neq f_{+}'(0)$이고 따라서 $x=0$에서 미분가능하지 않다.

$D$를 $f$가 미분가능한 점들의 집합이라고 하자. $\displaystyle f'(x)=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$로 정의되는 함수 $f:\,D\,\rightarrow\,\mathbb{R}$을 $f$의 도함수(derivative)라고 하고, $f'$ 또는 $\displaystyle\frac{dy}{dx},\,\frac{df(x)}{dx}$로 나타낸다.

함수 $f$가 $x=a$에서 미분가능할 필요충분조건은 $L\in\mathbb{R}$과 함수 $\eta_{f}$가 존재해서 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\eta_{f}}=0$이고, $x\neq a$일 때 $$f(x)=f(a)+L(x-a)+\eta_{f}(x)(x-c)$$ 이며 이때 $L=f'(a)$이다.

증명:

($\Rightarrow$): $\displaystyle f'(a)=\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$이고 $\eta_{f}(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)$라고 하면, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\eta_{f}(x)}=0$이고, $x\neq a$일 때 $$f(x)=f(c)+L(x-c)+\eta_{f}(x)(x-a)$$ 이다.  

($\Leftarrow$): $\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=L+\eta_{f}(x)$이므로 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}=L$이고 따라서 $x=a$에서 미분가능하고 $L=f'(a)$이다.

이 정리는 연쇄법칙의 증명에 이용되는 정리이다.

미분가능한 함수 $f,\,g$에 대하여

(1) $(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$ 

(2) $(kf)'(x)=kf'(x)\,(k\in\mathbb{R})$ 

(3) $(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ 

(4) $\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^{2}}\,(g(x)\neq0)$ 

(1)과 (2)의 증명은 간단하므로 생략하고, (3)과 (4)의 증명은 다음의 등식을 이용한다.

(3): $\displaystyle\frac{f(x)g(x)-f(x_{0})g(x_{0})}{x-x_{0}}=f(x)\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}+g(x_{0})\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$

(4): $\displaystyle\frac{1}{x-x_{0}}\left(\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(x_{0})}{g(x_{0})}\right)=\frac{1}{g(x)g(x_{0})}\left\{g(x_{0})\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}-f(x_{0})\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}\right\}$ 

연쇄법칙(chain rule)

함수 $f$가 $x=x_{0}$에서 미분가능하고, 함수 $g$가 $y=f(x_{0})$에서 미분가능하면, 합성함수 $(g\circ f)(x)$는 $x=x_{0}$에서 미분가능하고 $(g\circ f)'(x_{0})=f'(x_{0})g'(f(x_{0}))$이다.

증명: $y_{0}=f(x_{0})$라고 하자. $f$와 $g$가 각각 $x=x_{0}$, $y=y_{0}$에서 미분가능하므로 $\eta_{f}$, $\eta_{g}$가 존재해서 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}}{\eta_{f}(x)}=0$, $\displaystyle\lim_{y\,\rightarrow\,y_{0}}{\eta_{g}(y)}=0$이고 $$\begin{align*}f(x)-f(x_{0})&=(x-c)\{f'(x_{0})+\eta_{f}(x)\}\\g(y)-g(y_{0})&=(y-y_{0})\{g'(y_{0})+\eta_{g}(y)\}\end{align*}$$ 이므로 $$\begin{align*}(f\circ g)(x)-(f\circ g)(x_{0})&=g(f(x))-g(f(x_{0}))\\&=\{f(x)-f(x_{0})\}\{g'(y_{0})+\eta_{g}(y)\}\\&=(x-x_{0})\{f'(x_{0})+\eta_{f}(x)\}\{g'(y_{0})+\eta_{g}(y)\}\end{align*}$$ 이다. 따라서 $$(f\circ g)'(x_{0})=\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}}{\frac{(g\circ f)(x)-(g\circ f)(x_{0})}{x-x_{0}}}=f'(x_{0})g'(y_{0})=f'(x_{0})g'(f(x_{0}))$$ 이다. 연쇄법칙으로부터 합성함수 $y=(g\circ f)$의 도함수가 $(g\circ f)'(x)=f'(x)g(f(x))$임을 알 수 있다.

역함수가 존재하는 함수 $f$에 대해 $f'(x)\neq0$이면, $\displaystyle\frac{dx}{dy}$가 존재하고 $$(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$$ 이다.

증명: 함수 $y=f(x)$의 역함수가 존재하므로 $x=f^{-1}(y)$이고 $y_{0}=f(x_{0})$라고 하면 $$(f^{-1})'(y)=\lim_{y\,\rightarrow\,y_{0}}{\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})}{y-y_{0}}}=\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}}{\frac{x-x_{0}}{f(x)-f(x_{0})}}=\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}}{\frac{1}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}=\frac{1}{f'(x_{0})}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_{0}))}$$ 이고 따라서 $\displaystyle(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$이다.

함수 $f$에 대해 

(1) $f(x)\leq f(x_{0})$이면, $f(x)$는 $x=x_{0}$에서 최대(maximum)이고, $f(x_{0})$는 최댓값(maximum)이다. 

(2) $f(x_{0})\leq f(x)$이면, $f(x)$는 $x=x_{0}$에서 최소(minimum)이고, $f(x_{0})$는 최솟값(minimum)이다. 

(3) $\delta>0$가 존재해서 $x\in(x_{0}-\delta,\,x_{0}+\delta)$에 대해 $f(x)\leq f(x_{0})$이면, $f$는 $x=x_{0}$에서 극대(local maximum)이고, $f(x_{0})$는 극댓값(local maximum value)이다. 

(4) $\delta>0$가 존재해서 $x\in(x_{0}-\delta,\,x_{0}+\delta)$에 대해 $f(x_{0})\leq f(x)$이면, $f$는 $x=x_{0}$에서 극소(local minimum)이고, $f(x_{0})$는 극솟값(local minimum value)이다. 

극댓값과 극솟값을 통틀어 극값(extremum value)이라고 한다.

페르마 정리(Fermat's theorem)

함수 $f$가 $x=x_{0}$에서 극값을 갖고 미분가능하면, $f'(x_{0})=0$이다.

증명:

(i) $f$가 $x=x_{0}$에서 극대라고 하자. $h>0$일 때 $\displaystyle f_{+}'(x_{0})=\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}+}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\leq0$이고, $h<0$일 때 $\displaystyle f_{-}'(x_{0})=\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}-}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\geq0$이다.

$f$가 $x=x_{0}$에서 미분가능하므로 $f_{+}'(x_{0})=f'(x_{0})=f_{-}'(x_{0})$이고, $f_{+}'(x_{0})\leq0$, $f_{-}'(x_{0})\geq0$이므로 $f'(x_{0})=0$이다. 

(ii) $f$가 $x=x_{0}$에서 극소라고 하자. $h>0$일 때 $\displaystyle f_{+}'(x_{0})=\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}+}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\geq0$이고, $h<0$일 떄 $\displaystyle f_{-}'(x_{0})=\lim_{x\,\rightarrow\,x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\leq0$이다.

$f$가 $x=x_{0}$에서 미분가능하므로 $f_{+}'(x_{0})=f'(x_{0})=f_{-}'(x_{0})$이고, $f_{+}'(x_{0})\geq0$, $f_{-}'(x_{0})\leq0$이므로 $f'(x_{0})=0$이다.

이 정리의 역은 성립하지 않는다. 함수 $f(x)=x^{3}$에 대해서 $f'(0)=0$이나 $x=0$에서 극값을 갖지 않는다.

참고로 미분가능하지 않은 점에서 극값을 가질 수 있다. 함수 $f(x)=|x|$는 $x=0$에서 미분가능하지 않으나 극소이다.

* $f'(x_{0})=0$이거나 $f'(x_{0})$이 존재(미분가능)하지 않으면, $x_{0}$를 $f$의 임계점(critical point)이라고 한다.

롤의 정리(Rolle's theorem)

함수 $f$가 $[a,\,b]$에서 연속이고 $(a,\,b)$에서 미분가능하며 $f(a)=f(b)$이면, $c\in(a,\,b)$가 존재해서 $f'(c)=0$이다. 

증명: $f$가 $[a,\,b]$에서 연속이므로 최댓값최솟값 정리로부터 최댓값 $f(x_{M})$과 최솟값 $f(x_{m})$을 갖는다.

(i) $f(x_{m})=f(x_{M})$(상수함수)일 때, $f$는 상수함수이므로 모든 $x\in[a,\,b]$에 대하여 $f'(x)=0$이다.  

(ii) $f(x_{m})<f(x_{M})$일 때, $f$는 상수함수가 아니므로 $x_{m}\in(a,\,b)$ 또는 $x_{M}\in(a,\,b)$이고 $f$는 $x=x_{M}$에서 극대이거나 $x=x_{m}$에서 극소이다. 즉 $f'(x_{M})=0$ 또는 $f'(x_{m})=0$이고 따라서 $c=x_{M}$ 또는 $c=x_{m}$이다.  

미분에 대한 평균값 정리(mean-value theorem for differential calculus)   

함수 $f$가 $[a,\,b]$에서 연속이고 $(a,\,b)$에서 미분가능하면, $c\in(a,\,b)$가 존재해서 $\displaystyle f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$이다. 

증명: $\displaystyle F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a)$라고 하자. $F(a)=F(b)=0$이므로 롤의 정리에 의해 $c\in(a,\,b)$가 존재해서 $F'(c)=0$이다. $\displaystyle F'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$이므로 $\displaystyle f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$이다.   

코시의 평균값 정리(Cauchy mean-value theorem)

함수 $f,\,g$가 $[a,\,b]$에서 연속이고 $(a,\,b)$에서 미분가능하면 $c\in(a,\,b)$가 존재해서 $f'(c)\{g(b)-g(a)\}=g'(c)\{f(b)-f(a)\}$이다.

증명: $F(x)=f(x)\{g(b)-g(a)\}-g(x)\{f(b)-f(a)\}$라고 하자. $F$는 $[a,\,b]$에서 연속이고 $(a,\,b)$에서 미분가능하며 $$\begin{align*}F(a)&=f(a)\{g(b)-g(a)\}-g(a)\{f(b)-f(a)\}=f(a)g(b)-g(a)f(b)\\F(b)&=f(b)\{g(b)-g(a)\}-g(b)\{f(b)-f(a)\}=f(a)g(b)-g(a)f(b)\end{align*}$$ 이므로 롤의 정리에 의해 $c\in(a,\,b)$가 존재해서 $F'(c)=0$이다. $\displaystyle F'(c)=f'(c)\{g(b)-g(a)\}-g'(c)\{f(b)-f(a)\}=0$이므로 $f'(c)\{g(b)-g(a)\}=g'(c)\{f(b)-f(a)\}$이다.

함수 $f$가 $[a,\,b]$에서 연속이고 모든 $x\in(a,\,b)$에 대하여   

(1) $f'(x)=0$이면, $f$는 $[a,\,b]$에서 상수함수이다. 

(2) $f'(x)\geq0$이면, $f$는 $[a,\,b]$에서 단조증가이다. 

(3) $f'(x)\leq0$이면, $f$는 $[a,\,b]$에서 단조감소이다.  

증명: $x_{1},\,x_{2}\in[a,\,b]\,(x_{1}<x_{2})$라고 하자. 평균값 정리에 의해 $c\in(x_{1},\,x_{2})$가 존재해서 $\displaystyle\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}=f'(c)$이다.

(1) $\displaystyle f'(c)=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}=0$이므로 $f(x_{1})=f(x_{2})$이고 따라서 $f$는 $[a,\,b]$에서 상수함수이다. 

(2) $\displaystyle f'(c)=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}\geq0$이므로 $f(x_{1})\leq f(x_{2})$이고 따라서 $f$는 $[a,\,b]$에서 단조증가이다. 

(3) $\displaystyle f'(c)=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}\leq0$이므로 $f(x_{1})\geq f(x_{2})$이고 따라서 $f$는 $[a,\,b]$에서 단조감소이다.

구간 $I$에서 정의된 함수 $f$에 대하여 임의의 $x,\,y\in I$에 대해 $M>0$이 존재해서 $|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$이면, $f$는 립쉬츠 조건(Lipschitz condition)을 만족한다고 한다.

*구간 $I$에서 정의된 함수 $f$에 대하여 $f'$가 $I$에서 유계이면, 모든 $x\in I$에 대하여 $M>0$이 존재해서 $|f(x)|\leq M$이고, 평균값 정리에 의해 임의의 $x,\,y\in I\,(x<y)$에 대해 $c\in(x,\,y)$가 존재해서 $\displaystyle\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f'(c)$이므로 따라서 $|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$이다.

로피탈 법칙(L'Hospital's rule)

(1) $f',\,g'$이 $x=a$의 제거된 근방에서 존재하고 $g(x)\neq0$, $f(a)=g(a)=0$, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=L$이면, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x\,\rightarrow\,a+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=L$이다. 

(2) $[a,\,\infty)$에서 $f',\,g'$이 존재하고 $g'(x)\neq0$, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}=\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{g(x)}=0$, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=L$이면, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=L$이다.  

(3) $(a,\,a+\delta)\,(\delta>0)$에서 $f',\,g'$이 존재하고 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a+}{f(x)}=\lim_{x\,\rightarrow\,a+}{g(x)}=\infty$, $g(x)\neq0$, $g'(x)\neq0$, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=L$이면, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x\,\rightarrow\,a+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=L$이다.   

증명:

(1) $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=L$이므로 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $\delta>0$이 존재해서 $a<x<a+\delta$일 때 $\displaystyle\left|\frac{f'(x)}{g'(x)}-L\right|<\epsilon$이고, 코시의 평균값 정리에 의해 임의의 $x\in(a,\,a+\delta)$에 대해 $c_{x}\in(a,\,x)$가 존재해서 $$\frac{f'(c_{x})}{g'(c_{x})}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f(x)}{g(x)}$$ 이다. 따라서 $a<x<a+\delta$일 때 $$\displaystyle\left|\frac{f(x)}{g(x)}-L\right|=\left|\frac{f'(x)}{g'(x)}-L\right|<\epsilon$$ 이고 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=L$이다.   

(2) $\displaystyle t=\frac{1}{x}$라고 하면 $x\,\rightarrow\,\infty$일 때 $t\,\rightarrow\,0+$이므로 (1)에 의해 성립한다.  

(3) $\displaystyle t=\frac{1}{x-a}$라고 하면 $x\,\rightarrow\,a+$일 때 $t\,\rightarrow\,\infty$이므로 (2)에 의해 성립한다.

*이 정리에서 (1)은 좌극한, 양쪽극한인 경우에도 성립하고, (2)는 음의 무한대로 갈 때도 성립하며, (3) 또한 좌극한, 양쪽극한, 음의 무한대인 경우에도 성립한다.

함수 $f$의 도함수 $f'$이 미분가능하면 그 도함수는 $\displaystyle f''(x)=\lim_{h\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}}$이고, 이 도함수를 $f$의 2계도함수(second derivative)라고 한다. 일반적으로 $f$의 $n-1$계도함수 $f^{(n-1)}$가 미분가능하면 그 도함수를 $f^{(n-1)}$의 $n$계도함수($n$-th derivative)라고 하고 $f^{(n-1)}$로 나타낸다.

집합 $I$에서 정의된 함수 $f$가 $n$계도함수 $f^{(n)}$을 갖고 $f^{(n)}$이 연속이면, $f$를 $C^{(n)}$급 함수(function of class $C^{(n)}$)라고 하고, 이러한 함수 전체의 집합을 $C^{(n)}(I)$로 나타내며, 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $f^{(n)}$이 존재하고, $f^{(n)}$이 연속이면, $f$를 $C^{(\infty)}$급 함수(function of class $C^{(\infty)}$)라 하고, 이러한 함수 전체의 집합을 $C^{(\infty)}(I)$로 나타낸다. 

*$n$이 임의의 자연수일때 $f,\,g\in C^{n}(I)$에 대하여 $$(f+g)(x)=f(x)+g(x),\,(kf)(x)=kf(x)\,(k\in\mathbb{R})$$ 이고, $\displaystyle C^{(\infty)}=\bigcap_{n=1}^{\infty}{C^{(n)}(I)}$이다.     

함수 $f\in C^{(n)}([a,\,b])$에 대하여 $\displaystyle P_{n,\,f}(x)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}}$을 $x=x_{0}$에서 $f$의 $n$차 테일러 다항식(Taylor polynomial function)이라고 하고, $R_{n}=f-P_{n,\,f}$를 $x=x_{0}$에서 $f$의 나머지(remainder)라고 한다.

테일러 정리(Taylor theorem)

$f\in C^{(n+1)}([a,\,b])$라고 하자. 모든 $x\in(a,\,b)$에 대하여 $\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+R_{n}(x)$이고, $R_{n}$은 $\displaystyle R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}\,(x_{0}<c<x)$이다.

증명: $x_{0}<t<x$인 $t$에 대하여 함수 $F$를 $\displaystyle F(t)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^{n}}$로 정의하자. 그러면 $\displaystyle F'(t)=-\frac{(x-t)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t)$이다. $\displaystyle G(t)=F(t)-\left(\frac{x-t}{x-x_{0}}\right)^{n+1}F(x_{0})$라고 하면, $G$는 미분가능하고 $G(x_{0})=F(x_{0})=-F(x_{0})=0$, $G(x)=F(x)=0$이므로 롤의 정리에 의해 $c\in(x,\,x_{0})$가 존재해서 $$G'(c)=F'(c)+(n+1)\frac{(x-c)^{n}}{(x-x_{0})^{n+1}}F(x_{0})=0$$ 이고 따라서 $$F(x_{0})=-\frac{1}{n+1}\frac{(x-x_{0})^{n+1}}{(x-c)^{n}}F'(c)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}=R_{n}(x)$$ 이다.

함수 $f$가 $f\in C^{(\infty)}(I)$이고 $a\in I$라고 하자. 모든 $x\in I$에 대하여 다음의 등식 $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}}$$ 이 성립할 필요충분조건은 모든 $x\in I$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{R_{n}(x)}=0$이다.

증명: $\displaystyle S_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}}$라고 하면 테일러 정리에 의해 $S_{n}=f(x)-R_{n}(x)$이고 따라서 $\displaystyle f(x)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n}(x)}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}}$일 필요충분조건은 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{R_{n}(x)}=0$이다.

이 정리에서의 급수 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}}$를 테일러 급수(Taylor series)라고 하고, $a=0$일 때의 급수 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}$을 매클로린 급수(Maclaurin series)라고 한다.     

함수 $f$가 $f\in C^{(\infty)}(I)$이고 $a\in I$에서의 테일러 급수가 $I$에서 $f$에 수렴하면 $f$는 $x=a$에서 해석적(analytic)이라고 한다.

다음과 같이 정의된 함수 $$f(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x^{2}}},\,(x\neq0)\\0,\,(x=0)\end{cases}$$ 는 $x\in\mathbb{R}-\{0\}$에서 $f(x)\neq0$이고, $f\in C^{(\infty)}(\mathbb{R})$이며 모든 자연수 $n$에 대해 $f^{(n)}(0)=0$이므로 $f$의 $x=0$에서의 테일러 급수는 $f$로 수렴하지 않는다. 따라서 이 함수 $f$는 해석적이지 않다.

$[a,\,b]$에서 정의된 미분가능한 함수열 $\{f_{n}\}$이 다음의 두 조건

(i) 어떤 $x_{0}\in[a,\,b]$에서 $\{f_{n}(x_{0})\}$가 수렴한다.

(ii) 함수열 $\{f_{n}'\}$이 $[a,\,b]$에서 어떤 함수에 균등수렴한다.

를 만족하면, 다음이 성립한다.

(1) $\{f_{n}\}$은 $[a,\,b]$에서 적당한 함수 $f$에 균등수렴한다.

(2) $f$는 $[a,\,b]$에서 미분가능하고, 임의의 $x\in[a,\,b]$에 대해 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}'(x)}=f'(x)$이다.              

증명:

(1) 조건 (i)에 의해 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $K\in\mathbb{N}$가 존재해서 임의의 $n,\,m\geq K$, $x\in[a,\,b]$에 대해 $\displaystyle\left|f_{n}(x_{0})-f_{m}(x_{0})\right|<\frac{\epsilon}{2}$이고, $\displaystyle|f_{n}'(x_{0})-f_{m}'(x_{0})|<\frac{\epsilon}{2(b-a)}$이다. 따라서 평균값 정리로부터 임의의 $x,\,t\in[a,\,b]$에 대해 $t_{x}\in(x,\,t)$가 존재해서 $$\begin{align*}|f_{n}(x)-f_{m}(x)-\{f_{n}(t)-f_{m}(t)\}|&=|\{f_{n}(x_{0})-f_{m}(x_{0})\}-\{f_{n}(t)-f_{m}(t)\}|\\&\leq|\{f_{n}'(t_{x})-f_{m}'(t_{x})\}(x-t)|\\&\leq\frac{\epsilon}{2(b-a)}|x-t|\\&<\frac{\epsilon}{2}\end{align*}$$ 이고 $$\begin{align*}|f_{n}(x)-f_{m}(x)|&\leq|f_{n}(x)-f_{m}(x)-f_{n}(x_{0})+f_{m(x_{0})}|+|f_{n}(x_{0})-f_{m}(x_{0})|\\&<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\end{align*}$$ 이므로 $\{f_{n}\}$은 $[a,\,b]$에서 균등수렴한다. 극한함수 $f$를 $\displaystyle f(x)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}(x)}$로 정의하면, $\{f_{n}\}$은 $f$로 균등수렴한다.

(2) $f$가 $[a,\,b]$에서 미분가능함을 보이자. $x\in[a,\,b]$를 고정하고 $t\in[a,\,b](t\neq x)$에 대하여 $$h_{n}(t)=\frac{f_{n}(t)-f_{n}(x)}{t-x},\,h(t)=\frac{f(t)-f(x)}{t-x}$$ 라고 하자. 그러면 $\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,x}{h_{n}(t)}=f_{n}'(x)$이고 $$|h_{m}(t)-h_{n}(t)|=\left|\frac{f_{n}(x)-f_{m}(x)-f_{n}(t)+f_{m}(t)}{x-t}\right|\leq\frac{\epsilon}{2(b-a)}$$ 이므로 $\{h_{n}\}$은 $[a,\,b]-\{x\}$에서 균등수렴하고, $f_{n}$이 $f$로 균등수렴하므로 $h_{n}$은 $[a,\,b]-\{x\}$에서 $h$로 균등수렴한다. 따라서 $$f'(x)=\lim_{t\,\rightarrow\,x}{h(t)}=\lim_{t\,\rightarrow\,x}{\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{h_{n}(t)}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\lim_{t\,\rightarrow\,x}{h_{n}(t)}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}'(t)}=f'(x)$$ 이다. 

이 정리로부터 다음의 정리를 얻는다.

$f_{n}$이 $[a,\,b]$에서 미분가능하고, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}$이 다음의 두 조건

(i) 어떤 $x_{0}\in[a,\,b]$에 대하여 급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{f_{n}(x_{0})}$가 수렴한다.

(ii) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}'}$은 $[a,\,b]$에서 균등수렴한다.

를 만족하면, 다음이 성립한다.

(1) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}}$은 $[a,\,b]$에서 미분가능한 함수 $f$로 수렴한다. 

(2) $f$는 $[a,\,b]$에서 미분가능하고, $[a,\,b]$에서 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}'}=f'$이다.

이 정리의 증명은 함수열 $\displaystyle S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}{f_{k}(x)}$를 앞 정리에 적용한다. 

함수열 $\displaystyle f_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{2^{k}}\cos(3^{k}x)}$는 바이어슈트라스 M-판정법에 의해 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{2^{n}}\cos(3^{n}x)}$에 균등수렴하나 $\displaystyle f'_{n}(x)=-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{3^{n}}{2^{n}}\sin3^{n}x}$은 균등수렴하지 않고, $f$는 실수 전체에서 미분가능하지 않다.

함수열 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{\sin nx}{\sqrt{n}}$은 바이어슈트라스 M-판정법에 의해 $f(x)=0$으로 균등수렴하나 $f_{n}'(x)=\sqrt{n}\cos nx$이고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}'(x)}=0$이다.

멱급수 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$의 수렴반지름이 $R>0$이면, $f$는 $(-R,\,R)$에서 미분가능하고 $\displaystyle f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{na_{n}x^{n-1}}\,(|x|<R)$이다. 

증명: $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{n^{\frac{1}{n}}}=1$이므로 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup|na_{n}|^{\frac{1}{n}}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|a_{n}|^{\frac{1}{n}}}$이고, 따라서 두 멱급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$과 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{na_{n}x^{n-1}}$의 수렴반지름은 같고, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{na_{n}x^{n-1}}$은 임의의 $[a,\,b]\subset(-R,\,R)$에서 균등수렴한다. 따라서 $f$는 $[a,\,b]$에서 미분가능하고, 모든 $x\in[a,\,b]$에 대해 $\displaystyle f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{na_{n}x^{n-1}}$이다. $x\in[a,\,b]\subset(-R,\,R)$인 임의의 닫힌구간 $[a,\,b]$를 선택할 수 있으므로 모든 $x\in(-R,\,R)$에서 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{na_{n}x^{n-1}}$이 성립한다.

참고자료:

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

실해석학 개론, 정동명, 조승제, 경문사

알기쉬운 해석학, 장건수 외 5인, 대선