[해석학] 11. 리만적분(1)

[해석학] 11. 리만적분(1)

구간 \([a,\,b]\)의 분할(partition)을$$P:\,a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n-1}<x_{n}=b$$즉, \(P=\{x_{0},\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n}\}\)이라 하고, \(x_{i}\,(i=0,\,1,\,\cdots,\,n)\)를 분할점(points of subdivision), \([x_{i-1},\,x_{i}]\)를 \([a,\,b]\)의 부분구간(subinterval)이라고 하며 부분구간의 길이는 \(\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}\)이다.

\([a,\,b]\)에서 정의된 유계함수 \(f\)와 분할 \(P\)에 대하여$$M_{i}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)},\,m_{i}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)}$$라고 하자.$$U(P,\,f)=\sum_{i=1}^{n}{M_{i}\Delta x_{i}},\,L(P,\,f)=\sum_{i=1}^{n}{m_{i}\Delta x_{i}}$$를 각각 \(f\)의 리만 상합(upper Riemann sum), 리만 하합(lower Riemann sum)이라고 한다.

이때 함수 \(f\)는 유계이므로 \(m,\,M\in\mathbb{R}\)이 존재해서 임의의 \(x\in[a,\,b]\)에 대해 \(m\leq f(x)\leq M\)이고, 따라서 구간 \([a,\,b]\)의 임의의 분할 \(P\)에 대해$$m(b-a)\leq L(P,\,f)\leq U(P,\,f)\leq M(b-a)$$이다.

구간 \([a,\,b]\)의 임의의 분할 \(P_{1},\,P_{2}\)에 대해 \(P_{1}\subset P_{2}\)이면, \(P_{2}\)를 \(P_{1}\)의 세분할(refinement)이라 하고, \(P=P_{1}\cup P_{2}\)인 분할 \(P\)를 \(P_{1}\)과 \(P_{2}\)의 공통세분할(common refinement)이라고 한다. 

\(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 정의된 유계함수이고, 구간 \([a,\,b]\)의 임의의 분할 \(P_{1},\,P_{2}\)에 대하여 \(P_{2}\)가 \(P_{1}\)의 세분할이면, 다음의 부등식이 성립한다.$$L(P_{1},\,f)\leq L(P_{2},\,f)\leq U(P_{2},\,f)\leq U(P_{1},\,f)$$

증명: \(P_{1}=\{x_{0},\,x_{1},\,\cdots,\,x_{i-1},\,\cdots,\,x_{n}\}\), \(P_{2}=P_{1}\cup\{t\}\,(t\in[x_{i-1},\,x_{i}])\)라고 하고$$M_{1}^{*}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,t]}{f(x)},\,m_{1}^{*}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,t]}{f(x)},\,M_{2}^{*}=\sup_{x\in[t,\,x_{i}]}{f(x)},\,m_{2}^{*}=\inf_{x\in[t,\,x_{i}]}{f(x)}$$라고 하자. 그러면 \(\displaystyle m_{i}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)},\,M_{i}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)}\)이므로$$\begin{align*}m_{i}\Delta x_{i}&=m_{i}(x_{i}-x_{i-1})\\&=m_{i}(x_{i}-t)+m_{i}(t-x_{i-1})\\&\leq m_{2}^{*}(x_{i}-t)+m_{1}^{*}(t-x_{i-1})\end{align*}$$이고$$\begin{align*}M_{i}\Delta x_{i}&=M_{i}(x_{i}-x_{i-1})\\&=M_{i}(x_{i}-t)+M_{i}(t-x_{i-1})\\&\geq M_{2}^{*}(x_{i}-t)+M_{1}^{*}(t-x_{i-1})\end{align*}$$이므로 따라서 부등식$$L(P_{1},\,f)\leq L(P_{2},\,f)\leq U(P_{2},\,f)\leq U(P_{1},\,f)$$가 성립한다.

일반적으로 \(P_{2}=P_{1}\cup\{t_{1},\,t_{2},\,\cdots,\,t_{m}\}\)이고, \(P^{(r)}\)을 \(P_{1}\)에 \(r\,(1\leq r\leq m)\)개의 점 \(t_{1},\,t_{2},\,\cdots,\,t_{r}\)들이 추가된 분할이면, \(P_{1}\subset P^{(1)}\subset P^{(2)}\subset\cdots\subset P^{(m)}=P_{2}\)이므로$$L(P_{1},\,f)\leq L(P^{(1)},\,f)\leq\cdots\leq L(P^{(m)},\,f)=L(P_{2},\,f)\leq U(P_{2},\,f)=U(P^{(m)},\,f)\leq P(P^{(m-1)},\,f)\leq\cdots\leq U(P_{1},\,f)$$이다. 

구간 \([a,\,b]\)에서 정의된 유계함수 \(f\)와 \([a,\,b]\)의 임의의 분할 \(P\)에 대하여$$\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}=\inf_{P}{U(P,\,f)},\,\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}=\sup_{P}{L(P,\,f)}$$를 각각 \(f\)의 \([a,\,b]\)에서의 리만 상적분(upper Riemann integral), 리만 하적분(lower Riemann integral)이라고 한다. 이때 부등식 \(\displaystyle\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\leq\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\)가 성립하고, \(\displaystyle\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}=\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\)이면, \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 리만적분 가능하다(Riemann integrable)고 하고, 이 공통값을 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)로 나타내며, 이 값을 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 리만적분(Riemann integral)이라고 한다. 구간 \([a,\,b]\)리만적분 가능한 함수들의 집합을 \(\mathfrak{R}([a,\,b])\)로 나타낸다.

구간 \([a,\,b]\)에서 정의된 유계함수 \(f\)에 대하여 \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)일 필요충분조건은 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \([a,\,b]\)의 분할 \(P_{\epsilon}\)이 존재해서 \(U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)<\epsilon\)이다. 

증명:

(\(\Leftarrow\)): \([a,\,b]\)의 분할 \(P_{\epsilon}\)이 존재해서 \(U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)<\epsilon\)이라고 하자. \([a,\,b]\)의 임의의 분할 \(P\)에 대해$$L(P,\,f)\leq\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\leq\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\leq U(P,\,f)$$이므로$$L(P_{\epsilon},\,f)\leq\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\leq\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\leq U(P_{\epsilon},\,f)$$이고$$0\leq\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}-\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\leq U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)<\epsilon$$이며 \(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 \(\displaystyle\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}-\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}=0\)이어야 하고 따라서 \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이다. 

(\(\Rightarrow\)): \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)라고 하자. 그러면 \([a,\,b]\)의 분할 \(P_{1},\,P_{2}\)가 존재해서$$0\leq U(P_{1},\,f)-\int_{a}^{b}{f(x)dx}<\frac{\epsilon}{2},\,0\leq\int_{a}^{b}{f(x)dx}-L(P_{2},\,f)<\frac{\epsilon}{2}$$이다. \(P_{\epsilon}=P_{1}\cup P_{2}\)라고 하면, \(P_{\epsilon}\)은 \(P_{1},\,P_{2}\)의 공통세분할이고$$0\leq U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)<U(P_{1},\,f)-L(P_{2},\,f)<\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\frac{\epsilon}{2}-\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$이므로 \(\epsilon>0\)에 대해 \(P_{\epsilon}\)이 존재해서 \(U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)<\epsilon\)이다.

 

함수 \(f(x)=x\)를 구간 \([0,\,1]\)에서 정의하고, 구간 \([0,\,1]\)의 분할을 \(\displaystyle P_{n}=\left\{0,\,\frac{1}{n},\,\frac{2}{n},\,\cdots,\,\frac{n-1}{n},\,1\right\}\)라고 하자. 그러면 \(f\)는 증가함수이므로$$m_{i}=f(x_{i-1})=x_{i-1},\,M_{i}=f(x_{i})=x_{i}$$이고$$\begin{align*}U(P_{n},\,f)&=\sum_{i=1}^{n}{M_{i}\Delta x_{i}}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{i}{n}\cdot\frac{1}{n}}=\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\\L(P_{n},\,f)&=\sum_{i=1}^{n}{m_{i}\Delta x_{i}}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{i-1}{n}\cdot\frac{1}{n}}=\frac{n-1}{2n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\end{align*}$$이므로$$\underline{\int_{0}^{1}}{xdx}=\sup_{P_{n}}L(P_{n},\,f)=\frac{1}{2},\,\overline{\int_{0}^{1}}{xdx}=\inf_{P_{n}}U(P_{n},\,f)=\frac{1}{2}$$이고 따라서 \(\displaystyle\int_{0}^{1}{xdx}=\frac{1}{2}\)이다.

또한 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(n\in\mathbb{N}\)을 선택해서 \(\displaystyle\frac{1}{n}<\epsilon\)이라고 하면 \(\displaystyle U(P_{n},\,f)-L(P_{n},\,f)=\frac{1}{n}<\epsilon\)이므로 따라서 \(f\in\mathfrak{R}([0,\,1])\)이다.

다음과 같이 정의된 \([a,\,b]\)에서의 함수 \(f\)는 리만적분 가능하지 않다.$$f(x)=\begin{cases}1,\,(x\in\mathbb{Q})\\0,\,(x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q})\end{cases}$$그 이유는$$L(P,\,f)=\sum_{i=1}^{n}{m_{i}\Delta x_{i}}=\sum_{i=1}^{n}{0\cdot\Delta x_{i}}=0,\,U(P,\,f)=\sum_{i=1}^{n}{M_{i}\Delta x}=\sum_{i=1}^{n}{1\cdot\Delta x_{i}}=1$$이므로 \(\displaystyle\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}=0,\,\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}=b-a\)이고, 또한 \(U(P,\,f)-L(P,\,f)=b-a\)이다.

구간 \([a,\,b]\)에서 정의된 함수 \(f\)에 대하여 

(1) \(f\)가 연속함수이면, \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이다.

(2) \(f\)가 단조함수이면, \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이다.

증명:

(1): \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 유계이므로, \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 균등연속이고, 따라서 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(x,\,y\in[a,\,b]\)에 대해 \(\delta>0\)가 존재해서 \(|x-y|<\delta\)일 때 \(\displaystyle|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{b-a}\)이다.

\(n\in\mathbb{N}\)을 선택하고, \(P_{\epsilon}=\{x_{0}(=a),\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n}(=b)\}\)를 \([a,\,b]\)의 한 분할, \(\displaystyle\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i}=\frac{b-a}{n}\)이라 하자. 그러면 최댓값최솟값정리에 의해 \(t_{i},\,u_{i}\in[x_{i-1},\,x_{i}]\)가 존재해서 \(f(t_{i})=M_{i}\), \(f(u_{i})=m_{i}\)이고$$0\leq U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)=\sum_{i=1}^{n}{(M_{i}-m_{i})\Delta x_{i}}=\sum_{i=1}^{n}{\{f(t_{i})-f(u_{i})\}\frac{b-a}{n}}<\sum_{i=1}^{n}{\frac{\epsilon}{b-a}\frac{b-a}{n}}=\epsilon$$이므로 \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이다.   

(2): 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(n\in\mathbb{N}\)을 선택해서 \(\displaystyle\Delta x_{i}=\frac{b-a}{n}\), \(\displaystyle\frac{(b-a)\{f(b)-f(a)\}}{n}<\epsilon\)이라 하고, \(P_{\epsilon}=\{x_{0}(=a),\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n-1},\,x_{n}(=b)\}\)를 \([a,\,b]\)의 한 분할이라 하자. \(f\)가 단조증가함수이면, \(M_{i}=f(x_{i})\), \(m_{i}=f(x_{i-1})\)이고$$\begin{align*}0\leq U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)&=\sum_{i=1}^{n}{(M_{i}-m_{i})\Delta x_{i}}=\sum_{i=1}^{n}{\{f(x_{i})-f(x_{i-1})\}\frac{b-a}{n}}\\&=\{f(b)-f(a)\}\frac{b-a}{n}<\epsilon\end{align*}$$이므로 \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이다.

구간 \([0,\,1]\)에서의 함수 \(f\)를 다음과 같이 정의하자.$$f(x)=\begin{cases}0,\,(0<x<t)\\1,\,(t<x<1)\,(0<t<1)\end{cases}$$\(P=\{x_{0},\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n}\}\)를 구간 \([0,\,1]\)의 임의의 분할이라 하고, \(1<k<n\)인 \(k\)에 대하여 \(x_{k-1}<t<x_{k}\)라고 하자. 그러면$$m_{i}=\begin{cases}0,\,(i=1,\,\cdots,\,k)\\1,\,(i=k+1,\,\cdots,\,n)\end{cases},\,M_{i}=\begin{cases}0,\,(i=1,\,\cdots,\,k-1)\\1,\,(i=k,\,\cdots,\,n)\end{cases}$$이므로$$L(P,\,f)=\sum_{i=k+1}^{n}{\Delta x_{i}}=(1-x_{k}),\,U(P,\,f)=\sum_{i=k}^{n}{\Delta x_{i}}=(1-x_{k-1})$$이고 \(1-x_{k}\leq1-t<1-x_{k-1}\)이므로 \(L(P,\,f)\leq1-t\leq U(P,\,f)\)가 성립하고 \(\displaystyle\underline{\int_{0}^{1}}{f(x)dx}\leq1-t\leq\overline{\int_{0}^{1}}{f(x)dx}\)이다.

\(1-x_{k-1}=(1-x_{k})+(x_{k}-x_{k-1})\)이므로 \(U(P,\,f)=L(P,\,f)+(x_{k}-x_{k-1})\)이고 \(P\)가 모든 \(i\)에 대해 \(\Delta x_{i}<\epsilon\)을 만족하는 분할이면 \(U(P,\,f)-L(P,\,f)=x_{k}-x_{k-1}=\Delta x_{k}<\epsilon\)이므로 \(f\)는 \(f\in\mathfrak{R}([0,\,1])\)이고 따라서 \(\displaystyle\int_{0}^{1}{f(x)dx}=1-t\)이다.

구간 \([a,\,b]\)의 분할 \(P=\{x_{0}(=a),\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n}(=b)\}\)에 대하여 \(\displaystyle||P||=\max_{1\leq i\leq n}{\Delta x_{i}}\)를 분할 \(P\)의 노름(norm)이라고 한다.

함수 \(f\)를 구간 \([a,\,b]\)에서 정의된 유계함수라 하고, \(P=\{x_{0},\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n}\}\)를 \([a,\,b]\)의 임의의 분할이라 하자. \(i=1,\,2,\,\cdots,\,n\)에 대하여 \(\xi_{i}\in[x_{i-1},\,x_{i}]\)를 중간점(intermediate point), \(\xi=\{\xi_{1},\,xi_{2},\,\cdots,\,xi_{n}\}\)라 하고,$$S(P,\,f,\,\xi)=\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}$$를 \([a,\,b]\)의 분할 \(P\)에 대한 \(f\)의 리만합(Riemann sum)이라고 한다.

임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(||P||<\delta\)일 때, 모든 리만합 \(S(P,\,f,\,\xi)\)에 대하여 \(|S(P,\,f,\,\xi)-I|<\epsilon\)이면, \(\displaystyle\lim_{||P||\,\rightarrow\,0}{S(P,\,f,\,L)}=I\)로 나타낸다. 이때 부등식 \(L(P,\,f)\leq S(P,\,f,\,\xi)\leq L(P,\,f)\)가 성립한다.

구간 \([a,\,b]\)에서 정의된 유계함수 \(f\)가 \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)일 필요충분조건은 \(\displaystyle\lim_{||P||\,\rightarrow\,0}{S(P,\,f,\,\xi)}=I\)이고, 이때 \(\displaystyle I=\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)이다.

증명:

(\(\Leftarrow\)): \(\displaystyle\lim_{||P||\,\rightarrow\,0}{S(P,\,f,\,\xi)}=I\)라고 하자. 그러면 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(||P||<\delta\)일 때 \(\displaystyle|S(P,\,f,\,\xi)-I|<\frac{\epsilon}{2}\)이다.

\([a,\,b]\)의 분할 \(P_{\epsilon}=\{x_{0}(=a),\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n}(=b)\}\)가 \(||P_{\epsilon}||<\delta\)를 만족한다고 하자. \(\displaystyle M_{i}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)}\)이므로 \(\rho_{i}\in[x_{i-1},\,x_{i}]\)가 존재해서 \(\displaystyle f(\rho_{i})>M_{i}-\frac{\epsilon}{2(b-a)}\)이고, \(\displaystyle m_{i}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)}\)이므로 \(\eta_{i}\in[x_{i-1},\,x_{i}]\)이다.$$\begin{align*}S(Q,\,f,\,\rho)&=\sum_{i=1}^{n}{f(\rho_{i})\Delta x_{i}}>\sum_{i=1}^{n}{\left\{M_{i}-\frac{\epsilon}{2(b-a)}\right\}\Delta x_{i}}=U(Q,\,f)-\frac{\epsilon}{2}\\S(Q,\,f,\,\eta)&=\sum_{i=1}^{n}{f(\eta_{i})\Delta x_{i}}<\sum_{i=1}^{n}{\left\{m_{i}+\frac{\epsilon}{2(b-a)}\right\}\Delta x_{i}}=L(Q,\,f)+\frac{\epsilon}{2}\end{align*}$$이므로$$\begin{align*}\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}&\leq U(Q,\,f)<S(Q,\,f,\,\rho)+\frac{\epsilon}{2}<\left(I+\frac{\epsilon}{2}\right)+\frac{\epsilon}{2}=I+\epsilon\\ \underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}&\geq L(Q,\,f)>S(Q,\,f,\,\rho)-\frac{\epsilon}{2}>\left(I-\frac{\epsilon}{2}\right)-\frac{\epsilon}{2}=I-\epsilon\end{align*}$$이고 \(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 \(\displaystyle I\leq\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\leq\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\leq I\)이고 따라서 \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이며 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=I\)이다.  

(\(\Rightarrow\)): \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이면, 리만적분의 정의에 의해$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\left(=\sup_{P}{L(P,\,f)}\right)=\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\left(=\inf_{P}{U(P,\,f)}\right)$$이고, \(f\)는 유계이므로 \(M>0\)이 존재해서 모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대해 \(|f(x)|\leq M\)이다. 

\(\epsilon\)을 임의의 양수라고 하면 \([a,\,b]\)의 분할 \(P_{\epsilon}=\{x_{0}(=a),\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n}(=b)\}\)이 존재해서$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}-\frac{\epsilon}{2}<L(P_{\epsilon},\,f)\leq U(P_{\epsilon},\,f)<\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\frac{\epsilon}{2}$$이다. 

\(\displaystyle\delta=\frac{\epsilon}{4nM}\)이라 하고, \(P=\{y_{0}(=a),\,y_{1},\,\cdots,\,y_{m}(=b)\}\)를 \([a,\,b]\)의 분할이고 \(||P||<\delta\),$$A=\{k\in\{1,\,2,\,\cdots,\,m\}\,|\,(y_{k-1},\,y_{k})\cap P_{\epsilon}\neq\emptyset\},\,B=\{1,\,2,\,\cdots,\,m\}-A$$라고 하자. \(P_{\epsilon}\)은 \(a=x_{0}\), \(b=x_{n}\)을 제외하고 \((n-1)\)개의 점을 가지므로 \(A\)는 최대 \(n-1\)개의 원소들을 갖는다. 따라서$$\begin{align*}U(P,\,f)&=\sum_{i=1}^{m}{M_{i}\Delta y_{i}}=\sum_{i\in A}{M_{i}\Delta y_{i}}+\sum_{i\in B}{M_{i}\Delta y_{i}}\leq2\sum_{i\in A}{M\Delta y_{i}}+U(P_{\epsilon},\,f)\\L(P,\,f)&=\sum_{i=1}^{m}{m_{i}\Delta y_{i}}=\sum_{i\in A}{m_{i}\Delta y_{i}}+\sum_{i\in B}{m_{i}\Delta y_{i}}\geq L(P_{\epsilon},\,f)-2\sum_{i\in A}{M\Delta y_{i}}\end{align*}$$이고 \(\displaystyle0<\Delta y_{i}<\delta=\frac{\epsilon}{4nM}\)이므로$$\begin{align*}U(P,\,f)&<2(n-1)M\cdot\frac{\epsilon}{4nM}+\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\frac{\epsilon}{2}<\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\epsilon\\L(P,\,f)&\geq L(P_{\epsilon},\,f)-2(n-1)M\frac{\epsilon}{4nM}>\int_{a}^{b}{f(x)dx}-\epsilon\end{align*}$$이다. 그러므로 \(||P||<\delta\)인 \([a,\,b]\)의 임의의 분할 \(P\)에 대하여$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}-\epsilon<L(P,\,f)\leq S(P,\,f,\,\xi)\leq U(P,\,f)<\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\epsilon$$즉, \(\displaystyle\left|\int_{a}^{b}{f(x)dx}-S(P,\,f,\,\xi)\right|<\epsilon\)이고 따라서 \(\displaystyle\lim_{||P||\,\rightarrow\,0}{S(P,\,f,\,\xi)}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)이다.

리만합을 이용하여 \(\displaystyle\int_{0}^{1}{x^{2}dx},\,\int_{a}^{b}{\sin xdx}\)를 구하자.

함수 \(f(x)=x^{2}\)는 \([0,\,1]\)에서 연속이므로 \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이다. \(P=\{x_{0},\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n}\}\)을 \([0,\,1]\)의 임의의 분할이라 하고 중간점을 \(\displaystyle\xi_{i}=\sqrt{\frac{1}{3}(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i-1}+x_{i-1}^{2})}\)로 선택하면$$x_{i-1}=\sqrt{x_{i-1}^{2}}<\sqrt{\frac{1}{3}(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i-1}+x_{i-1}^{2})}<\sqrt{x_{i}^{2}}=x_{i}$$이므로 \(\xi_{i}\in[x_{i-1},\,x_{i}]\)이고,$$\begin{align*}S(P,\,f,\,\xi)&=\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{n}{(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i-1}+x_{i-1}^{2})(x_{i}-x_{i-1})}\\&=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{n}{(x_{i}^{3}-x_{i-1}^{3})}=\frac{1}{3}(x_{n}^{3}-x_{0}^{3})\\&=\frac{1}{3}\end{align*}$$이므로 따라서 \(\displaystyle\lim_{||P||\,\rightarrow\,0}{S(P,\,f,\,\xi)}=\int_{0}^{1}{x^{2}dx}=\frac{1}{3}\)이다.

위와 같은 방법으로 함수 \(f(x)=\sin x\)는 \([a,\,b]\)에서 연속이므로 \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이다. \(P=\{x_{0},\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n}\}\)을 \([a,\,b]\)의 임의의 분할이라 하고 중간점을 \(\displaystyle\xi_{i}=-\sin^{-1}\left(\frac{\cos x_{i}-\cos x_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}\right)\)라고 하면 \(\xi_{i}\in[a,\,b]\)이고$$\begin{align*}S(P,\,f,\,\xi)&=\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}=\sum_{i=1}^{n}{(\sin\xi)(x_{i}-x_{i-1})}\\&=-\sum_{i=1}^{n}{(\cos x_{i}-\cos x_{i-1})}=-(\cos x_{n}-\cos x_{0})\\&=\cos a-\cos b\end{align*}$$이므로 \(\displaystyle\lim_{||P||\,\rightarrow\,0}{S(P,\,f,\,\xi)}=\int_{a}^{b}{\sin xdx}=\cos a-\cos b\)이다.

\(f,\,g\in\mathfrak{R}([a,\,b])\), \(k\in\mathbb{R}\)라고 하자. 그러면

(1) \(kf\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이고 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{\{kf(x)\}dx}=k\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)이다. 

(2) \(f+g\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이고 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{\{f(x)+g(x)\}dx}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\int_{a}^{b}{g(x)dx}\)이다. 

증명:

(1): \(k=0\)이면 자명하므로 \(k\neq0\)이라 하자. \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이므로 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(||P||<\delta\)일 때 \(\displaystyle\left|S(P,\,f,\,\xi)-\int_{a}^{b}{f(x)dx}\right|<\frac{\epsilon}{|k|}\)이다. 

\(S(P,\,kf,\,\xi)=kS(P,\,f,\,\xi)\)이므로$$\begin{align*}\left|S(P,\,kf,\,\xi)-k\int_{a}^{b}{f(x)dx}\right|&=\left|kS(P,\,f,\,\xi)-k\int_{a}^{b}{f(x)dx}\right|=|k|\left|S(P,\,f,\,\xi)-\int_{a}^{b}{f(x)dx}\right|\\&<|k|\frac{\epsilon}{|k|}=\epsilon\end{align*}$$이고 따라서 \(\displaystyle\lim_{||P||\,\rightarrow\,0}{S(P,\,kf,\,\xi)}=k\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)이다. 그러므로 \(kf\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이고 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{kf(x)dx}=k\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)이다.  

(2): \(f,\,g\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이므로 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 

\(\delta_{1}>0\)가 존재해서 \(||P||<\delta_{1}\)일 때 \(\displaystyle\left|S(P,\,f,\,\xi)-\int_{a}^{b}{f(x)dx}\right|<\frac{\epsilon}{2}\)이고 

\(\delta_{2}>0\)가 존재해서 \(||P||<\delta_{2}\)일 때 \(\displaystyle\left|S(P,\,g,\,\xi)-\int_{a}^{b}{g(x)dx}\right|<\frac{\epsilon}{2}\)이다. 

리만합의 정의에 의해 \(S(P,\,f+g,\,\xi)=S(P,\,f,\,\xi)+S(P,\,g,\,\xi)\)이므로 \(\delta=\min\{\delta_{1},\,\delta_{2}\}\)라고 하면 \(||P||<\delta\)일 때$$\begin{align*}\left|S(P,\,f+g,\,\xi)-\left(\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\int_{a}^{b}{g(x)dx}\right)\right|&=\left|S(P,\,f,\,\xi)+S(P,\,g,\,\xi)-\int_{a}^{b}{f(x)dx}-\int_{a}^{b}{g(x)dx}\right|\\&\leq\left|S(P,\,f,\,\xi)-\int_{a}^{b}{f(x)dx}\right|+\left|S(P,\,f,\,\xi)-\int_{a}^{b}{g(x)dx}\right|\\&<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\end{align*}$$이므로 \(\displaystyle\lim_{||P||\,\rightarrow\,0}{S(P,\,f+g,\,\xi)}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\int_{a}^{b}{g(x)dx}\)이다. 그러므로 \(f+g\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이고 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{\{f(x)+g(x)\}dx}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\int_{a}^{b}{g(x)dx}\)이다. 

\(f,\,g\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)라고 하자.

(1) 모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대해 \(f(x)\geq0\)이면, \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\geq0\)이다.

(2) 모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대해 \(f(x)\geq0\)이면, \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\geq\int_{a}^{b}{g(x)dx}\)이다.

증명:

(1): \(\displaystyle S(P,\,f,\,\xi)=\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}\geq0\)이므로 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{||P||\,\rightarrow\,0}{S(P,\,f,\,\xi)}\geq0\)이다.

(2): 모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대해 \(f(x)-g(x)\geq0\)이므로 앞의 결과로부터 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}-\int_{a}^{b}{g(x)dx}=\int_{a}^{b}{\{f(x)-g(x)\}dx}\geq0\)이고 따라서 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\geq\int_{a}^{b}{g(x)dx}\)이다.

\(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)라고 하자.

(1) \([c,\,d]\subset[a,\,b]\)이면, \(f\in\mathfrak{R}([c,\,d])\)이다. 

(2) \(c\in(a,\,b)\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx}\)이다.

증명:

(1): 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \([a,\,b]\)의 분할 \(P\)가 존재해서 \(U_{a}^{b}(P,\,f)-L_{a}^{b}<\epsilon\)이고, \(Q=P\cup\{c,\,d\}\)라고 하면, \(Q\)는 \(P\)의 세분할이므로 \(L_{a}^{b}(P,\,f)\leq L_{a}^{b}(Q,\,f)\leq U_{a}^{b}(Q,\,f)\leq U_{a}^{b}(P,\,f)\)이고$$U_{a}^{b}(Q,\,f)-L_{a}^{b}(Q,\,f)\leq U_{a}^{b}(P,\,f)-L_{a}^{b}(P,\,f)<\epsilon$$이다.

\(R=Q\cap[c,\,d]\)이라고 하면$$U_{c}^{d}(R,\,f)-L_{c}^{d}(R,\,f)\leq U_{a}^{b}(Q,\,f)-L_{a}^{b}(Q,\,f)$$이므로 \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이다. 

(2): 앞의 결과에 의해 \(f\)는 \([a,\,c]\)와 \([c,\,b]\)에서 리만적분 가능하다. 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여

\(\delta_{1}>0\)가 존재해서 \(||P||<\delta_{1}\)(\(P\)는 \([a,\,b]\)의 분할)일 때 \(\displaystyle\left|S(P,\,f,\,\xi)-\int_{a}^{b}{f(x)dx}\right|<\frac{\epsilon}{3}\)이고,

\(\delta_{2}>0\)가 존재해서 \(||P||<\delta_{2}\)(\(P\)는 \([a,\,c]\)의 분할)일 때 \(\displaystyle\left|S(P,\,f,\,\xi)-\int_{a}^{c}{f(x)dx}\right|<\frac{\epsilon}{3}\)이며,

\(\delta_{3}>0\)가 존재해서 \(||P||<\delta_{3}\)(\(P\)는 \([c,\,b]\)의 분할)일 때 \(\displaystyle\left|S(P,\,f,\,\xi)-\int_{c}^{b}{f(x)dx}\right|<\frac{\epsilon}{3}\)이다.

\(P_{1}=P\cap[a,\,c]\), \(P_{2}=P\cap[c,\,b]\), \(\xi_{1}=\xi\cap[a,\,c]\), \(\xi_{2}=\xi\cap[c,\,b]\)라고 하자. 그러면$$S(P,\,f,\,\xi)=S(P_{1},\,f,\,\xi_{1})+S(P_{2},\,f,\,\xi_{2})$$이고 \(||P_{1}||\leq||P||<\delta_{2}\), \(||P_{2}||\leq||P||<\delta_{3}\)이므로$$\left|S(P_{1},\,f,\,\xi_{1})-\int_{a}^{c}{f(x)dx}\right|<\frac{\epsilon}{3},\,\left|S(P_{2},\,f,\,\xi_{2})-\int_{c}^{b}{f(x)dx}\right|<\frac{\epsilon}{3}$$이다. 따라서$$\begin{align*}&\left|\int_{a}^{b}{f(x)dx}-\left(\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx}\right)\right|\\&=\left|\int_{a}^{b}{f(x)dx}-S(P,\,f,\,\xi)+S(P_{1},\,f,\,\xi_{1})-\int_{a}^{c}{f(x)dx}+S(P_{2},\,f,\,\xi_{2})-\int_{c}^{b}{f(x)dx}\right|\\&\leq\left|\int_{a}^{b}{f(x)dx}-S(P,\,f,\,\xi)\right|+\left|S(P_{1},\,f,\,\xi)-\int_{a}^{c}{f(x)dx}\right|+\left|S(P_{2},\,f,\,\xi)-\int_{c}^{b}{f(x)dx}\right|\\&<\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}=\epsilon\end{align*}$$이고 \(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx}\)이다.

(2)의 결과로부터 \(\displaystyle\int_{a}^{a}{f(x)dx}=0\)이 성립한다. 또한 리만적분의 정의로부터 \(\displaystyle\int_{b}^{a}{f(x)dx}=-\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)가 성립한다. 

 

함수 \(f\)에 대해 \(f^{+}(x)=\max\{f(x),\,0\}\), \(f^{-}(x)=\max\{-f(x),\,0\}\)로 정의하면 \(f^{+},\,f^{-}\geq0\)이고 \(f=f^{+}-f^{-}\), \(|f|=f^{+}+f^{-}\)이 성립한다.

\(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)라고 하자. 그러면       

(1) \(f^{+},\,f^{-}\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이다.

(2) \(|f|\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이고 \(\displaystyle\left|\int_{a}^{b}{f(x)dx}\right|\leq\int_{a}^{b}{|f(x)|dx}\)이다.

증명:

(1) \(f^{+}\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)임을 보이자.

\(\displaystyle M_{i}^{+}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f^{+}(x)},\,m_{i}^{+}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f^{+}(x)}\)라고 하면, 부등식 \(M_{i}^{+}-m_{i}^{+}\leq M_{i}-m_{i}\)가 성립한다. 그 이유는

(i) \(m_{i}\geq0\)이면 \([x_{i-1},\,x_{i}]\)에서 \(f(x)\geq0\)이므로 \(f^{+}(x)=f(x)\)이고 따라서 \(M_{i}^{+}=M_{i}\), \(m_{i}^{+}=m_{i}\)이며 \(M_{i}^{+}-m_{i}^{+}=M_{i}-m_{i}\)이다.

(ii) \(M_{i}\leq0\)이면 \([x_{i-1},\,x_{i}]\)에서 \(f(x)\leq0\)이므로 \(f^{+}(x)=0\)이고 따라서 \(M_{i}^{+}=m_{i}^{+}=0\)이고 \(M_{i}^{+}-m_{i}^{+}=0\leq M_{i}-m_{i}\)이다.

(iii) \(m_{i}<0<M_{i}\)이면 항상 \(f^{+}(x)\geq0\)이므로 \(m_{i}^{+}\geq0\)이고 \(m_{i}<m_{i}^{+}\)이다. 또한 \(M_{i}>0\)이므로 \(M_{i}^{+}=M_{i}\)이고 \(M_{i}^{+}-m_{i}^{+}\leq M_{i}-m_{i}\)이다. 

\(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이므로 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \([a,\,b]\)의 분할 \(P_{\epsilon}\)이 존재해서 \(U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)<\epsilon\)이고 따라서$$\begin{align*}U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)&=\sum_{i=1}^{n}{(M_{i}^{+}-m_{i}^{+})\Delta x_{i}}\\&\leq\sum_{i=1}^{n}{(M_{i}-m_{i})\Delta x_{i}}\leq U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)<\epsilon\end{align*}$$이다. \(f=f^{+}-f^{-}\)이므로 \(f^{-}=f^{+}-f\)이고 \(f,\,f^{+}\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이므로 \(f^{-}\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이다.   

(2) \(|f|=f^{+}+f^{-}\)이고 앞의 결과에 의해 \(f^{+},\,f^{-}\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이므로 \(|f|\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이고$$\left|\int_{a}^{b}{f(x)dx}\right|=\left|\int_{a}^{b}{(f^{+}(x)-f^{-}(x))dx}\right|\leq\int_{a}^{b}{f^{+}(x)dx}+\int_{a}^{b}{f^{-}(x)dx}=\int_{a}^{b}{|f(x)|dx}$$이다.

\(f,\,g\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이면, \(fg\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이다.

증명: \(\displaystyle fg=\frac{1}{4}\{(f+g)^{2}-(f-g)^{2}\}\)이므로 \(f^{2}\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)임을 보이면 충분하다.

\(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(0\leq f(x)\)라고 하자. \(f\)는 유계이므로 \(M>0\)이 존재해서 \(0\leq f(x)\leq M\)이다. \(f\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이므로 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \([a,\,b]\)의 분할 \(P_{\epsilon}\)가 존재해서 \(\displaystyle U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)<\frac{\epsilon}{2M}\)이고$$M_{i}^{*}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{\{f(x)\}^{2}}=M_{i}^{2},\,m_{i}^{*}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{\{f(x)\}^{2}}=m_{i}^{2}$$이므로$$\begin{align*}U(P_{\epsilon},\,f^{2})-L(P_{\epsilon},\,f^{2})&=\sum_{i=1}^{n}{(M_{i}^{*}-m_{i}^{*})\Delta x_{i}}=\sum_{i=1}^{n}{(M_{i}^{2}-m_{i}^{2})\Delta x_{i}}\\&=\sum_{i=1}^{n}{(M_{i}+m_{i})(M_{i}-m_{i})\Delta x_{i}}\\&\leq2M\sum_{i=1}^{n}{(M_{i}-m_{i})\Delta x_{i}}=2M\{U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)\}\\&<2M\cdot\frac{\epsilon}{2M}=\epsilon\end{align*}$$이고 따라서 \(f^{2}\in\mathfrak{R}([a,\,b])\)이다.

참고자료:

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

Introduction to Real Analysis 2nd edition, Stoll, Pearson

실해석학 개론, 정동명, 조승제, 경문사

알기쉬운 해석학, 장건수 외 5인, 대선