[해석학] 11. 리만적분(1)

[해석학] 11. 리만적분(1)

구간 $[a,\,b]$의 분할(partition)을 $$P:\,a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n-1}<x_{n}=b$$ 즉, $P=\{x_{0},\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n}\}$이라 하고, $x_{i}\,(i=0,\,1,\,\cdots,\,n)$를 분할점(points of subdivision), $[x_{i-1},\,x_{i}]$를 $[a,\,b]$의 부분구간(subinterval)이라고 하며 부분구간의 길이는 $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$이다.

$[a,\,b]$에서 정의된 유계함수 $f$와 분할 $P$에 대하여 $$M_{i}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)},\,m_{i}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)}$$ 라고 하자. $$U(P,\,f)=\sum_{i=1}^{n}{M_{i}\Delta x_{i}},\,L(P,\,f)=\sum_{i=1}^{n}{m_{i}\Delta x_{i}}$$ 를 각각 $f$의 리만 상합(upper Riemann sum), 리만 하합(lower Riemann sum)이라고 한다.

이때 함수 $f$는 유계이므로 $m,\,M\in\mathbb{R}$이 존재해서 임의의 $x\in[a,\,b]$에 대해 $m\leq f(x)\leq M$이고, 따라서 구간 $[a,\,b]$의 임의의 분할 $P$에 대해 $$m(b-a)\leq L(P,\,f)\leq U(P,\,f)\leq M(b-a)$$ 이다.

구간 $[a,\,b]$의 임의의 분할 $P_{1},\,P_{2}$에 대해 $P_{1}\subset P_{2}$이면, $P_{2}$를 $P_{1}$의 세분할(refinement)이라 하고, $P=P_{1}\cup P_{2}$인 분할 $P$를 $P_{1}$과 $P_{2}$의 공통세분할(common refinement)이라고 한다. 

$f$가 구간 $[a,\,b]$에서 정의된 유계함수이고, 구간 $[a,\,b]$의 임의의 분할 $P_{1},\,P_{2}$에 대하여 $P_{2}$가 $P_{1}$의 세분할이면, 다음의 부등식이 성립한다. $$L(P_{1},\,f)\leq L(P_{2},\,f)\leq U(P_{2},\,f)\leq U(P_{1},\,f)$$

증명: $P_{1}=\{x_{0},\,x_{1},\,\cdots,\,x_{i-1},\,\cdots,\,x_{n}\}$, $P_{2}=P_{1}\cup\{t\}\,(t\in[x_{i-1},\,x_{i}])$라고 하고 $$M_{1}^{*}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,t]}{f(x)},\,m_{1}^{*}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,t]}{f(x)},\,M_{2}^{*}=\sup_{x\in[t,\,x_{i}]}{f(x)},\,m_{2}^{*}=\inf_{x\in[t,\,x_{i}]}{f(x)}$$ 라고 하자. 그러면 $\displaystyle m_{i}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)},\,M_{i}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)}$이므로 $$\begin{align*}m_{i}\Delta x_{i}&=m_{i}(x_{i}-x_{i-1})\\&=m_{i}(x_{i}-t)+m_{i}(t-x_{i-1})\\&\leq m_{2}^{*}(x_{i}-t)+m_{1}^{*}(t-x_{i-1})\end{align*}$$ 이고 $$\begin{align*}M_{i}\Delta x_{i}&=M_{i}(x_{i}-x_{i-1})\\&=M_{i}(x_{i}-t)+M_{i}(t-x_{i-1})\\&\geq M_{2}^{*}(x_{i}-t)+M_{1}^{*}(t-x_{i-1})\end{align*}$$ 이므로 따라서 부등식 $$L(P_{1},\,f)\leq L(P_{2},\,f)\leq U(P_{2},\,f)\leq U(P_{1},\,f)$$ 가 성립한다.

일반적으로 $P_{2}=P_{1}\cup\{t_{1},\,t_{2},\,\cdots,\,t_{m}\}$이고, $P^{(r)}$을 $P_{1}$에 $r\,(1\leq r\leq m)$개의 점 $t_{1},\,t_{2},\,\cdots,\,t_{r}$들이 추가된 분할이면, $P_{1}\subset P^{(1)}\subset P^{(2)}\subset\cdots\subset P^{(m)}=P_{2}$이므로 $$L(P_{1},\,f)\leq L(P^{(1)},\,f)\leq\cdots\leq L(P^{(m)},\,f)=L(P_{2},\,f)\leq U(P_{2},\,f)=U(P^{(m)},\,f)\leq P(P^{(m-1)},\,f)\leq\cdots\leq U(P_{1},\,f)$$ 이다. 

구간 $[a,\,b]$에서 정의된 유계함수 $f$와 $[a,\,b]$의 임의의 분할 $P$에 대하여 $$\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}=\inf_{P}{U(P,\,f)},\,\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}=\sup_{P}{L(P,\,f)}$$ 를 각각 $f$의 $[a,\,b]$에서의 리만 상적분(upper Riemann integral), 리만 하적분(lower Riemann integral)이라고 한다. 이때 부등식 $\displaystyle\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\leq\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}$가 성립하고, $\displaystyle\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}=\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}$이면, $f$는 $[a,\,b]$에서 리만적분 가능하다(Riemann integrable)고 하고, 이 공통값을 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}$로 나타내며, 이 값을 $[a,\,b]$에서 $f$의 리만적분(Riemann integral)이라고 한다. 구간 $[a,\,b]$리만적분 가능한 함수들의 집합을 $\mathfrak{R}([a,\,b])$로 나타낸다.

구간 $[a,\,b]$에서 정의된 유계함수 $f$에 대하여 $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$일 필요충분조건은 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $[a,\,b]$의 분할 $P_{\epsilon}$이 존재해서 $U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)<\epsilon$이다. 

증명:

($\Leftarrow$): $[a,\,b]$의 분할 $P_{\epsilon}$이 존재해서 $U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)<\epsilon$이라고 하자. $[a,\,b]$의 임의의 분할 $P$에 대해 $$L(P,\,f)\leq\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\leq\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\leq U(P,\,f)$$ 이므로 $$L(P_{\epsilon},\,f)\leq\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\leq\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\leq U(P_{\epsilon},\,f)$$ 이고 $$0\leq\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}-\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\leq U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)<\epsilon$$ 이며 $\epsilon$은 임의의 양수이므로 $\displaystyle\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}-\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}=0$이어야 하고 따라서 $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이다. 

($\Rightarrow$): $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$라고 하자. 그러면 $[a,\,b]$의 분할 $P_{1},\,P_{2}$가 존재해서 $$0\leq U(P_{1},\,f)-\int_{a}^{b}{f(x)dx}<\frac{\epsilon}{2},\,0\leq\int_{a}^{b}{f(x)dx}-L(P_{2},\,f)<\frac{\epsilon}{2}$$ 이다. $P_{\epsilon}=P_{1}\cup P_{2}$라고 하면, $P_{\epsilon}$은 $P_{1},\,P_{2}$의 공통세분할이고 $$0\leq U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)<U(P_{1},\,f)-L(P_{2},\,f)<\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\frac{\epsilon}{2}-\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ 이므로 $\epsilon>0$에 대해 $P_{\epsilon}$이 존재해서 $U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)<\epsilon$이다.

 

함수 $f(x)=x$를 구간 $[0,\,1]$에서 정의하고, 구간 $[0,\,1]$의 분할을 $\displaystyle P_{n}=\left\{0,\,\frac{1}{n},\,\frac{2}{n},\,\cdots,\,\frac{n-1}{n},\,1\right\}$라고 하자. 그러면 $f$는 증가함수이므로 $$m_{i}=f(x_{i-1})=x_{i-1},\,M_{i}=f(x_{i})=x_{i}$$ 이고 $$\begin{align*}U(P_{n},\,f)&=\sum_{i=1}^{n}{M_{i}\Delta x_{i}}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{i}{n}\cdot\frac{1}{n}}=\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\\L(P_{n},\,f)&=\sum_{i=1}^{n}{m_{i}\Delta x_{i}}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{i-1}{n}\cdot\frac{1}{n}}=\frac{n-1}{2n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\end{align*}$$ 이므로 $$\underline{\int_{0}^{1}}{xdx}=\sup_{P_{n}}L(P_{n},\,f)=\frac{1}{2},\,\overline{\int_{0}^{1}}{xdx}=\inf_{P_{n}}U(P_{n},\,f)=\frac{1}{2}$$ 이고 따라서 $\displaystyle\int_{0}^{1}{xdx}=\frac{1}{2}$이다.

또한 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $n\in\mathbb{N}$을 선택해서 $\displaystyle\frac{1}{n}<\epsilon$이라고 하면 $\displaystyle U(P_{n},\,f)-L(P_{n},\,f)=\frac{1}{n}<\epsilon$이므로 따라서 $f\in\mathfrak{R}([0,\,1])$이다.

다음과 같이 정의된 $[a,\,b]$에서의 함수 $f$는 리만적분 가능하지 않다. $$f(x)=\begin{cases}1,\,(x\in\mathbb{Q})\\0,\,(x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q})\end{cases}$$ 그 이유는 $$L(P,\,f)=\sum_{i=1}^{n}{m_{i}\Delta x_{i}}=\sum_{i=1}^{n}{0\cdot\Delta x_{i}}=0,\,U(P,\,f)=\sum_{i=1}^{n}{M_{i}\Delta x}=\sum_{i=1}^{n}{1\cdot\Delta x_{i}}=1$$ 이므로 $\displaystyle\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}=0,\,\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}=b-a$이고, 또한 $U(P,\,f)-L(P,\,f)=b-a$이다.

구간 $[a,\,b]$에서 정의된 함수 $f$에 대하여 

(1) $f$가 연속함수이면, $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이다.

(2) $f$가 단조함수이면, $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이다.

증명:

(1): $f$는 $[a,\,b]$에서 유계이므로, $f$는 $[a,\,b]$에서 균등연속이고, 따라서 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $x,\,y\in[a,\,b]$에 대해 $\delta>0$가 존재해서 $|x-y|<\delta$일 때 $\displaystyle|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{b-a}$이다.

$n\in\mathbb{N}$을 선택하고, $P_{\epsilon}=\{x_{0}(=a),\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n}(=b)\}$를 $[a,\,b]$의 한 분할, $\displaystyle\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i}=\frac{b-a}{n}$이라 하자. 그러면 최댓값최솟값정리에 의해 $t_{i},\,u_{i}\in[x_{i-1},\,x_{i}]$가 존재해서 $f(t_{i})=M_{i}$, $f(u_{i})=m_{i}$이고 $$0\leq U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)=\sum_{i=1}^{n}{(M_{i}-m_{i})\Delta x_{i}}=\sum_{i=1}^{n}{\{f(t_{i})-f(u_{i})\}\frac{b-a}{n}}<\sum_{i=1}^{n}{\frac{\epsilon}{b-a}\frac{b-a}{n}}=\epsilon$$ 이므로 $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이다.   

(2): 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $n\in\mathbb{N}$을 선택해서 $\displaystyle\Delta x_{i}=\frac{b-a}{n}$, $\displaystyle\frac{(b-a)\{f(b)-f(a)\}}{n}<\epsilon$이라 하고, $P_{\epsilon}=\{x_{0}(=a),\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n-1},\,x_{n}(=b)\}$를 $[a,\,b]$의 한 분할이라 하자. $f$가 단조증가함수이면, $M_{i}=f(x_{i})$, $m_{i}=f(x_{i-1})$이고 $$\begin{align*}0\leq U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)&=\sum_{i=1}^{n}{(M_{i}-m_{i})\Delta x_{i}}=\sum_{i=1}^{n}{\{f(x_{i})-f(x_{i-1})\}\frac{b-a}{n}}\\&=\{f(b)-f(a)\}\frac{b-a}{n}<\epsilon\end{align*}$$ 이므로 $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이다.

구간 $[0,\,1]$에서의 함수 $f$를 다음과 같이 정의하자. $$f(x)=\begin{cases}0,\,(0<x<t)\\1,\,(t<x<1)\,(0<t<1)\end{cases}$$ $P=\{x_{0},\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n}\}$를 구간 $[0,\,1]$의 임의의 분할이라 하고, $1<k<n$인 $k$에 대하여 $x_{k-1}<t<x_{k}$라고 하자. 그러면 $$m_{i}=\begin{cases}0,\,(i=1,\,\cdots,\,k)\\1,\,(i=k+1,\,\cdots,\,n)\end{cases},\,M_{i}=\begin{cases}0,\,(i=1,\,\cdots,\,k-1)\\1,\,(i=k,\,\cdots,\,n)\end{cases}$$ 이므로 $$L(P,\,f)=\sum_{i=k+1}^{n}{\Delta x_{i}}=(1-x_{k}),\,U(P,\,f)=\sum_{i=k}^{n}{\Delta x_{i}}=(1-x_{k-1})$$ 이고 $1-x_{k}\leq1-t<1-x_{k-1}$이므로 $L(P,\,f)\leq1-t\leq U(P,\,f)$가 성립하고 $\displaystyle\underline{\int_{0}^{1}}{f(x)dx}\leq1-t\leq\overline{\int_{0}^{1}}{f(x)dx}$이다.

$1-x_{k-1}=(1-x_{k})+(x_{k}-x_{k-1})$이므로 $U(P,\,f)=L(P,\,f)+(x_{k}-x_{k-1})$이고 $P$가 모든 $i$에 대해 $\Delta x_{i}<\epsilon$을 만족하는 분할이면 $U(P,\,f)-L(P,\,f)=x_{k}-x_{k-1}=\Delta x_{k}<\epsilon$이므로 $f$는 $f\in\mathfrak{R}([0,\,1])$이고 따라서 $\displaystyle\int_{0}^{1}{f(x)dx}=1-t$이다.

구간 $[a,\,b]$의 분할 $P=\{x_{0}(=a),\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n}(=b)\}$에 대하여 $\displaystyle||P||=\max_{1\leq i\leq n}{\Delta x_{i}}$를 분할 $P$의 노름(norm)이라고 한다.

함수 $f$를 구간 $[a,\,b]$에서 정의된 유계함수라 하고, $P=\{x_{0},\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n}\}$를 $[a,\,b]$의 임의의 분할이라 하자. $i=1,\,2,\,\cdots,\,n$에 대하여 $\xi_{i}\in[x_{i-1},\,x_{i}]$를 중간점(intermediate point), $\xi=\{\xi_{1},\,xi_{2},\,\cdots,\,xi_{n}\}$라 하고, $$S(P,\,f,\,\xi)=\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}$$ 를 $[a,\,b]$의 분할 $P$에 대한 $f$의 리만합(Riemann sum)이라고 한다.

임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $\delta>0$가 존재해서 $||P||<\delta$일 때, 모든 리만합 $S(P,\,f,\,\xi)$에 대하여 $|S(P,\,f,\,\xi)-I|<\epsilon$이면, $\displaystyle\lim_{||P||\,\rightarrow\,0}{S(P,\,f,\,L)}=I$로 나타낸다. 이때 부등식 $L(P,\,f)\leq S(P,\,f,\,\xi)\leq L(P,\,f)$가 성립한다.

구간 $[a,\,b]$에서 정의된 유계함수 $f$가 $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$일 필요충분조건은 $\displaystyle\lim_{||P||\,\rightarrow\,0}{S(P,\,f,\,\xi)}=I$이고, 이때 $\displaystyle I=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$이다.

증명:

($\Leftarrow$): $\displaystyle\lim_{||P||\,\rightarrow\,0}{S(P,\,f,\,\xi)}=I$라고 하자. 그러면 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $\delta>0$가 존재해서 $||P||<\delta$일 때 $\displaystyle|S(P,\,f,\,\xi)-I|<\frac{\epsilon}{2}$이다.

$[a,\,b]$의 분할 $P_{\epsilon}=\{x_{0}(=a),\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n}(=b)\}$가 $||P_{\epsilon}||<\delta$를 만족한다고 하자. $\displaystyle M_{i}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)}$이므로 $\rho_{i}\in[x_{i-1},\,x_{i}]$가 존재해서 $\displaystyle f(\rho_{i})>M_{i}-\frac{\epsilon}{2(b-a)}$이고, $\displaystyle m_{i}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f(x)}$이므로 $\eta_{i}\in[x_{i-1},\,x_{i}]$이다. $$\begin{align*}S(Q,\,f,\,\rho)&=\sum_{i=1}^{n}{f(\rho_{i})\Delta x_{i}}>\sum_{i=1}^{n}{\left\{M_{i}-\frac{\epsilon}{2(b-a)}\right\}\Delta x_{i}}=U(Q,\,f)-\frac{\epsilon}{2}\\S(Q,\,f,\,\eta)&=\sum_{i=1}^{n}{f(\eta_{i})\Delta x_{i}}<\sum_{i=1}^{n}{\left\{m_{i}+\frac{\epsilon}{2(b-a)}\right\}\Delta x_{i}}=L(Q,\,f)+\frac{\epsilon}{2}\end{align*}$$ 이므로 $$\begin{align*}\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}&\leq U(Q,\,f)<S(Q,\,f,\,\rho)+\frac{\epsilon}{2}<\left(I+\frac{\epsilon}{2}\right)+\frac{\epsilon}{2}=I+\epsilon\\ \underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}&\geq L(Q,\,f)>S(Q,\,f,\,\rho)-\frac{\epsilon}{2}>\left(I-\frac{\epsilon}{2}\right)-\frac{\epsilon}{2}=I-\epsilon\end{align*}$$ 이고 $\epsilon$은 임의의 양수이므로 $\displaystyle I\leq\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\leq\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\leq I$이고 따라서 $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이며 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=I$이다.  

($\Rightarrow$): $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이면, 리만적분의 정의에 의해 $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\underline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\left(=\sup_{P}{L(P,\,f)}\right)=\overline{\int_{a}^{b}}{f(x)dx}\left(=\inf_{P}{U(P,\,f)}\right)$$ 이고, $f$는 유계이므로 $M>0$이 존재해서 모든 $x\in[a,\,b]$에 대해 $|f(x)|\leq M$이다. 

$\epsilon$을 임의의 양수라고 하면 $[a,\,b]$의 분할 $P_{\epsilon}=\{x_{0}(=a),\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n}(=b)\}$이 존재해서 $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}-\frac{\epsilon}{2}<L(P_{\epsilon},\,f)\leq U(P_{\epsilon},\,f)<\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\frac{\epsilon}{2}$$ 이다. 

$\displaystyle\delta=\frac{\epsilon}{4nM}$이라 하고, $P=\{y_{0}(=a),\,y_{1},\,\cdots,\,y_{m}(=b)\}$를 $[a,\,b]$의 분할이고 $||P||<\delta$, $$A=\{k\in\{1,\,2,\,\cdots,\,m\}\,|\,(y_{k-1},\,y_{k})\cap P_{\epsilon}\neq\emptyset\},\,B=\{1,\,2,\,\cdots,\,m\}-A$$ 라고 하자. $P_{\epsilon}$은 $a=x_{0}$, $b=x_{n}$을 제외하고 $(n-1)$개의 점을 가지므로 $A$는 최대 $n-1$개의 원소들을 갖는다. 따라서 $$\begin{align*}U(P,\,f)&=\sum_{i=1}^{m}{M_{i}\Delta y_{i}}=\sum_{i\in A}{M_{i}\Delta y_{i}}+\sum_{i\in B}{M_{i}\Delta y_{i}}\leq2\sum_{i\in A}{M\Delta y_{i}}+U(P_{\epsilon},\,f)\\L(P,\,f)&=\sum_{i=1}^{m}{m_{i}\Delta y_{i}}=\sum_{i\in A}{m_{i}\Delta y_{i}}+\sum_{i\in B}{m_{i}\Delta y_{i}}\geq L(P_{\epsilon},\,f)-2\sum_{i\in A}{M\Delta y_{i}}\end{align*}$$ 이고 $\displaystyle0<\Delta y_{i}<\delta=\frac{\epsilon}{4nM}$이므로 $$\begin{align*}U(P,\,f)&<2(n-1)M\cdot\frac{\epsilon}{4nM}+\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\frac{\epsilon}{2}<\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\epsilon\\L(P,\,f)&\geq L(P_{\epsilon},\,f)-2(n-1)M\frac{\epsilon}{4nM}>\int_{a}^{b}{f(x)dx}-\epsilon\end{align*}$$ 이다. 그러므로 $||P||<\delta$인 $[a,\,b]$의 임의의 분할 $P$에 대하여 $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}-\epsilon<L(P,\,f)\leq S(P,\,f,\,\xi)\leq U(P,\,f)<\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\epsilon$$ 즉, $\displaystyle\left|\int_{a}^{b}{f(x)dx}-S(P,\,f,\,\xi)\right|<\epsilon$이고 따라서 $\displaystyle\lim_{||P||\,\rightarrow\,0}{S(P,\,f,\,\xi)}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$이다.

리만합을 이용하여 $\displaystyle\int_{0}^{1}{x^{2}dx},\,\int_{a}^{b}{\sin xdx}$를 구하자.

함수 $f(x)=x^{2}$는 $[0,\,1]$에서 연속이므로 $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이다. $P=\{x_{0},\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n}\}$을 $[0,\,1]$의 임의의 분할이라 하고 중간점을 $\displaystyle\xi_{i}=\sqrt{\frac{1}{3}(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i-1}+x_{i-1}^{2})}$로 선택하면 $$x_{i-1}=\sqrt{x_{i-1}^{2}}<\sqrt{\frac{1}{3}(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i-1}+x_{i-1}^{2})}<\sqrt{x_{i}^{2}}=x_{i}$$ 이므로 $\xi_{i}\in[x_{i-1},\,x_{i}]$이고, $$\begin{align*}S(P,\,f,\,\xi)&=\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{n}{(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i-1}+x_{i-1}^{2})(x_{i}-x_{i-1})}\\&=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{n}{(x_{i}^{3}-x_{i-1}^{3})}=\frac{1}{3}(x_{n}^{3}-x_{0}^{3})\\&=\frac{1}{3}\end{align*}$$ 이므로 따라서 $\displaystyle\lim_{||P||\,\rightarrow\,0}{S(P,\,f,\,\xi)}=\int_{0}^{1}{x^{2}dx}=\frac{1}{3}$이다.

위와 같은 방법으로 함수 $f(x)=\sin x$는 $[a,\,b]$에서 연속이므로 $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이다. $P=\{x_{0},\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n}\}$을 $[a,\,b]$의 임의의 분할이라 하고 중간점을 $\displaystyle\xi_{i}=-\sin^{-1}\left(\frac{\cos x_{i}-\cos x_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}\right)$라고 하면 $\xi_{i}\in[a,\,b]$이고 $$\begin{align*}S(P,\,f,\,\xi)&=\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}=\sum_{i=1}^{n}{(\sin\xi)(x_{i}-x_{i-1})}\\&=-\sum_{i=1}^{n}{(\cos x_{i}-\cos x_{i-1})}=-(\cos x_{n}-\cos x_{0})\\&=\cos a-\cos b\end{align*}$$ 이므로 $\displaystyle\lim_{||P||\,\rightarrow\,0}{S(P,\,f,\,\xi)}=\int_{a}^{b}{\sin xdx}=\cos a-\cos b$이다.

$f,\,g\in\mathfrak{R}([a,\,b])$, $k\in\mathbb{R}$라고 하자. 그러면

(1) $kf\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이고 $\displaystyle\int_{a}^{b}{\{kf(x)\}dx}=k\int_{a}^{b}{f(x)dx}$이다. 

(2) $f+g\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이고 $\displaystyle\int_{a}^{b}{\{f(x)+g(x)\}dx}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\int_{a}^{b}{g(x)dx}$이다. 

증명:

(1): $k=0$이면 자명하므로 $k\neq0$이라 하자. $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이므로 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $\delta>0$가 존재해서 $||P||<\delta$일 때 $\displaystyle\left|S(P,\,f,\,\xi)-\int_{a}^{b}{f(x)dx}\right|<\frac{\epsilon}{|k|}$이다. 

$S(P,\,kf,\,\xi)=kS(P,\,f,\,\xi)$이므로 $$\begin{align*}\left|S(P,\,kf,\,\xi)-k\int_{a}^{b}{f(x)dx}\right|&=\left|kS(P,\,f,\,\xi)-k\int_{a}^{b}{f(x)dx}\right|=|k|\left|S(P,\,f,\,\xi)-\int_{a}^{b}{f(x)dx}\right|\\&<|k|\frac{\epsilon}{|k|}=\epsilon\end{align*}$$ 이고 따라서 $\displaystyle\lim_{||P||\,\rightarrow\,0}{S(P,\,kf,\,\xi)}=k\int_{a}^{b}{f(x)dx}$이다. 그러므로 $kf\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이고 $\displaystyle\int_{a}^{b}{kf(x)dx}=k\int_{a}^{b}{f(x)dx}$이다.  

(2): $f,\,g\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이므로 임의의 $\epsilon>0$에 대해 

$\delta_{1}>0$가 존재해서 $||P||<\delta_{1}$일 때 $\displaystyle\left|S(P,\,f,\,\xi)-\int_{a}^{b}{f(x)dx}\right|<\frac{\epsilon}{2}$이고 

$\delta_{2}>0$가 존재해서 $||P||<\delta_{2}$일 때 $\displaystyle\left|S(P,\,g,\,\xi)-\int_{a}^{b}{g(x)dx}\right|<\frac{\epsilon}{2}$이다. 

리만합의 정의에 의해 $S(P,\,f+g,\,\xi)=S(P,\,f,\,\xi)+S(P,\,g,\,\xi)$이므로 $\delta=\min\{\delta_{1},\,\delta_{2}\}$라고 하면 $||P||<\delta$일 때 $$\begin{align*}\left|S(P,\,f+g,\,\xi)-\left(\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\int_{a}^{b}{g(x)dx}\right)\right|&=\left|S(P,\,f,\,\xi)+S(P,\,g,\,\xi)-\int_{a}^{b}{f(x)dx}-\int_{a}^{b}{g(x)dx}\right|\\&\leq\left|S(P,\,f,\,\xi)-\int_{a}^{b}{f(x)dx}\right|+\left|S(P,\,f,\,\xi)-\int_{a}^{b}{g(x)dx}\right|\\&<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\end{align*}$$ 이므로 $\displaystyle\lim_{||P||\,\rightarrow\,0}{S(P,\,f+g,\,\xi)}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\int_{a}^{b}{g(x)dx}$이다. 그러므로 $f+g\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이고 $\displaystyle\int_{a}^{b}{\{f(x)+g(x)\}dx}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\int_{a}^{b}{g(x)dx}$이다. 

$f,\,g\in\mathfrak{R}([a,\,b])$라고 하자.

(1) 모든 $x\in[a,\,b]$에 대해 $f(x)\geq0$이면, $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\geq0$이다.

(2) 모든 $x\in[a,\,b]$에 대해 $f(x)\geq0$이면, $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\geq\int_{a}^{b}{g(x)dx}$이다.

증명:

(1): $\displaystyle S(P,\,f,\,\xi)=\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}\geq0$이므로 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{||P||\,\rightarrow\,0}{S(P,\,f,\,\xi)}\geq0$이다.

(2): 모든 $x\in[a,\,b]$에 대해 $f(x)-g(x)\geq0$이므로 앞의 결과로부터 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}-\int_{a}^{b}{g(x)dx}=\int_{a}^{b}{\{f(x)-g(x)\}dx}\geq0$이고 따라서 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\geq\int_{a}^{b}{g(x)dx}$이다.

$f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$라고 하자.

(1) $[c,\,d]\subset[a,\,b]$이면, $f\in\mathfrak{R}([c,\,d])$이다. 

(2) $c\in(a,\,b)$에 대하여 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx}$이다.

증명:

(1): 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $[a,\,b]$의 분할 $P$가 존재해서 $U_{a}^{b}(P,\,f)-L_{a}^{b}<\epsilon$이고, $Q=P\cup\{c,\,d\}$라고 하면, $Q$는 $P$의 세분할이므로 $L_{a}^{b}(P,\,f)\leq L_{a}^{b}(Q,\,f)\leq U_{a}^{b}(Q,\,f)\leq U_{a}^{b}(P,\,f)$이고 $$U_{a}^{b}(Q,\,f)-L_{a}^{b}(Q,\,f)\leq U_{a}^{b}(P,\,f)-L_{a}^{b}(P,\,f)<\epsilon$$ 이다.

$R=Q\cap[c,\,d]$이라고 하면 $$U_{c}^{d}(R,\,f)-L_{c}^{d}(R,\,f)\leq U_{a}^{b}(Q,\,f)-L_{a}^{b}(Q,\,f)$$ 이므로 $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이다. 

(2): 앞의 결과에 의해 $f$는 $[a,\,c]$와 $[c,\,b]$에서 리만적분 가능하다. 임의의 $\epsilon>0$에 대하여

$\delta_{1}>0$가 존재해서 $||P||<\delta_{1}$($P$는 $[a,\,b]$의 분할)일 때 $\displaystyle\left|S(P,\,f,\,\xi)-\int_{a}^{b}{f(x)dx}\right|<\frac{\epsilon}{3}$이고,

$\delta_{2}>0$가 존재해서 $||P||<\delta_{2}$($P$는 $[a,\,c]$의 분할)일 때 $\displaystyle\left|S(P,\,f,\,\xi)-\int_{a}^{c}{f(x)dx}\right|<\frac{\epsilon}{3}$이며,

$\delta_{3}>0$가 존재해서 $||P||<\delta_{3}$($P$는 $[c,\,b]$의 분할)일 때 $\displaystyle\left|S(P,\,f,\,\xi)-\int_{c}^{b}{f(x)dx}\right|<\frac{\epsilon}{3}$이다.

$P_{1}=P\cap[a,\,c]$, $P_{2}=P\cap[c,\,b]$, $\xi_{1}=\xi\cap[a,\,c]$, $\xi_{2}=\xi\cap[c,\,b]$라고 하자. 그러면 $$S(P,\,f,\,\xi)=S(P_{1},\,f,\,\xi_{1})+S(P_{2},\,f,\,\xi_{2})$$ 이고 $||P_{1}||\leq||P||<\delta_{2}$, $||P_{2}||\leq||P||<\delta_{3}$이므로 $$\left|S(P_{1},\,f,\,\xi_{1})-\int_{a}^{c}{f(x)dx}\right|<\frac{\epsilon}{3},\,\left|S(P_{2},\,f,\,\xi_{2})-\int_{c}^{b}{f(x)dx}\right|<\frac{\epsilon}{3}$$ 이다. 따라서 $$\begin{align*}&\left|\int_{a}^{b}{f(x)dx}-\left(\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx}\right)\right|\\&=\left|\int_{a}^{b}{f(x)dx}-S(P,\,f,\,\xi)+S(P_{1},\,f,\,\xi_{1})-\int_{a}^{c}{f(x)dx}+S(P_{2},\,f,\,\xi_{2})-\int_{c}^{b}{f(x)dx}\right|\\&\leq\left|\int_{a}^{b}{f(x)dx}-S(P,\,f,\,\xi)\right|+\left|S(P_{1},\,f,\,\xi)-\int_{a}^{c}{f(x)dx}\right|+\left|S(P_{2},\,f,\,\xi)-\int_{c}^{b}{f(x)dx}\right|\\&<\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}=\epsilon\end{align*}$$ 이고 $\epsilon$은 임의의 양수이므로 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx}$이다.

(2)의 결과로부터 $\displaystyle\int_{a}^{a}{f(x)dx}=0$이 성립한다. 또한 리만적분의 정의로부터 $\displaystyle\int_{b}^{a}{f(x)dx}=-\int_{a}^{b}{f(x)dx}$가 성립한다. 

 

함수 $f$에 대해 $f^{+}(x)=\max\{f(x),\,0\}$, $f^{-}(x)=\max\{-f(x),\,0\}$로 정의하면 $f^{+},\,f^{-}\geq0$이고 $f=f^{+}-f^{-}$, $|f|=f^{+}+f^{-}$이 성립한다.

$f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$라고 하자. 그러면       

(1) $f^{+},\,f^{-}\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이다.

(2) $|f|\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이고 $\displaystyle\left|\int_{a}^{b}{f(x)dx}\right|\leq\int_{a}^{b}{|f(x)|dx}$이다.

증명:

(1) $f^{+}\in\mathfrak{R}([a,\,b])$임을 보이자.

$\displaystyle M_{i}^{+}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f^{+}(x)},\,m_{i}^{+}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{f^{+}(x)}$라고 하면, 부등식 $M_{i}^{+}-m_{i}^{+}\leq M_{i}-m_{i}$가 성립한다. 그 이유는

(i) $m_{i}\geq0$이면 $[x_{i-1},\,x_{i}]$에서 $f(x)\geq0$이므로 $f^{+}(x)=f(x)$이고 따라서 $M_{i}^{+}=M_{i}$, $m_{i}^{+}=m_{i}$이며 $M_{i}^{+}-m_{i}^{+}=M_{i}-m_{i}$이다.

(ii) $M_{i}\leq0$이면 $[x_{i-1},\,x_{i}]$에서 $f(x)\leq0$이므로 $f^{+}(x)=0$이고 따라서 $M_{i}^{+}=m_{i}^{+}=0$이고 $M_{i}^{+}-m_{i}^{+}=0\leq M_{i}-m_{i}$이다.

(iii) $m_{i}<0<M_{i}$이면 항상 $f^{+}(x)\geq0$이므로 $m_{i}^{+}\geq0$이고 $m_{i}<m_{i}^{+}$이다. 또한 $M_{i}>0$이므로 $M_{i}^{+}=M_{i}$이고 $M_{i}^{+}-m_{i}^{+}\leq M_{i}-m_{i}$이다. 

$f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이므로 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $[a,\,b]$의 분할 $P_{\epsilon}$이 존재해서 $U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)<\epsilon$이고 따라서 $$\begin{align*}U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)&=\sum_{i=1}^{n}{(M_{i}^{+}-m_{i}^{+})\Delta x_{i}}\\&\leq\sum_{i=1}^{n}{(M_{i}-m_{i})\Delta x_{i}}\leq U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)<\epsilon\end{align*}$$ 이다. $f=f^{+}-f^{-}$이므로 $f^{-}=f^{+}-f$이고 $f,\,f^{+}\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이므로 $f^{-}\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이다.   

(2) $|f|=f^{+}+f^{-}$이고 앞의 결과에 의해 $f^{+},\,f^{-}\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이므로 $|f|\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이고 $$\left|\int_{a}^{b}{f(x)dx}\right|=\left|\int_{a}^{b}{(f^{+}(x)-f^{-}(x))dx}\right|\leq\int_{a}^{b}{f^{+}(x)dx}+\int_{a}^{b}{f^{-}(x)dx}=\int_{a}^{b}{|f(x)|dx}$$ 이다.

$f,\,g\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이면, $fg\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이다.

증명: $\displaystyle fg=\frac{1}{4}\{(f+g)^{2}-(f-g)^{2}\}$이므로 $f^{2}\in\mathfrak{R}([a,\,b])$임을 보이면 충분하다.

$x\in[a,\,b]$에 대하여 $0\leq f(x)$라고 하자. $f$는 유계이므로 $M>0$이 존재해서 $0\leq f(x)\leq M$이다. $f\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이므로 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $[a,\,b]$의 분할 $P_{\epsilon}$가 존재해서 $\displaystyle U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)<\frac{\epsilon}{2M}$이고 $$M_{i}^{*}=\sup_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{\{f(x)\}^{2}}=M_{i}^{2},\,m_{i}^{*}=\inf_{x\in[x_{i-1},\,x_{i}]}{\{f(x)\}^{2}}=m_{i}^{2}$$ 이므로 $$\begin{align*}U(P_{\epsilon},\,f^{2})-L(P_{\epsilon},\,f^{2})&=\sum_{i=1}^{n}{(M_{i}^{*}-m_{i}^{*})\Delta x_{i}}=\sum_{i=1}^{n}{(M_{i}^{2}-m_{i}^{2})\Delta x_{i}}\\&=\sum_{i=1}^{n}{(M_{i}+m_{i})(M_{i}-m_{i})\Delta x_{i}}\\&\leq2M\sum_{i=1}^{n}{(M_{i}-m_{i})\Delta x_{i}}=2M\{U(P_{\epsilon},\,f)-L(P_{\epsilon},\,f)\}\\&<2M\cdot\frac{\epsilon}{2M}=\epsilon\end{align*}$$ 이고 따라서 $f^{2}\in\mathfrak{R}([a,\,b])$이다.

참고자료:

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

Introduction to Real Analysis 2nd edition, Stoll, Pearson

실해석학 개론, 정동명, 조승제, 경문사

알기쉬운 해석학, 장건수 외 5인, 대선