[해석학] 2. 실수계

2. 실수계

실수 \(\mathbb{R}\)상에 정의된 두 연산 \(+\)(덧셈)와 \(\cdot\)(곱셈)은 다음의 체의 공리(Field axioms)를 만족한다.

즉, 임의의 \(a,\,b,\,c\in\mathbb{R}\)에 대하여

(A0) \(a+b\in\mathbb{R}\) (\(\mathbb{R}\)은 덧셈에 대해 닫혀있다)

(A1) \(a+b=b+a\) (덧셈에 대한 교환법칙)

(A2) \((a+b)+c=a+(b+c)\) (덧셈에 대한 결합법칙)

(A3) \(0\in\mathbb{R}\)이 존재해서 \(a+0=0+a=a\) (덧셈에 대한 항등원)

(A4) \(a'(=-a)\in\mathbb{R}\)이 존재해서 \(a+a'=a'+a=0\) (덧셈에 대한 역원)

(M0) \(a\cdot b\in\mathbb{R}\) (\(\mathbb{R}\)은 곱셈에 대해 닫혀있다)

(M1) \(a\cdot b=b\cdot a\) (곱셈에 대한 교환법칙)

(M2) \(a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\) (곱셈에 대한 결합법칙)

(M3) \(1\in\mathbb{R}\)이 존재해서 \(a\cdot1=1\cdot a=a\) (곱셈에 대한 항등원)

(M4) \(a\neq0\)일 때, \(\displaystyle a^{-1}\left(=\frac{1}{a}\right)\in\mathbb{R}-\{0\}\)가 존재해서 \(a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1\) (곱셈에 대한 역원)

(D) \(a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\,(b+c)a=b\cdot a+c\cdot a\) (분배법칙)

임의의 \(a,\,b\in\mathbb{R}\)을 곱셈기호를 생략한 \(ab\)로 나타내고, \(a=b\)일 때, \(a\cdot a=a^{2}\)로 나타낸다. 또한 \(a\)를 \(n\)번 곱한것을 \(a^{n}\)으로 나타낸다. 즉 \(a^{n}=a\cdot \cdots \cdot a\).

임의의 \(a,\,b\,c\in\mathbb{R}\)에 대하여

1. \(a\cdot 0=0\)

2. \(a(-b)=-(ab)\)

3. \(-(-a)=a\)

4. \((-a)(-b)=ab\)

5. \(a+b=a+c\)이면, \(b=c\)

6. \(ab=ac\)이고 \(a\neq0\)이면, \(b=c\)

7. \(ab=0\)이면, \(a=0\) 또는 \(b=0\)이다.

증명:

1. \(a\cdot0=a\cdot(0+0)=a\cdot0+a\cdot0\)이고 이 식의 양변에 \(-a\cdot0\)을 더하면 \(a\cdot0=0\)이다.

2. \((-a)=(-1)a\)이므로 \(a(-b)=a(-1)b=(-1)ab=-(ab)\)이다.

3. \(-a=(-1)a\)이고 \(-(-a)=(-1)(-1)a=1\cdot a=a\)이므로 \(-(-a)=a\)이다.

4. 2와 3에 의해 \((-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab\)이다.

5. \(a-a=a+(-a)=0\)이므로 식 \(a+b=a+c\)의 양변에 \(-a\)를 더하면 \(b=c\)이다.

6. \(a\neq0\)이므로 \(\displaystyle a^{-1}=\frac{1}{a}\)가 존재하고 \(\displaystyle a\cdot\frac{1}{a}=1\), 식 \(ab=ac\)의 양변에 \(a^{-1}\)을 곱하면 \(b=c\)이다.

7. \(a=0\)일 때, 1에 의해 \(a\cdot b=a\cdot0=0\)이고, \(a\neq0\)일 때, \(\displaystyle a^{-1}=\frac{1}{a}\)이므로$$b=1\cdot b=\left(\frac{1}{a}\cdot a\right)\cdot b=\frac{1}{a}(ab)=\frac{1}{a}\cdot0=0$$이다.

실수에 대한 순서공리(order axioms)

다음의 두 조건을 만족하는 \(P(\neq\emptyset)\subset\mathbb{R}\)가 존재한다.

(1) 임의의 \(a,\,b\in P\)에 대하여 \(a+b,\,ab\in P\).

(2) 임의의 \(a\in\mathbb{R}\)에 대하여 다음 중 단 하나만 성립한다.$$(i)\,a\in P,\,(ii)\,a=0,\,-a\in P$$

위의 집합 \(P\)의 원소를 양의 실수 전체의 집합이다.

임의의 \(a,\,b\in\mathbb{R}\)에 대하여

(1) \(a-b\in P\)일 때, \(a\)는 \(b\)보다 크다(greater) 또는 \(b\)는 \(a\)보다 작다(lower)라고 하고 다음과 같이 나타낸다.$$a>b\,(b<a)$$

(2) \(-(a-b)\in P\)일 때, \(b\)는 \(a\)보다 크다 또는 \(a\)는 \(b\)보다 작다라고 하고, 다음과 같이 나타낸다.$$a<b\,(b>a)$$

\(a>b\) 또는 \(a=b\)이면, \(a\geq b\)로 나타내고, \(a<b\) 또는 \(a=b\)이면, \(a\leq b\)로 나타낸다.

임의의 \(a,\,b,\,c\in\mathbb{R}\)에 대하여

(1) \(a<b\)이고 \(b<c\)이면, \(a<c\)

(2) \(a>b,\,a=b,\,a<b\)중 하나만 성립한다(삼분법(law of trichotomy))

(3) \(a<b\)일 필요충분조건은 \(a+c<b+c\)

(4) \(a<b\)이고 \(c>0\)이면, \(ac<bc\)(\(c<0\)이면, \(ac>bc\))

(5) \(a^{2}\geq0\)

(6) \(a>0,\,b>0\)이면, \(ab>0\)

(7) \(0<a<b\)이면, \(\displaystyle0<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}\)

증명:

(1): \(b-a,\,c-b\in P\)이므로 \((c-b)+(b-a)=c-a\in P\), 즉 \(c>a\)이다.

(2): \(a-b\in\mathbb{R}\)에 대하여 순서공리의 (2)에 의해 다음 조건 중 하나만이 성립한다.$$(\text{i})\,a-b\in P,\,(\text{ii})\,a-b=0,\,(\text{iii})\,-(a-b)\in P$$

(3):

\((\Rightarrow)\): \(b-a=(b+c)-(a+c)\in P\)이므로 \(a+c<b+c\)

\((\Leftarrow)\): 부등식 \(a+c<b+c\)의 양변에 \((-c)\)를 더하면 \(a<b\)이다.

(4): \(c=c-0\in P\)이고 \(b-a\in P\)이므로 \(c(b-a)=bc-ac\in P\)이고 따라서 \(ac<bc\)이다. \(c<0\)인 경우, \(-c=0-c\in P\)이고 \(b-a\in P\)이므로 \(-c(b-a)=ac-bc\in P\)이고 \(ac>bc\)이다.

(5):

(i) \(a=0\)이면, \(a^{2}=0\)

(ii) \(a\neq0\)이면 \(a\in P\) 또는 \(-a\in P\)이고, \(a^{2}\in P\)이므로 \(a^{2}>0\)이다.

따라서 (i), (ii)에 의해 \(a^{2}\geq0\)이다.

(6): 순서공리의 (2)에 의해 성립한다.

(7):

(i) \(b>0\)이면, \(\displaystyle\frac{1}{b}>0\)이다. 왜냐하면 \(\displaystyle\frac{1}{b}\leq0\)라고 했을 때, \(\displaystyle0<1^{2}=1=b\cdot\frac{1}{b}\)이고, \(1=b\cdot\frac{1}{b}<0\)이 되어 모순이다.

(ii) 부등식 \(a<b\)의 양변에 \(\displaystyle\frac{1}{b}\)를 곱하면, \(\displaystyle a\cdot\frac{1}{b}<b\cdot\frac{1}{b}=1\)이고, \(\displaystyle\frac{1}{a}\cdot\left(a\cdot\frac{1}{b}\right)<\frac{1}{a}\), \(\displaystyle\frac{1}{a}>0\)이므로 \(\displaystyle\frac{1}{b}<\frac{1}{a}\)이다.

\(A(\neq\emptyset)\subset\mathbb{R}\)이라 하자.

1. 모든 \(x\in A\)에 대하여 \(x\leq a\)이면, \(a\)는 \(A\)의 상계(upper bound)이고, \(A\)는 위로유계(bounded above)이다.

2. 모든 \(x\in A\)에 대하여 \(b\leq x\)이면, \(b\)는 \(A\)의 하계(lower bound)이고, \(A\)는 아래로유계(bounded below)이다.

3. \(A\)가 위로유계이고 아래로유계이면, \(A\)는 유계(bounded)이다.

(\(A\)가 유계일 필요충분조건은 모든 \(x\in A\)에 대하여 \(M\geq0\)이 존재해서 \(|x|\leq M\))이다.

\(A(\neq\emptyset)\subset\mathbb{R}\)에 대하여

1. \(A\)를 위로유계라 하자. \(\alpha\in\mathbb{R}\)가 존재해서

(1) \(\alpha\)는 \(A\)의 상계이다.

(2) 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(x\in A\)가 존재해서 \(\alpha-\epsilon<x\leq\alpha\)

이면, \(\alpha\)를 \(A\)의 최소상계(least upper bound)라 하고 \(\alpha=\sup A\)로 나타낸다.

2. \(A\)를 아래로유계라 하자. \(\beta\in\mathbb{R}\)가 존재해서

(1) \(\beta\)는 \(A\)의 하계이다.

(2) 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(x\in A\)가 존재해서 \(\beta\leq x<\beta+\epsilon\)

이면, \(\beta\)를 \(A\)의 최대하계(greater lower bound)라 하고 \(\beta=\inf A\)로 나타낸다.

완비성공리(Completeness Axiom)

위로 유계인 실수의 집합 \(A(\neq\emptyset)\subset\mathbb{R}\)은 최소상계를 갖는다.

아르키메데스 성질(Archimedian property)

임의의 \(a,\,b\in\mathbb{R}\,(a>0)\)에 대하여 적당한 \(n\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(na>b\)이다.

증명: 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(na\leq b\)라 하자. 그러면 \(b\)는 집합 \(A=\{na\,|\,n\in\mathbb{N}\}\)의 상계이고 따라서 \(A\)는 위로유계이다. 따라서 완비성공리에 의해 \(\alpha=\sup A\)가 존재하고, \(\sup A\)의 정의에 의해  \(n_{0}\in\mathbb{N}\)가 존재해서 \(\alpha-a<n_{0}a\leq\alpha\)이고 \(\alpha<n_{0}a+a=n_{0}(a+1)\in A\)이다. 그러면 \(\alpha<(n_{0}+1)a\leq\alpha\)이고 \(\alpha<\alpha\)가 되어 모순이다. 따라서 \(n\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(na>b\)이다.

이 정리에서 \(a=\epsilon>0,\,b=1\)일 때, \(n\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(\displaystyle0<\frac{1}{n}<\epsilon\)이다.

(유리수의 조밀성) 임의의 \(a,\,b\in\mathbb{R}\,(a<b)\)에 대하여 \(r\in\mathbb{Q}\)가 존재해서 \(a<r<b\)이다.

증명: 

(i) \(0<a<b\)일 때, \(b-a>0\)이므로 아르키메데스 성질로부터 \(n\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(n(b-a)>1\)이고, \(A=\{m\in\mathbb{N}\,|\,na<m\}\)라 하면, \(A\neq\emptyset\)이다. \(A\subset\mathbb{N}\)이므로 자연수의 정렬성으로부터 최소원소 \(m_{0}\)가 존재하고, \(na<m_{0}\)이다. 이제 \(m_{0}<nb\)임을 보이면 된다. 부정해서 \(nb\leq m_{0}\)이라 하자. 그러면$$na+1<nb\leq m_{0}\,(\because\,nb-na>1)$$이고 \(na<m_{0}-1\in\mathbb{N}\)이므로 \(m_{0}-1\in A\)이고, \(m_{0}-1<m_{0}\)이 되는데 이는 \(m_{0}\)가 \(A\)의 최소원소라는 사실에 모순이다. 따라서 \(m_{0}<nb\)이고 \(\displaystyle a<\frac{m_{0}}{n}<b\)이므로 \(\displaystyle r=\frac{m_{0}}{n}\)이다.

(ii) \(a\leq0<b\)일 때, (i)에 의해 \(r_{1}\in\mathbb{Q}\)이 존재해서 \(\displaystyle\frac{b}{2}<r_{1}<b\)이고, \(\displaystyle a\leq0<\frac{b}{2}<r_{1}<b\)이므로 \(a<r_{1}<b\)이다.

(iii) \(a<b\leq0\)일 때, \(0\leq-b<-a\)이므로 (i)에 의해 \(r_{2}\in\mathbb{Q}\)가 존재해서 \(-b<r_{2}<-a\)이다. 그러면 \(a<-r_{2}<b\)이고 \(-r_{2}\in\mathbb{Q}\)이다.

위 정리를 이용해서 \(a,\,b\in\mathbb{R}\,(a<b)\)에 대하여 \(s\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\)가 존재해서 \(a<s<b\)임을 보일 수 있다.(무리수의 조밀성)

\(x\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(x\)의 절댓값(absolute value) \(|x|\)를 다음과 같이 정의한다.$$|x|=\begin{cases}x,&\,(x\geq0)\\-x,&\,(x<0)\end{cases}$$

\(a,\,b,\,c\in\mathbb{R}\)에 대하여

1. \(|a|\geq0,\,|a|^{2}=a^{2}\)

2. \(|ab|=|a||b|,\,|-a|=|a|\)

3. \(-|a|\leq a\leq|a|,\,|a|\leq c\)일 필요충분조건은 \(-c\leq a\leq c\,(c\geq0)\)

4. \(||a|-|b||\leq|a\pm b|\leq|a|+|b|\) (삼각부등식)

증명:

1. \(a>0\)이면, \(a\in P\), \(a<0\)이면, \(-a<P\)이므로 \(|a|\geq0\)이고, \((-a)^{2}=(-1)^{2}a^{2}=1\cdot a^{2}=|a|^{2}\)이므로 \(|a|^{2}=a^{2}\)이다.

2. 1에 의해 \(|ab|^{2}=(ab)^{2}=a^{2}b^{2}=|a|^{2}|b|^{2}\)이므로 \(|ab|^{2}=|a|^{2}|b|^{2}\)이고, \(|-a|=|(-1)a|=|-1||a|=|a|\)이다.

3. \(|a|\geq0\)이므로 \(a\leq|a|\)이고 \(-|a|\leq a\)이므로 \(-|a|\leq a\leq|a|\)이다. 이제 그 다음을 증명하자.

\((\Rightarrow)\): \(a\leq|a|<c\)이고 \(-c\leq-|a|\leq a\)이므로 \(-c\leq a\leq c\)이다.

\((\Leftarrow)\): \(a>0\)일 때 \(|a|=a\leq c\)이고 \(a<0\)일 때 \(|a|=-a\leq-(-c)=c\)이므로 \(|a|\leq c\)이다.

4. 생략. 

 

\(x,\,y\in\mathbb{R}\)과 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여

(1) \(x<y+\epsilon\)이면, \(x\leq y\)이다.

(2) \(x=y\)일 필요충분조건은 \(|x-y|<\epsilon\)이다.

증명:

(1) \(x>y\)라 하자. \(\displaystyle\epsilon=\frac{x-y}{2}\)를 부등식 \(x<y+\epsilon\)에 대입하면$$x<y+\epsilon=y+\frac{x-y}{2}=\frac{x+y}{2}<\frac{x+x}{2}=x$$이고 이는 모순이다.

(2)

\((\Rightarrow)\): 자명하다.

\((\Leftarrow)\): \(|x-y|<\epsilon\)이라 하자. 그러면 \(|x-y|\)는 집합 \(A=\{\epsilon\in\mathbb{R}\,|\,\epsilon>0\}\)의 하계이므로 \(|x-y|\leq\inf A=0\)이고, \(|x-y|\geq0\)이므로 \(|x-y|=0\), 즉 \(x=y\)이다.

\(N_{\epsilon}(a)=(a-\epsilon,\,a+\epsilon)\)을 \(a\)의 \(\epsilon-\)근방(neighborhood), \(N_{\epsilon}^{*}(a)=N_{\epsilon}(a)-\{a\}\)를 제거된 \(a\)의 근방(deleted neighborhood)이라고 한다.

참고자료:

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

실해석학 개론, 정동명, 조승제, 경문사