[해석학] 1. 집합과 함수

1. 집합과 함수

집합(set)은 무정의 용어(정의를 내리지 않음, 단순히 정의할 수 있는 대상들로 구성된 대상으로 생각)이고, 어떤 집합을 구성하는 대상 각각들을 이 집합의 원소(element)라고 한다. $x$가 집합 $A$의 원소이면, $x\in A$로 나타내고, "$x$는 $A$의 원소이다"라고 한다. 만약 반대로 $x$가 집합 $A$의 원소가 아니면, $x\notin A$로 나타내고 "$x$는 $A$의 원소가 아니다"라고 한다.

여기서 자연수 전체, 정수 전체, 유리수 전체, 실수 전체의 집합을 각각 $\mathbb{N},\,\mathbb{Z},\,\mathbb{Q},\,\mathbb{R}$로 나타내겠다.

두 집합 $A,\,B$에 대하여 $A$의 모든 원소들이 $B$의 원소일 때, 즉, $x\in A$이면 $x\in B$일 때, $A$는 $B$의 부분집합이라 하고, $A\subset B$로 나타낸다. 이때 $B$의 원소 중에서 $A$의 원소가 아닌 것이 적어도 하나 존재한다. 반대로 $A$가 $B$의 부분집합이 아니면, $A\not\subset B$로 나타낸다. $X$를 임의의 전체집합(universal set), $\emptyset$을 공집합(empty set)이라 하면, 임의의 집합 $A$에 대하여 $\emptyset\subset A\subset X$이다.

$A\subset B$이고 $A\neq B$이면, $A$를 $B$의 진부분집합(proper subset)이라고 한다.

$A\subset B$이고 $B\subset A$이면, 두 집합 $A$와 $B$는 서로 같다(equal)고 하고 $A=B$로 나타낸다.

원소 $x$에 대한 어떤 성질 $p(x)$를 만족하는 $x$ 전체의 집합을 $$\{x\,|\,p(x)\}$$ 로 나타내고, 집합 $A$가 있을 때, $x\in A$에 대한 어떤 성질 $p(x)$를 만족하는 $x$ 전체의 $$\{x\in A\,|\,p(x)\}$$ 로 나타낸다.

임의의 집합 $A,\,B\subset X$에 대하여 합집합(union), 교집합(intersection), 여집합(complement), 카테시안 곱(cartesian product)을 다음과 같이 정의한다.

합집합: $A\cup B=\{x\,|\,x\in A\,\text{or}\,x\in B\}$, 교집합: $A\cap B=\{x\,|\,x\in A\,\text{and}\,x\in B\}$

여집합: $A^{c}=\{x\,|\,x\in X\,\text{and}\,x\notin A\}$ 카테시안 곱: $A\times B=\{(x,\,y)\,|\,x\in A,\,y\in B\}$

$A,\,B,\,C\subset X$에 대하여 다음 성질들이 성립한다.

(1) 교환법칙(commutative law): $A\cup B=B\cup A,\,A\cap B=B\cap A$

(2) 결합법칙(associative law): $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C),\,(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$

(3) 분배법칙(distribution law): $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C),\,A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$

(4) 드 모르간의 법칙(de Morgan's law): $(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c},\,(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}$

집합 $A$의 부분집합들을 모은 집합을 멱집합(power set)이라 하고 $2^{A}$로 나타낸다. 예를들어 $A=\{1,\,2\}$일 때, $$2^{A}=\{\emptyset,\,\{1\},\,\{2\},\,\{1,\,2\}\}$$ 이다. 참고로 $n$개의 원소를 갖는 집합 $A$에 대하여 $A$의 부분집합들의 개수는 $2^{n}$이다.

어떤 집합의 부분집합들을 원소로 갖는 한 집합을 집합족(family)이라고 한다. 집합 $I$의 원소 $\alpha$에 대하여 $X$의 부분집합 $A_{\alpha}$가 하나씩 대응되면, $A_{\alpha}$로 이루어진 집합족을 $\{A_{\alpha}\}_{\alpha\in I}$로 나타낸다. 이때 $\alpha$를 첨수(index), $I$를 첨수집합(indexed set)이라고 한다.

집합족 $\{A_{\alpha}\}_{\alpha\in I}$의 합집합과 교집합을 다음과 같이 정의한다.

$$\begin{align*}\bigcup_{\alpha\in I}{A_{\alpha}}&=\{x\,|\,x\in A_{\alpha}\,\text{for some}\,\alpha\in I\}\\ \bigcap_{\alpha \in I}{A_{\alpha}}&=\{x\,|\,x\in A_{\alpha}\,\text{for each}\,\alpha\in I\}\end{align*}$$ $I=\mathbb{N}$인 경우, $\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}{A_{n}},\,\bigcap_{n\in\mathbb{N}}{A_{n}}$을 각각 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}},\,\bigcap_{n=1}^{\infty}{A_{n}}$으로 나타내고, $I$가 $n$개의 원소를 갖는 집합이면, $\displaystyle\bigcup_{k\in I}{A_{k}},\,\bigcap_{k\in I}{A_{k}}$를 각각 $\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}{A_{k}}=A_{1}\cup\cdots\cup A_{n},\,\bigcap_{k=1}^{n}{A_{k}}=A_{1}\cap\cdots\cap A_{n}$으로 나타낸다.

또한 다음과 같이 드 모르간 법칙이 성립한다.

$$\left(\bigcup_{\alpha\in I}{A_{\alpha}}\right)^{c}=\bigcap_{\alpha\in I}{A_{\alpha}^{c}},\,\left(\bigcap_{\alpha\in I}{A_{\alpha}}\right)^{c}=\bigcup_{\alpha\in I}{A_{\alpha}^{c}}$$

두 집합 $X,\,Y$에서 $x\in X$를 $y\in Y$에 대응하는 규칙 $f:\,X\,\rightarrow\,Y$를 $X$에서 $Y$로의 함수라고 하고, $X$를 $f$의 정의역(domain), $f$에 의한 $X$의 상 $$f[X]=\{x\in X\,|\,f(x)\}$$ 를 $f$의 치역(range), 집합 $$\{(x,\,f(x))\,|\,x\in X\}$$ 를 $f$의 그래프(graph)라고 한다.

집합 $X$에 대하여 함수 $f:\,X\,\rightarrow\,X$를 $x\in X$에 대하여 $f(x)=x$로 정의하면, 이 함수를 항등함수(identity function)라고 하고, 집합 $Y$와 적당한 $y_{0}\in Y$에 대하여 함수 $g:\,X\,\rightarrow\,Y$를 $g(x)=y_{0}$로 정의하면, 이 함수를 상수함수(constant function)라고 한다.

함수 $f:\,X\,\rightarrow\,Y$와 $g:\,Y\,\rightarrow\,Z$를 합성한 함수 $h:\,X\,\rightarrow\,Z$ $$h(x)=g(f(x))$$ 를 $f$와 $g$의 합성함수(composite function)라 하고 $g\circ f$로 나타낸다.

함수 $f:\,X\,\rightarrow\,Y$에 대하여

(1) 임의의 $x_{1},\,x_{2}\in X$에 대해 $x_{1}\neq x_{2}$이면, $f(x_{1})\neq f(x_{2})$일 때, $f$를 일대일함수(one-to-one function) 또는 단사함수(injective function)라고 한다.

(2) 임의의 $y\in Y$에 대하여 $x\in X$가 존재해서 $y=f(x)$이면, $f$를 위로(onto function) 또는 전사함수(surjective function)라고 한다.

(3) 전사이면서 단사이면, $f$를 전단사함수(bijective function) 또는 일대일대응(one-to-one correspondence)이라고 한다.

(4) $f$가 전단사함수일 때, 모든 $x\in X$에 대하여 $f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x$를 만족하는 함수 $f^{-1}:\,Y\,\rightarrow\,X$를 함수 $f$의 역함수(inverse function)라고 한다.

함수 $f:\,X\,\rightarrow\,Y$와 집합 $A\subset X$에 대하여 $f$에 의한 $A$의 상(image)을 $$f[A]=\{f(x)\,|\,x\in A\}$$ 로 나타내고, $B\subset Y$에 대하여 $f^{-1}$에 의한 $B$의 역상(inverse image)을 $$f^{-1}[B]=\{x\,|\,f(x)\in B\}$$ 로 나타낸다.

또한 $A\subset X$에 대하여 $f|_{A}:\,A\,\rightarrow\,Y$를 $f$의 $A$로의 축소함수(restriction)라고 한다.

자연수의 정렬성(Well-ordering property of $\mathbb{N}$)

$S(\neq\emptyset)\subset\mathbb{N}$는 가장 작은 원소(least element) $m$을 갖는다. 즉 임의의 $s\in S$에 대하여 $m\in S$가 존재해서 $m\leq s$이다.

수학적 귀납법의 원리(Principle of mathematical induction)

$S\subset\mathbb{N}$가 다음의 조건

(1) $1\in S$

(2) $n\in S$이면, $n+1\in S$

을 만족하면, $S=\mathbb{N}$이다.

증명: $S\neq\mathbb{N}$이라고 하면, $S$는 $\mathbb{N}$의 진부분집합이고, $\mathbb{N}-S\neq\emptyset$이다. 그러면 자연수의 정렬성에 의해 $\mathbb{N}-S$는 최소원소 $m$을 갖는다. (1)에 의해 $1\in S$이므로 $m\neq1$이고 $m>1$이므로 $m-1\in\mathbb{N}$이다. $m-1<m$이고 $m$은 $\mathbb{N}-S$의 최소원소이므로 $m-1\in S$가 되어 $m=m-1+1\in S$가 되는데 $m\notin S$이어야 하므로 모순이다.

수학적 귀납법(Mathematical induction)

$n\in\mathbb{N}$에 관한 명제 $p(n)$에 대하여 다음의 조건

(1) $p(1)$은 참이다.

(2) $p(n)$이 참이면, $p(n+1)$도 참이다.

을 만족하면, 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $p(n)$은 참이다.

증명: $S=\{n\in\mathbb{N}\,|\,p(n)\,\text{is true}\}$라 하면, 가정에 의해 (i) $1\in S$, (ii) $n\in S$이면 $n+1\in S$ 이 두 조건을 만족한다. 따라서 수학적 귀납법의 원리에 의해 $S=\mathbb{N}$이 되고 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $p(n)$은 참이다.

두 집합 $X$와 $Y$에 대하여 $X$에서 $Y$로의 전단사함수가 존재하면, $X$와 $Y$는 서로 대등(equipotent)(또는 동치, equivalent)하다고 하고 $X\sim Y$로 나타낸다.

각 자연수 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $\mathbb{N}_{n}=\{1,\,2,\,\cdots,\,n\}$이라 하자. 집합 $A$에 대하여 다음과 같이 정의한다.

(1) 적당한 $n$에 대하여 $A\sim\mathbb{N}_{n}$ 또는 $A=\emptyset$이면, $A$는 유한집합(finite set)이다.

(2) $A$가 유한집합이 아니면, $A$는 무한집합(infinite set)이고, 이때 $A\sim\mathbb{N}$이면, $A$는 가산집합(countable set)이라고 한다.

(3) $A$가 가산집합이 아니면, $A$를 비가산집합(uncountable set)이라고 한다. 

가산무한집합의 무한부분집합은 가산무한집합이고, 가산집합의 부분집합은 가산집합이다.

$\mathbb{N}\times\mathbb{N}\sim\mathbb{N}$이고, $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$은 가산무한집합이다.

증명: 함수 $f:\,\mathbb{N}\times\mathbb{N}\,\rightarrow\,\mathbb{N}$을 각 $(i,\,j)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$에 대하여 $f(i,\,j)=2^{i}3^{j}$로 정의된 $f$는 단사함수이다. 그러므로 $\mathbb{N}\times\mathbb{N}\sim f[\mathbb{N}\times\mathbb{N}]$이고 $f[\mathbb{N}\times\mathbb{N}]\sim\mathbb{N}$이다. $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$은 무한집합이므로 $f[\mathbb{N}\times\mathbb{N}]$도 무한집합인데 가산무한집합이므로 $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$도 가산무한집합이다.

집합열 $\{A_{k}\}$의 각 항 $A_{k}$이 가산무한집합이고, 또한 $n,\,m\in\mathbb{N}\,(n\neq m)$에 대하여 $A_{n}\cap A_{m}=\emptyset$이면, $\displaystyle A=\bigcup_{k=1}^{\infty}{A_{k}}$은 가산무한집합이다. 특히 유한개의 가산무한집합의 합집합은 가산무한집합이다.

증명: $k\in\mathbb{N}$에 대하여 함수 $f_{k}:\,\mathbb{N}\,\rightarrow\,\mathbb{N}\times\{k\}$를 임의의 $j\in\mathbb{N}$에 대하여 $f_{k}(j)=(j,\,k)$라 하면, 이 함수는 일대일 대응이다. 즉 $\mathbb{N}\sim\mathbb{N}\times\{k\}$. 이때 $A_{k}\sim\mathbb{N}$, $\mathbb{N}\sim\mathbb{N}\times\{k\}$이므로 $A_{k}\sim\mathbb{N}\times\{k\}$이고 따라서 $\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}{A_{k}}\sim\bigcup_{k=1}^{\infty}{\mathbb{N}\times\{k\}}$이고, $\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}{\mathbb{N}\times\{k\}}\sim\mathbb{N}\times\mathbb{N}$이므로 따라서 $\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}{A_{k}}$는 가부번집합이다.

위 두 결과를 이용하여 정수 전체의 집합 $\mathbb{Z}$와 유리수 전체의 집합 $\mathbb{Q}$가 가산무한집합임을 보일 수 있다. 실제로 $$\begin{align*}\mathbb{Z}&=\mathbb{N}\cup\{0\}\cup(-\mathbb{N})\,((-\mathbb{N})=\{-n\,|\,n\in\mathbb{N}\})\\ \mathbb{Q}&=\left\{\frac{p}{q}\,|\,p\in\mathbb{Z},\,q\in\mathbb{N},\,\text{gcd}(p,\,q)=1\right\}\sim\mathbb{Z}\times\mathbb{N}\end{align*}$$ 이다.

 

참고자료:

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

Introduction to Real Analysis 2nd edition, Stoll, Pearson

실해석학 개론, 정동명, 조승제, 경문사

집합론, You-Feng Lin, Shwu-Yeng Lin저, 이흥천 옮김, 경문사