[해석학] 1. 집합과 함수

1. 집합과 함수

집합(set)은 무정의 용어(정의를 내리지 않음, 단순히 정의할 수 있는 대상들로 구성된 대상으로 생각)이고, 어떤 집합을 구성하는 대상 각각들을 이 집합의 원소(element)라고 한다. \(x\)가 집합 \(A\)의 원소이면, \(x\in A\)로 나타내고, "\(x\)는 \(A\)의 원소이다"라고 한다. 만약 반대로 \(x\)가 집합 \(A\)의 원소가 아니면, \(x\notin A\)로 나타내고 "\(x\)는 \(A\)의 원소가 아니다"라고 한다.

여기서 자연수 전체, 정수 전체, 유리수 전체, 실수 전체의 집합을 각각 \(\mathbb{N},\,\mathbb{Z},\,\mathbb{Q},\,\mathbb{R}\)로 나타내겠다.

두 집합 \(A,\,B\)에 대하여 \(A\)의 모든 원소들이 \(B\)의 원소일 때, 즉, \(x\in A\)이면 \(x\in B\)일 때, \(A\)는 \(B\)의 부분집합이라 하고, \(A\subset B\)로 나타낸다. 이때 \(B\)의 원소 중에서 \(A\)의 원소가 아닌 것이 적어도 하나 존재한다. 반대로 \(A\)가 \(B\)의 부분집합이 아니면, \(A\not\subset B\)로 나타낸다. \(X\)를 임의의 전체집합(universal set), \(\emptyset\)을 공집합(empty set)이라 하면, 임의의 집합 \(A\)에 대하여 \(\emptyset\subset A\subset X\)이다.

\(A\subset B\)이고 \(A\neq B\)이면, \(A\)를 \(B\)의 진부분집합(proper subset)이라고 한다.

\(A\subset B\)이고 \(B\subset A\)이면, 두 집합 \(A\)와 \(B\)는 서로 같다(equal)고 하고 \(A=B\)로 나타낸다.

원소 \(x\)에 대한 어떤 성질 \(p(x)\)를 만족하는 \(x\) 전체의 집합을$$\{x\,|\,p(x)\}$$로 나타내고, 집합 \(A\)가 있을 때, \(x\in A\)에 대한 어떤 성질 \(p(x)\)를 만족하는 \(x\) 전체의$$\{x\in A\,|\,p(x)\}$$로 나타낸다.

임의의 집합 \(A,\,B\subset X\)에 대하여 합집합(union), 교집합(intersection), 여집합(complement), 카테시안 곱(cartesian product)을 다음과 같이 정의한다.

합집합: \(A\cup B=\{x\,|\,x\in A\,\text{or}\,x\in B\}\), 교집합: \(A\cap B=\{x\,|\,x\in A\,\text{and}\,x\in B\}\)

여집합: \(A^{c}=\{x\,|\,x\in X\,\text{and}\,x\notin A\}\) 카테시안 곱: \(A\times B=\{(x,\,y)\,|\,x\in A,\,y\in B\}\)

\(A,\,B,\,C\subset X\)에 대하여 다음 성질들이 성립한다.

(1) 교환법칙(commutative law): \(A\cup B=B\cup A,\,A\cap B=B\cap A\)

(2) 결합법칙(associative law): \((A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C),\,(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)\)

(3) 분배법칙(distribution law): \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C),\,A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\)

(4) 드 모르간의 법칙(de Morgan's law): \((A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c},\,(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}\)

집합 \(A\)의 부분집합들을 모은 집합을 멱집합(power set)이라 하고 \(2^{A}\)로 나타낸다. 예를들어 \(A=\{1,\,2\}\)일 때,$$2^{A}=\{\emptyset,\,\{1\},\,\{2\},\,\{1,\,2\}\}$$이다. 참고로 \(n\)개의 원소를 갖는 집합 \(A\)에 대하여 \(A\)의 부분집합들의 개수는 \(2^{n}\)이다.

어떤 집합의 부분집합들을 원소로 갖는 한 집합을 집합족(family)이라고 한다. 집합 \(I\)의 원소 \(\alpha\)에 대하여 \(X\)의 부분집합 \(A_{\alpha}\)가 하나씩 대응되면, \(A_{\alpha}\)로 이루어진 집합족을 \(\{A_{\alpha}\}_{\alpha\in I}\)로 나타낸다. 이때 \(\alpha\)를 첨수(index), \(I\)를 첨수집합(indexed set)이라고 한다.

집합족 \(\{A_{\alpha}\}_{\alpha\in I}\)의 합집합과 교집합을 다음과 같이 정의한다.

$$\begin{align*}\bigcup_{\alpha\in I}{A_{\alpha}}&=\{x\,|\,x\in A_{\alpha}\,\text{for some}\,\alpha\in I\}\\ \bigcap_{\alpha \in I}{A_{\alpha}}&=\{x\,|\,x\in A_{\alpha}\,\text{for each}\,\alpha\in I\}\end{align*}$$\(I=\mathbb{N}\)인 경우, \(\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}{A_{n}},\,\bigcap_{n\in\mathbb{N}}{A_{n}}\)을 각각 \(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}},\,\bigcap_{n=1}^{\infty}{A_{n}}\)으로 나타내고, \(I\)가 \(n\)개의 원소를 갖는 집합이면, \(\displaystyle\bigcup_{k\in I}{A_{k}},\,\bigcap_{k\in I}{A_{k}}\)를 각각 \(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}{A_{k}}=A_{1}\cup\cdots\cup A_{n},\,\bigcap_{k=1}^{n}{A_{k}}=A_{1}\cap\cdots\cap A_{n}\)으로 나타낸다.

또한 다음과 같이 드 모르간 법칙이 성립한다.

$$\left(\bigcup_{\alpha\in I}{A_{\alpha}}\right)^{c}=\bigcap_{\alpha\in I}{A_{\alpha}^{c}},\,\left(\bigcap_{\alpha\in I}{A_{\alpha}}\right)^{c}=\bigcup_{\alpha\in I}{A_{\alpha}^{c}}$$

두 집합 \(X,\,Y\)에서 \(x\in X\)를 \(y\in Y\)에 대응하는 규칙 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)를 \(X\)에서 \(Y\)로의 함수라고 하고, \(X\)를 \(f\)의 정의역(domain), \(f\)에 의한 \(X\)의 상$$f[X]=\{x\in X\,|\,f(x)\}$$를 \(f\)의 치역(range), 집합$$\{(x,\,f(x))\,|\,x\in X\}$$를 \(f\)의 그래프(graph)라고 한다.

집합 \(X\)에 대하여 함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,X\)를 \(x\in X\)에 대하여 \(f(x)=x\)로 정의하면, 이 함수를 항등함수(identity function)라고 하고, 집합 \(Y\)와 적당한 \(y_{0}\in Y\)에 대하여 함수 \(g:\,X\,\rightarrow\,Y\)를 \(g(x)=y_{0}\)로 정의하면, 이 함수를 상수함수(constant function)라고 한다.

함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)와 \(g:\,Y\,\rightarrow\,Z\)를 합성한 함수 \(h:\,X\,\rightarrow\,Z\)$$h(x)=g(f(x))$$를 \(f\)와 \(g\)의 합성함수(composite function)라 하고 \(g\circ f\)로 나타낸다.

함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)에 대하여

(1) 임의의 \(x_{1},\,x_{2}\in X\)에 대해 \(x_{1}\neq x_{2}\)이면, \(f(x_{1})\neq f(x_{2})\)일 때, \(f\)를 일대일함수(one-to-one function) 또는 단사함수(injective function)라고 한다.

(2) 임의의 \(y\in Y\)에 대하여 \(x\in X\)가 존재해서 \(y=f(x)\)이면, \(f\)를 위로(onto function) 또는 전사함수(surjective function)라고 한다.

(3) 전사이면서 단사이면, \(f\)를 전단사함수(bijective function) 또는 일대일대응(one-to-one correspondence)이라고 한다.

(4) \(f\)가 전단사함수일 때, 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x\)를 만족하는 함수 \(f^{-1}:\,Y\,\rightarrow\,X\)를 함수 \(f\)의 역함수(inverse function)라고 한다.

함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)와 집합 \(A\subset X\)에 대하여 \(f\)에 의한 \(A\)의 상(image)을$$f[A]=\{f(x)\,|\,x\in A\}$$로 나타내고, \(B\subset Y\)에 대하여 \(f^{-1}\)에 의한 \(B\)의 역상(inverse image)을$$f^{-1}[B]=\{x\,|\,f(x)\in B\}$$로 나타낸다.

또한 \(A\subset X\)에 대하여 \(f|_{A}:\,A\,\rightarrow\,Y\)를 \(f\)의 \(A\)로의 축소함수(restriction)라고 한다.

자연수의 정렬성(Well-ordering property of \(\mathbb{N}\))

\(S(\neq\emptyset)\subset\mathbb{N}\)는 가장 작은 원소(least element) \(m\)을 갖는다. 즉 임의의 \(s\in S\)에 대하여 \(m\in S\)가 존재해서 \(m\leq s\)이다.

수학적 귀납법의 원리(Principle of mathematical induction)

\(S\subset\mathbb{N}\)가 다음의 조건

(1) \(1\in S\)

(2) \(n\in S\)이면, \(n+1\in S\)

을 만족하면, \(S=\mathbb{N}\)이다.

증명: \(S\neq\mathbb{N}\)이라고 하면, \(S\)는 \(\mathbb{N}\)의 진부분집합이고, \(\mathbb{N}-S\neq\emptyset\)이다. 그러면 자연수의 정렬성에 의해 \(\mathbb{N}-S\)는 최소원소 \(m\)을 갖는다. (1)에 의해 \(1\in S\)이므로 \(m\neq1\)이고 \(m>1\)이므로 \(m-1\in\mathbb{N}\)이다. \(m-1<m\)이고 \(m\)은 \(\mathbb{N}-S\)의 최소원소이므로 \(m-1\in S\)가 되어 \(m=m-1+1\in S\)가 되는데 \(m\notin S\)이어야 하므로 모순이다.

수학적 귀납법(Mathematical induction)

\(n\in\mathbb{N}\)에 관한 명제 \(p(n)\)에 대하여 다음의 조건

(1) \(p(1)\)은 참이다.

(2) \(p(n)\)이 참이면, \(p(n+1)\)도 참이다.

을 만족하면, 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(p(n)\)은 참이다.

증명: \(S=\{n\in\mathbb{N}\,|\,p(n)\,\text{is true}\}\)라 하면, 가정에 의해 (i) \(1\in S\), (ii) \(n\in S\)이면 \(n+1\in S\) 이 두 조건을 만족한다. 따라서 수학적 귀납법의 원리에 의해 \(S=\mathbb{N}\)이 되고 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(p(n)\)은 참이다.

두 집합 \(X\)와 \(Y\)에 대하여 \(X\)에서 \(Y\)로의 전단사함수가 존재하면, \(X\)와 \(Y\)는 서로 대등(equipotent)(또는 동치, equivalent)하다고 하고 \(X\sim Y\)로 나타낸다.

각 자연수 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(\mathbb{N}_{n}=\{1,\,2,\,\cdots,\,n\}\)이라 하자. 집합 \(A\)에 대하여 다음과 같이 정의한다.

(1) 적당한 \(n\)에 대하여 \(A\sim\mathbb{N}_{n}\) 또는 \(A=\emptyset\)이면, \(A\)는 유한집합(finite set)이다.

(2) \(A\)가 유한집합이 아니면, \(A\)는 무한집합(infinite set)이고, 이때 \(A\sim\mathbb{N}\)이면, \(A\)는 가산집합(countable set)이라고 한다.

(3) \(A\)가 가산집합이 아니면, \(A\)를 비가산집합(uncountable set)이라고 한다. 

가산무한집합의 무한부분집합은 가산무한집합이고, 가산집합의 부분집합은 가산집합이다.

\(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\sim\mathbb{N}\)이고, \(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\)은 가산무한집합이다.

증명: 함수 \(f:\,\mathbb{N}\times\mathbb{N}\,\rightarrow\,\mathbb{N}\)을 각 \((i,\,j)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}\)에 대하여 \(f(i,\,j)=2^{i}3^{j}\)로 정의된 \(f\)는 단사함수이다. 그러므로 \(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\sim f[\mathbb{N}\times\mathbb{N}]\)이고 \(f[\mathbb{N}\times\mathbb{N}]\sim\mathbb{N}\)이다. \(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\)은 무한집합이므로 \(f[\mathbb{N}\times\mathbb{N}]\)도 무한집합인데 가산무한집합이므로 \(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\)도 가산무한집합이다.

집합열 \(\{A_{k}\}\)의 각 항 \(A_{k}\)이 가산무한집합이고, 또한 \(n,\,m\in\mathbb{N}\,(n\neq m)\)에 대하여 \(A_{n}\cap A_{m}=\emptyset\)이면, \(\displaystyle A=\bigcup_{k=1}^{\infty}{A_{k}}\)은 가산무한집합이다. 특히 유한개의 가산무한집합의 합집합은 가산무한집합이다.

증명: \(k\in\mathbb{N}\)에 대하여 함수 \(f_{k}:\,\mathbb{N}\,\rightarrow\,\mathbb{N}\times\{k\}\)를 임의의 \(j\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(f_{k}(j)=(j,\,k)\)라 하면, 이 함수는 일대일 대응이다. 즉 \(\mathbb{N}\sim\mathbb{N}\times\{k\}\). 이때 \(A_{k}\sim\mathbb{N}\), \(\mathbb{N}\sim\mathbb{N}\times\{k\}\)이므로 \(A_{k}\sim\mathbb{N}\times\{k\}\)이고 따라서 \(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}{A_{k}}\sim\bigcup_{k=1}^{\infty}{\mathbb{N}\times\{k\}}\)이고, \(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}{\mathbb{N}\times\{k\}}\sim\mathbb{N}\times\mathbb{N}\)이므로 따라서 \(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}{A_{k}}\)는 가부번집합이다.

위 두 결과를 이용하여 정수 전체의 집합 \(\mathbb{Z}\)와 유리수 전체의 집합 \(\mathbb{Q}\)가 가산무한집합임을 보일 수 있다. 실제로$$\begin{align*}\mathbb{Z}&=\mathbb{N}\cup\{0\}\cup(-\mathbb{N})\,((-\mathbb{N})=\{-n\,|\,n\in\mathbb{N}\})\\ \mathbb{Q}&=\left\{\frac{p}{q}\,|\,p\in\mathbb{Z},\,q\in\mathbb{N},\,\text{gcd}(p,\,q)=1\right\}\sim\mathbb{Z}\times\mathbb{N}\end{align*}$$이다.

 

참고자료:

Introduction to Mathematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

Introduction to Real Analysis 2nd edition, Stoll, Pearson

실해석학 개론, 정동명, 조승제, 경문사

집합론, You-Feng Lin, Shwu-Yeng Lin저, 이흥천 옮김, 경문사