[고전역학] 17. 해밀턴 역학

[고전역학] 17. 해밀턴 역학

일반화 좌표에서 $\displaystyle H=\sum_{i}{p_{i}\dot{q}_{i}}-L$이라고 하자. 역학계에서 운동에너지 $T$는 $\dot{q}$의 동차 2차함수(homogeneous quadratic function)이고 위치에너지 $V$는 $q_{i}$만의 함수이며 라그랑지안은 $L=T-V$이다. 

동차함수에 대한 오일러의 정리에 따르면 차수가 $n$이고 변수가 $x_{1},\,x_{2},\,\cdots,\,x_{r}$인 동차함수 $f$에 대해 다음의 등식이 성립한다. $$x_{1}\frac{\partial f}{\partial x_{1}}+x_{2}\frac{\partial f}{\partial x_{2}}+\cdots+x_{r}\frac{\partial f}{\partial x_{r}}=nf$$ 이 정리로부터 $$\sum_{i}{p_{i}\dot{q}_{i}}=\sum_{i}{\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}}=\sum_{i}{\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_{i}}\dot{q}_{i}}=2T$$ 이므로 $$H=\sum_{i}{p_{i}\dot{q}_{i}}-L=2T-(T-V)=T+V$$ 이다. $H$를 해밀토니안(Hamiltonian)이라고 한다.

일반화 운동량(generalized momentum)을 $\displaystyle p_{i}=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}\,(i=1,\,2,\,\cdots,\,n)$로 정의하면 라그랑주 운동방정식은 $\displaystyle\dot{p}_{i}=\frac{\partial L}{\partial q_{i}}$이다. 

일반화 운동량을 이용하여 일반화 속도 $\dot{q}_{i}=\dot{q}_{i}(q_{i},\,p_{i},\,t)$로 나타낼 수 있고, 해밀토니안을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$H(q_{k},\,p_{k},\,t)=\sum_{i}{p_{i}\dot{q}_{i}}-L(q_{i},\,\dot{q}_{i},\,t)$$ 이때 해밀토니안 $H$의 전미분은 $$\begin{align*}dH&=\sum_{i}{\left(\frac{\partial H}{\partial q_{i}}dq_{i}+\frac{\partial H}{\partial p_{i}}dp_{i}\right)}+\frac{\partial H}{\partial t}dt\\&=\sum_{i}{\left(\dot{q}_{i}dp_{i}+p_{i}d\dot{q}_{i}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}dq_{i}-\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}d\dot{q}_{i}\right)}-\frac{\partial L}{\partial t}dt\\&=\sum_{i}{(\dot{q}_{i}dp_{i}-\dot{p}_{i}dq_{i})}-\frac{\partial L}{\partial t}dt\end{align*}$$ 이고 여기서 다음의 식 $$\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}},\,-\dot{p}_{i}=\frac{\partial H}{\partial q_{i}}$$ 을 얻고 이 두 식들을 해밀턴의 운동방정식이라고 한다. 또한 $\displaystyle\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}=\frac{dH}{dt}$이다.

해밀턴의 운동방정식 $\displaystyle\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}},\,-\dot{p}_{i}=\frac{\partial H}{\partial q_{i}}$는 그 모양이 대칭적이므로 해밀턴의 정준 방정식(Hamilton's canonical equations)이라고 한다.     

1차원 조화진동자에 대한 해밀턴의 운동방정식을 구하자. $$T=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2},\,V=\frac{1}{2}kx^{2},\,L=T-V$$ 이고 일반화 운동량이 $\displaystyle p=\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}=m\dot{x}$이므로 $\displaystyle\dot{x}=\frac{p}{m}$이고 해밀토니안은 $$H=T+V=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2}$$ 이고 해밀턴의 운동방정식은 $\displaystyle\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p},\,-\dot{p}=\frac{\partial H}{\partial x}$이다. 그러므로 $\displaystyle\frac{p}{m}=\dot{x},\,kx=-\dot{p}$이고 $\displaystyle kx=-\frac{d}{dt}(m\dot{x})$이므로 조화진동자의 운동방정식 $m\ddot{x}+kx=0$을 얻는다.

원통면 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$을 따라 운동하는 질량이 $m$인 입자가 원점의 방향으로 힘 $\mathbf{F}=-k\mathbf{r}$을 받는다고 한다.(아래 그림 참고)

위치에너지는 $$\begin{align*}V&=\frac{1}{2}kr^{2}=\frac{1}{2}k(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\&=\frac{1}{2}k(R^{2}+z^{2})\,(x^{2}+y^{2}=R^{2})\end{align*}$$ 이고 원통좌표계에서 속도의 제곱은 $v^{2}=\dot{R}^{2}+R^{2}\dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2}$이고 $R$은 상수이므로 운동에너지는 $\displaystyle T=\frac{1}{2}m(R^{2}\dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2})$이다. 라그랑지안이 $$L=T-V=\frac{1}{2}m(R^{2}\dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2})-\frac{1}{2}k(R^{2}+z^{2})$$ 이므로 일반화 운동량은$\displaystyle p_{\theta}=\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}=mR^{2}\dot{\theta},\,p_{z}=\frac{\partial L}{\partial\dot{z}}=m\dot{z}$이다.

일반화 운동량을 이용하여 해밀토니안을 $$H=T+U=\frac{p_{\theta}^{2}}{2mR^{2}}+\frac{p_{z}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k(R^{2}+z^{2})$$ 로 나타낼 수 있고, 따라서 운동방정식은 $$\dot{p}_{\theta}=-\frac{\partial H}{\partial\theta}=0,\,\dot{p}_{z}=-\frac{\partial H}{\partial z}=-kz,\,\dot{\theta}=\frac{\partial H}{\partial p_{\theta}}=\frac{p_{\theta}}{mR^{2}},\,\dot{z}=\frac{\partial H}{\partial p_{z}}=\frac{p_{z}}{m}$$ 이고 $p_{\theta}=mR^{2}\dot{\theta}$는 상수이다.

$z$축 주위의 각운동량은 보존량이 되고, $z$축이 대칭축이므로 식 $\displaystyle p_{z}=m\dot{z},\,\dot{p}_{z}=-kz$으로부터 $\ddot{z}+\omega_{0}^{2}z=0$이고 $\displaystyle\omega_{0}^{2}=\sqrt{\frac{k}{m}}$이다.

따라서 $z$축 방향의 운동은 조화 단진동이다.

라그랑지안 $L$과 해밀토니안의 관계는 $\displaystyle H=\sum_{i}{p_{i}\dot{q}_{i}}-L$이고 변분법으로부터 $\displaystyle\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}{Ldt}=\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}{\left(\sum_{i}{p_{i}\dot{q}_{i}}-H\right)dt}=0$이 성립한다.

간단한 문제 해결을 위해 새로운 정준변수 $Q_{i},\,P_{i}$를 도입해서 새로운 해밀토니안 $K$를 도입하여 다음의 식이 성립하게 한다. $$\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}{\left(\sum_{i}{P_{i}\dot{Q}_{i}}-K\right)dt}=0$$ $(q_{i},\,p_{i})$에서 $(Q_{i},\,P_{i})$로의 변환을 정준변환(canonical transformation)이라고 한다.

$(q_{i},\,p_{i})$	$(Q_{i},\,P_{i})$
$H$	$K$
$\displaystyle\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}},\,\dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}$	$\displaystyle\dot{Q}_{i}=\frac{\partial K}{\partial P_{i}},\,\dot{P}_{i}=-\frac{\partial K}{\partial Q_{i}}$

앞의 식들로부터 $$\sum_{i}{p_{i}\dot{q}_{i}}-H=\sum_{i}{P_{i}\dot{Q}_{i}}-K+\frac{dW}{dt}$$ 이고 여기서 $W$는 모함수(generating function)로 $\displaystyle\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}{\frac{dW}{dt}dt}=[\delta W]_{t_{1}}^{t_{2}}=0$을 만족한다.

모함수 $W$가(여기서 $q,\,P,\,Q,\,P$는 $q_{i},\,p_{i},\,Q_{i},\,P_{i}$들의 집합이다)

(1) $W=W_{1}(q,\,Q,\,t)$일 때 $$\frac{dW_{1}}{dt}=\sum_{i}{\frac{\partial W_{1}}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i}}+\sum_{i}{\frac{\partial W_{i}}{\partial Q_{i}}\dot{Q}_{i}}+\frac{\partial W_{1}}{\partial t}$$ 이고 $$\sum_{i}{p_{i}\dot{q}_{i}}-H=\sum_{i}{P_{i}\dot{Q}_{i}}-K+\sum_{i}{\frac{\partial W_{1}}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i}}+\sum_{i}{\frac{\partial W_{1}}{\partial Q_{i}}\dot{Q}_{i}}+\frac{\partial W_{1}}{\partial t}$$ 이므로 $$p_{i}=\frac{\partial W_{1}}{\partial q_{i}},\,P_{i}=-\frac{\partial W_{1}}{\partial Q_{i}},\,K=H+\frac{\partial W_{1}}{\partial t}$$ 이다.

(2) $W=W_{2}(q,\,P,\,t)$일 때 $\displaystyle W_{2}=W_{1}+\sum_{i}{P_{i}Q_{i}}$이므로 $$\begin{align*}\sum_{i}{p_{i}\dot{q}_{i}}-H&=\sum_{i}{P_{i}\dot{Q}_{i}}-K+\frac{dW_{1}}{dt}\\&=\frac{d}{dt}\left(W_{1}+\sum_{i}{P_{i}Q_{i}}\right)-\sum_{i}{\dot{P}_{i}Q_{i}}-K\\&=\frac{dW_{2}}{dt}-\sum_{i}{\dot{P}_{i}Q_{i}}-K\\&=\sum_{i}{\frac{\partial W_{2}}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i}}+\sum_{i}{\frac{\partial W_{2}}{\partial P_{i}}\dot{P}_{i}}+\frac{\partial W_{2}}{\partial t}-\sum_{i}{\dot{P}_{i}Q_{i}}-K\end{align*}$$ 이고 $$p_{i}=\frac{\partial W_{2}}{\partial q_{i}},\,Q_{i}=\frac{\partial W_{2}}{\partial P_{i}},\,K=H+\frac{\partial W_{2}}{\partial t}$$ 이다.

해밀토니안이 $\displaystyle H=\frac{p^{2}}{2m}+V=E$인 질점에 대해 $W=W_{2}$, $W(q,\,P,\,t)=W(q,\,E)\,(P=E)$라고 하면 $\displaystyle W(q,\,E)=\int{pdq}=\int{\sqrt{2m(E-V)}dq}$이고 $\displaystyle Q=\frac{\partial W}{\partial E}=\int{\frac{m}{\sqrt{2m(E-V)}}dq}$이다. $K=H=E$이므로 $\displaystyle\dot{Q}=\frac{\partial K}{\partial P}=\frac{\partial K}{\partial E}=1$이고 $$Q=\int{\frac{m}{\sqrt{2m(E-V)}}dq}=t+\alpha$$ 이다. $\displaystyle V=\frac{1}{2}kq^{2}\,(k=m\omega^{2})$이면 $$\int{\frac{m}{\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kq^{2}\right)}}dq}=\frac{1}{\omega}\sin^{-1}\left(\frac{q}{\sqrt{\frac{2E}{m\omega^{2}}}}\right)=t+\alpha$$ 이므로 $\displaystyle q=\sqrt{\frac{2E}{m\omega^{2}}}\sin\omega(t+\alpha)$이고 $\displaystyle p=\sqrt{2m(E-V)}=\sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}m\omega^{2}q^{2}\right)}=\sqrt{2mE}\cos\omega(t+\alpha)$이다.         

참고자료: 

Analytical Mechanics 7th edition, Fowles, Cassiday, Cengage Learning

Classical Dynamics of Particles and Systems 5th edition, Thornton, Marion, Cengage Learning 

알기쉬운 역학, 강남룡, 이삼녕, 최상돈, 북스힐