[고전역학] 16. 라그랑주 역학(해밀턴의 원리)

[고전역학] 16. 라그랑주 역학(해밀턴의 원리)

역학 전반 및 고전물리학의 기초가 되는 해밀턴의 원리는 다음과 같다:

역학계에서 물체가 어떤 특정한 시간동안 구속을 받으며 한 지점에서 다른 지점으로 이동할 때 지나가는 모든 가능한 경로 중에서 운동에너지와 위치에너지의 차이의 시간에 대한 적분 값이 최소가 되는 경로로 지나간다.

해밀턴의 원리를 변분법을 이용하여 $$\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}{(T-V)dt}=0$$ 으로 나타낼 수 있고 여기서 $\delta$는 변분 기호이다. 

직교좌표계에서 입자의 운동에너지는 $\displaystyle T(\dot{x}_{i})=\frac{1}{2}m\dot{x}_{i}^{2}$이고, 입자가 보존력장 안에서 운동할 때 위치에너지는 $V(x_{i})=mgx_{i}$이다. $L=L(x_{i},\,\dot{x}_{i})=T-V$라고 하면 위의 적분식을 $$\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}{L(x_{i},\,\dot{x}_{i})dt}=0$$ 으로 나타낼 수 있고 오일러 방정식에서 $x$를 $t$로, $y_{i}(x)$를 $x_{i}(t)$로, $y_{i}'(x)$를 $\dot{x}_{i}(t)$로, $f(y_{i},\,y_{i}';\,x)$를 $L(x_{i},\,\dot{x}_{i})$로 대응시키면 이 때의 오일러 방정식은 $$\frac{\partial L}{\partial x_{i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}_{i}}=0\,(i=1,\,2,\,3)$$ 이고 이 방정식을 라그랑주의 운동방정식(Lagrange equations of motion)이라고 하며 $L$을 라그랑지안(Lagrangian)이라고 한다.      

$n$개의 이상적인 점입자들이 있을 때, 이 계의 상태를 해석하기 위해서 $n$개의 위치벡터를 사용해야 하나 직교좌표계에서는 $3n$개가 필요하다($x,\,y,\,z$축). 여기에 구속조건식(몇개의 입자가 연결되어 강체를 이루거나 입자가 특정한 경로를 따라 움직인다)이 있으면 이 $3n$개의 모든 좌표는 독립이 아니다. $m$개의 구속조건식이 있으면, 이 계는 $3n-m$개의 자유도(degrees of freedom)를 갖는다고 한다. 다루는 문제에 따라서 에너지나 길이의 제곱의(길이²) 차원의 매개변수, 무차원 매개변수 등을 이용하면 편리하다.

이렇게 계의 상태를 완전히 결정하는 양들을 일반화 좌표(generalized coordinates)라고 하고, $q_{1},\,q_{2},\,\cdots,\,q_{n}$으로 나타낸다. 일반화 좌표 외에 $q_{i}$의 시간에 대한 미분 $\dot{q}_{i}$를 일반화 속도(generalized velocity)라고 한다.

중심이 원점에 있는 반지름이 $R$인 반구의 표면 위를 움직이는 점입자에 대한 일반화 좌표를 찾자. 점입자의 운동은 항상 구면 위에서만 일어나므로 $$x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}=0,\,z\geq0$$ 이고, 방향코사인을 이용하여 좌표를 나타내면 $\displaystyle q_{1}=\frac{x}{R},\,q_{2}=\frac{y}{R},\,q_{3}=\frac{z}{R}$이고 $q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}=1$이므로 $q_{3}=\sqrt{1-q_{1}^{2}-q_{2}^{2}}$이다. 식 $q_{3}=\sqrt{1-q_{1}^{2}-q_{2}^{2}}$는 구속조건이고 이 식으로부터 $z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$로 나타낼 수 있다.

$x,\,y$평면에서 운동하는 길이가 $\ell$이고 추의 질량이 $m$인 단진자가 있다.(아래 그림 참고)

이 단진자에 대한 운동에너지, 위치에너지, 라그랑지안은 각각 $$\begin{align*}T&=\frac{1}{2}m(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2})\\V&=mgy\\L&=T-V=\frac{1}{2}m(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2})-mgy\end{align*}$$ 이다. 위의 그림에서 $x=\ell\sin\theta,\,y=-\ell\cos\theta$이므로 $$\begin{align*}\dot{x}&=\ell\dot{\theta}\cos\theta,\,\dot{y}=\ell\dot{\theta}\sin\theta\\L&=\frac{1}{2}m(\ell^{2}\dot{\theta}^{2}\cos^{2}\theta+\ell^{2}\dot{\theta}^{2}\sin^{2}\theta)+mg\ell\cos\theta\\&=\frac{1}{2}m\ell^{2}\dot{\theta}^{2}+mg\ell\cos\theta\end{align*}$$ 이고 $$\frac{\partial L}{\partial\theta}=-mg\ell\sin\theta,\,\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}=m\ell^{2}\dot{\theta},\,\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right)=m\ell^{2}\ddot{\theta}$$ 이므로 라그랑주 운동방정식 $\displaystyle\frac{\partial L}{\partial\theta}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}=0$으로부터 운동방정식 $\displaystyle\ddot{\theta}+\frac{g}{\ell}\sin\theta=0$을 얻는다.

$n$개의 입자로 이루어진 계가 $3n$개의 직교좌표 몇 개를 서로 이어서 $m$개의 구속조건을 따르면, 이 계의 상태는 $s=3n-m$개의 일반화 좌표에 의해 완전히 지정되므로 이 계의 상태를 배위공간(configuration space)이라고 불리는 $s$차원 공간의 한 점으로 나타낼 수 있다.    

  

일반화 좌표를 이용하여 해밀턴의 원리를 $\displaystyle\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}{L(q_{i},\,\dot{q}_{i},\,t)dt}=0$으로, 오일러 방정식을 $\displaystyle\frac{\partial L}{\partial q_{i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}=0\,(i=1,\,2,\,\cdots,\,s)$(이 방정식을 라그랑주 방정식(Lagrange equation)이라고 한다)로 나타낼 수 있다. 라그랑주 방정식이 타당성을 갖기 위해서는 다음의 두 조건이 필요하다.

1. 계에 작용하는 구속력과 다른 힘은 하나 또는 몇개의 퍼텐셜로부터 유도되어야 한다. 

2. 구속조건식은 입자의 좌표를 연결하는 관계식이어야 한다.(시간의 함수여도 된다) 

그래서 구속을 나타낼 수 있는 경우를 홀로노믹(holonomic) 구속이라 하고, 구속조건의 식이 시간과 무관하면 스클로노믹(scleronomic, 또는 고정된) 구속, 시간의 영향을 받으면 레오노믹(rheonomic) 구속이라고 한다.

다음 그림은 2차원에서 중력을 받으며 운동하는 탄환을 나타낸 것이다.

이 탄환에 대한 운동방정식을 구하면 $$T=\frac{1}{2}m(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}),\,V=mgy$$ 이므로 라그랑지안은 $\displaystyle L=T-V=\frac{1}{2}m(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2})-mgy$이다. $$\begin{align*}\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}&=0-\frac{d}{dt}m\dot{x}=\ddot{x}=0\\ \frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{y}}&=-mg-\frac{d}{dt}(m\dot{y})=-mg-m\ddot{y}=0\end{align*}$$ 이므로 $\ddot{x}=0,\,\ddot{y}=-g$이다. 이 두 식들과 초기조건을 이용하여 적분을 하면 다음의 결과를 얻는다. $$\begin{cases}x=(v_{0}\cos\theta)t\\y=(v_{0}\sin\theta)t-\frac{1}{2}gt^{2}\end{cases}$$ 극좌표계를 이용하면 $$T=\frac{1}{2}m(\dot{r}^{2}+(r\dot{\theta})^{2}),\,V=mgr\sin\theta$$ 이므로 라그랑지안은 $\displaystyle L=T-V=\frac{1}{2}m(\dot{r}^{2}+(r\dot{\theta})^{2})-mgr\sin\theta$이고 $$\begin{align*}\frac{\partial L}{\partial r}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{r}}&=mr\dot{\theta}^{2}-mg\sin\theta-\frac{d}{dt}(m\dot{r})\\&=mr\dot{\theta}^{2}-mg\sin\theta-m\ddot{r}\\&=0\\ \frac{\partial L}{\partial\theta}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}&=-mgr\cos\theta-\frac{d}{dt}(mr^{2}\dot{\theta})\\&=-mgr\cos\theta-2mr\dot{r}\dot{\theta}-mr^{2}\ddot{\theta}\\&=0\end{align*}$$ 이다.(극좌표계보다 직각좌표계가 편리하다)

$x$축 방향으로 일정한 가속도 $a$로 움직이는 열차가 있고, 그 내부에 질량이 $m$인 단진자가 있다.(아래 그림 참고)

초기조건을 $x(0)=0,\,\dot{x}(0)=v_{0}$이라고 하면, 진자의 위치는 $$x=v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}+\ell\sin\theta,\,y=-\ell\cos\theta$$ 이고, 속도는 $$\dot{x}=v_{0}+at+\ell\dot{\theta}\cos\theta,\,\dot{y}=\ell\dot{\theta}\sin\theta$$ 이다. 운동에너지와 위치에너지가 각각 $\displaystyle T=\frac{1}{2}m(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}),\,V=-mg\ell\cos\theta$이므로 라그랑지안은 $$L=T-V=\frac{1}{2}m(v_{0}+at+\ell\dot{\theta}\cos\theta)^{2}+\frac{1}{2}m(\ell\dot{\theta}\sin\theta)^{2}+mg\ell\cos\theta$$ 이고 이때 $\theta$가 유일한 일반화 좌표이므로 $$\begin{align*}\frac{\partial L}{\partial\theta}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}&=-m\ell\dot{\theta}\sin\theta(v_{0}+at+\ell\dot{\theta}\cos\theta)+m\ell\dot{\theta}\cos\theta(\ell\dot{\theta}\sin\theta)-mg\ell\sin\theta\\&-\frac{d}{dt}\left\{m\ell\cos\theta\left(v_{0}+at+\ell\dot{\theta}\cos\theta\right)+m\ell\sin\theta(\ell\dot{\theta}\sin\theta)\right\}\\&=\{-m\ell\dot{\theta}\sin\theta(v_{0}+at)-mg\ell\sin\theta\}-\{-(v_{0}+at)m\ell\sin\theta\dot{\theta}+am\ell\cos\theta+m\ell^{2}\ddot{\theta}\}\\&=-mg\ell\sin\theta-ma\ell\cos\theta-m\ell^{2}\ddot{\theta}\\&=0\end{align*}$$ 이고 $\displaystyle\ddot{\theta}=-\frac{g}{\ell}\sin\theta-\frac{a}{\ell}\cos\theta$이다. $\ddot{\theta}=0$일 때, 평형을 이루므로 이 때의 평형각을 $\theta_{e}$라고 하면 $0=g\sin\theta_{e}+a\cos\theta_{e}$이므로 $\displaystyle\tan\theta_{e}=-\frac{a}{g}$이다. 

평형각 주변에서 진동하므로 $\theta=\theta_{e}+\eta$($\eta$는 작은 각도)라고 하면 $$\ddot{\theta}=\ddot{\eta}=-\frac{g}{\ell}\sin(\theta_{e}+\eta)-\frac{a}{\ell}\cos(\theta_{e}+\eta)$$ 이고 $$\begin{align*}\ddot{\eta}&=-\frac{g}{\ell}(\sin\theta_{e}\cos\eta+\cos\theta_{e}\sin\eta)-\frac{a}{\ell}(\cos\theta_{e}\cos\eta-\sin\theta_{e}\sin\eta)\\&\approx-\frac{a}{\ell}(\sin\theta_{e}+\eta\cos\theta_{e})-\frac{a}{\ell}(\cos\theta_{e}-\eta\sin\theta_{e})\,(\sin\eta\approx\eta,\,\cos\eta\approx1)\\&=-\frac{1}{\ell}\{(g\sin\theta_{e}+a\cos\theta_{e})+\eta(g\cos\theta_{e}-a\sin\theta_{e})\}\\&=-\frac{1}{\eta}(g\cos\theta_{e}-a\sin\theta_{e})\eta\end{align*}$$ 이며 $\displaystyle\tan\theta_{e}=-\frac{a}{g}$이므로 $\displaystyle\sin\theta_{e}=-\frac{a}{\sqrt{a^{2}+g^{2}}},\,\cos\theta_{e}=\frac{g}{\sqrt{a^{2}+g^{2}}}$이고 $\displaystyle\ddot{\eta}=-\frac{\sqrt{a^{2}+g^{2}}}{\ell}\eta$이다.

이 단진자의 진동수는 $\displaystyle\omega^{2}=\frac{\sqrt{a^{2}+g^{2}}}{\ell}$이고, 열차가 정지하면 $a=0$이므로 이 때의 가속도는 $\displaystyle\omega=\sqrt{\frac{g}{\ell}}$이다.

다음의 그림은 질량이 각각 $m_{1},\,m_{2},\,m_{3}$인 물체가 도르래에 연결된 것을 나타낸 것이다.

도르래의 질량을 무시하고, 두 도르래에 걸린 끈의 길이를 각각 $l_{1},\,l_{2}$, 각 물체의 속도를 $v_{1},\,v_{2},\,v_{3}$이라고 하면 $$\begin{align*}v_{1}&=\dot{x}\\v_{2}&=\frac{d}{dt}(l_{1}-x+y)=-\dot{x}+\dot{y}\\v_{3}&=\frac{d}{dt}(l_{1}-x+l_{2}-y)=-\dot{x}-\dot{y}\end{align*}$$ 이므로 운동에너지는 $$\begin{align*}T&=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}+\frac{1}{2}m_{3}v_{3}^{2}\\&=\frac{1}{2}m_{1}\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}(\dot{y}-\dot{x})^{2}+\frac{1}{2}m_{3}(-\dot{x}-\dot{y})^{2}\end{align*}$$ 이고, $x=0$에서의 위치에너지를 $0$이라고 하면 위치에너지는 $$\begin{align*}V&=V_{1}+V_{2}+V_{3}\\&=-m_{1}gx-m_{2}g(l_{1}-x+y)-m_{3}g(l_{1}-x+l_{2}-y)\end{align*}$$ 이므로 라그랑주 방정식을 이용하여 다음의 두 결과를 얻는다.(과정은 복잡해서 생략함) $$\begin{align*}m_{1}\ddot{x}+m_{2}(\ddot{x}-\ddot{y})+m_{3}(\ddot{x}+\ddot{y})&=(m_{1}-m_{2}-m_{3})g\\-m_{2}(\ddot{x}-\ddot{y})+m_{3}(\ddot{x}+\ddot{y})&=(m_{2}-m_{3})g\end{align*}$$ 간단한 역학 문제는 뉴턴의 운동법칙으로도 충분히 해결가능하지만 복잡한 역학 문제(특히 양자역학에서)는 라그랑주 방정식을 이용하여 푸는게 효과적이다. 

좌표간 대수 관계식으로 나타나는 구속은 홀로노믹 구속이고 그 이외의 구속은 비홀로노믹(nonholonomic) 구속이다. 다음과 같이 나타나는 구속은 비홀로노믹 구속이고 $$\sum_{i}\frac{\partial f_{k}}{\partial q_{i}}dq_{i}=0\,\begin{cases}j=1,\,2,\,\cdots,\,s\\k=1,\,2,\,\cdots,\,m\end{cases}$$ 이 때의 라그랑주 방정식은 $$\frac{\partial L}{\partial q_{i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{i}}+\sum_{k}\lambda_{k}(t)\frac{\partial f_{k}}{\partial q_{i}}=0$$ 이고 $\lambda_{k}(t)$가 구속력이다.

질량이 $m$인 입자가 반지름이 $a$인 고정된 균일한 반구의 꼭대기에 정지해 있다가 운동을 시작한다.(아래 그림 참고)

이 입자에 대한 구속조건식은 $f(r,\,\theta)=r-a=0$이고 운동에너지와 위치에너지가 각각 $\displaystyle T=\frac{1}{2}m(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2})$, $V=mgr\cos\theta$(반구 밑바닥에서의 위치에너지는 0)이므로 라그랑지안은 $$L=T-V=\frac{1}{2}m(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2})-mgr\cos\theta$$ 이고 라그랑주 방정식은 $$\frac{\partial L}{\partial r}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{r}}+\lambda\frac{\partial f}{\partial r}=0,\,\frac{\partial L}{\partial\theta}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}+\lambda\frac{\partial f}{\partial\theta}=0$$ 이다. 라그랑주 방정식으로부터 다음의 두 식 $$\begin{align*}mr\dot{\theta}^{2}-mg\cos\theta-m\ddot{r}+\lambda&=0\\mgr\sin\theta-mr^{2}\ddot{\theta}-2mr\dot{r}\dot{\theta}&=0\end{align*}$$ 을 얻고 구속조건 $r=a$에 의해 $r=a,\,\dot{r}=\ddot{r}=0$이므로 $$\begin{align*}ma\dot{\theta}^{2}-mg\cos\theta+\lambda&=0\\mga\sin\theta-ma^{2}\ddot{\theta}&=0\end{align*}$$ 이고 $\displaystyle\ddot{\theta}=\frac{g}{a}\sin\theta$이며 이때 $$\ddot{\theta}=\frac{d}{dt}\frac{d\theta}{dt}=\frac{d\dot{\theta}}{dt}=\frac{d\dot{\theta}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=\dot{\theta}\frac{d\dot{\theta}}{dt}$$ 이므로 $$\int{\dot{\theta}d\dot{\theta}}=\frac{g}{a}\int{\sin\theta d\theta}$$ 이고 $\displaystyle\frac{1}{2}\dot{\theta}^{2}=\frac{g}{a}(1-\cos\theta)$이다($t=0$일 때 $\dot{\theta}=0$). 이 식으로부터 구속력은 $\lambda=mg(3\cos\theta-2)$이고, $\lambda=0$일 때, 입자는 반구면을 벗어나고 이 때의 각도를 $\theta_{0}$이라고 하면 $0=mg(3\cos\theta_{0}-2)$이므로 $\displaystyle\theta_{0}=\cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$이다.

참고자료:         

Classical Dynamics of Particles and Systems 5th edition, Thornton, Marion, Cengage Learning