[고전역학] 15. 변분법(2)

[고전역학] 15. 변분법(2)

$x$의 함수가 아닌 함수 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=0$에 대한 방정식을 다음과 같이 오일러 방정식으로부터 유도할 수 있다. $$\begin{align*}\frac{df}{dx}&=\frac{d}{dx}f(y,\,y';\,x)\\&=\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{dy'}{dx}+\frac{\partial y}{\partial x}\\&=y'\frac{\partial f}{\partial y}+y''\frac{\partial f}{\partial y'}+\frac{\partial f}{\partial x}\end{align*}$$ 이고 $$\begin{align*}\frac{d}{dx}\left(y'\frac{\partial f}{\partial y'}\right)&=y''\frac{\partial f}{\partial y'}+y'\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}\\&=\frac{df}{dx}-\frac{\partial f}{\partial x}-y'\frac{\partial f}{\partial y}+y'\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}\end{align*}$$ 이며 이때 오일러 방정식에 의해 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=0$이므로 $$\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{d}{dx}\left(f-y'\frac{\partial f}{\partial y'}\right)=0$$ 을 얻는다. 이 방정식을 오일러 방정식의 제 2의 형태(second form of Euler equation)라고 하고 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=0$인 경우에 유용하다. 

실제 역학에서는 $f=f(y_{i}(x),\,y_{i}'(x);\,x)\,(i=1,\,2,\,\cdots,\,n)$인 경우가 많다. 이전과 같은 방법을 이용하여 $y_{i}(\alpha,\,x)=y_{i}(0,\,x)+\alpha\eta_{i}(x)$를 이용하면 $$\frac{\partial J}{\partial\alpha}=\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\sum_{i}{\left(\frac{\partial f}{\partial y_{i}}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y_{i}'}\right)\eta_{i}(x)}dx}$$ 을 얻고 $\eta_{i}(x)$들은 서로 독립이므로 $\displaystyle\frac{\partial J}{\partial\alpha}|_{\alpha=0}=0$이 되려면 $$\frac{\partial f}{\partial y_{i}}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y_{i}'}=0$$ 이어야 한다.

어떤 곡면 위의 두 점 사이의 최소경로를 구하는 데에는 위의 조건말고도 곡면의 식 $g(y_{i};\,x)=0$을 만족해야 하는 경우가 있다. 이 방정식 $g(y_{i};\,x)=0$을 구속조건식(equations of constraint)이라고 한다. $$f=f(y_{i},\,y_{i}';\,x)=f(y,\,y',\,z,\,z';\,x)$$ 인 경우 $$\frac{\partial J}{\partial\alpha}=\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left\{\left(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\frac{\partial y}{\partial\alpha}+\left(\frac{\partial f}{\partial z}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial z'}\right)\frac{\partial z}{\partial\alpha}\right\}dx}$$ 이고. 구속조건식 $g(y_{i};\,x)=g(y,\,z;\,x)=0$이 있을 때 $\displaystyle dg=\left(\frac{\partial g}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial\alpha}+\frac{\partial g}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial\alpha}\right)d\alpha=0$이고 $\displaystyle\frac{\partial x}{\partial\alpha}=0$이므로 $$\begin{cases}y(\alpha,\,x)=y(x)+\alpha\eta_{1}(x)\\z(\alpha,\,x)=z(x)+\alpha\eta_{2}(x)\end{cases}$$ 라 하고 여기서 $\displaystyle\frac{\partial y}{\partial\alpha},\,\frac{\partial z}{\partial\alpha}$를 결정한 다음 식 $dg=0$을 이용하면 $\displaystyle\frac{\partial g}{\partial y}\eta_{1}(x)=-\frac{\partial g}{\partial z}\eta_{2}(x)$를 얻고 $$\begin{align*}\frac{\partial J}{\partial\alpha}&=\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left\{\left(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\eta_{1}(x)+\left(\frac{\partial f}{\partial z}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial z'}\right)\eta_{2}(x)\right\}dx}\\&=\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left\{\left(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}\right)-\left(\frac{\partial f}{\partial z}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial z'}\right)\left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)\left(\frac{\partial g}{\partial z}\right)^{-1}\right\}\eta_{1}(x)dx}\end{align*}$$ 이다. 따라서 $\alpha=0$일 때 $$\left(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)^{-1}=\left(\frac{\partial f}{\partial z}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial z'}\right)\left(\frac{\partial g}{\partial z}\right)^{-1}$$ 를 얻고, $y,\,z$모두 $x$의 함수이고, 이 식의 좌변, 우변 모두 $x$의 함수이므로 이 식을 $-\lambda(x)$와 같다고 하면 다음의 연립미분방정식을 얻는다. $$\begin{cases}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}+\lambda(x)\frac{\partial g}{\partial y}=0\\ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial z'}+\lambda(x)\frac{\partial g}{\partial z}=0\end{cases}$$ 여기서 $\lambda(x)$는 라그랑주의 미정 승수(Lagrange undetermined multiplier)로 알려져 있다. 일반적인 경우는 다음과 같이 나타낼 수 있고 $$\begin{cases}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y_{i}}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y_{i}'}+\sum_{i}{\lambda_{i}(x)\frac{\partial g_{j}}{\partial y_{i}}}=0\\g_{j}(y_{i};\,x)=0\end{cases}$$ 위의 두번째 식(구속조건식)은 $\displaystyle\sum_{i}{\frac{\partial g_{j}}{\partial y_{i}}dy_{i}}=0$과 같다. $i=1,\,2,\,\cdots,\,m$, $j=1,\,2,\,\cdots,\,n$이라고 하면 $m+n$개의 미지수를 포함하는 $m$개의 방정식과 $n$개의 구속조건식으로 구성되므로 $m+n$개의 미지수에 대해 $m+n$개의 방정식이 있게 되어 문제를 풀 수 있다.

아래 그림의 경사면을 미끄러지지 않고 구르는 원판에서

$y=R\theta$이므로 구속조건식은 $g(y,\,\theta)=y-R\theta=0$이고 $\displaystyle\frac{\partial g}{\partial y}=1,\,\frac{\partial g}{\partial\theta}=-R$이다.

구속조건식을 적분의 형태로 나타낼 수 있다. 범함수 $\displaystyle J(y)=\int_{a}^{b}{f(y,\,y';\,x)dx}$가 극값을 갖게 하는 곡선 $y=y(x)$를 찾는 문제는 등주 문제(isoperimetric problem: 둘레의 길이가 주어졌을 때, 최대 넓이를 갖는 경우를 구하는 것)와 같다. 

곡선 $y(x)$는 곡선의 길이($\ell$)가 고정된 값을 갖는 범함수 $\displaystyle K(y)=\int_{a}^{b}{g(y,\,y';\,x)dx}$ 뿐만 아니라 경계조건 $y(a)=A,\,y(b)=B$의 경계조건을 만족한다. 범함수 $K$가 구속조건식이다.

$y$가 범함수 $\displaystyle\int_{a}^{b}{(f+\lambda g)dx}$의 극값이 되게 하는 상수 $\lambda$가 존재하고 $y(x)$가 $y(a)=A,\,y(b)=B,\,K(y)=\ell$의 구속조건을 가지고 있으면 다음의 미분방정식 $$\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}+\lambda\left(\frac{\partial g}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial g}{\partial y'}\right)=0$$ 을 만족한다. 이 문제를 디도 문제(Dido problem)이라고 한다.

점 $(-a,\,0),\,(a,\,0)$을 지나고 가장 큰 면적을 감싸는 $x$축으로 한정된 길이 $\ell$의 곡선 $y(x)$를 찾는 문제가 있다.

위의 그림에서 $dA=ydx$이고 범함수 $\displaystyle J=\int_{-a}^{a}{ydx}$가 극값을 갖게 하는 $y$를 찾아야 한다. 구속조건식은 $$y(-a)=0,\,y(a)=0,\,K=\int{d\ell}=\ell$$ 이고 $\displaystyle d\ell=\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}=\sqrt{1+(y')^{2}}dx\,\left(y'=\frac{dy}{dx}\right)$이다. $\displaystyle K=\int_{-a}^{a}{\sqrt{1+(y')^{2}}dx}=\ell$이고 $y=y(x)$, $g(x)=\sqrt{1+(y')^{2}}$를 이용하면 $$\frac{\partial f}{\partial y}=1,\,\frac{\partial f}{\partial y'}=0,\,\frac{\partial g}{\partial y}=0,\,\frac{\partial g}{\partial y'}=\frac{y'}{\sqrt{1+(y')^{2}}}$$ 이므로 $\displaystyle1-\lambda\frac{d}{dx}\frac{y'}{\sqrt{1+(y')^{2}}}=0$이고 $\displaystyle\frac{d}{dx}\frac{y'}{\sqrt{1+(y')^{2}}}=\frac{1}{\lambda}$이므로 $\displaystyle\frac{\lambda y'}{\sqrt{1+(y')^{2}}}=x-C_{1}$($C_{1}$은 적분상수)이다. 이 식을 다시 정리하면 $\displaystyle dy=\pm\frac{(x-C_{1})}{\sqrt{\lambda^{2}-(x-C_{1})^{2}}}dx$이고 $y=\mp\sqrt{\lambda^{2}-(x-C_{1})^{2}}+C_{2}$($C_{2}$는 적분상수)이므로 다음의 원의 방정식을 얻는다. $$(x-C_{1})^{2}+(y-C_{2})^{2}=\lambda^{2}$$ 최대영역은 $y=0$($x$축)으로 분할되는 반원이다. 이 반원에서 $C_{1}=C_{2}=0$이고 반지름이 $a=\lambda$일 때 원의 중심이 원점에 있고 구속조건에서 $y(-a)=y(a)=0$이어야 하므로 반원의 위쪽 둘레길이를 $\ell$이라고 하면 $\ell=a\pi$이고 $\displaystyle a=\frac{\ell}{\pi}$이다.

변분법에서 지금까지 $$\frac{\partial J}{\partial\alpha}d\alpha=\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{\partial y}{\partial\alpha}d\alpha dx}$$ 로 나타냈었다. 간단하게 나타내기 위해서 다음과 같이 $\delta$를 사용하여 $$\delta J=\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\delta ydx}$$ 나타낸다. 여기서 $\displaystyle\delta J=\frac{\partial J}{\partial\alpha}d\alpha$, $\displaystyle\delta y=\frac{\partial y}{\partial\alpha}d\alpha$라고 하면 극값을 갖기 위한 조건을$\displaystyle\delta J=\delta\int_{x_{1}}^{x_{2}}{f(y,\,y';\,x)dx}=0$으로 나타낼 수 있고 $$\begin{align*}\delta J&=\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\delta fdx}=\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\delta y+\frac{\partial f}{\partial y'}\delta y'\right)dx}\\ \delta y'&=\delta\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx}(\delta y)\end{align*}$$ 이므로 $$\begin{align*}\delta J&=\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\delta y+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{d}{dx}(\delta y)\right)dx}\\&=\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dy}\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\delta ydx}\end{align*}$$ 이다. 변분 $\delta y$는 임의로 취할 수 있기 때문에 극값을 갖기 위한 조건 $\delta J=0$에 의해 피적분 함수는 $0$이 되고 오일러 방정식 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=0$을 얻는다.

$\delta$기호는 정확한 미분량을 간단히 나타낸 것이고 $\delta y$는 물리적으로 모든 힘과 구속, 모순이 없는 실질적인 경로로부터의 가상 변위이고 $dt=0$(시간이 고정되어있다는 조건)이므로 실제의 미분변위 $dy$와 구별된다.(아래 그림 참고)

참고자료:

Classical Dynamics of Particles and Systems 5th edition, Thornton, Marion, Cengage Learning