[고전역학] 14. 변분법(1)

[고전역학] 14. 변분법(1)

변분법(calculus of variation)의 기본적인 문제는 적분$$J=\int_{x_{1}}^{x_{2}}{f(y(x),\,y'(x);\,x)dx}\,\left(y'(x)=\frac{dy}{dx}\right)$$가 극값(극댓값 또는 극솟값)을 갖게하는 함수 \(y(x)\)를 찾는 것이다. 범함수(functional, 벡터를 스칼라로 대응하는 함수) \(J\)가 함수 \(y=y(x)\)에 의존하고 적분의 양 끝도 고정되었다고 하자. \(y=y(x)\)일 때, 위의 적분(\(J\)의 값)이 극솟값을 가지면, \(y(x)\)에 인접한 함수는 어떠한 것도 \(J\)의 값을 증가시킨다. 이때 이 인접한 함수 \(y\)를 매개변수 \(\alpha\)를 이용하여 \(y=y(\alpha,\,x)\)로 나타내면 \(\alpha=0\)일 때인 \(y=y(0,\,x)=y(x)\)가 \(J\)가 극값을 갖게 하는 함수가 된다.$$y(\alpha,\,x)=y(0,\,x)+\alpha\eta(x)$$로 나타낼 수 있고, \(\eta(x)\)는 연속인 1차 도함수를 가지며 \(\eta(x_{1})=\eta(x_{2})=0\)인 \(x\)에 대한 함수이다. 그 이유는 \(\alpha\neq0\)인 경우에도 \(y(\alpha,\,x)\)는 적분 경로의 양 끝에서는 \(y(x)\)와 일치해야 하기 때문이다.(아래 그림 참고)

적분 \(J\)에서 \(y(x)\)대신 \(y(\alpha,\,x)\)를 고려하면 \(J\)는 다음과 같이 매개변수 \(\alpha\)의 함수가 되고$$J(\alpha)=\int_{x_{1}}^{x_{2}}{f(y(\alpha,\,x),\,y'(\alpha,\,x);\,x)dx}$$적분 \(J\)가 극값을 가질 필요조건은 \(\displaystyle\frac{\partial J}{\partial\alpha}|_{\alpha=0}=0\)(\(J\)가 \(\alpha\)에 의존하지 않음)이다. 즉, \(\displaystyle\frac{\partial J}{\partial\alpha}|_{\alpha=0}=0\)이면 \(J\)는 극값을 갖는다.

\(f=\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2},\,y(x)=x\)라고 하자. \(\eta(x)=\sin x,\,x_{1}=0,\,x_{2}=2\pi\)일 때, \(y(\alpha,\,x)=x+\alpha\sin x\)이고 \(\eta(0)=\eta(2\pi)=0\), \(\displaystyle\frac{d}{dx}y(\alpha,\,x)=1+\alpha\cos x\)이므로$$f=\left(\frac{d}{dx}y(\alpha,\,x)\right)^{2}=1+2\alpha\cos x+\alpha^{2}\cos^{2}x$$이고$$\begin{align*}J(\alpha)&=\int_{0}^{2\pi}{(1+2\alpha\cos x+\alpha^{2}\cos^{2}x)dx}\\&=2\pi+\pi\alpha^{2}\end{align*}$$이므로 \(\displaystyle\frac{\partial J}{\partial\alpha}=2\pi\alpha\)이고 따라서 \(\alpha=0\)일 때, 극값의 경로를 갖고, \(y(\alpha,\,x)=y(x)=x\)이다.(아래 그림 참고)

식 \(\displaystyle\frac{\partial J}{\partial\alpha}\)의 구체적인 형태는$$\begin{align*}\frac{\partial J}{\partial\alpha}&=\frac{\partial}{\partial\alpha}\int_{x_{1}}^{x_{2}}{f(y(\alpha,\,x),\,y'(\alpha,\,x);\,x)dx}\\&=\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial\alpha}+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial\alpha}\right)dx}\end{align*}$$이고 \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial\alpha}=\eta(x),\,\frac{\partial y'}{\partial\alpha}=\frac{d\eta}{dx}\)이므로$$\begin{align*}\frac{\partial J}{\partial\alpha}&=\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\eta(x)+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{d\eta}{dx}\right)dx}\\&=\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\eta(x)-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\eta(x)\right)dx}\\&=\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\eta(x)dx}\end{align*}$$이고 여기서 부분적분이 사용되었으며 \(y,\,y'\)은 \(\alpha\)의 함수이다. 위 식의 피적분 함수는 \(\alpha=0\)일 때 \(0\) 즉,$$\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=0$$이고 여기서 \(y,\,y'\)은 \(x\)에 무관한 함수이다. 위의 식을 오일러 방정식(Euler's equation)이라고 하고 \(f\)가 극값을 갖기 위한 필요조건이다.

최속강하선(brachistochrone) 문제: 어떤 점 \((x_{1},\,y_{1})\)에서 정지하고 있는 입자가 현 위치에서 낮은 위치에 위치한 점 \((x_{2},\,y_{2})\)까지 일정한 중력장 내부에서 움직일 때, 최소의 시간으로 도달하는 경로는 무엇인가?

이 문제를 변분법을 이용하여 해결할 수 있다. 다음의 그림대로 점 \((x_{1},\,y_{1})\)을 원점(\(x_{1}=0,\,y_{1}=0\)) 및 위치에너지의 기준점으로 설정한다.

중력장은 보존장이므로 입자의 총 에너지 \(T+V\)는 일정하며 입자는 정지상태에서 운동을 시작하기 때문에 \(T+V=0\)이다. 운동에너지가 \(\displaystyle T=\frac{1}{2}mv^{2}\)이고 위치에너지가 \(V=-Fx=-mgx\)(\(g\)는 중력가속도)이므로 \(v=\sqrt{2gx}\)이다. 입자가 원점에서 점 \((x_{2},\,y_{2})\)로 이동하는데 걸리는 시간은$$\begin{align*}t&=\int_{(x_{1},\,y_{1})}^{(x_{2},\,y_{2})}{\frac{1}{v}ds}\\&=\int_{(x_{1},\,y_{1})}^{(x_{2},\,y_{2})}{\frac{\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}}{\sqrt{2gx}}}\\&=\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt{\frac{1+(y')^{2}}{2gx}}dx}\end{align*}$$이고, 이 시간을 최소로 하는것이 이 문제의 목적이다. 이때 상수 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2g}}\)는 위의 적분식에 어떠한 영향을 주지 않으므로 최소화하고자 하는 범함수 \(f\)를 \(\displaystyle f=\sqrt{\frac{1+(y')^{2}}{x}}\)로 설정한다.  

\(\displaystyle\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y}=0\)이므로 \(\displaystyle\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=0\)이 되고 \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y'}=\frac{1}{\sqrt{2a}}\)(\(a\)는 상수)이다.$$\frac{\partial f}{\partial y'}=\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{2y'}{2\sqrt{1+(y')^{2}}}=\frac{y'}{\sqrt{x\{1+(y')^{2}\}}}$$이므로$$\frac{(y')^{2}}{x(1+(y')^{2})}=\frac{1}{2a}$$이고$$y=\int{\frac{x}{\sqrt{2ax-x^{2}}}dx}$$이다. 이때 \(x=a(1-\cos\theta)\)라고 하면, \(dx=a\sin\theta d\theta\)이므로$$y=\int{a(1-\cos\theta)d\theta}=a(\theta-\sin\theta)+C$$(\(C\)는 적분상수)이고, 원점을 지나므로 \(C=0\)이다. 따라서$$\begin{cases}x=a(1-\cos\theta)\\y=a(\theta-\sin\theta)\end{cases}$$이고 이 매개변수방정식은 사이클로이드(cycloid)이다.(아래 그림 참고)

고정된 두 점 \((x_{1},\,y_{1})\), \((x_{2},\,y_{2})\)를 연결하는 곡선을 \(y\)축을 중심으로 회전해서 면이 만들어진다고 하자. 회전에 의해 만들어진 면의 면적이 최소가 되는 두 점을 잇는 곡선의 방정식을 변분법을 이용하여 구할 수 있다.

위의 그림에서 \(dA=2\pi xds=2\pi x\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}\)이므로 \(\displaystyle A=2\pi\int_{x_{1}}^{x_{2}}{x\sqrt{1+(y')^{2}}dx}\,\left(y'=\frac{dy}{dx}\right)\)이다. 최소 면적을 구하기 위해 \(f=x\sqrt{1+(y')^{2}}\)라고 하면$$\frac{\partial f}{\partial y}=0,\,\frac{\partial f}{\partial y'}=\frac{xy'}{\sqrt{1+(y')^{2}}}$$이므로$$\begin{align*}\frac{d}{dx}\left(\frac{xy'}{\sqrt{1+(y')^{2}}}\right)&=0\\ \frac{xy'}{\sqrt{1+(y')^{2}}}=a\end{align*}$$(\(a\)는 상수)이고 \(\displaystyle y'=\frac{a}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\)이므로$$y=\int{\frac{a}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx}=a\cosh^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+b$$이고 여기서 \(a,\,b\)는 초기조건 \((x_{1},\,y_{1})\), \((x_{2},\,y_{2})\)로부터 결정되는 상수이다. 또한 \(\displaystyle x=a\cosh\left(\frac{y-b}{a}\right)\)로 나타낼 수 있다.

이 문제를 비누박막 문제라고 한다.

페르마의 원리(Fermat's principle)에 따르면 빛은 이동시간이 최소가 되는 경로를 따라 움직인다고 한다. 빛이 이동하는데 걸린 시간을 \(t\)라고 하면$$\begin{align*}t&=\int{\frac{1}{v}ds}\\&=\int{\frac{n}{c}\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}}\\&=\frac{1}{c}\int{n(x)\sqrt{1+(y')^{2}}dx}\end{align*}$$이고 \(f=n(x)\sqrt{1+(y')^{2}}\)라고 하면 \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=0\)이므로 \(\displaystyle\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=0\)이고$$\frac{\partial f}{\partial y'}=\frac{n(x)y'}{\sqrt{1+(y')^{2}}}=k$$(\(k\)는 상수)이다. 여기서 \(\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}=\tan\theta\)라고 하면$$\frac{y'}{\sqrt{1+(y')^{2}}}=\frac{\tan\theta}{\sec\theta}=\sin\theta$$이므로$$\frac{n(x)y'}{\sqrt{1+(y')^{2}}}=n(x)\sin\theta$$이고 \(n(x)\sin\theta=k\)이다. 따라서 이 사실로부터 스넬의 법칙 \(n_{1}\sin\theta_{1}=n_{2}\sin\theta_{2}\)를 얻는다.(아래 그림 참고)

    

참고자료:

Classical Dynamics of Particles and Systems 5th edition, Thornton, Marion, Cengage Learning